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4.8E : Exercices

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    La pratique rend la perfection

    Déterminer si une paire ordonnée est la solution d'un système d'inégalités linéaires

    Dans les exercices suivants, déterminez si chaque paire ordonnée constitue une solution pour le système.

    1. \(\left\{\begin{array} {l} 3x+y>5\\2x−y\leq 10\end{array}\right.\)

    ⓐ\((3,−3)\)
    ⓑ\((7,1)\)

    2. \(\left\{\begin{array} {l} 4x−y<10\\−2x+2y>−8\end{array}\right.\)

    ⓐ\((5,−2)\)
    ⓑ\((−1,3)\)

    Réponse

    ⓐ faux ⓑ vrai

    3. \(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{2}{3}x−5\\x+\frac{1}{2}y\leq 4\end{array}\right.\)

    ⓐ\((6, −4)\)
    ⓑ\((3, 0)\)

    4. \(\left\{\begin{array} {l} y<\frac{3}{2}x+3\\ \frac{3}{4}x−2y<5\end{array}\right.\)

    ⓐ\((−4,−1)\)
    ⓑ\((8, 3)\)

    Réponse

    ⓐ faux ⓑ vrai

    5. \(\left\{\begin{array} {l} 7x+2y>14\\5x−y\leq 8\end{array}\right.\)

    ⓐ\((2, 3)\)
    ⓑ\((7, −1)\)

    6. \(\left\{\begin{array} {l} 6x−5y<20\\−2x+7y>−8 \end{array}\right.\)

    ⓐ\((1, −3)\)
    ⓑ\((−4, 4)\)

    Réponse

    ⓐ faux ⓑ vrai

    Résolvez un système d'inégalités linéaires en graphiant

    Dans les exercices suivants, résolvez chaque système en traçant un graphique.

    7. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq 3x+2\\y>x−1\end{array}\right.\)

    8. \(\left\{\begin{array} {l} y<−2x+2\\y\geq −x−1\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités y inférieures à moins deux fois x plus deux et y supérieures ou égales à moins x moins un. Deux lignes qui se croisent sont affichées, l'une en rouge et l'autre en bleu. La zone délimitée par les deux lignes est représentée en gris.

    La solution est la zone grise.

    9. \(\left\{\begin{array} {l} y<2x−1\\y\leq −\frac{1}{2}x+4\end{array}\right.\)

    10. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq −\frac{2}{3}x+2\\y>2x−3\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités y supérieures ou égales à moins deux par trois x plus deux et y supérieures à deux fois x moins trois. Deux lignes qui se croisent, l'une en rouge et l'autre en bleu, sont affichées. La région délimitée par ces zones est représentée en gris.

    La solution est la zone grise.

    11. \(\left\{\begin{array} {l} x−y>1\\y<−\frac{1}{4}x+3\end{array}\right.\)

    12. \(\left\{\begin{array} {l} x+2y<4\\y<x−2\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités x moins deux fois y moins de quatre et y moins de x moins deux. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris.

    La solution est la zone grise.

    13. \(\left\{\begin{array} {l} 3x−y\geq 6\\y\geq −\frac{1}{2}x\end{array}\right.\)

    14. \(\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 8\\y\leq \frac{3}{4}x\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités deux fois x plus quatre fois y supérieur ou égal à huit et y inférieur ou égal à moins trois quarts de x. Deux droites se croisant, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont représentées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    15. \(\left\{\begin{array} {l} 2x−5y<10\\3x+4y\geq 12\end{array}\right.\)

    16. \(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\−4x−2y>8\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités trois fois x moins deux fois y inférieur ou égal à six et moins quatre fois x moins deux fois y supérieur à huit. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    17. \(\left\{\begin{array} {l} 2x+2y>−4\\−x+3y\geq 9\end{array}\right.\)

    18. \(\left\{\begin{array} {l} 2x+y>−6\\−x+2y\geq −4\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités deux fois x plus y supérieur à moins six et moins x plus deux fois y supérieur ou égal à moins quatre. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    19. \(\left\{\begin{array} {l} x−2y<3\\y\leq 1\end{array}\right.\)

    20. \(\left\{\begin{array} {l} x−3y>4\\y\leq −1\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités x moins trois fois y supérieur à quatre et y inférieur ou égal à moins un. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    21. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq −\frac{1}{2}x−3\\x\leq 2\end{array}\right.\)

    22. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{2}{3}x+5\\x\geq 3\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique de l'inégalité y inférieure ou égale à moins deux fois trois fois x plus cinq et x supérieur ou égal à trois. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    23. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq \frac{3}{4}x−2\\y<2\end{array}\right.\)

    24. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{2}x+3\\y<1\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités y inférieures ou égales à moins la moitié x plus trois et y inférieur à un. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    25. \(\left\{\begin{array} {l} 3x−4y<8\\x<1\end{array}\right.\)

    26. \(\left\{\begin{array} {l} −3x+5y>10\\x>−1\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités moins trois fois x plus cinq fois y supérieur à dix et x supérieur à moins un. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    27. \(\left\{\begin{array} {l} x\geq 3\\y\leq 2\end{array}\right.\)

    28. \(\left\{\begin{array} {l} x\leq −1\\y\geq 3\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités x inférieures ou égales à moins un et y supérieures ou égales à trois. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone délimitée par les lignes est représentée en gris. C'est la solution.

