7.5 : Autres stratégies d'intégration
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- Utilisez un tableau d'intégrales pour résoudre les problèmes d'intégration.
- Utilisez un système d'algèbre informatique (CAS) pour résoudre les problèmes d'intégration.
Outre les techniques d'intégration que nous avons déjà vues, plusieurs autres outils sont largement disponibles pour faciliter le processus d'intégration. Parmi ces outils figurent les tableaux d'intégration, qui sont facilement disponibles dans de nombreux livres, y compris les annexes de celui-ci. Les systèmes d'algèbre informatique (CAS), que l'on trouve sur les calculatrices et dans de nombreux laboratoires informatiques du campus, sont également largement disponibles et sont gratuits en ligne.
Tableaux d'intégrales
Les tableaux d'intégration, s'ils sont utilisés correctement, peuvent être un moyen pratique d'évaluer ou de vérifier rapidement une intégrale. N'oubliez pas que lorsque vous utilisez un tableau pour vérifier une réponse, il est possible que deux solutions complètement correctes aient un aspect très différent. Par exemple, dans Substitution trigonométrique, nous avons constaté qu'en utilisant la substitution,\(\displaystyle x=\tan θ,\) nous pouvons arriver à
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| +C.\)
Cependant, en utilisant\(\displaystyle x=\sinh θ\), nous avons obtenu une solution différente, à savoir
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sinh^{−1}x+C.\)
Nous avons ensuite démontré algébriquement que les deux solutions sont équivalentes. C'est-à-dire que nous l'avons montré\(\displaystyle \sinh^{−1}x=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \). Dans ce cas, les deux antidérivés que nous avons trouvés étaient en fait égaux. Cela ne doit pas nécessairement être le cas. Toutefois, tant que la différence entre les deux antidérivés est constante, ils sont équivalents.
Utilisez la formule du tableau
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C\)
pour évaluer\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx.\)
Solution
Si nous examinons les tables d'intégration, nous voyons que plusieurs formules contiennent des expressions de la forme\(\displaystyle \sqrt{a^2−u^2}.\) Cette expression est en fait similaire à\(\displaystyle \sqrt{16−e^{2x}},\) where\(\displaystyle a=4\) et\(\displaystyle u=e^x\). Gardez à l'esprit que nous devons également avoir\(\displaystyle du=e^x\). Multiplier le numérateur et le dénominateur de l'intégrale donnée par\(\displaystyle e^x\) devrait aider à mettre cette intégrale sous une forme utile. Ainsi, nous avons maintenant
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx.\)
Substituer\(\displaystyle u=e^x\) et\(\displaystyle du=e^x\,dx\) produire\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du.\) À partir de la table d'intégration (#88 dans l'annexe A),
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C.\)
Ainsi,
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx\)Substitut\(\displaystyle u=e^x\) et\(\displaystyle du=e^xdx.\)
\(\displaystyle =∫\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u^2}du\)Appliquez la formule en utilisant\(\displaystyle a=4\).
\(\displaystyle =−\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{4}+C\)Substitut\(\displaystyle u=e^x\).
\(\displaystyle =−\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}−\sin^{−1}(\frac{e^x}{4})+C\)
Systèmes d'algèbre informatique
Si disponible, un CAS constitue une alternative plus rapide à une table pour résoudre un problème d'intégration. De nombreux systèmes de ce type sont largement disponibles et sont, en général, assez faciles à utiliser.
Utilisez un système d'algèbre informatique pour évaluer\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}.\) Comparez ce résultat avec\(\displaystyle \ln \left| \frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C,\) un résultat que nous aurions pu obtenir si nous avions utilisé la substitution trigonométrique.
Solution
En utilisant Wolfram Alpha, nous obtenons
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| +C.\)
Remarquez que
\(\displaystyle \ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C=\ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}+x}{2}\right| +C=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| −\ln 2+C.\)
Ces deux antidérivés ne différant que d'une constante, les solutions sont équivalentes. Nous aurions également pu démontrer que chacun de ces antidérivés est correct en les différenciant.
Vous pouvez accéder à un calculateur intégral pour plus d'exemples.
Évaluez\(\displaystyle ∫ \sin^3x\,dx\) en utilisant un CAS. Comparez le résultat au\(\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C\) résultat que nous aurions pu obtenir en utilisant la technique d'intégration de puissances impaires\(\displaystyle \sin x\) décrite plus haut dans ce chapitre.
Solution
En utilisant Wolfram Alpha, nous obtenons
\(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx=\frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)+C.\)
Cela semble très différent de\(\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C.\) Pour voir que ces antidérivés sont équivalents, nous pouvons utiliser quelques identités trigonométriques :
\(\displaystyle \frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)=\frac{1}{12}(\cos(x+2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos(x)\cos(2x)−\sin(x)\sin(2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos x(2\cos^2x−1)−\sin x(2\sin x \cos x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(2\cos^3x−\cos x−2\cos x(1−\cos^2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(4\cos^3x−12\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\cos^3x−\cos x.\)
Ainsi, les deux antidérivés sont identiques.
Nous pouvons également utiliser un CAS pour comparer les graphiques des deux fonctions, comme le montre la figure suivante.
Utilisez un CAS pour évaluer\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\).
- Allusion
-
Les réponses peuvent varier.
- Réponse
-
Les solutions possibles incluent\(\displaystyle \sinh^{−1}\left(\frac{x}{2}\right) +C\) et\(\displaystyle \ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right| +C.\)
Concepts clés
- Une table d'intégration peut être utilisée pour évaluer des intégrales indéfinies.
- Un CAS (ou système d'algèbre informatique) peut être utilisé pour évaluer des intégrales indéfinies.
- Il peut être nécessaire de faire des efforts pour concilier des solutions équivalentes obtenues à l'aide de différentes méthodes.
Lexique
- système d'algèbre informatique (CAS)
- technologie utilisée pour effectuer de nombreuses tâches mathématiques, y compris l'intégration
- table d'intégration
- un tableau répertoriant les formules d'intégration