7.5 : Résolution d'équations rationnelles
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- 194402
- Résoudre des équations
- Utiliser des fonctions rationnelles
- Résolvez une équation rationnelle pour une variable spécifique
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Solution :\(\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 2.2.9. - Solution :
- Résolvez la formule\(5x+2y=10\) pour\(y\)
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 2.4.10.
Après avoir défini les termes « expression » et « équation » plus tôt, nous les avons utilisés tout au long de ce livre. Nous avons simplifié de nombreux types d'expressions et résolu de nombreux types d'équations. Nous avons simplifié de nombreuses expressions rationnelles jusqu'à présent dans ce chapitre. Nous allons maintenant résoudre une équation rationnelle.
Une équation rationnelle est une équation qui contient une expression rationnelle.
Vous devez vous assurer de connaître la différence entre les expressions rationnelles et les équations rationnelles. L'équation contient un signe égal.
\[\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber \]
\[\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber \]
\[\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber \]
\[\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber \]
Résoudre des équations
Nous avons déjà résolu des équations linéaires contenant des fractions. Nous avons trouvé l'écran LCD de toutes les fractions de l'équation, puis nous avons multiplié les deux côtés de l'équation par l'écran LCD pour « effacer » les fractions.
Nous utiliserons la même stratégie pour résoudre des équations rationnelles. Nous allons multiplier les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. Ensuite, nous aurons une équation qui ne contient pas d'expressions rationnelles et qui sera donc beaucoup plus facile à résoudre pour nous. Mais comme l'équation d'origine peut avoir une variable dans un dénominateur, nous devons faire attention à ne pas aboutir à une solution qui rendrait un dénominateur égal à zéro.
Donc, avant de commencer à résoudre une équation rationnelle, nous l'examinons d'abord pour trouver les valeurs qui rendraient les dénominateurs nuls. Ainsi, lorsque nous résolvons une équation rationnelle, nous saurons s'il existe des solutions algébriques que nous devons rejeter.
Une solution algébrique à une équation rationnelle qui rendrait l'une quelconque des expressions rationnelles indéfinie est appelée solution externe à une équation rationnelle.
Une solution externe à une équation rationnelle est une solution algébrique qui rendrait indéfinie n'importe laquelle des expressions de l'équation d'origine.
Nous notons toutes les solutions superflues possibles\(c\), en écrivant à\(x\neq c\) côté de l'équation.
Résoudre :\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]
Solution
Étape 1. Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
Si\(x=0\), alors\(\dfrac{1}{x}\) n'est pas défini. Nous allons donc écrire à\(x \neq 0\) côté de l'équation.
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber \]
Étape 2. Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation.
Trouvez l'écran LCD de\(\dfrac{1}{x}\)\(\dfrac{1}{3}\), et\(\dfrac{5}{6}\)
L'écran LCD est\(6x\).
Étape 3. Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
Multipliez les deux côtés de l'équation par l'écran LCD,\(6x\).
\[{\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]
Utilisez la propriété distributive.
\[{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]
Simplifiez et remarquez, plus de fractions !
\[6+2 x=5 x \nonumber \]
Étape 4. Résolvez l'équation résultante.
Simplifiez.
\[\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber \]
Étape 5. Vérifiez.
Si des valeurs trouvées à l'étape 1 sont des solutions algébriques, supprimez-les. Vérifiez toutes les solutions restantes dans l'équation d'origine.
Nous n'avons pas obtenu 0 comme solution algébrique.
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]
Nous la\(x=2\) remplaçons dans l'équation d'origine.
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber \]
La solution est\(x=2\)
Résoudre :\[\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber \]
- Réponse
-
\(y=-\dfrac{15}{7}\)
Résoudre :\[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber \]
- Réponse
-
\(x=\dfrac{15}{3}\)
Les étapes de cette méthode sont présentées.
- Étape 1 Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
- Étape 2 Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation.
- Étape 3 Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
- Étape 4. Résolvez l'équation résultante.
- Étape 5. Vérifiez :
- Si des valeurs trouvées à l'étape 1 sont des solutions algébriques, supprimez-les.
- Vérifiez toutes les solutions restantes dans l'équation d'origine.
Nous commençons toujours par noter les valeurs qui feraient en sorte que les dénominateurs soient nuls.
Résoudre :\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]
Solution
Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber \]
Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est\(y^2\).
Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
\[y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]
Distribuez.
\[y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]
Multipliez.
\[y^{2}-5 y=-6 \nonumber \]
Résolvez l'équation résultante. Écrivez d'abord l'équation quadratique sous forme standard.
\[y^{2}-5 y+6=0 \nonumber \]
Facteur.
\[(y-2)(y-3)=0 \nonumber \]
Utilisez la propriété Zero Product.
\[y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber \]
Résoudre.
\[y=2 \text { or } y=3 \nonumber \]
Vérifiez. Nous ne l'avons pas obtenu\(0\) comme solution algébrique.
Vérifiez\(y=2\) et\(y=3\) dans l'équation d'origine.
