7.2 : Intégrales trigonométriques
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- 197637
- Résolvez les problèmes d'intégration impliquant les produits et les pouvoirs de\(\sin x\) et\(\cos x\).
- Résolvez les problèmes d'intégration impliquant les produits et les pouvoirs de\(\tan x\) et\(\sec x\).
- Utilisez des formules de réduction pour résoudre les intégrales trigonométriques.
Dans cette section, nous verrons comment intégrer divers produits de fonctions trigonométriques. Ces intégrales sont appelées intégrales trigonométriques. Ils constituent une partie importante de la technique d'intégration appelée substitution trigonométrique, qui est présentée dans Substitution trigonométrique. Cette technique nous permet de convertir des expressions algébriques que nous ne pourrons peut-être pas intégrer en expressions impliquant des fonctions trigonométriques, que nous pouvons intégrer à l'aide des techniques décrites dans cette section. De plus, ces types d'intégrales apparaissent fréquemment lorsque nous étudions ultérieurement les systèmes de coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. Commençons notre étude avec les produits de\(\sin x\) et\(\cos x.\)
Intégrer les produits et les pouvoirs du sin x et du cos x
Une idée clé qui sous-tend la stratégie utilisée pour intégrer des combinaisons de produits et de pouvoirs de\(\sin x\) et\(\cos x\) consiste à réécrire ces expressions sous forme de sommes et de différences d'intégrales de la forme\(∫\sin^jx\cos x\,dx\) ou\(∫\cos^jx\sin x\,dx\). Après avoir réécrit ces intégrales, nous les évaluons en utilisant\(u\) -substitution. Avant de décrire le processus général en détail, examinons les exemples suivants.
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin x\,dx.\)
Solution
Utilisez\(u\) -substitution et let\(u=\cos x\). Dans ce cas,\(du=−\sin x\,dx.\)
Ainsi,
\[∫\cos^3x\sin x\,dx=−∫u^3\,du=−\frac{1}{4}u^4+C=−\frac{1}{4}\cos^4x+C.\nonumber \]
Évaluer\(\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx.\)
- Allusion
-
Laissez\(u=\sin x.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx = \frac{1}{5}\sin^5x+C\)
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^2x\sin^3x\,dx.\)
Solution
Pour convertir cette intégrale en intégrales du formulaire,\(\displaystyle ∫\cos^jx\sin x\,dx,\) réécrivez\(\sin^3x=\sin^2x\sin x\) et effectuez la substitution.\(\sin^2x=1−\cos^2x.\)
Ainsi,
\ (\ displaystyle \ begin {align*} ∫ \ cos^2x \ sin^3x \, dx &=∫ \ cos^2x (1− \ cos^2x) \ sin x \, dx & & & & \ text {Let} u= \ cos x ; \ text {alors} du=− \ sin x \, dx. \ \ [4pt]
&=−sourcil^2 (1−u−u^2) ^2) \, du \ \ [4 points]
&=∫ (u^4−u^2) \, du \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {5} u^5− \ frac {1} {3} U^3+C \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {5} \ cos^5x− \ frac {1} {3} \ cos^3x+C. \ end {align*} \)
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx.\)
- Allusion
-
Écrivez\(\cos^3x=\cos^2x\cos x=(1−\sin^2x)\cos x\) et laissez\(u=\sin x\).
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx = \frac{1}{3}\sin^3x−\frac{1}{5}\sin^5x+C\)
Dans l'exemple suivant, nous voyons la stratégie qui doit être appliquée lorsqu'il n'y a que des pouvoirs égaux de\(\sin x\) et\(\cos x\). Pour les intégrales de ce type, les identités
\[\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1−\cos(2x)}{2} \nonumber \]
et
\[\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \nonumber \]
sont inestimables. Ces identités sont parfois appelées identités réductrices de pouvoir et peuvent être dérivées de l'identité à double angle\(\cos(2x)=\cos^2x−\sin^2x\) et de l'identité pythagoricienne.\(\cos^2x+\sin^2x=1.\)
Évaluer\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx\).
