6.9E : Exercices pour la section 6.9
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1) [T] Recherchez des expressions pour\(\cosh x+\sinh x\) et\(\cosh x−\sinh x.\) utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement ces fonctions et assurez-vous que votre expression est correcte.
- Réponse
- \(e^x\)et\(e^{−x}\)
2) À partir des définitions de\(\cosh(x)\) et\(\sinh(x)\), trouvez leurs antidérivés.
3) Montrez cela\(\cosh(x)\) et\(\sinh(x)\) satisfaites\( y''=y\).
- Réponse
- Les réponses peuvent varier
4) Utilisez la règle du quotient pour vérifier que\(\dfrac{d}{dx}\big(\tanh(x)\big)=\text{sech}^2(x).\)
5) Dériver\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)=\cosh(2x)\) de la définition.
- Réponse
- Les réponses peuvent varier
6) Prenez la dérivée de l'expression précédente pour trouver une expression pour\(\sinh(2x)\).
7) Prouvez\(\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\) en remplaçant l'expression par des exponentielles.
- Réponse
- Les réponses peuvent varier
8) Prenez la dérivée de l'expression précédente pour trouver une expression pour\(\cosh(x+y).\)
Dans les exercices 9 à 18, trouvez les dérivées des fonctions données et tracez un graphique avec la fonction pour vous assurer que votre réponse est correcte.
9) [T]\(\cosh(3x+1)\)
- Réponse
- \(3\sinh(3x+1)\)
10) [T]\(\sinh(x^2)\)
11) [T]\(\dfrac{1}{\cosh(x)}\)
- Réponse
- \(−\tanh(x)\text{sech}(x)\)
12) [T]\(\sinh(\ln(x))\)
13) [T]\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)\)
- Réponse
- \(4\cosh(x)\sinh(x)\)
14) [T]\(\cosh^2(x)−\sinh^2(x)\)
15) [T]\(\tanh(\sqrt{x^2+1})\)
- Réponse
- \(\dfrac{x\text{sech}^2(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\)
16) [T]\(\dfrac{1+\tanh(x)}{1−\tanh(x)}\)
17) [T]\(\sinh^6(x)\)
- Réponse
- \(6\sinh^5(x)\cosh(x)\)
18) [T]\(\ln(\text{sech}(x)+\tanh(x))\)
Dans les exercices 19 à 28, trouvez les antidérivés pour les fonctions données.
19)\(\cosh(2x+1)\)
- Réponse
- \(\frac{1}{2}\sinh(2x+1)+C\)
(20)\(\tanh(3x+2)\)
(21)\(x\cosh(x^2)\)
- Réponse
- \(\frac{1}{2}\sinh^2(x^2)+C\)
22)\(3x^3\tanh(x^4)\)
23)\(\cosh^2(x)\sinh(x)\)
- Réponse
- \(\frac{1}{3}\cosh^3(x)+C\)
(24)\(\tanh^2(x)\text{sech}^2(x)\)
25)\(\dfrac{\sinh(x)}{1+\cosh(x)}\)
- Réponse
- \(\ln(1+\cosh(x))+C\)
26)\(\coth(x)\)
(27)\(\cosh(x)+\sinh(x)\)
- Réponse
- \(\cosh(x)+\sinh(x)+C\)
28)\((\cosh(x)+\sinh(x))^n\)
Dans les exercices 29 à 35, trouvez les dérivées des fonctions.
(29)\(\tanh^{−1}(4x)\)
- Réponse
- \(\dfrac{4}{1−16x^2}\)
(30)\(\sinh^{−1}(x^2)\)
31)\(\sinh^{−1}(\cosh(x))\)
- Réponse
- \(\dfrac{\sinh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)+1}}\)
32)\(\cosh^{−1}(x^3)\)
33)\(\tanh^{−1}(\cos(x))\)
- Réponse
- \(−\csc(x)\)
34)\(e^{\sinh^{−1}(x)}\)
35)\(\ln(\tanh^{−1}(x))\)
- Réponse
- \(−\dfrac{1}{(x^2−1)\tanh^{−1}(x)}\)
Dans les exercices 36 à 42, trouvez les antidérivés pour les fonctions.
