1.6 : Expressions rationnelles

Objectifs d'apprentissage

Dans cette section, les étudiants vont :

• Simplifiez les expressions rationnelles
• Multipliez les expressions rationnelles
• Divisez les expressions rationnelles
• Ajoutez et soustrayez des expressions rationnelles.
• Simplifiez les expressions rationnelles complexes

Une pâtisserie a des coûts fixes$$280$ par semaine et des coûts variables$$9$ par boîte de pâtisseries. Les coûts hebdomadaires de la boutique en termes$x$ de nombre de boîtes fabriquées sont de$280 +9x$. Nous pouvons diviser les coûts par semaine par le nombre de boîtes fabriquées pour déterminer le coût par boîte de pâtisseries.

$$\dfrac{280+9x}{x} \nonumber$$

Notez que le résultat est une expression polynomiale divisée par une seconde expression polynomiale. Dans cette section, nous allons explorer les quotients des expressions polynomiales.

Simplification des expressions

Le quotient de deux expressions polynomiales est appelé expression rationnelle. Nous pouvons appliquer les propriétés des fractions à des expressions rationnelles, par exemple en simplifiant les expressions en supprimant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur. Pour ce faire, nous devons d'abord factoriser à la fois le numérateur et le dénominateur. Commençons par l'expression rationnelle présentée.

$$\dfrac{x^2+8x+16}{x^2+11x+28} \nonumber$$

Nous pouvons factoriser le numérateur et le dénominateur pour réécrire l'expression.

$$\dfrac{{(x+4)}^2}{(x+4)(x+7)} \nonumber$$

Ensuite, nous pouvons simplifier cette expression en annulant le facteur commun$(x+4)$.

$$\dfrac{x+4}{x+7} \nonumber$$

Comment : à partir d'une expression rationnelle, simplifiez-la

1. Facturez le numérateur et le dénominateur.
2. Annulez tous les facteurs courants.

Exemple$\PageIndex{1}$: Simplifying Rational Expressions

SIMPLIFIER$\dfrac{x^2-9}{x^2+4x+3}$

Solution

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+1)} && \text{Factor the numerator and the denominator}\\ &\dfrac{x-3}{x+1} && \text{Cancel common factor } (x+3) \end{align*}$$

Analyse

Nous pouvons annuler le facteur commun car toute expression divisée par elle-même est égale à$1$.

QUESTIONS-RÉPONSES

Le$x^2$ terme peut-il être annulé dans le dernier exemple ?

Non Un facteur est une expression qui est multipliée par une autre expression. Le$x^2$ terme n'est pas un facteur du numérateur ou du dénominateur.

Exercice$\PageIndex{1}$

SIMPLIFIER$\dfrac{x-6}{x^2-36}$

Réponse

$\dfrac{1}{x+6}$

Multiplier les expressions rationnelles

La multiplication des expressions rationnelles fonctionne de la même manière que la multiplication de toutes les autres fractions. Nous multiplions les numérateurs pour trouver le numérateur du produit, puis nous multiplions les dénominateurs pour trouver le dénominateur du produit. Avant de multiplier, il est utile de factoriser les numérateurs et les dénominateurs comme nous l'avons fait pour simplifier les expressions rationnelles. Nous sommes souvent en mesure de simplifier le produit d'expressions rationnelles.

Comment : à partir de deux expressions rationnelles, multipliez-les

1. Facturez le numérateur et le dénominateur.
2. Multipliez les numérateurs.
3. Multipliez les dénominateurs.
4. Simplifiez.

