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7.6E : Exercices pour la section 7.6

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Dans les exercices 1 à 5, approximez les intégrales suivantes en utilisant soit la règle du point médian, soit la règle trapézoïdale, soit la règle de Simpson comme indiqué. (Arrondissez les réponses à trois décimales.)

    1) règle\( \displaystyle ∫^2_1\frac{dx}{x};\) trapézoïdale ;\( n=5\)

    Réponse
    \( 0.696\)

    2) règle\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) trapézoïdale ;\( n=6\)

    3) La règle de\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) Simpson ;\( n=6\)

    Réponse
    \( 9.279\)

    4) règle\( \displaystyle ∫^{12}_0x^2\;dx;\) du point médian ;\( n=6\)

    5) règle\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) du point médian ;\( n=3\)

    Réponse
    \( 0.500\)

    6) Utilisez la règle du point médian avec huit subdivisions pour estimer\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)

    7) Utilisez la règle trapézoïdale avec quatre subdivisions pour estimer\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)

    Réponse
    \( T_4=18.75\)

    8) Trouvez la valeur exacte de\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\) Trouvez l'erreur d'approximation entre la valeur exacte et la valeur calculée à l'aide de la règle trapézoïdale à quatre subdivisions. Dessinez un graphique pour illustrer.

    Approximez l'intégrale à quatre décimales en utilisant la règle indiquée.

    9) règle\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) trapézoïdale ;\( n=6\)

    Réponse
    \( 0.5000\)

    10) règle\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) trapézoïdale ;\( n=6\)

    11) La règle de\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) Simpson ;\( n=6\)

    Réponse
    \( 1.1614\)

    12) règle\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) trapézoïdale ;\( n=4\)

    13) La règle de\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) Simpson ;\( n=4\)

    Réponse
    \(0.6577\)

    14) règle\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) trapézoïdale ;\( n=4\)

    15) La règle de\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) Simpson ;\( n=4\)

    Réponse
    \(0.0213\)

    16) règle\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) trapézoïdale ;\(n=4\)

    17) La règle de\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) Simpson ;\(n=4\)

    Réponse
    \(1.5629\)

    18) Évaluez\( \displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1+x^2}\) exactement et montrez que le résultat est\( π/4\). Ensuite, trouvez la valeur approximative de l'intégrale en utilisant la règle trapézoïdale avec\( n=4\) subdivisions. Utilisez le résultat pour obtenir une valeur approximative de\( π\).

    19)\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) Approximation en utilisant la règle du point médian avec quatre subdivisions à quatre décimales.

    Réponse
    \( 1.9133\)

    20)\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) Approximation en utilisant la règle trapézoïdale avec huit subdivisions à quatre décimales.

    21) Utilisez la règle trapézoïdale à quatre subdivisions pour effectuer une estimation\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx\) à quatre décimales.

    Réponse
    \( T(4)=0.1088\)

    22) Utilisez la règle trapézoïdale avec quatre subdivisions pour estimer\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx.\) Comparez cette valeur à la valeur exacte et trouvez l'estimation de l'erreur.

    23) En utilisant la règle de Simpson avec quatre subdivisions, trouvez\( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx.\)

    Réponse
    \( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx\approx \quad 1.0\)

    24) Montrez que la valeur exacte de\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e}\). Déterminez l'erreur absolue si vous approximez l'intégrale à l'aide de la règle du point médian avec 16 subdivisions.

    25) Étant donné,\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e},\) utilisez la règle trapézoïdale à 16 subdivisions pour approximer l'intégrale et trouver l'erreur absolue.

    Réponse
    L'erreur approximative est\( 0.000325.\)

    26) Trouvez la limite supérieure de l'erreur d'estimation à\( \displaystyle ∫^3_0(5x+4)\;dx\) l'aide de la règle trapézoïdale à six étapes.

    27) Déterminez la limite supérieure de l'erreur d'estimation à\( \displaystyle ∫^5_4\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) l'aide de la règle trapézoïdale à sept subdivisions.

    Réponse
    \( \frac{1}{7938}\)

    28) Trouvez une limite supérieure pour l'erreur d'estimation en\( \displaystyle ∫^3_0(6x^2−1)\;dx\) utilisant la règle de Simpson avec\( n=10\) étapes.

    29) Trouvez une limite supérieure pour l'erreur d'estimation en\( \displaystyle ∫^5_2\frac{1}{x−1}\;dx\) utilisant la règle de Simpson avec\( n=10\) étapes.

    Réponse
    \( \frac{81}{25,000}\)

    30) Trouvez la limite supérieure de l'erreur d'estimation en\( \displaystyle ∫^π_02x\cos(x)\;dx\) utilisant la règle de Simpson en quatre étapes.