36)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{4−x^2}\)
(37)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{a^2−x^2}\)
- Réponse
- \(\dfrac{1}{a}\tanh^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)+C\)
38)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\)
39)\(\displaystyle ∫\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}\)
- Réponse
- \(\sqrt{x^2+1}+C\)
40)\(\displaystyle ∫−\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)
41)\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−1}}\)
- Réponse
- \(\cosh^{−1}(e^x)+C\)
42)\(\displaystyle ∫−\frac{2x}{x^4−1}\)
Dans les exercices 43 à 45, utilisez le fait qu'un corps qui tombe avec une friction égale à la vitesse au carré obéit à l'équation\(\dfrac{dv}{dt}=g−v^2\).
43) Montrez que cela\(v(t)=\sqrt{g}\tanh(\sqrt{g}t)\) répond à cette équation.
- Réponse
- Les réponses peuvent varier
44) Dérivez l'expression précédente pour\(v(t)\) en intégrant\(\dfrac{dv}{g−v^2}=dt\).
45) [T] Estimez la distance parcourue par un corps en\(12\) quelques secondes en trouvant la zone située sous la courbe de\(v(t)\).
- Réponse
- \(37.30\)
Dans les exercices 46 à 48, utilisez ce scénario : un câble suspendu sous son propre poids a une pente\(S=\dfrac{dy}{dx}\) satisfaisante\(\dfrac{dS}{dx}=c\sqrt{1+S^2}\). La constante\(c\) est le rapport entre la densité du câble et la tension.
46) Montrez que cela\(S=\sinh(cx)\) répond à cette équation.
47) Intégrez\(\dfrac{dy}{dx}=\sinh(cx)\) pour trouver la hauteur du câble\(y(x)\) si\(y(0)=1/c\).
- Réponse
- \(y=\frac{1}{c}\cosh(cx)\)
48) Esquissez le câble et déterminez jusqu'où il s'affaisse\(x=0\).
Dans les exercices 49 à 52, résolvez chaque problème.
49) [T] Une chaîne est suspendue à deux poteaux distants de\(2\) m pour former une caténaire décrite par l'équation\(y=2\cosh(x/2)−1\). Trouvez la pente de la caténaire au niveau du poteau de clôture gauche.
- Réponse
- \(−0.521095\)
50) [T] Une chaîne est suspendue à deux poteaux distants de quatre mètres pour former une caténaire décrite par l'équation\(y=4\cosh(x/4)−3.\) Trouvez la longueur totale de la caténaire (longueur de l'arc).
51) [T] Une ligne à haute tension est une caténaire décrite par\(y=10\cosh(x/10)\). Détermine le rapport entre la surface située sous la caténaire et la longueur de son arc. Qu'est-ce que tu remarques ?
- Réponse
- \(10\)
52) Une ligne téléphonique est une caténaire décrite par\(y=a\cosh(x/a).\) Trouver le rapport entre la surface située sous la caténaire et la longueur de son arc. Cela confirme-t-il votre réponse à la question précédente ?
53) Prouver la formule de la dérivée de\(y=\sinh^{−1}(x)\) en différenciant\(x=\sinh(y).\)
(Conseil : utilisez des identités trigonométriques hyperboliques.)
54) Prouver la formule de la dérivée de\(y=\cosh^{−1}(x)\) en différenciant\(x=\cosh(y).\)
(Conseil : utilisez des identités trigonométriques hyperboliques.)
55) Prouvez la formule de la dérivée de\(y=\text{sech}^{−1}(x)\) en différenciant\(x=\text{sech}(y).\)
(Conseil : utilisez des identités trigonométriques hyperboliques.)
56) Prouvez que\(\cosh(x)+\sinh(x))^n=\cosh(nx)+\sinh(nx).\)
57) Prouvez l'expression pour\(\sinh^{−1}(x).\) Multiplier\(x=\sinh(y)=\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}\) par\(2e^y\) et résolvez pour\(y\). Votre expression correspond-elle au manuel ?
58) Prouvez l'expression pour\(\cosh^{−1}(x).\) Multiplier\(x=\cosh(y)=\dfrac{e^y+e^{−y}}{2}\) par\(2e^y\) et résolvez pour\(y\). Votre expression correspond-elle au manuel ?