7.4 : Fractions partielles
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- 197652
- Intégrez une fonction rationnelle à l'aide de la méthode des fractions partielles.
- Reconnaissez des facteurs linéaires simples dans une fonction rationnelle.
- Reconnaissez les facteurs linéaires répétés dans une fonction rationnelle.
- Reconnaître les facteurs quadratiques dans une fonction rationnelle.
Nous avons vu certaines techniques qui nous permettent d'intégrer des fonctions rationnelles spécifiques. Par exemple, nous savons que
\[ \int \dfrac{du}{u}=\ln |u|+C \nonumber \]
et
\[ \int \dfrac{du}{u^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1} \left(\dfrac{u}{a}\right)+C.\nonumber \]
Cependant, nous ne disposons pas encore d'une technique permettant de traiter des quotients arbitraires de ce type. Ainsi, la manière de procéder à l'évaluation n'est pas immédiatement évidente.
\[ \int \dfrac{3x}{x^2−x−2}\,dx.\nonumber \]
Cependant, nous savons, grâce à des documents déjà développés, que
\[ \int \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}\right)\,dx=\ln |x+1|+2\ln |x−2|+C.\nonumber \]
En fait, en obtenant un dénominateur commun, nous voyons que
\[ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}=\dfrac{3x}{x^2−x−2}.\nonumber \]
Par conséquent,
\[ \int \dfrac{3x}{x^2−x−2}\,dx=\int \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}\right)\,dx.\nonumber \]
Dans cette section, nous examinons la méthode de décomposition des fractions partielles, qui nous permet de décomposer les fonctions rationnelles en sommes de fonctions rationnelles plus simples et plus faciles à intégrer. En utilisant cette méthode, nous pouvons réécrire une expression telle que :
\[ \dfrac{3x}{x^2−x−2}\nonumber \]
sous la forme d'une expression telle que
\[ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}.\nonumber \]
La clé de la méthode de décomposition des fractions partielles est de pouvoir anticiper la forme que prendra la décomposition d'une fonction rationnelle. Comme nous le verrons, cette forme est à la fois prévisible et fortement dépendante de la factorisation du dénominateur de la fonction rationnelle. Il est également extrêmement important de garder à l'esprit que la décomposition par fraction partielle ne peut être appliquée à une fonction rationnelle\( \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) que si\( deg(P(x))<deg(Q(x))\). Dans le cas où\( deg(P(x))≥deg(Q(x))\), nous devons d'abord effectuer une division longue pour réécrire le quotient\( \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) dans la forme\( A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}\), où\( deg(R(x))<deg(Q(x))\). Nous effectuons ensuite une décomposition en fractions partielles sur\( \dfrac{R(x)}{Q(x)}\). L'exemple suivant, bien que ne nécessitant pas de décomposition partielle par fraction, illustre notre approche des intégrales de fonctions rationnelles de la forme\( \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx\), où\( deg(P(x))≥deg(Q(x)).\)
Évaluer
\[ \int \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx. \nonumber \]
Solution
Puisque\( deg(x^2+3x+5)≥deg(x+1),\) nous effectuons une division longue pour obtenir
\[ \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+\dfrac{3}{x+1}. \nonumber \]
Ainsi,
\[ \int \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx=\int \left(x+2+\dfrac{3}{x+1}\right)\,dx=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3\ln |x+1|+C. \nonumber \]
Visitez ce site Web pour une revue de la division longue des polynômes.
Évaluer
\[ \int \dfrac{x−3}{x+2}\,dx. \nonumber \]
- Allusion
-
Utilisez la division longue pour obtenir\( \dfrac{x−3}{x+2}=1−\dfrac{5}{x+2}. \nonumber \)
- Réponse
-
\[ x−5\ln |x+2|+C \nonumber \]
Pour intégrer\(\displaystyle \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx\), où\( deg(P(x))<deg(Q(x))\), il faut commencer par l'affacturage\( Q(x)\).
Facteurs linéaires non répétés
Il\( Q(x)\) peut être factorisé comme\( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)\), où chaque facteur linéaire est distinct, alors il est possible de trouver des constantes\( A_1,A_2,…A_n\) satisfaisantes
\[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \label{eq:7.4.1} \]
La preuve de l'existence de telles constantes dépasse le cadre de ce cours.
Dans l'exemple suivant, nous verrons comment utiliser des fractions partielles pour intégrer une fonction rationnelle de ce type.