\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]
\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber \]
\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber \]
La solution est\(y=2,y=3\)
Résoudre :\[1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber \]
- Réponse
-
\(x=-3, x=5\)
Résoudre :\[1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber \]
- Réponse
-
\(y=-2, y=6\)
Dans l'exemple suivant, le dernier dénominateur est une différence de carrés. N'oubliez pas de le prendre en compte d'abord pour trouver l'écran LCD.
Résoudre :\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber \]
Solution
Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber \]
Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est\((x+2)(x-2)\).
Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
\[(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]
Distribuez.
\[(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]
Supprimez les facteurs courants.
\[\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber \]
Simplifiez.
\[2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber \]
Distribuez.
\[2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber \]
Résoudre.
\[\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}\]
Contrôle : Nous n'avons pas obtenu 2 ou −2 comme solutions algébriques.
Vérifiez\(x=-1\) l'équation d'origine.
\[\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber \]
La solution est\(x=-1\).
Résoudre :\[\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber \]
- Réponse
-
\(x=\dfrac{2}{3}\)
Résoudre :\[\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber \]
- Réponse
-
\(y=2\)
Dans l'exemple suivant, le premier dénominateur est un trinôme. N'oubliez pas de le prendre en compte d'abord pour trouver l'écran LCD.
Résoudre :\[\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber \]
Solution
Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. Utilisez la forme factorielle du dénominateur quadratique.
\[\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber \]
Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est\((m-4)(m-1)\)
Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber \]
Distribuez.
\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber \]
Supprimez les facteurs courants.
\[\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber \]
Simplifiez.
\[m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber \]
Résolvez l'équation résultante.
\[\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber \]
Vérifiez. La seule solution algébrique était 4, mais nous avons dit que 4 ferait un dénominateur égal à zéro. La solution algébrique est une solution étrangère.
Il n'y a pas de solution à cette équation.
Résoudre :\[\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber \]
- Réponse
-
Il n'y a pas de solution.
Résoudre :\[\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber \]
- Réponse
-
Il n'y a pas de solution.
L'équation que nous avons résolue dans l'exemple précédent ne comportait qu'une seule solution algébrique, mais il s'agissait d'une solution externe. Cela ne nous a laissé aucune solution à l'équation. Dans l'exemple suivant, nous obtenons deux solutions algébriques. Ici, l'une ou les deux peuvent être des solutions superflues.
Résoudre :\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber \]
Solution
Factoriez tous les dénominateurs, afin que nous puissions noter toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber \]
Trouvez le plus petit dénominateur commun. L'écran LCD est\((y-6)(y+6)\)
Effacez les fractions.
\[(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber \]
Simplifiez.
\[(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber \]
Simplifiez.
\[y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber \]
Résolvez l'équation résultante.
\[\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber \]
Vérifiez.
\(y=-6\)est une solution étrangère. Vérifiez\(y=4\) l'équation d'origine.
\[\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber \]
La solution est\(y=4\).
Résoudre :\[\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber \]
- Réponse
-
\(x=3\)
Résoudre :\[\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber \]
- Réponse
-
\(y=7\)
Dans certains cas, toutes les solutions algébriques sont superflues.
Résoudre :\[\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber \]
Solution
Nous commencerons par factoriser tous les dénominateurs, afin de faciliter l'identification des solutions superflues et de l'écran LCD.
\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber \]
Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber \]
Trouvez le plus petit dénominateur commun. L'écran LCD est\(12(x-1)(x+1)\).
Effacez les fractions.
\[12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber \]
Simplifiez.
\[6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]
Simplifiez.
\[6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]
Résolvez l'équation résultante.
\[\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber \]
Vérifiez.
\(x=1\)et\(x=-1\) sont des solutions superflues.
L'équation n'a pas de solution.
Résoudre :\[\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber \]
- Réponse
-
Il n'y a pas de solution.
Résoudre :\[\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber \]
- Réponse
-
Il n'y a pas de solution.
Résoudre :\[\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber \]
Solution
Factoriez tous les dénominateurs, afin que nous puissions noter toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber \]
Trouvez le plus petit dénominateur commun. L'écran LCD est\((3 x-1)(x+1)(x-3)\).
Effacez les fractions.
\[(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber \]
Simplifiez.
\[4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber \]
Distribuez.
\[4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber \]
Simplifiez.
\[7 x-5=6 x-2 \nonumber \]
\[x=3 \nonumber \]
La seule solution algébrique était\(x=3\)mais nous avons dit que cela\(x=3\) ferait un dénominateur égal à zéro. La solution algébrique est une solution étrangère.
Il n'y a pas de solution à cette équation.
Résoudre :\[\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber \]
- Réponse
-
Il n'y a pas de solution.
Résoudre :\[\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber \]
- Réponse
-
Il n'y a pas de solution.