Solution
Pour évaluer cette intégrale, utilisons l'identité trigonométrique.\(\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x).\) Ainsi,
\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx=∫\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx=\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}\sin(2x)+C.\)
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^2x\,dx.\)
- Allusion
-
\(\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\cos^2x\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C\)
Le processus général d'intégration des produits des pouvoirs de\(\sin x\) et\(\cos x\) est résumé dans l'ensemble de directives suivant.
Pour intégrer,\(\displaystyle \int \cos^jx\sin^kx\,dx\) utilisez les stratégies suivantes :
1. Si\(k\) c'est étrange, réécrivez\(\sin^kx=\sin^{k−1}x\sin x\) et utilisez l'identité\(\sin^2x=1−\cos^2x\) pour réécrire\(\sin^{k−1}x\) en termes de\(\cos x\). Intégrez en utilisant la substitution\(u=\cos x\). Cette substitution fait\(du=−\sin x\,dx.\)
2. Si\(j\) c'est étrange, réécrivez\(\cos^jx=\cos^{j−1}x\cos x\) et utilisez l'identité\(\cos^2x=1−\sin^2x\) pour réécrire\(\cos^{j−1}x\) en termes de\(\sin x\). Intégrez en utilisant la substitution\(u=\sin x\). Cette substitution fait\(du=\cos x\,dx.\) (Remarque : si les deux\(j\) et\(k\) sont impairs, la stratégie 1 ou la stratégie 2 peuvent être utilisées.)
3. Si\(j\) les deux\(k\) sont égaux, utilisez\(\sin^2x=\dfrac{1−\cos(2x)}{2}\) et\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\). Après avoir appliqué ces formules, simplifiez et réappliquez les stratégies 1 à 3, le cas échéant.
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^8x\sin^5x\,dx.\)
Solution
Comme la mise sous tension\(\sin x\) est étrange, utilisez la stratégie 1. Ainsi,
\ (\ displaystyle \ begin {align*} ∫ \ cos^8x \ sin^5x \, dx &=∫ \ cos^8x \ sin^4x \ sin x \, dx & & & \ text {Pause} \ sin x. \ \ [4pt]
&=∫ \ cos^8x (\ sin^2x) ^2 \ sin x \, dx & & \ text {Réécriture} \ sin^4x= (\ sin^2x) ^2. \ \ [4 points]
&=∫ \ cos^8x (1− \ cos^2x) ^2 \ sin x \, dx & & \ text { Substitut} \ sin^2x=1− \ cos^2x. \ \ [4pt]
&=lu^8 (1−u^2) ^2 (−du) & & \ text {Let} u= \ cos x \ text {et} du=− \ sin x \, dx. \ \ [4 points]
&=∫ (−u^8+2u^ {10} −u^ {12}) du & & \ text {Développer.} \ \ [4 points]
&=− \ frac {1} {9} u^9+ \ frac {2} {11} u^ {11} − \ frac {1} {13} u^ {13} u^ {13} +C & & ; \ text {Évaluez l'intégrale.} \ \ [4pt]
&=− \ frac {1} {9} \ cos^9x+ \ frac {2} {11} \ cos^ {11} x− \ frac {1} {13} \ cos^ {13} x+C & & \ text {Substitut} u= \ cos x. \ end {align*} \)
Évaluer\(\displaystyle ∫\sin^4x\,dx.\)
Solution : Puisque l'alimentation\(\sin x\) est uniforme\((k=4)\) et que l'alimentation\(\cos x\) est uniforme,\((j=0),\) nous devons utiliser la stratégie 3. Ainsi,
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ sin^4x \, dx &=∫ \ left (\ sin^2x \ right) ^2 \, dx & & & \ text {Réécriture} \ sin^4x= \ left (\ sin^2x \ right) ^2. \ \ [4 points]
&=∫ \ left (\ frac {1} {2} − \ frac {1} 2} \ cos (2x) \ right) ^2 \, dx & & \ text {Substitut} \ sin^2x= \ frac {1} {2} − \ frac {1} {2} \ cos (2x). \ \ [4 points]
& =∫ \ left (\ frac {1} {4} − \ frac {1} {2} \ cos (2x) + \ frac {1} {4} \ cos^2 (2x) \ right) \, dx & & & & \ text {Expand} \ left (\ frac {1} {2} − \ frac {1} {2} \ cos (2x) \ droite) ^2 \. [4pt]