    La solution est la zone grise.

    29. \(\left\{\begin{array} {l} 2x+4y>4 \\ y\leq −\frac{1}{2}x−2\end{array}\right.\)

    30. \(\left\{\begin{array} {l} x−3y\geq 6\\y>\frac{1}{3}x+1\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités x moins trois fois y supérieur ou égal à six et y supérieur au tiers de x plus un. Deux lignes non croisées, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées.

    Aucune solution.

    31. \(\left\{\begin{array} {l} −2x+6y<0\\6y>2x+4\end{array}\right.\)

    32. \(\left\{\begin{array} {l} −3x+6y>12\\4y\leq 2x−4\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités moins trois fois x plus six fois y supérieur à douze et quatre fois y inférieur ou égal à deux fois x moins quatre. Deux lignes non croisées, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées.

    Aucune solution.

    33. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq −3x+2\\3x+y>5\end{array}\right.\)

    34. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq \frac{1}{2}x−1\\−2x+4y\geq 4\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités y supérieures ou égales à moins la moitié x moins un et moins deux fois x plus quatre fois y supérieur ou égal à quatre. Deux lignes non croisées, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone de solution est représentée en gris.

    La solution est la zone grise.

    35. \(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x−2\\x+4y<6\end{array}\right.\)

    36. \(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−1\\−3x+y>−4\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités y supérieures ou égales à trois fois x moins un et moins trois fois x plus y supérieures à moins quatre. Deux lignes non croisées, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone de solution est représentée en gris.

    La solution est la zone grise.

    37. \(\left\{\begin{array} {l} 3y>x+2\\−2x+6y>8\end{array}\right.\)

    38. \(\left\{\begin{array} {l} y<\frac{3}{4}x−2\\−3x+4y<7\end{array}\right.\)

    Réponse

    La figure montre le graphique des inégalités y inférieures à trois sur quatre x moins deux et moins trois x plus quatre y moins de sept. Deux lignes non croisées, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. La zone de solution est représentée en gris.

    La solution est la zone grise.

    Résoudre les applications des systèmes d'inégalités

    Dans les exercices suivants, traduisez en un système d'inégalités et résolvez.

    39. Caitlyn vend ses dessins à la foire du comté. Elle souhaite vendre au moins 60 dessins et possède des portraits et des paysages. Elle vend les portraits pour 15 dollars et les paysages pour 10 dollars. Elle doit vendre des dessins d'une valeur d'au moins 800$ pour réaliser des bénéfices.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Réussira-t-elle à faire des bénéfices si elle vend 20 portraits et 35 paysages ?
    ⓓ Réalisera-t-elle un profit si elle vend 50 portraits et 20 paysages ?

    40. Jake ne veut pas dépenser plus de 50$ en sacs d'engrais et de mousse de tourbe pour son jardin. L'engrais coûte 2 dollars le sac et la mousse de tourbe coûte 5 dollars le sac. La camionnette de Jake peut contenir jusqu'à 20 sacs.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Peut-il acheter 15 sacs d'engrais et 4 sacs de mousse de tourbe ?
    ⓓ Peut-il acheter 10 sacs d'engrais et 10 sacs de mousse de tourbe ?

    Réponse

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} f\geq 0 \\ p\geq 0 \\ f+p\leq 202 \\ f+5p\leq 50\end{array}\right.\)
    ⓑ

    La figure montre le graphe des inégalités f plus p inférieures ou égales à vingt et deux f et cinq p inférieures ou égales à cinquante. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. Une zone est représentée en gris.

    ⓒ Oui
    ⓓ Non

    41. Reiko doit envoyer ses cartes de Noël et ses colis par la poste et souhaite limiter ses frais d'envoi à 500$ au maximum. Le nombre de cartes est d'au moins 4, soit plus du double du nombre de packages. Le coût de l'envoi d'une carte (avec photos jointes) est de 3$ et pour un colis, le coût est de 7$.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Peut-elle envoyer 60 cartes et 26 colis ?
    ⓓ Peut-elle envoyer 90 cartes et 40 colis ?

    42. Juan prépare ses examens finaux de chimie et d'algèbre. Il sait qu'il ne dispose que de 24 heures pour étudier et qu'il lui faudra au moins trois fois plus de temps pour étudier l'algèbre que la chimie.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Peut-il consacrer 4 heures à la chimie et 20 heures à l'algèbre ?
    ⓓ Peut-il consacrer 6 heures à la chimie et 18 heures à l'algèbre ?