Évaluer\(\displaystyle \int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx.\)
Solution
Depuis\( deg(3x+2)<deg(x^3−x^2−2x)\), nous commençons par factoriser le dénominateur de\( \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\). C'est ce que nous pouvons voir\( x^3−x^2−2x=x(x−2)(x+1)\). Ainsi, il existe des constantes\(A\) et des valeurs\( C\) satisfaisantes à l'équation \ ref {eq:7.4.1} telles que\(B\)
\[ \dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x−2}+\dfrac{C}{x+1}. \nonumber \]
Nous devons maintenant trouver ces constantes. Pour ce faire, nous commençons par trouver un dénominateur commun sur la droite. Ainsi,
\[ \dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2)}{x(x−2)(x+1)}. \nonumber \]
Maintenant, nous mettons les numérateurs égaux les uns aux autres, obtenant
\[ 3x+2=A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2).\label{Ex2Numerator} \]
Il existe deux stratégies différentes pour trouver les coefficients\(A\)\(B\), et\(C\). Nous les appelons la méthode d'égalisation des coefficients et la méthode de substitution stratégique.
Première stratégie : Méthode d'égalisation des coefficients
Réécrire l'équation\(\ref{Ex2Numerator}\) dans le formulaire
\[ 3x+2=(A+B+C)x^2+(−A+B−2C)x+(−2A). \nonumber \]
L'équation des coefficients produit le système d'équations
\[\begin{align*} A+B+C &=0 \\[4pt] −A+B−2C &= 3 \\[4pt] −2A &=2. \end{align*}\]
Pour résoudre ce système, nous observons d'abord que la\( −2A=2⇒A=−1.\) substitution de cette valeur dans les deux premières équations nous donne le système
\( B+C=1\)
\( B−2C=2\).
La multiplication de la deuxième équation par\( −1\) et l'ajout de l'équation résultante à la première produit
\( −3C=1,\)
ce qui implique à son tour que\( C=−\dfrac{1}{3}\). La substitution de cette valeur dans l'équation\( B+C=1\) donne des résultats\( B=\dfrac{4}{3}\). Ainsi, la résolution de ces équations donne\( A=−1, B=\dfrac{4}{3}\), et\( C=−\dfrac{1}{3}\).
Il est important de noter que le système produit par cette méthode est cohérent si et seulement si nous avons correctement configuré la décomposition. Si le système est incohérent, il y a une erreur dans notre décomposition.
Stratégie 2 : Méthode de substitution stratégique
La méthode de substitution stratégique repose sur l'hypothèse que nous avons correctement configuré la décomposition. Si la décomposition est correctement configurée, il doit y avoir des valeurs de\( A, B,\) et\( C\) qui répondent à l'équation\(\ref{Ex2Numerator}\) pour toutes les valeurs de\( x\). C'est-à-dire que cette équation doit être vraie quelle que soit la valeur\( x\) que nous voulons y substituer. Par conséquent, en choisissant les valeurs\( x\) avec soin et en les substituant dans l'équation, nous pouvons trouver\( A, B\), et\( C\) facilement. Par exemple, si nous la substituons\( x=0\), l'équation se réduit à\( 2=A(−2)(1)\). Résoudre les problèmes de\( A\) rendement\( A=−1\). Ensuite, en la substituant\( x=2\), l'équation se réduit à\( 8=B(2)(3)\), ou de manière équivalente\( B=4/3\). Enfin, nous le\( x=−1\) remplaçons dans l'équation et obtenons la\( −1=C(−1)(−3).\) résolution, nous l'avons fait\( C=−\dfrac{1}{3}\).
Il est important de garder à l'esprit que si nous essayons d'utiliser cette méthode avec une décomposition qui n'a pas été correctement configurée, nous sommes toujours en mesure de trouver des valeurs pour les constantes, mais ces constantes n'ont aucun sens. Si nous choisissons d'utiliser la méthode de substitution stratégique, il est préférable de vérifier le résultat en recombinant les termes de manière algébrique.