    31) Estimez le nombre minimum de sous-intervalles nécessaires pour approximer l'intégrale\( \displaystyle ∫^4_1(5x^2+8)\;dx\) avec une amplitude d'erreur inférieure à 0,0001 à l'aide de la règle trapézoïdale.

    Réponse
    \( 475\)

    32) Déterminez une valeur de n telle que la règle trapézoïdale soit approximative\( \displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^2}\;dx\) avec une erreur ne dépassant pas 0,01.

    33) Estimez le nombre minimum de sous-intervalles nécessaires pour approximer l'intégrale\( \displaystyle ∫^3_2(2x^3+4x)\;dx\) avec une erreur de magnitude inférieure à 0,0001 à l'aide de la règle trapézoïdale.

    Réponse
    \( 174\)

    34) Estimez le nombre minimum de sous-intervalles nécessaires pour approximer l'intégrale\( \displaystyle ∫^4_3\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) avec une amplitude d'erreur inférieure à 0,0001 à l'aide de la règle trapézoïdale.

    35) Utilisez la règle de Simpson avec quatre subdivisions pour approximer la surface sous la fonction\( y=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}\) de densité de probabilité de\( x=0\) à\( x=0.4\).

    Réponse
    \( 0.1544\)

    36) Utilisez la règle de Simpson avec\( n=14\) pour approximer (à trois décimales) l'aire de la région délimitée par les graphes de\( y=0, x=0,\) et\( x=π/2.\)

    37) La longueur d'un arc de la courbe\( y=3\sin(2x)\) est donnée par\( L=∫^{π/2}_0\sqrt{1+36\cos^2(2x)}\;dx.\) Estimate L en utilisant la règle trapézoïdale avec\( n=6\).

    Réponse
    \( 6.2807\)

    38) La longueur de l'ellipse\( x=a\cos(t),y=b\sin(t),0≤t≤2π\) est donnée par\( L=4a∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\cos^2(t)}dt\), où e est l'excentricité de l'ellipse. Utilisez la règle de Simpson avec\( n=6\) les subdivisions pour estimer la longueur de l'ellipse lorsque\( a=2\) et\( e=1/3.\)

    39) Estimez l'aire de la surface générée en faisant tourner la courbe\( y=\cos(2x),0≤x≤\frac{π}{4}\) autour de l'axe X. Utilisez la règle trapézoïdale à six subdivisions.

    Réponse
    \( 4.606\)

    40) Estimez l'aire de la surface générée en faisant tourner la courbe\( y=2x^2, 0≤x≤3\) autour de l'axe X. Utilisez la règle de Simpson avec\( n=6.\)

    41) Le taux de croissance d'un certain arbre (en pieds) est donné par l'\( y=\dfrac{2}{t+1}+e^{−t^2/2},\)endroit où t est le temps en années. Estimez la croissance de l'arbre jusqu'à la fin de la deuxième année en utilisant la règle de Simpson, en utilisant deux sous-intervalles. (Arrondissez la réponse au centième le plus proche.)

    Réponse
    \( 3.41\)pieds

    42) [T] Utilisez une calculatrice pour obtenir une approximation\( \displaystyle ∫^1_0\sin(πx)\;dx\) en utilisant la règle du point médian avec 25 subdivisions. Calculez l'erreur relative d'approximation.

    43) [T] Étant donné\( \displaystyle ∫^5_1(3x^2−2x)\;dx=100,\) approximativement la valeur de cette intégrale en utilisant la règle du point médian avec 16 subdivisions et déterminez l'erreur absolue.

    Réponse
    \( T_{16}=100.125;\)erreur absolue =\( 0.125\)

    44) Étant donné que nous connaissons le théorème fondamental du calcul, pourquoi voudrions-nous développer des méthodes numériques pour des intégrales définies ?

    45) Le tableau représente les coordonnées\( (x,​y)\) qui donnent la limite d'un lot. Les unités de mesure sont les mètres. Utilisez la règle trapézoïdale pour estimer le nombre de mètres carrés de terrain que compte ce lot.

    \( x\) \( y\) \( x\) \( y\)
    0 125 600 95
    100 125 700 88
    200 120 800 75
    300 112 900 35
    400 90 1000 0
    500 90
    Réponse
    environ 89 250 m 2

    46) Choisissez la bonne réponse. Lorsque la règle de Simpson est utilisée pour approximer l'intégrale définie, il est nécessaire que le nombre de partitions soit ____

    a. un nombre pair

    b. nombre impair

    c. un nombre pair ou impair

    d. un multiple de 4

    47) La somme « Simpson » est basée sur la superficie inférieure à ____.

    Réponse
    parabole

    48) La formule d'erreur de la règle de Simpson dépend de___.

    un.\( f(x)\)

    b.\( f′(x)\)

    c.\( f^{(4)}(x)\)

    d. le nombre de marches