&=∫ \ left (\ frac {1} {4} − \ frac {1} {2} \ cos (2x) + \ frac {1} {4} \ left (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ cos (4x) \ right) \, dx & & \ text {Depuis} \ cos^2 (2x) ) \ text {a un pouvoir égal, substitut} \ cos^2 (2x) = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ cos (4x). \ \ [4pt]
&=∫ \ left (\ frac {3} {8} − \ frac {1} {2} \ cos (2x) + \ frac {1} {8} {8} {8}} − \ frac {1} {8} {8} − \ frac {1} {2} \ cos (4x) x) \ right) \, dx & & \ text {Simplifier.} \ \ [4 points]
&= \ frac {3} {8} x− \ frac {1} {4} \ sin (2x) + \ frac {1} {32} \ sin (4x) +C & & \ text { Évaluez l'intégrale.} \ \ [4pt] \ end {align*} \)
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx.\)
- Allusion
-
Utilisez la stratégie 2. Écrire\(\cos^3x=\cos^2x\cos x\) et remplacer\(\cos^2x=1−\sin^2x.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx = \sin x−\frac{1}{3}\sin^3x+C\)
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx.\)
- Allusion
-
Utilisez la stratégie 3. substitut\(\cos^2(3x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin(6x)+C\)
Dans certains domaines de la physique, tels que la mécanique quantique, le traitement du signal et le calcul des séries de Fourier, il est souvent nécessaire d'intégrer des produits qui incluent\(sin(ax), sin(bx), cos(ax),\) et\(cos(bx).\) Ces intégrales sont évaluées en appliquant des identités trigonométriques, comme indiqué dans la règle suivante.
Intégrer des produits impliquant\(\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),\) et\(\cos(bx),\) utiliser les substitutions
\[\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber \]
\[\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x) \nonumber \]
\[\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber \]
Ces formules peuvent être dérivées des formules de somme des angles pour le sinus et le cosinus.
Évaluer\(\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx.\)
Solution : Appliquez l'identité\(\sin(5x)\cos(3x)=\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x).\) Ainsi,
\(\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx=∫\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x)\,dx=−\frac{1}{4}\cos(2x)−\frac{1}{16}\cos(8x)+C.\)
Évaluer\(\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx.\)
- Allusion
-
substitut\(\cos(6x)\cos(5x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos(11x).\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx = \frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{22}\sin(11x)+C\)
Intégrer les produits et les pouvoirs de\(\tan x\) et\(\sec x\)
Avant de discuter de l'intégration des produits et des pouvoirs de\(\tan x\) et\(\sec x\), il est utile de rappeler les intégrales impliquant\(\tan x\) et\(\sec x\) nous avons déjà appris :
1. \(\displaystyle ∫\sec^2x\,dx=\tan x+C\)
2. \(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx=\sec x+C\)
3. \(\displaystyle ∫\tan x\,dx=\ln|\sec x|+C\)
4. \(\displaystyle ∫\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C.\)
Pour la plupart des intégrales des produits et des puissances de\(\tan x\) et\(\sec x\), nous réécrivons l'expression que nous souhaitons intégrer comme la somme ou la différence des intégrales de la forme\(\displaystyle ∫\tan^jx\sec^2x\,dx\) ou\(\displaystyle ∫\sec^jx\tan x\,dx\). Comme nous le voyons dans l'exemple suivant, nous pouvons évaluer ces nouvelles intégrales en utilisant la substitution u.