Maintenant que nous avons les valeurs de l'intégrale d'origine\( A, B,\) et\( C,\) que nous la réécrivons :
\[ \int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx=\int \left(−\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{3}⋅\dfrac{1}{x−2}−\dfrac{1}{3}⋅\dfrac{1}{x+1}\right)\,dx. \nonumber \]
L'évaluation de l'intégrale nous donne
\[ \int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx=−\ln |x|+\dfrac{4}{3}\ln |x−2|−\dfrac{1}{3}\ln |x+1|+C. \nonumber \]
Dans l'exemple suivant, nous intégrons une fonction rationnelle dans laquelle le degré du numérateur n'est pas inférieur au degré du dénominateur.
Évaluer\(\displaystyle \int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx.\)
Solution
Puisque\( deg(x^2+3x+1)≥deg(x^2−4),\) nous devons effectuer une division longue des polynômes. Cela se traduit par
\[ \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}=1+\dfrac{3x+5}{x^2−4} \nonumber \]
Ensuite, nous effectuons une décomposition des fractions partielles sur\( \dfrac{3x+5}{x^2−4}=\dfrac{3x+5}{(x+2)(x−2)}\). Nous avons
\[ \dfrac{3x+5}{(x−2)(x+2)}=\dfrac{A}{x−2}+\dfrac{B}{x+2}. \nonumber \]
Ainsi,
\[ 3x+5=A(x+2)+B(x−2). \nonumber \]
En résolvant\( A\) et\( B\) en utilisant l'une ou l'autre méthode, nous obtenons\( A=11/4\)\( B=1/4.\)
En réécrivant l'intégrale d'origine, nous avons
\[ \int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx=\int \left(1+\dfrac{11}{4}⋅\dfrac{1}{x−2}+\dfrac{1}{4}⋅\dfrac{1}{x+2}\right)\,dx. \nonumber \]
Évaluer les produits intégraux
\[ \int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx=x+\dfrac{11}{4}\ln |x−2|+\dfrac{1}{4}\ln |x+2|+C. \nonumber \]
Comme nous le verrons dans l'exemple suivant, il peut être possible d'appliquer la technique de décomposition par fractions partielles à une fonction non rationnelle. L'astuce consiste à convertir la fonction non rationnelle en fonction rationnelle par une substitution.
Évaluer\(\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx.\)
Solution
Commençons par laisser\( u=\sin x.\) Par conséquent,\( du=\cos x\,dx.\) après avoir effectué ces substitutions, nous avons
\[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx=\int \dfrac{du}{u^2−u}=\int \dfrac{du}{u(u−1)}. \nonumber \]
Appliquer la décomposition par fractions partielles à des\(\dfrac{1}{u(u−1)}\) résultats\( \dfrac{1}{u(u−1)}=−\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u−1}.\)
Ainsi,
\[ \int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx=−\ln |u|+\ln |u−1|+C=−\ln |\sin x|+\ln |\sin x−1|+C. \nonumber \]
Évaluer\(\displaystyle \int \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}\,dx.\)
- Allusion
-
\[ \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x−2} \nonumber \]
- Réponse
-
\[ \dfrac{2}{5}\ln |x+3|+\dfrac{3}{5}\ln |x−2|+C \nonumber \]
Facteurs linéaires répétés
Pour certaines applications, nous devons intégrer des expressions rationnelles qui ont des dénominateurs avec des facteurs linéaires répétés, c'est-à-dire des fonctions rationnelles avec au moins un facteur de la forme\( (ax+b)^n,\) où\( n\) est un entier positif supérieur ou égal à\( 2\). Si le dénominateur contient le facteur linéaire répété\( (ax+b)^n\), la décomposition doit contenir
\[ \dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. \label{eq:7.4.2} \]
Comme nous le verrons dans l'exemple suivant, la technique de base utilisée pour résoudre les coefficients est la même, mais elle nécessite plus d'algèbre pour déterminer les numérateurs des fractions partielles.
Évaluer\(\displaystyle \int \dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}\,dx.\)
Solution
Nous l'avons\( deg(x−2)<deg((2x−1)^2(x−1)),\) fait pour pouvoir procéder à la décomposition. Comme\( (2x−1)^2\) il s'agit d'un facteur linéaire répété, incluez
\[ \dfrac{A}{2x−1}+\dfrac{B}{(2x−1)^2} \nonumber \]
dans la décomposition de l'équation \ ref {eq:7.4.2}. Ainsi,
\[ \dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}=\dfrac{A}{2x−1}+\dfrac{B}{(2x−1)^2}+\dfrac{C}{x−1}. \nonumber \]
Après avoir obtenu un dénominateur commun et assimilé les numérateurs, nous avons
\[ x−2=A(2x−1)(x−1)+B(x−1)+C(2x−1)^2. \label{Ex5Numerator} \]
Nous utilisons ensuite la méthode d'égalité des coefficients pour trouver les valeurs de\( A, B,\) et\( C\).
