1.3 : Radicaux et expressions rationnelles
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- Évaluez les racines carrées.
- Utilisez la règle du produit pour simplifier les racines carrées.
- Utilisez la règle du quotient pour simplifier les racines carrées.
- Ajoutez et soustrayez des racines carrées.
- Rationalisez les dénominateurs.
- Utilisez des racines rationnelles.
Une\(16\) quincaillerie vend des échelles de 2\(24\) pieds et des échelles de 2 pieds. Une fenêtre est située\(12\) pieds au-dessus du sol. Il faut acheter une échelle qui atteindra la fenêtre à partir d'un point situé au sol, aux\(5\) pieds du bâtiment. Pour déterminer la longueur d'échelle nécessaire, nous pouvons dessiner un triangle droit comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{1}\) et utiliser le théorème de Pythagore.
Figure \(\PageIndex{1}\): Triangle droit
\[ \begin{align*} a^2+b^2&=c^2 \label{1.4.1} \\[4pt] 5^2+12^2&=c^2 \label{1.4.2} \\[4pt] 169 &=c^2 \label{1.4.3} \end{align*}\]
Now, we need to find out the length that, when squared, is \(169\), to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.
Evaluating Square Roots
When the square root of a number is squared, the result is the original number. Since \(4^2=16\), the square root of \(16\) is \(4\).The square root function is the inverse of the squaring function just as subtraction is the inverse of addition. To undo squaring, we take the square root.
In general terms, if \(a\) is a positive real number, then the square root of \(a\) is a number that, when multiplied by itself, gives \(a\).The square root could be positive or negative because multiplying two negative numbers gives a positive number. The principal square root is the nonnegative number that when multiplied by itself equals \(a\). The square root obtained using a calculator is the principal square root.
The principal square root of \(a\) is written as \(\sqrt{a}\). The symbol is called a radical, the term under the symbol is called the radicand, and the entire expression is called a radical expression.
Est-ce que\(\sqrt{25} = \pm 5\) ?
Solution
Non. Bien que les deux\(5^2\) et le\((−5)^2\) soient\(25\), le symbole radical implique uniquement une racine non négative, la racine carrée principale. La racine carrée principale de\(25\) est\(\sqrt{25}=5\).
La racine carrée principale de\(a\) est le nombre non négatif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, est égal à\(a\). Il est écrit comme une expression radicale, avec un symbole appelé radical sur le terme appelé radicand :\(\sqrt{a}\).
Évaluez chaque expression.
- \(\sqrt{\sqrt{16}}\)
- \(\sqrt{49}\)-\(\sqrt{81}\)
Solution
- \(\sqrt{\sqrt{16}}= \sqrt{4} =2\)parce que\(4^2=16\) et\(2^2=4\)
- \(\sqrt{49} -\sqrt{81} =7−9 =−2\)parce que\(7^2=49\) et\(9^2=81\)
\(\sqrt{25+144}\)En effet, peut-on trouver les racines carrées avant de les ajouter ?
Solution
Non. \(\sqrt{25} + \sqrt{144} =5+12=17\). Ceci n'est pas équivalent à\(\sqrt{25+144}=13\). L'ordre des opérations nous oblige à ajouter les termes dans le radical et avant de trouver la racine carrée.
Évaluez chaque expression.
- \(\sqrt{\sqrt{81}}\)
- \(\sqrt{36} + \sqrt{121}\)
- Répondez à
-
\(3\)
- Réponse b
-
\(17\)
Utiliser la règle du produit pour simplifier les racines carrées
Pour simplifier une racine carrée, nous la réécrivons de telle sorte qu'il n'y ait pas de carrés parfaits dans le radicand. Les racines carrées possèdent plusieurs propriétés qui nous permettent de simplifier des expressions radicales complexes. La première règle que nous allons examiner est la règle du produit pour simplifier les racines carrées, qui nous permet de séparer la racine carrée d'un produit de deux nombres en le produit de deux expressions rationnelles distinctes. Par exemple, nous pouvons réécrire\(\sqrt{15}\) comme\(\sqrt{3}\times\sqrt{5}\). Nous pouvons également utiliser la règle du produit pour exprimer le produit de plusieurs expressions radicales sous la forme d'une expression radicale unique.