Exemple$\PageIndex{2}$: Multiplying Rational Expressions

Multipliez les expressions rationnelles et montrez le produit sous sa forme la plus simple :

$\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)}$

Solution

$$\begin{align*} &\dfrac{(x+5)(x-1)}{3(x+6)}\times\dfrac{(2x-1)}{(x+5)} && \text{Factor the numerator and denominator.}\\[4pt] &\dfrac{(x+5)(x-1)(2x-1)}{3(x+6)(x+5)} && \text{Multiply numerators and denominators}\\[4pt] &\dfrac{(x-1)(2x-1)}{3(x+6)} && \text{Cancel common factors to simplify} \end{align*}$$

Exercice$\PageIndex{2}$

Multipliez les expressions rationnelles et montrez le produit sous sa forme la plus simple :

$\dfrac{x^2+11x+30}{x^2+5x+6}\times\dfrac{x^2+7x+12}{x^2+8x+16}$

Réponse

$\dfrac{(x+5)(x+6)}{(x+2)(x+4)}$

Division des expressions rationnelles

La division des expressions rationnelles fonctionne de la même manière que la division des autres fractions. Pour diviser une expression rationnelle par une autre expression rationnelle, multipliez la première expression par l'inverse de la seconde. En utilisant cette approche, nous réécririons$\dfrac{1}{x}÷\dfrac{x^2}{3}$ en tant que produit$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}$. Une fois que l'expression de division a été réécrite en tant qu'expression de multiplication, nous pouvons multiplier comme nous le faisions auparavant.

$$\dfrac{1}{x}⋅\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3}{x^3} \nonumber$$

Comment : à partir de deux expressions rationnelles, divisez-les

1. Réécrivez comme la première expression rationnelle multipliée par l'inverse de la seconde.
2. Facturez les numérateurs et les dénominateurs.
3. Multipliez les numérateurs.
4. Multipliez les dénominateurs.
5. Simplifiez.

Exemple$\PageIndex{3}$: Dividing Rational Expressions

Divisez les expressions rationnelles et exprimez le quotient sous la forme la plus simple :

$\dfrac{2x^2+x-6}{x^2-1}÷\dfrac{x^2-4}{x^2+2x+1}$

Solution

\ [\ begin {align*} & \ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1} ÷ \ dfrac {x^2-4} {x^2+2x+1} \ \ [4pt]
& \ dfrac {2x^2+x-6} {x^2-1} \ times \ dfrac {x^2+2x+1} {x^2-4} && \ text {Réécriture en tant que problème de multiplication} \ \ [4pt]
& \ dfrac {(2x-3) (x+2)} {(x-1) (x+1)} \ times \ dfrac {(x+1) (x+1)} {(x-2) (x+2)} && \ text {Facteur le numérateur et le dénominateur.} \ \ [6pt]
& \ dfrac {(2x-3) (x+2) (x+1)} {(x-1) (x+1) (x+1) (x-2) (x+2)} && \ text {Multipliez les numérateurs et les dénominateurs} \ \ [6pt]
& \ dfrac {(2x-3) (x+1) {} (x-1) (x-2)} && \ text {Annuler les facteurs courants pour simplifier} \ end {align*} \]

Exercice$\PageIndex{3}$

Divisez les expressions rationnelles et exprimez le quotient sous la forme la plus simple :

$$\dfrac{9x^2-16}{3x^2+17x-28}÷\dfrac{3x^2-2x-8}{x^2+5x-14} \nonumber$$

Réponse

$0$

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles

L'ajout et la soustraction d'expressions rationnelles fonctionnent de la même manière que l'ajout et la soustraction de fractions numériques. Pour ajouter des fractions, il faut trouver un dénominateur commun. Regardons un exemple d'addition de fractions.

$$\begin{align*} \dfrac{5}{24}+\dfrac{1}{40} &= \dfrac{25}{120}+\dfrac{3}{120}\\ &= \dfrac{28}{120}\\ &= \dfrac{7}{30} \end{align*}$$

Nous devons réécrire les fractions afin qu'elles partagent un dénominateur commun avant de pouvoir les additionner. Nous devons faire de même lorsque nous ajoutons ou soustrayons des expressions rationnelles.