\[ x−2=(2A+4C)x^2+(−3A+B−4C)x+(A−B+C). \nonumber \]
L'égalisation des coefficients donne des rendements\( 2A+4C=0\)\(−3A+B−4C=1\), et\( A−B+C=−2\). La résolution de ce système donne\( A=2, B=3,\) et\( C=−1.\)
Nous pouvons également utiliser la méthode de substitution stratégique. Dans ce cas, la substitution\( x=1\) et\( x=1/2\) dans l'équation produit\(\ref{Ex5Numerator}\) facilement les valeurs\( B=3\) et\( C=−1\). À ce stade, il peut sembler que nous n'avons plus de bons choix car\( x\), comme nous avons déjà des valeurs pour\( B\) et\( C\), nous pouvons les remplacer par n'importe quelle valeur qui\( x\) n'était pas utilisée auparavant. La valeur\( x=0\) est une bonne option. Dans ce cas, nous obtenons l'équation\( −2=A(−1)(−1)+3(−1)+(−1)(−1)^2\) ou, de manière équivalente,\( A=2.\)
Maintenant que nous avons les valeurs de\( A, B,\) et\( C\), nous réécrivons l'intégrale d'origine et l'évaluons :
\ [\ begin {align*} \ int \ dfrac {x−2} {(2x−1) ^2 (x−1)} \, dx &= \ int \ left (\ dfrac {2} {2x−1} + \ dfrac {3} {(2x−1) ^2} − \ dfrac {1} {x−1} \ droite) \, dx \ [4 points]
&= \ ln |2x−1|− \ dfrac {3} {2 (2x−1)} − \ ln |X−1|+C. \ end {align*} \]
Configurez la décomposition des fractions partielles pour
\[ \int \dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}\,dx. \nonumber \]
(Ne résolvez pas les coefficients et ne terminez pas l'intégration.)
- Allusion
-
Utilisez la méthode de résolution de problèmes décrite dans Example\( \PageIndex{5}\) pour vous guider.
- Réponse
-
\[ \dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{(x+3)^2}+\dfrac{C}{(x+3)^3}+\dfrac{D}{(x−4)}+\dfrac{E}{(x−4)^2} \nonumber \]
La méthode générale
Maintenant que nous commençons à nous faire une idée du fonctionnement de la technique de décomposition des fractions partielles, décrivons la méthode de base de la stratégie de résolution de problèmes suivante.
Pour décomposer la fonction rationnelle\( P(x)/Q(x)\), procédez comme suit :
- Assurez-vous que\( deg(P(x))<deg(Q(x)).\) si ce n'est pas le cas, effectuez une division longue des polynômes.
- \( Q(x)\)Tenez compte du produit de facteurs quadratiques linéaires et irréductibles. Un quadratique irréductible est un quadratique qui n'a pas de zéros réels.
- En supposant que\( deg(P(x))<deg(Q(x)\), les facteurs de\( Q(x)\) déterminent la forme de la décomposition de\( P(x)/Q(x).\)
- Il\( Q(x)\) peut être factorisé comme\( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)\), où chaque facteur linéaire est distinct, alors il est possible de trouver des constantes\( A_1,A_2,...A_n\) satisfaisantes\[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \nonumber \]
- S'il\( Q(x)\) contient le facteur linéaire répété\( (ax+b)^n\), la décomposition doit contenir\[ \dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. \nonumber \]
- Pour chaque facteur quadratique irréductible\( ax^2+bx+c\) qui\( Q(x)\) contient, la décomposition doit inclure\[ \dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}. \nonumber \]
- Pour chaque facteur quadratique irréductible répété,\( (ax^2+bx+c)^n,\) la décomposition doit inclure :\[ \dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋯+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}. \nonumber \]
- Une fois que la décomposition appropriée est déterminée, résolvez les constantes.
- Enfin, réécrivez l'intégrale dans sa forme décomposée et évaluez-la à l'aide de techniques ou de formules d'intégration développées précédemment.