Si\(a\) et\(b\) ne sont pas négatifs, la racine carrée du produit\(ab\) est égale au produit des racines carrées de\(a\) et\(b\)
\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\]
- Prenez en compte tous les carrés parfaits du radicand.
- Écrivez l'expression radicale comme un produit d'expressions radicales.
- Simplifiez.
Simplifiez l'expression radicale.
- \(\sqrt{300}\)
- \(\sqrt{162a^5b^4}\)
Solution
a.\(\sqrt{100\times3}\) Facteur du carré parfait à partir du radicand.
\(\sqrt{100}\times\sqrt{3}\)Écrivez une expression radicale en tant que produit d'expressions radicales.
\(10\sqrt{3}\)SIMPLIFIER
b.\(\sqrt{81a^4b^4\times2a}\) Facteur du carré parfait à partir du radicand
\(\sqrt{81a^4b^4}\times\sqrt{2a}\)Écrire une expression radicale en tant que produit d'expressions radicales
\(9a^2b^2\sqrt{2a}\)SIMPLIFIER
SIMPLIFIER\(\sqrt{50x^2y^3z}\)
- Réponse
-
\(5|x||y|\sqrt{2yz}\)
Remarquez les signes de valeur absolue autour de\(x\) et\(y\) ? C'est parce que leur valeur doit être positive !
- Exprime le produit de plusieurs expressions radicales sous la forme d'une expression radicale unique.
- Simplifiez.
Simplifiez l'expression radicale.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}\)
Solution
\[\begin{align*} &\sqrt{12\times3}\qquad \text{Express the product as a single radical expression}\\ &\sqrt{36}\qquad \text{Simplify}\\ &6 \end{align*}\]
\(\sqrt{50x}\times\sqrt{2x}\)Simplifiez les\(x>0\) hypothèses
- Réponse
-
\(10|x|\)
Utilisation de la règle du quotient pour simplifier les racines carrées
Tout comme nous pouvons réécrire la racine carrée d'un produit en tant que produit de racines carrées, nous pouvons également réécrire la racine carrée d'un quotient en tant que quotient de racines carrées, en utilisant la règle du quotient pour simplifier les racines carrées. Il peut être utile de séparer le numérateur et le dénominateur d'une fraction sous un radical afin de pouvoir prendre leurs racines carrées séparément. Nous pouvons réécrire
\[\sqrt{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}. \nonumber \]
La racine carrée du quotient\(\dfrac{a}{b}\) est égale au quotient des racines carrées de\(a\) et\(b\), où\(b≠0\).
\[\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]
- Écrivez l'expression radicale comme le quotient de deux expressions radicales.
- Simplifiez le numérateur et le dénominateur.
Simplifiez l'expression radicale.
\(\sqrt{\dfrac{5}{36}}\)
Solution
\[\begin{align*} &\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{\sqrt{5}}{6}\qquad \text {Simplify denominator} \end{align*}\]
SIMPLIFIER\(\sqrt{\dfrac{2x^2}{9y^4}}\)
- Réponse
-
\(\dfrac{x\sqrt{2}}{3y^2}\)
Nous n'avons pas besoin des signes de valeur absolue\(y^2\) car ce terme sera toujours non négatif.
Simplifiez l'expression radicale.
\(\dfrac{\sqrt{234x^{11}y}}{\sqrt{26x^7y}}\)
Solution
\[\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{234x^{11}y}{26x^7y}}\qquad \text{Combine numerator and denominator into one radical expression}\\ &\sqrt{9x^4}\qquad \text{Simplify fraction}\\ &3x^2\qquad \text{Simplify square root} \end{align*}\]
SIMPLIFIER\(\dfrac{\sqrt{9a^5b^{14}}}{\sqrt{3a^4b^5}}\)
- Réponse
-
\(b^4\sqrt{3ab}\)
Ajouter et soustraire des racines carrées
Nous pouvons ajouter ou soustraire des expressions radicales uniquement lorsqu'elles ont le même radical et lorsqu'elles ont le même type de radical, par exemple des racines carrées. Par exemple, la somme de\(\sqrt{2}\) et\(3\sqrt{2}\) est\(4\sqrt{2}\). Cependant, il est souvent possible de simplifier des expressions radicales, ce qui peut modifier le radical. L'expression radicale\(\sqrt{18}\) peut être écrite avec a\(2\) dans le radical et\(3\sqrt{2}\), ainsi\(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
- Simplifiez chaque expression radicale.
