4.8 : Représentation graphique des systèmes d'inégalités linéaires
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Déterminer si une paire ordonnée est la solution d'un système d'inégalités linéaires
- Résolvez un système d'inégalités linéaires en graphiant
- Résoudre des applications de systèmes d'inégalités
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Déterminer si une paire ordonnée est la solution d'un système d'inégalités linéaires
La définition d'un système d'inégalités linéaires est très similaire à la définition d'un système d'équations linéaires.
Deux inégalités linéaires ou plus regroupées forment un système d'inégalités linéaires.
Un système d'inégalités linéaires ressemble à un système d'équations linéaires, mais il comporte des inégalités au lieu d'équations. Un système de deux inégalités linéaires est présenté ici.
\[\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\nonumber\]
Pour résoudre un système d'inégalités linéaires, nous trouverons les valeurs des variables qui sont des solutions aux deux inégalités. Nous résolvons le système en utilisant les graphes de chaque inégalité et montrons la solution sous forme de graphique. Nous trouverons la région sur le plan qui contient toutes les paires ordonnées\((x,y)\) qui confirment les deux inégalités.
Les solutions d'un système d'inégalités linéaires sont les valeurs des variables qui rendent toutes les inégalités vraies.
La solution d'un système d'inégalités linéaires est présentée sous la forme d'une région ombrée dans le système de\(xy\) coordonnées qui inclut tous les points dont les paires ordonnées confirment les inégalités.
Pour déterminer si une paire ordonnée est une solution à un système de deux inégalités, nous substituons les valeurs des variables dans chaque inégalité. Si la paire ordonnée confirme les deux inégalités, c'est une solution pour le système.
Déterminez si la paire commandée est une solution pour le système\(\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\)
a.\((−2,4)\) b.\((3,1)\)
Solution :
a. La paire commandée est-elle\((−2,4)\) une solution ?
La paire ordonnée\((−2,4)\) a confirmé les deux inégalités. C'\((−2,4)\)est donc une solution à ce système.
b. La paire commandée est-elle\((3,1)\) une solution ?
La paire ordonnée\((3,1)\) a confirmé une inégalité, mais l'autre fausse. \((3,1)\)Ce n'est donc pas une solution à ce système.
Déterminez si la paire commandée est une solution pour le système :\(\left\{ \begin{array} {l} x−5y>10\\2x+3y>−2 \end{array} \right.\)
a.\((3,−1)\) b.\((6,−3)\)
- Réponse
-
a. non
b. oui
Déterminez si la paire commandée est une solution pour le système :\(\left\{ \begin{array} {l} y>4x−2\\4x−y<20 \end{array} \right.\)
a.\((−2,1)\) b.\((4,−1)\)
- Réponse
-
a. oui
b. non
Résolvez un système d'inégalités linéaires en graphiant
La solution à une inégalité linéaire unique est la région d'un côté de la ligne de démarcation qui contient tous les points qui rendent l'inégalité vraie. La solution à un système de deux inégalités linéaires est une région qui contient les solutions aux deux inégalités. Pour trouver cette région, nous allons représenter graphiquement chaque inégalité séparément, puis localiser la région où elles sont toutes deux vraies. La solution est toujours présentée sous forme de graphique.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 2x−1 \\ y<x+1\end{array}\right.\)
Solution :
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y<3x+2\\y>−x−1\end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y<−12x+3 \\ y<3x−4\end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
- Tracez la première inégalité.
- Tracez la ligne de limite.
- De l'ombre sur le côté de la ligne de démarcation où l'inégalité est vraie.
- Sur la même grille, tracez la deuxième inégalité.
- Tracez la ligne de limite.
- De l'ombre sur le côté de cette ligne de démarcation où l'inégalité est vraie.
- La solution est la zone où les ombres se chevauchent.
