11 : Systèmes d'équations et d'inégalités
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Dans ce chapitre, nous étudierons les matrices et leurs inverses, ainsi que les différentes manières d'utiliser les matrices pour résoudre des systèmes d'équations. Cependant, nous allons d'abord étudier les systèmes d'équations séparément : linéaires et non linéaires, puis des fractions partielles.
- 11.0 : Prélude aux systèmes d'équations et d'inégalités
- Dans ce chapitre, nous étudierons les matrices et leurs inverses, ainsi que les différentes manières d'utiliser les matrices pour résoudre des systèmes d'équations. Cependant, nous allons d'abord étudier les systèmes d'équations séparément : linéaires et non linéaires, puis des fractions partielles. Nous ne briserons aucun code secret ici, mais nous jetterons les bases des futurs cours.
- 11.1 : Systèmes d'équations linéaires - Deux variables
- Un système d'équations linéaires se compose de deux équations ou plus composées de deux variables ou plus, de telle sorte que toutes les équations du système sont considérées simultanément. La solution d'un système d'équations linéaires à deux variables est une paire ordonnée qui satisfait chaque équation indépendamment. Les systèmes d'équations sont classés comme indépendants avec une solution, dépendants d'un nombre infini de solutions ou incompatibles avec l'absence de solution.
- 11.2 : Systèmes d'équations linéaires à trois variables
- Un ensemble de solutions est un triple ordonné qui représente l'intersection de trois plans dans l'espace. Un système de trois équations à trois variables peut être résolu en utilisant une série d'étapes qui forcent l'élimination d'une variable. Les étapes consistent à échanger l'ordre des équations, à multiplier les deux côtés d'une équation par une constante non nulle et à ajouter un multiple non nul d'une équation à une autre équation. Les systèmes de trois équations à trois variables sont utiles pour résoudre des problèmes du monde réel.
- 11.3 : Systèmes d'équations et d'inégalités non linéaires - Deux variables
- Dans cette section, nous examinerons l'intersection d'une parabole et d'une ligne, d'un cercle et d'une ligne, et d'un cercle et d'une ellipse. Les méthodes de résolution des systèmes d'équations non linéaires sont similaires à celles des équations linéaires.
- 11.4 : Fractions partielles
- Décomposez un ratio de polynômes en écrivant les fractions partielles. Résolvez en effaçant les fractions, en élargissant le côté droit, en collectant des termes similaires et en définissant des coefficients correspondants égaux les uns aux autres, puis en établissant et en résolvant un système d'équations. La décomposition avec des facteurs linéaires répétés doit tenir compte des facteurs du dénominateur des puissances croissantes. La décomposition avec un facteur quadratique irréductible non répété nécessite un numérateur linéaire au-dessus du facteur quadratique.
- 11.5 : Matrices et opérations matricielles
- Pour résoudre un système d'équations, nous pouvons utiliser une matrice, qui est un tableau rectangulaire de nombres. Une ligne d'une matrice est un ensemble de nombres alignés horizontalement. Une colonne d'une matrice est un ensemble de nombres alignés verticalement. Chaque nombre est une entrée, parfois appelée élément, de la matrice. Les matrices (pluriel) sont placées entre [] ou () et sont généralement nommées en majuscules.
- 11.6 : Résolution de systèmes par élimination gaussienne
- Une matrice peut servir de dispositif pour représenter et résoudre un système d'équations. Pour exprimer un système sous forme matricielle, nous extrayons les coefficients des variables et des constantes, qui deviennent les entrées de la matrice. Nous utilisons une ligne verticale pour séparer les entrées des coefficients des constantes, en remplaçant essentiellement les signes égaux. Lorsqu'un système est écrit sous cette forme, nous l'appelons matrice augmentée.
- 11.7 : Résoudre des systèmes avec des inverses
- Une matrice qui possède un inverse multiplicatif est appelée matrice inversible. Seule une matrice carrée peut avoir une inverse multiplicative, car la réversibilité est une exigence. Toutes les matrices carrées n'ont pas d'inverse. Nous examinerons deux méthodes pour trouver l'inverse d'une matrice 2 × 2 et une troisième méthode qui peut être utilisée à la fois sur des matrices 2 × 2 et 3 × 3.
- 11.8 : Résoudre des systèmes avec la règle de Cramer
- Dans cette section, nous allons étudier deux autres stratégies pour résoudre des systèmes d'équations. Un déterminant est un nombre réel qui peut être très utile en mathématiques car il a de multiples applications, telles que le calcul de la surface, du volume et d'autres quantités. Ici, nous utiliserons des déterminants pour déterminer si une matrice est inversible en utilisant les entrées d'une matrice carrée afin de déterminer s'il existe une solution au système d'équations. Règle de Cramer pour résoudre un système d'équations à deux et trois variables.
Vignette : types de solutions possibles pour les points d'intersection d'un cercle et d'une ellipse.