- Ajoutez ou soustrayez des expressions avec des radicaux égaux.
Ajoutez\(5\sqrt{12}+2\sqrt{3}\).
Solution
Nous pouvons le réécrire\(5\sqrt{12}\) comme\(5\sqrt{4\times3}\). Selon la règle du produit, cela devient\(5\sqrt{4}\sqrt{3}\). La racine carrée de\(\sqrt{4}\) est\(2\), donc l'expression devient\(5\times2\sqrt{3}\), qui est\(10\sqrt{3}\). Nous pouvons maintenant que les termes ont le même radical et que nous pouvons donc les ajouter.
\[10\sqrt{3}+2\sqrt{3}=12\sqrt{3} \nonumber\]
Ajouter\(\sqrt{5}+6\sqrt{20}\)
- Réponse
-
\(13\sqrt{5}\)
Soustraire\(20\sqrt{72a^3b^4c}-14\sqrt{8a^3b^4c}\)
Solution
Réécrivez chaque terme de manière à ce qu'il ait des radicaux égaux.
\[\begin{align*} 20\sqrt{72a^3b^4c} &= 20\sqrt{9}\sqrt{4}\sqrt{2}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 20(3)(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 120|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}\]
\[\begin{align*} 14\sqrt{8a^3b^4c} &= 14\sqrt{2}\sqrt{4}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 14(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 28|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}\]
Maintenant, les termes ont le même radical, donc on peut les soustraire.
\[120|a|b^2\sqrt{2ac}-28|a|b^2\sqrt{2ac}=92|a|b^2\sqrt{2ac}\]
Soustraire\(3\sqrt{80x}-4\sqrt{45x}\)
- Réponse
-
\(0\)
Rationalisation des dénominateurs
Lorsqu'une expression impliquant des radicaux carrés est écrite sous sa forme la plus simple, elle ne contiendra aucun radical dans le dénominateur. Nous pouvons éliminer les radicaux des dénominateurs des fractions en utilisant un processus appelé rationalisation du dénominateur.
Nous savons que la multiplication par\(1\) ne modifie pas la valeur d'une expression. Nous utilisons cette propriété de multiplication pour modifier les expressions qui contiennent des radicaux dans le dénominateur. Pour éliminer les radicaux des dénominateurs des fractions, multipliez par la forme\(1\) qui éliminera le radical.
Pour un dénominateur contenant un seul terme, multipliez par le radical du dénominateur sur lui-même. En d'autres termes, si le dénominateur est\(b\sqrt{c}\), multipliez par\(\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}\).
Pour un dénominateur contenant la somme ou la différence d'un terme rationnel et d'un terme irrationnel, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, obtenu en modifiant le signe de la partie radicale du dénominateur. Si le dénominateur est\(a+b\sqrt{c}\), alors le conjugué est\(a-b\sqrt{c}\).
- Multipliez le numérateur et le dénominateur par le radical du dénominateur.
- Simplifiez.
Écrivez\(\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}\) sous la forme la plus simple
Solution
Le radical du dénominateur est\(\sqrt{10}\). Multipliez donc la fraction par\(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\). Simplifiez ensuite.
\[\begin{align*} &\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}\times\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\ &\dfrac{2\sqrt{30}}{30}\\ &\dfrac{\sqrt{30}}{15} \end{align*}\]
Écrivez\(\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) sous la forme la plus simple
- Réponse
-
\(6\sqrt{6}\)
- Détermine le conjugué du dénominateur.
- Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué.
- Utilisez la propriété distributive.
- Simplifiez.