Facteurs quadratiques simples
Voyons maintenant comment intégrer une expression rationnelle dans laquelle le dénominateur contient un facteur quadratique irréductible. Rappelez-vous que le quadratique\( ax^2+bx+c\) est irréductible s'il n'\( ax^2+bx+c=0\)a pas de vrais zéros, c'est-à-dire si\( b^2−4ac<0.\)
Évaluer
\[ \int \dfrac{2x−3}{x^3+x}\,dx.\nonumber \]
Solution
Depuis,\( deg(2x−3)<deg(x^3+x),\) factorisez le dénominateur et procédez à la décomposition des fractions partielles. Puisque\( x^3+x=x(x^2+1)\) contient le facteur quadratique irréductible\( x^2+1\),\( \dfrac{Ax+B}{x^2+1}\) incluez-le dans le cadre de la décomposition, ainsi que\( \dfrac{C}{x}\) pour le terme linéaire\( x\). Ainsi, la décomposition a la forme
\[ \dfrac{2x−3}{x(x^2+1)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{C}{x}.\nonumber \]
Après avoir obtenu un dénominateur commun et assimilé les numérateurs, nous obtenons l'équation
\[ 2x−3=(Ax+B)x+C(x^2+1).\nonumber \]
Résoudre pour\( A,B,\) et\( C,\) nous obtenons\( A=3, B=2,\) et\( C=−3.\)
Ainsi,
\[ \dfrac{2x−3}{x^3+x}=\dfrac{3x+2}{x^2+1}−\dfrac{3}{x}.\nonumber \]
En reprenant l'intégrale, nous obtenons
\ [\ begin {align*} \ int \ dfrac {2x−3} {x^3+x} \, dx &= \ int \ left (\ dfrac {3x+2} {x^2+1} − \ dfrac {3} {x} \ right) \, dx \ nonumber \ \ [4 points]
&=3 \ int \ dfrac {x} {x2^* +1} \, dx+2 \ int \ dfrac {1} {x^2+1} \, dx−3 \ int \ dfrac {1} {x} \, dx & & & \ text {Divisez l'intégrale} \ \ [4pt]
&= \ dfrac {3} {2} \ ln x^2 +1+2 \ tan^ {−1} x−3 \ ln |X|+C. & & \ text {Évaluez chaque intégrale} \ end {align*} \]
Remarque : Nous pouvons réécrire\( \ln ∣x^2+1∣=\ln (x^2+1)\), si nous le souhaitons, puisque\( x^2+1>0.\)
Évaluer\(\displaystyle \int \dfrac{\,dx}{x^3−8}.\)
Solution : Nous pouvons commencer par factoriser\( x^3−8=(x−2)(x^2+2x+4).\) Nous constatons que le facteur quadratique\( x^2+2x+4\) est irréductible car\( 2^2−4(1)(4)=−12<0.\) en utilisant la décomposition décrite dans la stratégie de résolution de problèmes, nous obtenons
\[ \dfrac{1}{(x−2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{A}{x−2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2x+4}. \nonumber \]
Après avoir obtenu un dénominateur commun et assimilé les numérateurs, cela devient
\[ 1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2). \nonumber \]
En appliquant l'une ou l'autre méthode, on obtient\( A=\dfrac{1}{12},B=−\dfrac{1}{12},\)\( C=−\dfrac{1}{3}.\)
\( \int \dfrac{\,dx}{x^3−8},\)Nous avons réécrit
\[ \int \dfrac{\,dx}{x^3−8}=\dfrac{1}{12}\int \dfrac{1}{x−2}\,dx−\dfrac{1}{12}\int \dfrac{x+4}{x^2+2x+4}\,dx. \nonumber \]
Nous pouvons voir que
\[ \int \dfrac{1}{x−2}\,dx=\ln |x−2|+C,\nonumber \]
mais
\[ \int \dfrac{x+4}{x^2+2x+4}\,dx \nonumber \]
demande un peu plus d'effort. Commençons par compléter le carré\( x^2+2x+4\) pour obtenir
\[ x^2+2x+4=(x+1)^2+3. \nonumber \]
En laissant\( u=x+1\) et par conséquent\( du=\,dx,\) nous voyons que
\ [\ begin {align*} \ int \ dfrac {x+4} {x^2+2x+4} \, dx &= \ int \ dfrac {x+4} {(x+1) ^2+3} \, dx & & \ text {Complétez le carré au dénominateur} \ \ [4pt]
&= \ int \ dfrac {u+3} {u^4pt] &= \ int \ dfrac {u+3} {u^4pt] &= \ int \ dfrac {u+3} {u^4pt] 2+3} \, du & & \ text {Substitut} u=x+1, \, x=u−1, \ text {et} du=dx \ \ [4 points]
&= \ int \ dfrac {u} {u^2+3 } du+ \ int \ dfrac {3} {u^2+3} du & & \ text {Divisez le numérateur} \ \ [4pt]