Utiliser des fonctions rationnelles
L'utilisation de fonctions définies par des expressions rationnelles conduit souvent à des équations rationnelles. Encore une fois, nous utilisons les mêmes techniques pour les résoudre.
Pour un fonctionnement rationnel,\(f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}\) :
- Trouvez le domaine de la fonction
- Résoudre\(f(x)=1\)
- Trouvez les points sur le graphique à cette valeur de fonction.
Solution
- Le domaine d'une fonction rationnelle est composé de tous les nombres réels, sauf ceux qui rendent l'expression rationnelle indéfinie. Donc, pour les trouver, nous allons mettre le dénominateur égal à zéro et les résoudre.
\[\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber \]
Le domaine est composé uniquement de nombres réels, sauf\(x \neq 3, x \neq 5\)
- \[f(x)=1 \nonumber \]
Substituer dans l'expression rationnelle.
\[\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber \]
Facturez le dénominateur.
\[\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber \]
Multipliez les deux côtés par l'écran LCD,\((x-3)(x-5)\)
\[(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber \]
Simplifiez.
\[2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber \]
Résoudre.
\[0=x^{2}-10 x+21 \nonumber \]
Facteur.
\[0=(x-7)(x-3) \nonumber \]
Utilisez la propriété Zero Product.
\[x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber \]
Résoudre.
\[x=7 \quad x=3 \nonumber \]
- La valeur de la fonction est 1 lorsque\(x=7, x=3\)Donc, les points sur le graphique de cette fonction lorsque\(f(x)=1\)sera\((7,1),(3,1)\).
Pour un fonctionnement rationnel,\(f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}\)
- Trouvez le domaine de la fonction.
- Résoudre\(f(x)=3\).
- Trouvez les points sur le graphique à cette valeur de fonction.
- Réponse
-
- Le domaine est composé uniquement de nombres réels, sauf\(x \neq 3\) et\(x \neq 4\)
- \(x=2, x=\dfrac{14}{3}\)
- \((2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)\)
Pour un fonctionnement rationnel,\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}\)
- Résoudre\(f(x)=4\).
- Trouvez les points sur le graphique à cette valeur de fonction.
- Réponse
-
- Le domaine est composé uniquement de nombres réels, sauf\(x \neq 1\) et\(x \neq 5\)
- \(x=\dfrac{21}{4}\)
- \(\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)\)
Résoudre une équation rationnelle pour une variable spécifique
Lorsque nous avons résolu des équations linéaires, nous avons appris à résoudre une formule pour une variable spécifique. De nombreuses formules utilisées dans les domaines des affaires, de la science, de l'économie et d'autres domaines utilisent des équations rationnelles pour modéliser la relation entre deux variables ou plus. Nous allons maintenant voir comment résoudre une équation rationnelle pour une variable spécifique.
Lorsque nous avons développé la formule de pente ponctuelle à partir de notre formule de pente, nous avons effacé les fractions en les multipliant par l'écran LCD.
\[\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber \]
Dans l'exemple suivant, nous utiliserons la même technique avec la formule de pente que nous avons utilisée pour obtenir la forme de pente ponctuelle d'une équation d'une droite passant par le point\((2,3)\). Nous ajouterons une étape supplémentaire à résoudre\(y\).
Résolvez :\(m=\dfrac{y-2}{x-3}\) pour\(y\).
Solution
\[m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber \]
Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber \]
Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD,\(x-3\).
\[(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber \]
Simplifiez.
\[x m-3 m=y-2 \nonumber \]
Isolez le terme par\(y\).
\[x m-3 m+2=y \nonumber \]
Résolvez :\(m=\dfrac{y-5}{x-4}\) pour\(y\).
- Réponse
-
\(y=m x-4 m+5\)
Résolvez :\(m=\dfrac{y-1}{x+5}\) pour\(y\).
- Réponse
-
\(y=m x+5 m+1\)
N'oubliez pas de multiplier les deux côtés par l'écran LCD dans l'exemple suivant.
Résolvez :\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1\) pour\(c\)
Solution
\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber \]
Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber \]
Effacez les fractions en multipliant les deux côtés des équations par l'écran LCD,\(cm\).
\[cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber \]
Distribuez.
\[cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber \]
Simplifiez.
\[m+c=cm \nonumber \]
Rassemblez les termes avec le menu\(c\) à droite.
\[m=cm-c \nonumber \]
Facturez l'expression sur la droite.
\[m=c(m-1) \nonumber \]
Pour isoler\(c\), divisez les deux côtés par\(m-1\).
\[\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber \]
Simplifiez en supprimant les facteurs courants.
\[\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber \]
Notez que même si nous avons\(m=0\) exclu\(c=0\) et de l'équation d'origine, nous devons également l'indiquer maintenant\(m \neq 1\).
Résolvez :\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c\) pour\(a\).
- Réponse
-
\(a=\dfrac{b}{c b-1}\)
Résolvez :\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}\) pour\(y\)
- Réponse
-
\(y=\dfrac{3 x}{x+6}\)
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