Écrivez\(\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\) sous la forme la plus simple
Solution
Commencez par trouver le conjugué du dénominateur en écrivant le dénominateur et en modifiant le signe. Donc, le conjugué de\(1+\sqrt{5}\) est\(1-\sqrt{5}\). Multipliez ensuite la fraction par\(\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\).
\[\begin{align*} &\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\times\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\\ &\dfrac{4-4\sqrt{5}}{-4}\qquad \text{Use the distributive property}\\ &\sqrt{5}-1\qquad \text{Simplify} \end{align*}\]
Écrivez\(\dfrac{7}{2+\sqrt{3}}\) sous la forme la plus simple
- Réponse
-
\(14-7\sqrt{3}\)
Utiliser Rational Roots
Bien que les racines carrées soient les racines rationnelles les plus courantes, nous pouvons également trouver des racines cubiques,\(5^{th}\) des racines, des racines, etc.\(4^{th}\) Tout comme la fonction de racine carrée est l'inverse de la fonction de quadrature, ces racines sont l'inverse de leurs fonctions de puissance respectives. Ces fonctions peuvent être utiles lorsque nous devons déterminer le nombre qui, lorsqu'il est élevé à une certaine puissance, donne un certain nombre.
Comprendre \(n^{th}\)les racines
Supposons qu'on le sache\(a^3=8\). Nous voulons savoir à quel nombre est égal le nombre porté à la\(3^{rd}\) puissance\(8\). Puisque\(2^3=8\), nous disons que\(2\) c'est la racine cubique de\(8\).
La\(n^{th}\) racine de\(a\) est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à la\(n^{th}\) puissance, donne a. Par exemple,\(−3\) est la\(5^{th}\) racine de\(−243\) parce que\({(-3)}^5=-243\). Si\(a\) c'est un nombre réel avec au moins une\(n^{th}\) racine, alors la\(n^{th}\) racine principale de\(a\) est le nombre avec le même signe\(a\) que celui-ci, lorsqu'il est élevé à la\(n^{th}\) puissance, égal\(a\).
La\(n^{th}\) racine principale de\(a\) est écrite sous la forme\(\sqrt[n]{a}\), où\(n\) est un entier positif supérieur ou égal à\(2\). Dans l'expression radicale, on\(n\) appelle l'indice du radical.
S'il s'\(a\)agit d'un nombre réel avec au moins une\(n^{th}\) racine, alors la \(n^{th}\)racine principale de\(a\), écrite comme\(\sqrt[n]{a}\), est le nombre avec le même signe que celui\(a\) qui, lorsqu'il est élevé à la\(n^{th}\) puissance, est égal\(a\). L'indice du radical est\(n\).
Simplifiez chacun des éléments suivants :
- \(\sqrt[5]{-32}\)
- \(\sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{10234}\)
- \(-\sqrt[3]{\dfrac{8x^6}{125}}\)
- \(8\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{48}\)
Solution
a.\(\sqrt[5]{-32}=-2\) parce que\((-2)^5=-32\)
b. Tout d'abord, exprimez le produit sous la forme d'une expression radicalaire unique. \(\sqrt[4]{4096}=8\)parce que\(8^4=4096\)
c.\[\begin{align*} &\dfrac{-\sqrt[3]{8x^6}}{\sqrt[3]{125}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{-2x^2}{5}\qquad \text{Simplify} \end{align*}\]
d.\[\begin{align*} &8\sqrt[4]{3}-2\sqrt[4]{3}\qquad \text{Simplify to get equal radicands}\\ &6\sqrt[4]{3}\qquad \text{Add} \end{align*}\]
SIMPLIFIER
- \(\sqrt[3]{-216}\)
- \(\dfrac{3\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}\)
- \(6\sqrt[3]{9000}+7\sqrt[3]{576}\)
- Répondez à
-
\(-6\)
- Réponse b
-
\(6\)
- Réponse c
-
\(88\sqrt[3]{9}\)
Utilisation d'exposants rationnels
Les expressions radicales peuvent également être écrites sans utiliser le symbole radical. Nous pouvons utiliser des exposants rationnels (fractionnaires). L'indice doit être un entier positif. Si l'indice\(n\) est pair, a ne peut pas être négatif.
Nous pouvons également avoir des exposants rationnels avec des numérateurs autres que\(1\). Dans ces cas, l'exposant doit être une fraction dans les termes les plus bas. Nous élevons la base à une puissance et prenons une nième racine. Le numérateur nous indique la puissance et le dénominateur nous indique la racine.
Toutes les propriétés des exposants que nous avons apprises pour les exposants entiers sont également valables pour les exposants rationnels.