Évaluer\(\displaystyle ∫\sec^5 x\tan x\,dx.\)
Solution : Commencez par réécrire en\(\sec^5 x\tan x\) tant que\(\sec^4 x\sec x\tan x.\)
\ (\ displaystyle \ begin {align*} ∫ \ sec^5x \ tan x \, dx &= ∫ \ sec^4 x \ sec x \ tan x \, dx \ \ [4pt]
&=uru^4 \, du & & \ text {Let} u= \ sec x ; \, \ text {alors}, \, du= \ sec x \ tan x \, dx \ [4pt]
&= \ tfrac {1} {5} u^5+C & & \ text {Évaluez l'intégrale.} \ \ [4 points]
&= \ tfrac {1} {5} \ sec^5 x+C & & \ text {Substitut} \ sec x=u. \ end {align*} \)
Vous pouvez lire des informations intéressantes sur ce site Web pour en savoir plus sur une intégrale commune impliquant la sécante.
Évaluer\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx.\)
- Allusion
-
Laissez\(u=\tan x\) et\(du=\sec^2 x.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx = \tfrac{1}{6}\tan^6x+C\)
Nous examinons maintenant les différentes stratégies d'intégration des produits et des pouvoirs de\(\sec x\) et\(\tan x.\)
Pour intégrer,\(\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx,\) utilisez les stratégies suivantes :
1. Il\(j\) est pair et\(j≥2,\) réécrit\(\sec^jx=\sec^{j−2}x\sec^2x\) et utilisé\(\sec^2x=\tan^2x+1\) pour réécrire\(\sec^{j−2}x\) en termes de\(\tan x\). Laissez\(u=\tan x\) et\(du=\sec^2x.\)
2. Si\(k\) est impair et\(j≥1\), réécrivez\(\tan^kx\sec^jx=\tan^{k−1}x\sec^{j−1}x\sec x\tan x\) et utilisez\(\tan^2x=\sec^2x−1\) pour réécrire\(\tan^{k−1}x\) en termes de\(\sec x\). Laissons\(u=\sec x\) et\(du=\sec x\tan x\,dx.\) (Remarque : si\(j\) c'\(k\)est pair et impair, alors la stratégie 1 ou la stratégie 2 peuvent être utilisées.)
3. C'\(k\)est étrange où\(k≥3\) et\(j=0\), réécrivez\(\tan^kx=\tan^{k−2}x\tan^2x=\tan^{k−2}x(\sec^2x−1)=\tan^{k−2}x\sec^2x−\tan^{k−2}x.\) Il peut être nécessaire de répéter ce processus sur le\(\tan^{k−2}x\) terme.
4. S'il\(k\) est pair et\(j\) impair, utilisez-le\(\tan^2x=\sec^2x−1\) pour exprimer\(\tan^kx\) en termes de\(\sec x\). Utilisez l'intégration par parties pour intégrer des puissances étranges de\(\sec x.\)
Évaluer\(\displaystyle ∫\tan^6x\sec^4x\,dx.\)
Solution
Puisque la mise sous tension\(\sec x\) est uniforme, réécrivez\(\sec^4x=\sec^2x\sec^2x\) et\(\sec^2x=\tan^2x+1\) utilisez-la pour réécrire la première\(\sec^2x\) en termes de\(\tan x.\) Ainsi,
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ tan^6x \ sec^4x \, dx &=∫ \ tan^6x (\ tan^2x+1) \ sec^2x \, dx \ \ [4pt]
&=gu^6 (u^2+1) \, du & \ text {Let} u= \ tan x \ text {et} du= \ sec^2+1) \, du & \ text {Let} u= \ tan x \ text {et} du= \ sec^2x \. \ [4 points]
&=∫ (u^8+u^6) \, du & & \ text {Développer.} \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {9} u^9+ \ frac {1} {7} u^ 7+C & & \ text {Évaluez l'intégrale.} \ \ [4pt]
&= \ frac {1} {9} \ tan^9x+ \ frac {1} {7} \ tan^7x+C. & & & \ text {Substitut} \ tan x=u. \ end {align*} \)
Évaluer\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^3x\,dx.\)
Solution
Puisque la mise sous tension\(\tan x\) est étrange, commencez par réécrire\(\tan^5x\sec^3x=\tan^4x\sec^2x\sec x\tan x.\) Ainsi,
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ tan^5x \ sec^3x \, dx&= \ tan^4x \ sec^2x \ sec x \ tan x. \ \ [4pt]
&=∫ (\ tan^2x) ^2 \ sec^2x \ sec x \ tan x \ tan x \, dx & & \ text {Écrire} \ tan^4x =( \ tan^2x) ^2. \ \ [4 points]
