6.8E : Exercices pour la section 6.8

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Dans les exercices 1 à 2, répondez Vrai ou Faux ? Si c'est vrai, prouve-le. Si faux, trouvez la vraie réponse.

1) Le temps de doublement pour$y=e^{ct}$ est$\dfrac{\ln 2}{\ln c}$.

2) Si vous investissez$$500$, un taux d'intérêt annuel$3\%$ rapporte plus d'argent la première année qu'un taux d'intérêt$2.5\%$ continu.

Réponse: Vrai

3) Si vous laissez une$100°C$ théière à température ambiante ($25°C$) et une casserole identique au réfrigérateur$(5°C)$, avec$k=0.02$, le thé au réfrigérateur atteint une température buvable$(70°C)$ plus de$5$ minutes avant le thé à température ambiante.

4) Si l'on donne une demi-vie de t ans, la constante$k$ pour$y=e^{kt}$ est calculée par$k=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{t}$.

Réponse: Faux ;$k=\dfrac{\ln 2}{t}$

Dans les exercices 5 à 18, utilisez$y=y_0e^{kt}.$

5) Si une culture de bactéries double en$3$ quelques heures, combien d'heures faut-il pour la multiplier$10$ ?

6) Si les bactéries augmentent d'un facteur$10$ en$10$ heures, combien d'heures faut-il pour augmenter$100$ ?

Réponse: $20$heures

7) Quel âge a un crâne qui contient un cinquième de radiocarbone qu'un crâne moderne ? Notez que la demi-vie du radiocarbone est de$5730$ plusieurs années.

8) Si une$90\%$ relique contient autant de radiocarbone que de nouvelles matières, peut-elle provenir de l'époque du Christ (il y a environ des$2000$ années) ? Notez que la demi-vie du radiocarbone est de$5730$ plusieurs années.

Réponse: Non. La relique a environ$871$ 5 ans.

9) La population du Caire est passée d'un$5$ million à un$10$ million en quelques$20$ années. Utilisez un modèle exponentiel pour déterminer à quel moment la population était de$8$ millions d'habitants.

10) Les populations de New York et de Los Angeles augmentent respectivement à$1\%$ et$1.4\%$ un an. À partir de$8$ millions (New York) et de$6$ millions (Los Angeles), quand les populations sont-elles égales ?

Réponse: $71.92$ans

11) Supposons que la$$1$ valeur en yen japonais diminue$2\%$ chaque année. À partir de$$1=¥250$, quand le$$1=¥1$ fera-t-il ?

12) L'effet de la publicité diminue de façon exponentielle. Si une$40\%$ partie de la population se souvient d'un nouveau produit après des$3$ jours, combien de temps s'en$20\%$ souviendra-t-elle ?

Réponse: $5$jours$6$ heures$27$ minutes

13) Si$y=1000$ à$t=3$ et à$t=4$,$y=3000$ à quoi s'$y_0$agissait-il$t=0$ ?

14) Si$y=100$ à$t=4$ et$y=10$ à$t=8$, quand est-ce que c'est le cas$y=1$ ?

Réponse: À$t = 12$

15) Si une banque offre un intérêt annuel$7.5\%$ ou un intérêt continu$7.25\%,$ dont le rendement annuel est meilleur ?

16) Quel taux d'intérêt continu a le même rendement qu'un taux annuel de$9\%$ ?

Réponse: $8.618\%$

17) Si vous effectuez un dépôt$$5000$ à intérêt$8\%$ annuel, pendant combien d'années pouvez-vous effectuer un retrait$$500$ (à compter de la première année) sans manquer d'argent ?

18) Vous essayez d'économiser$$50,000$ en$20$ années pour les frais de scolarité universitaires de votre enfant. Si l'intérêt est continu,$10\%,$ combien devez-vous investir dans un premier temps ?

Réponse: 6766,76$

19) Vous êtes en train de refroidir une dinde sortie du four avec une température interne de$165°F$. Après$10$ quelques minutes de repos de la dinde dans un$70°F$ appartement, la température est atteinte$155°F$. Quelle est la température de la dinde$20$ quelques minutes après sa sortie du four ?

20) Vous essayez de décongeler des légumes à une température de$1°F$. Pour décongeler les légumes en toute sécurité, vous devez les mettre au réfrigérateur, dont la température ambiante est de$44°F$. Vous examinez vos légumes$2$ quelques heures après les avoir mis au réfrigérateur pour vous assurer qu'ils le sont maintenant$12°F$. Tracez la courbe de température résultante et utilisez-la pour déterminer à quel moment les légumes atteignent$33°$.

Réponse: $9$heures$13$ minutes

21) Vous êtes archéologue et vous recevez un os censé provenir d'un Tyrannosaure Rex. Vous savez que ces dinosaures vivaient au Crétacé (il y a des$146$ millions d'années à des$65$ millions d'années), et vous découvrez par datation au radiocarbone qu'il existe$0.000001\%$ une quantité de radiocarbone. Cet os vient-il du Crétacé ?

22) Le combustible usé d'un réacteur nucléaire contient du plutonium 239, dont la demi-vie est de$24,000$ plusieurs années. Si un$1$ baril contenant un$10$ kg de plutonium 239 est scellé, combien d'années doivent s'écouler avant qu'il ne reste plus que 1$10$ g de plutonium 239 ?

Réponse: $239,179$ans

Pour les exercices 23 à 26, utilisez le tableau suivant, qui présente la population mondiale par décennie.

Années depuis 1950	Population (millions)
0	2 556
10	3 039
20	3 706
30	4 453
40	5 279
50	6 083
60	6 849

Une source : http:/www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.

23) [T] La courbe exponentielle la mieux adaptée aux données du formulaire$P(t)=ae^{bt}$ est donnée par$P(t)=2686e^{0.01604t}$. Utilisez une calculatrice graphique pour représenter graphiquement les données et la courbe exponentielle ensemble.

24) [T] Trouvez et tracez la dérivée$y′$ de votre équation. Où augmente-t-elle et quelle est la signification de cette augmentation ?

Réponse: $P'(t)=43e^{0.01604t}$. La population ne cesse d'augmenter.

25) [T] Trouvez et tracez la dérivée seconde de votre équation. Où augmente-t-elle et quelle est la signification de cette augmentation ?

26) [T] Trouvez la date prévue à laquelle la population atteindra le$10$ milliard d'habitants. À l'aide de vos réponses précédentes concernant les première et deuxième dérivées, expliquez pourquoi la croissance exponentielle ne permet pas de prédire l'avenir.

Réponse: La population atteint des$10$ milliards de personnes en$2027$.

Pour les exercices 27 à 29, utilisez le tableau suivant, qui montre la population de San Francisco au XIXe siècle.

Années depuis 1850	Population (en milliers)
0	21h00
10	56,80
20	149,5
30	234,0

Une source : http:/www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.

27) [T] La courbe exponentielle la mieux adaptée aux données du formulaire$P(t)=ae^{bt}$ est donnée par$P(t)=35.26e^{0.06407t}$. Utilisez une calculatrice graphique pour représenter graphiquement les données et la courbe exponentielle ensemble.

28) [T] Trouvez et tracez la dérivée$y′$ de votre équation. Où augmente-t-il ? Quelle est la signification de cette augmentation ? Y a-t-il une valeur où l'augmentation est maximale ?

Réponse: $P'(t)=2.259e^{0.06407t}$. La population ne cesse d'augmenter.

29) [T] Trouvez et tracez la dérivée seconde de votre équation. Où augmente-t-il ? Quelle est la signification de cette augmentation ?

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