7 : Techniques d'intégration
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Nous avons vu dans le chapitre précédent à quel point l'intégration peut être importante pour toutes sortes de sujets différents, qu'il s'agisse du calcul des volumes ou des débits, de l'utilisation d'une fonction de vitesse pour déterminer une position ou de la localisation des centres de masse. Il n'est donc pas surprenant que les techniques permettant de trouver des antidérivés (ou intégrales indéfinies) soient importantes à connaître pour tous ceux qui les utilisent. Nous avons déjà discuté de certaines formules d'intégration de base et de la méthode d'intégration par substitution. Dans ce chapitre, nous étudions certaines techniques supplémentaires, y compris certaines manières d'approximer des intégrales définies lorsque les techniques normales ne fonctionnent pas.
- 7.0 : Prélude aux techniques d'intégration
- Dans une grande ville, un accident se produit en moyenne tous les trois mois à une intersection particulièrement fréquentée. À la suite de plaintes de résidents, des modifications ont été apportées aux feux de circulation à l'intersection. Cela fait maintenant huit mois que les modifications ont été apportées et il n'y a eu aucun accident. Les modifications ont-elles été efficaces ou l'intervalle de huit mois sans accident est-il le résultat du hasard ? Nous aborderons cette question plus loin dans ce chapitre et voyons que l'intégration est un élément essentiel de la détermination
- 7.1 : Intégration par pièces
- L'avantage de l'utilisation de la formule d'intégration par parties est que nous pouvons l'utiliser pour échanger une intégrale par une autre intégrale, peut-être plus simple.
- 7.2 : Intégrales trigonométriques
- La substitution trigonométrique est une technique d'intégration qui nous permet de convertir des expressions algébriques que nous ne pourrons peut-être pas intégrer en expressions impliquant des fonctions trigonométriques, que nous pouvons intégrer à l'aide des techniques décrites dans cette section. De plus, ces types d'intégrales apparaissent fréquemment lorsque nous étudions ultérieurement les systèmes de coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. Commençons notre étude avec les produits de sin x et cos x.
- 7.3 : Substitution trigonométrique
- La technique de substitution trigonométrique est très pratique pour évaluer les intégrales de certaines formes. Cette technique utilise la substitution pour réécrire ces intégrales en intégrales trigonométriques.
- 7.4 : Fractions partielles
- Dans cette section, nous examinons la méthode de décomposition des fractions partielles, qui nous permet de décomposer les fonctions rationnelles en sommes de fonctions rationnelles plus simples et plus faciles à intégrer.
- 7.5 : Autres stratégies d'intégration
- Outre les techniques d'intégration que nous avons déjà vues, plusieurs autres outils sont largement disponibles pour faciliter le processus d'intégration. Parmi ces outils figurent les tableaux d'intégration, qui sont facilement disponibles dans de nombreux livres, y compris les annexes de celui-ci. Les systèmes d'algèbre informatique (CAS), que l'on trouve sur les calculatrices et dans de nombreux laboratoires informatiques du campus, sont également largement disponibles et sont gratuits en ligne.
- 7.6 : Intégration numérique
- Les antidérivés de nombreuses fonctions ne peuvent pas être exprimés ou ne peuvent pas être exprimés facilement sous forme fermée (c'est-à-dire en termes de fonctions connues). Par conséquent, plutôt que d'évaluer directement les intégrales définies de ces fonctions, nous avons recours à diverses techniques d'intégration numérique pour approximer leurs valeurs. Dans cette section, nous explorons plusieurs de ces techniques. De plus, nous examinons le processus d'estimation de l'erreur à l'aide de ces techniques.
- 7.7 : Intégrales incorrectes
- Dans cette section, nous définissons des intégrales sur un intervalle infini ainsi que des intégrales de fonctions contenant une discontinuité sur l'intervalle. Les intégrales de ces types sont appelées intégrales incorrectes. Nous examinons plusieurs techniques pour évaluer les intégrales incorrectes, qui impliquent toutes de prendre des limites.