&=∫ (\ sec^2x−1) ^2 \ sec^2x \ sec x \ tan x \, dx & & \ text {Utiliser} \ tan^2x= \ sec^2x−1. \ \ [4 points]
&=∫ (u^2−1) ^2u^2du & & \ text {Let} u= \ sec x \ text {et} du= \ sec x \ tan x \, dx \ \ [4 points]
&=∫ (u^6−2u^4+u^2) du & & \ text {Expand.} \ \ [4 points] &= \ frac {1} {7} u^2) du & & \ text {Expand.} \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {7} u^2) du & & \ text {Expand.} ^7− \ frac {2} {5} u^5+ \ frac {1} {3} u^3+C & & \ text {Intégrer.} \ \ [4 points]
&= \ frac {1 } {7} \ sec^7x− \ frac {2} {5} \ sec^5x+ \ frac {1} {3} \ sec^3x+C & & & \ text {Substitut} \ sec x=u. \ end {align*} \)
Évaluer\(\displaystyle ∫\tan^3x\,dx.\)
Solution
Commencez par réécrire\(\tan^3x=\tan x\tan^2x=\tan x(\sec^2x−1)=\tan x\sec^2x−\tan x.\) Ainsi,
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ tan^3x \, dx &= ∫ (\ tan x \ sec^2x− \ tan x) \, dx \ \ [4 points]
&=∫ \ tan x \ sec^2x \, dx−∫ \ tan x \, dx \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {2} \ tan^2x− \ ln | sec x|+c. \ end {align*} \)
Pour la première intégrale, utilisez la substitution\(u=\tan x.\) Pour la deuxième intégrale, utilisez la formule.
Intégrer\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.\)
Solution
Cette intégrale nécessite une intégration par pièces. Pour commencer, laissez\(u=\sec x\) et\(dv=\sec^2x\). Ces choix font\(du=\sec x\tan x\) et\(v=\tan x\). Ainsi,
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ sec^3x \, dx &= \ sec x \ tan x−∫ \ tan x \ sec x \ tan x \, dx \ \ [4 points]
&= \ sec x \ tan x−∫ \ tan^2x \ sec x \, dx & & \ text {Simplifier.} \ \ [4 points]
&= \ sec x \ tan x−∫ (\ sec^2x−1) \ sec x \, dx & & \ text {Substitut} \ tan^2x= \ sec^2x−1. \ \ [4 points]
& amp ; = \ sec x \ tan x+∫ \ sec x \, dx−∫ \ sec^3x \, dx & & \ text {Réécriture.} \ \ [4 points]
&= \ sec x \ tan x+ \ ln| \ sec x+ \ tan x|−∫ \ sec^3x \, dx. & & \ text {Évaluer} ∫ \ sec x \, dx. \ end {align*} \)
Nous avons maintenant
\[∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|−∫\sec^3x\,dx.\nonumber \]
Puisque l'intégrale est\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\) réapparue sur le côté droit, nous pouvons la résoudre\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\) en l'ajoutant des deux côtés. Ce faisant, nous obtenons
\[2∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|.\nonumber \]
En divisant par 2, on arrive à
\[∫\sec^3x\,dx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C\nonumber \]
Évaluer\(\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx.\)
- Allusion
-
Utilisez Example\(\PageIndex{9}\) comme guide.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx = \frac{1}{9}\sec^9x−\frac{1}{7}\sec^7x+C\)
FORMULES DE RÉDUCTION
L'évaluation\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx\) des valeurs\(n\) où\(n\) est impair nécessite une intégration par parties. De plus, nous devons également connaître l'intérêt\(\displaystyle ∫\sec^{n−2}x\,dx\) d'évaluer\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx\). L'évaluation de nécessite\(\displaystyle ∫\tan^nx\,dx\) également de pouvoir intégrer\(\displaystyle ∫\tan^{n−2}x\,dx\). Pour faciliter le processus, nous pouvons dériver et appliquer les formules de réduction de puissance suivantes. Ces règles nous permettent de remplacer l'intégrale d'une puissance de\(\sec x\) ou\(\tan x\) par l'intégrale d'une puissance inférieure de\(\sec x\) ou\(\tan x.\)
