7.3E : Exercices pour la section 7.3

Last updated
Save as PDF

Page ID: 197582

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Simplifiez les expressions des exercices 1 à 5 en écrivant chacune d'elles à l'aide d'une seule fonction trigonométrique.

1)\(4−4\sin^2θ\)

2)\(9\sec^2θ−9\)

Réponse: \(9\sec^2θ−9 \quad = \quad 9\tan^2θ\)

3)\(a^2+a^2\tan^2θ\)

4)\(a^2+a^2\sinh^2θ\)

Réponse: \(a^2+a^2\sinh^2θ \quad = \quad a^2\cosh^2θ\)

5)\(16\cosh^2θ−16\)

Utilisez la technique qui consiste à compléter le carré pour exprimer chaque trinôme des exercices 6 à 8 comme le carré d'un binôme.

6)\(4x^2−4x+1\)

Réponse: \( 4(x−\frac{1}{2})^2\)

7)\(2x^2−8x+3\)

8)\(−x^2−2x+4\)

Réponse: \( −(x+1)^2+5\)

Dans les exercices 9 à 28, intégrez en utilisant la méthode de substitution trigonométrique. Exprimez la réponse finale en fonction de la variable d'origine.

9)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{4−x^2}}\)

10)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}}\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}} \quad = \quad \ln∣x+\sqrt{−a^2+x^2}∣+C\)

11)\(\displaystyle ∫\sqrt{4−x^2}\,dx\)

(12)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{3}\ln∣\sqrt{9x^2+1}+3x∣+C\)

13)\(\displaystyle ∫\frac{x^2\,dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

(14)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}}\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1−x^2}}{x}+C\)

15)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^2}\)

16)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx \quad = \quad 9\left[\frac{x\sqrt{x^2+9}}{18}+\tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{x}{3}\right|\right]+C\)

17)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−25}}{x}\,dx\)

18)\(\displaystyle ∫\frac{θ^3}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{θ^3dθ}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ \quad = \quad −\tfrac{1}{3}\sqrt{9−θ^2}(18+θ^2)+C\)

19)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^6−x^2}}\)

(20)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx \quad = \quad \frac{(−1+x^2)(2+3x^2)\sqrt{x^6−x^8}}{15x^3}+C\)

(21)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}\)

(22)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}}\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}} \quad = \quad −\frac{x}{9\sqrt{x^2-9}}+C\)

23)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\,dx\)

(24)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\ln∣x+\sqrt{x^2−1}∣+x\sqrt{x^2−1})+C\)

25)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{x^2+4}\,dx\)

(26)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C\)

(27)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)

(28)\(\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{8}\left(x(5−2x^2)\sqrt{1−x^2}+3\arcsin x\right)+C\)

Dans les exercices 29 à 34, utilisez les substitutions\(x=\sinh θ, \, \cosh θ,\) ou\(\tanh θ.\) exprimez les réponses finales en termes de variable\(x\).

(29)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}\)

(30)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \ln x−\ln∣1+\sqrt{1−x^2}∣+C\)

31)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2−1}\,dx\)

32)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{−1+x^2}}{x}+\ln\left|x+\sqrt{−1+x^2}\right|+C\)

33)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1−x^2}\)

34)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+\text{arcsinh}\, x+C\)

Utilisez la technique qui consiste à compléter le carré pour évaluer les intégrales dans les exercices 35 à 39.

35)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2−6x}\,dx\)

36)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{1+x}+C\)

(37)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+2x+8}}\,dx\)

38)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx \quad = \quad \arcsin\left( \frac{x-5}{5}\right)+C\)

39)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x^2+4x−12}}\,dx\)

40) Évaluez l'intégrale sans utiliser de calcul :\(\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx.\)

Réponse: \(\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx \quad = \quad \frac{9π}{2}\); aire d'un demi-cercle de rayon 3

41) Trouvez la zone délimitée par l'ellipse\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1.\)

42) Évaluez l'intégrale\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\) en utilisant deux substitutions différentes. Tout d'abord\(x=\cos θ\), évaluez en utilisant la substitution trigonométrique. Deuxièmement, laissez\(x=\sin θ\) et utilisez la substitution trigonométrique. Les réponses sont-elles les mêmes ?

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \arcsin(x)+C\)est la réponse la plus courante.

43) Évaluez l'intégrale\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−1}}\) en utilisant la substitution\(x=\sec θ\). Ensuite, évaluez la même intégrale en utilisant la substitution\(x=\csc θ.\) Afficher que les résultats sont équivalents.

44) Évaluez l'intégrale\(\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx\) à l'aide du formulaire\(\displaystyle ∫\frac{1}{u}\,du\). Ensuite, évaluez la même intégrale en utilisant\(x=\tan θ.\) Les résultats sont-ils les mêmes ?

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\)est le résultat obtenu avec l'une ou l'autre méthode

45) Indiquez la méthode d'intégration que vous utiliseriez pour évaluer l'intégrale\(\displaystyle ∫x\sqrt{x^2+1}\,dx.\) Pourquoi avez-vous choisi cette méthode ?

46) Indiquez la méthode d'intégration que vous utiliseriez pour évaluer l'intégrale\(\displaystyle ∫x^2\sqrt{x^2−1}\,dx.\) Pourquoi avez-vous choisi cette méthode ?

Réponse: Utilisez la substitution trigonométrique. Laissez\(x=\sec(θ).\)

47) Évaluer\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)

48) Trouvez la longueur de l'arc de la courbe sur l'intervalle spécifié :\(y=\ln x,\quad [1,5].\) arrondissez la réponse à trois décimales.

Réponse: \( s = 4.367\)unités

49) Déterminez la surface du solide généré en faisant tourner la région délimitée par les graphes de\(y=x^2,\, y=0,\, x=0\) et\(x=\sqrt{2}\) autour de l'\(x\)axe. (Arrondissez la réponse à la troisième décimale).

50) La région délimitée par le graphe de\(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) et l'\(x\)axe -entre\(x=0\) et\(x=1\) tourne autour de l'\(x\)axe. Déterminez le volume du solide généré.

Réponse: \( V = \left(\frac{π^2}{8}+\frac{π}{4}\right) \, \text{units}^3\)

Dans les exercices 51 à 52, résolvez le problème de la valeur initiale\(y\) en fonction de\(x\).

51)\((x^2+36)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(6)=0\)

52)\((64−x^2)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(0)=3\)

Réponse: \( y=\tfrac{1}{16}\ln\left|\dfrac{x+8}{x−8}\right|+3\)

53) Trouvez la zone délimitée par\(y=\dfrac{2}{\sqrt{64−4x^2}},\, x=0,\, y=0\), et\(x=2\).

54) Un réservoir de stockage de pétrole peut être décrit comme le volume généré par la rotation de la zone délimitée par\(y=\dfrac{16}{\sqrt{64+x^2}},\, x=0,\, y=0,\, x=2\) environ l'\(x\)axe. Détermine le volume du réservoir (en mètres cubes).

Réponse: \(V = 24.6\)m ³

55) Au cours de chaque cycle, la vitesse\(v\) (en pieds par seconde) d'un dispositif de soudage robotique est donnée par\(v=2t−\dfrac{14}{4+t^2}\), où\(t\) est le temps en secondes. Trouvez l'expression du déplacement\(s\) (en pieds) en fonction de\(t\) if,\(s=0\) quand\(t=0\).

56) Détermine la longueur de la courbe\(y=\sqrt{16−x^2}\) entre\(x=0\) et\(x=2\).

Réponse: \( s = \frac{2π}{3}\)unités