Le plus simple dénominateur commun à utiliser sera le plus petit dénominateur commun, ou LCD. L'écran LCD est le plus petit multiple que les dénominateurs ont en commun. Pour trouver l'écran LCD de deux expressions rationnelles, nous factorisons les expressions et multiplions tous les facteurs distincts. Par exemple, si les dénominateurs pris en compte étaient$(x+3)(x+4)$ et$(x+4)(x+5)$, alors l'écran LCD le serait$(x+3)(x+4)(x+5)$.

Une fois que nous avons trouvé l'écran LCD, nous devons multiplier chaque expression par la forme$1$ qui changera le dénominateur de l'écran LCD. Il faudrait multiplier l'expression par un dénominateur de$(x+3)(x+4)$ par$\dfrac{x+5}{x+5}$ et l'expression par un dénominateur de$(x+4)(x+5)$ par$\dfrac{x+3}{x+3}$.

Comment : à partir de deux expressions rationnelles, ajoutez-les ou soustrayez-les

1. Facturez le numérateur et le dénominateur.
2. Trouvez l'écran LCD des expressions.
3. Multipliez les expressions par la forme 1 qui modifie les dénominateurs de l'écran LCD.
4. Ajoutez ou soustrayez les numérateurs.
5. Simplifiez.

Exemple$\PageIndex{4}$: Adding Rational Expressions

Ajoutez les expressions rationnelles :

$$\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{y} \nonumber$$

Solution

Tout d'abord, nous devons trouver l'écran LCD. Dans ce cas, l'écran LCD le sera$xy$. Nous multiplions ensuite chaque expression par la forme appropriée$1$ pour obtenir$xy$ le dénominateur de chaque fraction.

$$\begin{align*} &\dfrac{5}{x}\times\dfrac{y}{y}+\dfrac{6}{y}\times\dfrac{x}{x}\\ &\dfrac{5y}{xy}+\dfrac{6x}{xy} \end{align*}$$

Maintenant que les expressions ont le même dénominateur, il suffit d'ajouter les numérateurs pour trouver la somme.

$$\dfrac{6x+5y}{xy} \nonumber$$

Analyse

La multiplication par$\dfrac{y}{y}$ ou$\dfrac{x}{x}$ ne modifie pas la valeur de l'expression d'origine, car tout nombre divisé par lui-même l'est$1$, et la multiplication d'une expression par$1$ donne l'expression d'origine.

Exemple$\PageIndex{5}$: Subtracting Rational Expressions

Soustrayez les expressions rationnelles :

$$\dfrac{6}{x^2+4x+4}-\dfrac{2}{x^2-4}$$

Solution

\ [\ begin {align*}
& \ dfrac {6} {(x+2)} ^2} - \ dfrac {2} {(x+2) (x-2)} && \ text {Facteur} \ \ & \ dfrac {6} {{(x+2)} ^2} \ times \ dfrac {x-2} {x-2} - \ dfrac {2} {(x+2)} ^2} \ times \ dfrac {x-2} {(x2} +2) (x-2)} \ times \ dfrac {x+2} {x+2} && \ text {Multipliez chaque fraction pour obtenir l'écran LCD comme dénominateur} \ \
& \ dfrac {6 (x-
2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} - \ dfrac {2 (x+2)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} && \ text {Multipliez} \ \
& \ dfrac {6x-12- (2x+4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} && \ text {Appliquer la propriété distributive} \ \
& \ dddfrac {4x-16} {{(x+2)} ^2 (x-2)} && \ text {Soustraire} \ \
& \ dfrac {4 (x-4)} {{(x+2)} ^2 (x-2)} && \ text {Simplifier}
 \ end {align*} \]

QUESTIONS-RÉPONSES

Devons-nous utiliser l'écran LCD pour ajouter ou soustraire des expressions rationnelles ?

Non N'importe quel dénominateur commun fonctionnera, mais il est plus facile d'utiliser l'écran LCD.