&= \ dfrac {1} {2} \ ln u^2+3+ \ dfrac {3} {\ sqrt {3}} \ tan^ {−1} \ dfrac {u} {\ sqrt {3}} +C & & \ text {Évaluez chaque intégrale} \ \ [4pt]
&= \ dfrac {1} {2} \ ln x^2+2x+4+ \ sqrt {3} \ tan^ {−1} \ left (\ dfrac {x+1} {\ sqrt {3}} \ right) +C & & \ text {Réécrivez en termes de} x \ text {et simplifiez} \ end {align*} \]
Le fait de le remplacer par l'intégrale d'origine et de le simplifier donne
\[ \int \dfrac{ \,dx}{x^3−8}=\dfrac{1}{12}\ln |x−2|−\dfrac{1}{24}\ln |x^2+2x+4|−\dfrac{\sqrt{3}}{12}\tan^{−1}\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C. \nonumber \]
Là encore, nous pouvons baisser la valeur absolue si nous le souhaitons, puisque\( x^2+2x+4>0\) pour tous\( x\).
Déterminez le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la région délimitée par le graphe de\( f(x)=\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}\) et l'axe des x sur l'intervalle\( [0,1]\) autour de l'axe des y.
Solution
Commençons par esquisser la région à faire tourner (voir Figure\(\PageIndex{1}\)). D'après le croquis, nous voyons que la méthode de la coque est un bon choix pour résoudre ce problème.
Le volume est donné par
\[ V=2π\int ^1_0x⋅\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx=2π\int ^1_0\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}\,dx. \nonumber \]
Puisque\( deg((x^2+1)^2)=4>3=deg(x^3),\) nous pouvons procéder à une décomposition par fractions partielles. Notez qu'il\( (x^2+1)^2\) s'agit d'un quadratique irréductible répété. En utilisant la décomposition décrite dans la stratégie de résolution de problèmes, nous obtenons
\[ \dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+1)^2}. \nonumber \]
Trouver un dénominateur commun et assimiler les numérateurs donne
\[ x^3=(Ax+B)(x^2+1)+Cx+D. \nonumber \]
En résolvant, nous\( D=0.\) obtenons\( A=1, B=0, C=−1,\) et en replaçant dans l'intégrale, nous avons
\[ V=2π\int _0^1\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}\,dx=2π\int _0^1\left(\dfrac{x}{x^2+1}−\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\right)\,dx=2π\left(\dfrac{1}{2}\ln (x^2+1)+\dfrac{1}{2}⋅\dfrac{1}{x^2+1}\right)\Big|^1_0=π\left(\ln 2−\tfrac{1}{2}\right). \nonumber \]
Configurez la décomposition des fractions partielles pour\[ \int \dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}\,dx. \nonumber \]
- Allusion
-
Utilisez la stratégie de résolution de problèmes.
- Réponse
-
\[ \dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x−3}+\dfrac{C}{(x−3)^2}+\dfrac{Dx+E}{x^2+4}+\dfrac{Fx+G}{(x^2+4)^2} \nonumber \]
Concepts clés
- La décomposition par fractions partielles est une technique utilisée pour décomposer une fonction rationnelle en une somme de fonctions rationnelles simples qui peuvent être intégrées à l'aide de techniques déjà apprises.
- Lors de l'application de la décomposition par fraction partielle, nous devons nous assurer que le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur. Sinon, nous devons effectuer une division longue avant de tenter une décomposition par fraction partielle.
- La forme que prend la décomposition dépend du type de facteurs du dénominateur. Les types de facteurs incluent les facteurs linéaires non répétés, les facteurs linéaires répétés, les facteurs quadratiques irréductibles non répétés et les facteurs quadratiques irréductibles répétés.
Lexique
- décomposition par fraction partielle
- technique utilisée pour décomposer une fonction rationnelle en la somme de fonctions rationnelles simples