Les exposants rationnels sont un autre moyen d'exprimer\(n^{th}\) les racines principales. La forme générale de conversion entre une expression radicale avec un symbole radical et une expression avec un exposant rationnel est
\[a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\]
- Déterminez la puissance en examinant le numérateur de l'exposant.
- Déterminez la racine en examinant le dénominateur de l'exposant.
- En utilisant la base comme radicand, augmentez le radicand à la puissance et utilisez la racine comme indice.
Écrivez\(343^{\tfrac{2}{3}}\) en radical. Simplifiez.
Solution
Le nous\(2\) indique le pouvoir et le nous\(3\) indique la racine.
\(343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=\sqrt[3]{{343}^2}\)
Nous le savons\(\sqrt[3]{343}=7\) parce que\(7^3 =343\). Comme la racine cubique est facile à trouver, il est plus facile de la trouver avant de mettre au carré ce problème. En général, il est plus facile de trouver d'abord la racine, puis de l'élever à une puissance.
\[343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=7^2=49\]
Écrivez\(9^{\tfrac{5}{2}}\) en radical. Simplifiez.
- Réponse
-
\({(\sqrt{9})}^5=3^5=243\)
Écrivez\(\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}\) à l'aide d'un exposant rationnel.
Solution
La puissance existe\(2\) et la racine l'est\(7\), donc l'exposant rationnel le sera\(\dfrac{2}{7}\). Nous obtenons\(\dfrac{4}{a^{\tfrac{2}{7}}}\). En utilisant les propriétés des exposants, nous obtenons\(\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}=4a^{\tfrac{-2}{7}}\)
Écrivez\(x\sqrt{{(5y)}^9}\) à l'aide d'un exposant rationnel.
- Réponse
-
\(x(5y)^{\dfrac{9}{2}}\)
Simplifiez :
un.\(5(2x^{\tfrac{3}{4}})(3x^{\tfrac{1}{5}})\)
b.\(\left(\dfrac{16}{9}\right)^{-\tfrac{1}{2}}\)
Solution
un.
\[\begin{align*} &30x^{\tfrac{3}{4}}\: x^{\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Multiply the coefficients}\\ &30x^{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Use properties of exponents}\\ &30x^{\tfrac{19}{20}}\qquad \text{Simplify} \end{align*}\]
b.
\[\begin{align*} &{\left(\dfrac{9}{16}\right)}^{\tfrac{1}{2}}\qquad \text{Use definition of negative exponents}\\ &\sqrt{\dfrac{9}{16}}\qquad \text{Rewrite as a radical}\\ &\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\qquad \text{Use the quotient rule}\\ &\dfrac{3}{4}\qquad \text{Simplify} \end{align*}\]
SIMPLIFIER\({(8x)}^{\tfrac{1}{3}}\left(14x^{\tfrac{6}{5}}\right)\)
- Réponse
-
\(28x^{\tfrac{23}{15}}\)
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Concepts clés
- La racine carrée principale d'un nombre \(a\)est le nombre non négatif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, est égal\(a\) . Voir l'exemple.
- Si \(a\)et\(b\) sont non négatifs, la racine carrée du produit\(ab\) est égale au produit des racines carrées de\(a\) et\(b\) Voir Exemple et Exemple.
- Si \(a\)et\(b\) sont non négatifs, la racine carrée du quotient\(\dfrac{a}{b}\) est égale au quotient des racines carrées de\(a\) et\(b\) Voir Exemple et Exemple.
- Nous pouvons ajouter et soustraire des expressions radicales si elles ont le même radical et le même indice. Voir Exemple et Exemple.
- Les expressions radicales écrites dans leur forme la plus simple ne contiennent pas de radical dans le dénominateur. Pour éliminer le radical racine carrée du dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Voir Exemple et Exemple.
- La\(n^{th}\) racine principale de\(a\) est le nombre ayant le même signe\(a\) que celui lorsqu'il est élevé à la\(n^{th}\) puissance égale\(a\). Ces racines ont les mêmes propriétés que les racines carrées. Voir l'exemple.
- Les radicaux peuvent être réécrits en tant qu'exposants rationnels et les exposants rationnels peuvent être réécrits en tant que radicaux. Voir Exemple et Exemple.
- Les propriétés des exposants s'appliquent aux exposants rationnels. Voir l'exemple.