Exercice$\PageIndex{4}$

Soustrayez les expressions rationnelles :$\dfrac{3}{x+5}-\dfrac{1}{x-3}$

Réponse

$\dfrac{2(x-7)}{(x+5)(x-3)}$

Simplification des expressions rationnelles

Une expression rationnelle complexe est une expression rationnelle qui contient des expressions rationnelles supplémentaires dans le numérateur, le dénominateur ou les deux. Nous pouvons simplifier les expressions rationnelles complexes en réécrivant le numérateur et le dénominateur sous forme d'expressions rationnelles uniques et en les divisant. L'expression rationnelle complexe$\dfrac{a}{\dfrac{1}{b}+c}$ peut être simplifiée en réécrivant le numérateur sous forme de fraction$\dfrac{a}{1}$ et en combinant les expressions du dénominateur sous forme de$\dfrac{1+bc}{b}$. Nous pouvons ensuite réécrire l'expression sous la forme d'un problème de multiplication en utilisant l'inverse du dénominateur. Nous obtenons$\dfrac{a}{1}⋅\dfrac{b}{1+bc}$, ce qui est égal à$\dfrac{ab}{1+bc}$.

Comment : à partir d'une expression rationnelle complexe, simplifiez-la

1. Combinez les expressions du numérateur en une seule expression rationnelle en les ajoutant ou en les soustrayant.
2. Combinez les expressions du dénominateur en une seule expression rationnelle en les additionnant ou en les soustrayant.
3. Réécrivez en divisant le numérateur par le dénominateur.
4. Réécrivez en tant que multiplication.
5. Multipliez.
6. Simplifiez.

Exemple$\PageIndex{6}$: Simplifying Complex Rational Expressions

Simplifiez :$\dfrac{y+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{y}}$

Solution

Commencez par combiner les expressions du numérateur en une seule expression.

$$\begin{align*} &y\times\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}\qquad \text{Multiply by } \dfrac{x}{x} \text{ to get LCD as denominator}\\ &\dfrac{xy}{x}+\dfrac{1}{x}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\qquad \text{Add numerators} \end{align*}$$

Maintenant, le numérateur est une expression rationnelle unique et le dénominateur est une expression rationnelle unique.

$$\begin{align*} &\dfrac{\dfrac{xy+1}{x}}{\dfrac{x}{y}}\\ \text{We can rewrite this as division, and then multiplication.}\\ &\dfrac{xy+1}{x}÷\dfrac{x}{y}\\ &\dfrac{xy+1}{x}\times\dfrac{y}{x}\qquad \text{Rewrite as multiplication}\\ &\dfrac{y(xy+1)}{x^2}\qquad \text{Multiply} \end{align*}$$

Exercice$\PageIndex{5}$

Simplifiez :$\dfrac{\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}}{y}$

Réponse

$\dfrac{x^2-y^2}{xy^2}$

QUESTIONS-RÉPONSES

Une expression rationnelle complexe peut-elle toujours être simplifiée ?

Oui. Nous pouvons toujours réécrire une expression rationnelle complexe en une expression rationnelle simplifiée.

Médias

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires avec des expressions rationnelles.

1. Simplifier les expressions

2. Multiplier et diviser des expressions rationnelles

3. Ajouter et soustraire des expressions rationnelles

4. Simplifier une fraction complexe

Concepts clés

• Les expressions rationnelles peuvent être simplifiées en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Voir l'exemple.
• Nous pouvons multiplier les expressions rationnelles en multipliant les numérateurs et en multipliant les dénominateurs. Voir l'exemple.
• Pour diviser des expressions rationnelles, multipliez par l'inverse de la seconde expression. Voir l'exemple.
• Pour ajouter ou soustraire des expressions rationnelles, il faut trouver un dénominateur commun. Voir Exemple et Exemple.
• Les expressions rationnelles complexes ont des fractions au numérateur ou au dénominateur. Ces expressions peuvent être simplifiées. Voir l'exemple.