    Réponse

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} c\geq 0\\a\geq 0\\c+a\leq 24\\a\geq 3c\end{array}\right.\)
    ⓑ

    La figure montre le graphique des inégalités c plus a inférieures ou égales à vingt-quatre et supérieures ou égales à trois fois c. Deux droites se croisant, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont représentées. Une zone est représentée en gris.

    ⓒ Oui
    ⓓ Non

    43. Jocelyn est enceinte et doit donc manger au moins 500 calories de plus par jour que d'habitude. Lorsqu'elle fait ses courses un jour avec un budget de 15$ pour la nourriture supplémentaire, elle achète des bananes contenant 90 calories chacune et des barres granola au chocolat contenant 150 calories chacune. Les bananes coûtent 0,35$ chacune et les barres granola, 2,50$ chacune.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Pourrait-elle acheter 5 bananes et 6 barres granola ?
    ⓓ Pourrait-elle acheter 3 bananes et 4 barres granola ?

    44. Mark essaie de développer sa masse musculaire et doit donc manger au moins 80 grammes supplémentaires de protéines par jour. Une bouteille d'eau protéinée coûte 3,20$ et une barre protéinée coûte 1,75$. L'eau protéinée fournit 27 grammes de protéines et la barre en fournit 16 grammes. S'il a 10 dollars à dépenser

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Pourrait-il acheter 3 bouteilles d'eau protéinée et 1 barre protéinée ?
    ⓓ Ne pourrait-il pas acheter de bouteilles d'eau protéinée et 5 barres protéinées ?

    Réponse

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} w\geq 0\\b\geq 0\\27w+16b>80\\3.20w+1.75b\leq 10\end{array}\right.\)
    ⓑ

    La figure montre le graphique des inégalités vingt-sept fois w plus seize fois b supérieur à quatre-vingts et trois points deux fois w plus un point sept cinq b inférieur ou égal à dix. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. Une zone est représentée en gris.

    ⓒ non
    ⓓ oui

    45. Jocelyn souhaite augmenter à la fois sa consommation de protéines et son apport calorique. Elle souhaite consommer au moins 35 grammes de protéines de plus par jour et pas plus de 200 calories supplémentaires par jour. Une once de cheddar contient 7 grammes de protéines et 110 calories. Une once de parmesan contient 11 grammes de protéines et 22 calories.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Pourrait-elle manger 1 once de cheddar et 3 onces de parmesan ?
    ⓓ Pourrait-elle manger 2 onces de cheddar et 1 once de parmesan ?

    46. Mark augmente sa routine d'exercice en courant et en marchant au moins 4 miles par jour. Son objectif est de brûler un minimum de 1500 calories grâce à cet exercice. La marche brûle 270 calories par kilomètre et la course à pied, 650 calories.

    ⓐ Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
    ⓑ Tracez le système.
    ⓒ Pourrait-il atteindre son objectif en marchant 5 miles et en courant 1 mile ?
    ⓓ Pourrait-il être son objectif en marchant 2 miles et en courant 3 miles

    Réponse

    ⓐ\(\left\{\begin{array} {l} w\geq 0\\r\geq 0\\w+r\geq 4\\270w+650r\geq 1500\end{array}\right.\)
    ⓑ

    La figure montre le graphique des inégalités w plus r supérieures ou égales à quatre et deux soixante-dix w plus six cinquante r supérieures ou égales à quinze cents. Deux lignes qui se croisent, l'une en bleu et l'autre en rouge, sont affichées. Une zone est représentée en gris.

    ⓒ non
    ⓓ oui

    Exercices d'écriture

    47. Représentez graphiquement l'inégalité\(x−y\geq 3\) Comment savoir quel côté de la ligne\(x−y=3\) doit être ombré ?

    48. Tracez le système\(\left\{\begin{array} {l} x+2y\leq 6 \\ y\geq −\frac{1}{2}x−4\end{array}\right.\). Que signifie la solution ?

    Réponse

    Les réponses peuvent varier.

    Auto-vérification

    ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    La figure montre un tableau composé de quatre colonnes et de quatre rangées. La première ligne est la ligne de titre. Les quatre titres sont que je peux..., en toute confiance, avec de l'aide et non, je ne comprends pas ! Dans la deuxième ligne de la première colonne, le texte indique « déterminez si une paire ordonnée est la solution d'un système d'inégalités linéaires ». Dans la troisième ligne de la première colonne, le texte dit « résoudre les applications des systèmes d'inégalités ».

    ⓑ Que vous apprend cette liste de contrôle sur votre maîtrise de cette section ? Quelles mesures allez-vous prendre pour vous améliorer ?