\[∫\sec^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x\tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx \nonumber \]
\[∫\tan^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx \nonumber \]
La première règle de réduction de puissance peut être vérifiée en appliquant une intégration par parties. La seconde peut être vérifiée en suivant la stratégie décrite pour intégrer les puissances impaires de\(\tan x.\)
Appliquez une formule de réduction pour évaluer\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.\)
Solution : En appliquant la première formule de réduction, nous obtenons
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ sec^3x \, dx &= \ frac {1} {2} \ sec x \ tan x+ \ frac {1} {2} ∫ \ sec x \, dx \ \ [4 points] &= \ frac {1} {2} \ sec x \ tan x+ \ frac {1} {2} \ ln| \ frac {1} {1} [4 pt]
&= \ frac {1} {1} [4 pt] &= \ frac {1} {1} [4 pt] &= \ frac {+ \ tan x|+c. \ end {align*} \)
Évaluer\(\displaystyle ∫\tan^4x\,dx.\)
Solution : En appliquant la formule de réduction,\(∫\tan^4x\,dx\) nous avons
\ (\ begin {align*} \ displaystyle ∫ \ tan^4x \, dx &= \ frac {1} {3} \ tan^3x−∫ \ tan^2x \, dx \ \ [4pt]
&= \ frac {1} {3} \ tan^3x− (\ tan x−∫ \ tan^0x \, dx) & & \ text {Appliquer la formule de réduction vers} ∫ \ tan^2x \, dx. \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {3} \ tan^3x− \ tan x+réf \ 1 \, dx & & \ text {Simplifier.} \ \ [4 points]
&= \ frac {1} {3} \ tan^3x− \ tan x+x+C & & \ text {Évaluer} 1 \, dx \ end {align*} \)
Appliquez la formule de réduction à\(\displaystyle ∫\sec^5x\,dx.\)
- Allusion
-
Utilisez la formule de réduction 1 et laissez\(n=5.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\sec^5x\,dx=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}∫\sec^3x\)
Concepts clés
Les intégrales des fonctions trigonométriques peuvent être évaluées à l'aide de diverses stratégies. Ces stratégies incluent
- Appliquer des identités trigonométriques pour réécrire l'intégrale afin qu'elle puisse être évaluée par\(u\) substitution
- Utilisation de l'intégration par pièces
- Appliquer des identités trigonométriques pour réécrire les produits des sinus et des cosinus avec différents arguments sous forme de somme des fonctions sinusoïdales et cosinusoïdales individuelles
- Appliquer des formules de réduction
Équations clés
Intégrer les produits impliquant\(\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),\) et\(\cos(bx),\) utiliser les substitutions.
- Produits Sine
\(\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x)\)
- Produits Sine et Cosine
\(\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x)\)
- Produits Cosine
\(\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x)\)
- Formule de réduction de puissance
\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x \tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx\)
- Formule de réduction de puissance
\(\displaystyle ∫\tan^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx\)
Lexique
- formule de réduction de puissance
- une règle qui permet d'échanger une intégrale d'une puissance d'une fonction trigonométrique contre une intégrale impliquant une puissance inférieure
- intégrale trigonométrique
- une intégrale impliquant les puissances et les produits des fonctions trigonométriques