- Vérifiez en choisissant un point de test.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\)
Solution :
| \(\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{array}\right.\) | |
| \(x - y > 3,\)Tracez en traçant un graphique\(x - y = 3\) et en testant un point Les interceptions sont\(x = 3\)\(y = −3\) et la ligne de démarcation sera coupée en pointillés. Test\((0, 0)\) qui rend l'inégalité fausse afin d'ombrer (rouge) le côté qui ne contient pas\((0, 0).\) |
 |
| \(y<−15x+4\)Tracez un graphique\(y=−15x+4\) en utilisant la pente\(m=−15\) et l'\(y\)intersection.\(b = 4.\) La ligne de démarcation sera pointillée. Testez\((0, 0)\) ce qui confirme l'inégalité, donc ombrez (bleu) le côté qui contient\((0, 0).\) Choisissez un point de test dans la solution et vérifiez qu'il s'agit d'une solution aux deux inégalités. |
 |
Le point d'intersection des deux lignes n'est pas inclus car les deux lignes de démarcation étaient pointillées. La solution est la zone ombrée deux fois, qui apparaît comme la zone ombrée la plus foncée.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} x+y\leq 2 \\ y\geq \frac{2}{3}x−1\end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\y>−\frac{1}{4}x+5\end{array} \right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\)
Solution :
| \(\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array}\right.\) | |
| \(x−2y<5\)Tracez, en traçant\(x−2y=5\) et en testant un point. Les interceptions sont\(x = 5\)\(y = −2.5\) et la ligne de démarcation sera coupée en pointillés. Testez\((0, 0)\) ce qui rend l'inégalité vraie, donc ombrez (rouge) le côté qui contient\((0, 0).\) |
 |
| \(y>−4\)Tracez, en dessinant un graphique\(y=−4\) et en reconnaissant qu'il s'agit d'une ligne horizontale\(y=−4\). La ligne de démarcation sera pointillée. Test\((0, 0)\) qui rend l'inégalité vraie, donc ombrez (bleu) le côté qui contient\((0, 0).\) |
 |
Le problème\((0,0)\) réside dans la solution et nous avons déjà trouvé que c'était une solution à chaque inégalité. Le point d'intersection des deux lignes n'est pas inclus car les deux lignes de démarcation étaient pointillées.
La solution est la zone ombrée deux fois, qui apparaît comme la zone ombrée la plus foncée.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−2 \\ y<−1\end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} x>−4x−2 \\ y\geq −4 \end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Les systèmes d'inégalités linéaires où les lignes de démarcation sont parallèles n'ont peut-être pas de solution. Nous allons voir cela dans l'exemple suivant.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\)
Solution :
| \(\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right.\) | |
| \(4x+3y\geq 12\)Tracez, en traçant\(4x+3y=12\) et en testant un point. Les interceptions sont\(x = 3\) et\(y = 4\) et la ligne de démarcation sera solide. Test\((0, 0)\) qui rend l'inégalité fausse, donc ombrez (rouge) le côté qui ne contient pas\((0, 0).\) |
 |
| \(y<−\frac{4}{3}x+1\)Tracez un graphique\(y=−\frac{4}{3}x+1\) à l'aide de la pente\(m=−\frac{4}{3}\) et de\(b = 1.\) l'\(y\)intersection. La ligne de démarcation sera pointillée. Testez\((0, 0)\) ce qui rend l'inégalité vraie, donc ombrez (en bleu) le côté qui contient\((0, 0).\) |
 |
Il n'y a aucun point dans les deux zones ombrées, de sorte que le système n'a pas de solution.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\geq 12 \\ y\geq \frac{3}{2}x+1\end{array}\right.\)
- Réponse
-
Aucune solution.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} x+3y>8\\y<−\frac{1}{3}x−2\end{array}\right.\)
- Réponse
-
Aucune solution.
Certains systèmes d'inégalités linéaires où les lignes de démarcation sont parallèles auront une solution. Nous allons voir cela dans l'exemple suivant.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\)
Solution :
| \(\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{array}\right.\) | |
| \(y>\frac{1}{2}x−4\)Tracez\(y=\frac{1}{2}x−4\) en utilisant la pente\(m=\frac{1}{2}\) et l'intersection.\(b = −4.\) La ligne de démarcation sera pointillée. Testez\((0, 0)\) ce qui rend l'inégalité vraie, donc ombrez (rouge) le côté qui contient\((0, 0).\) |
 |
| \(x−2y<−4\)Tracez en traçant un graphique\(x−2y=−4\) et en testant un point Les interceptions sont\(x = -4\) \(y=2\) et la ligne de démarcation sera coupée en pointillés. Choisissez un point de test dans la solution et vérifiez qu'il s'agit d'une solution aux deux inégalités. Test\((0, 0)\) qui rend l'inégalité fausse, donc ombrez (en bleu) le côté qui ne contient pas\((0, 0).\) |
 |
Aucun point sur les lignes de démarcation n'est inclus dans la solution car les deux lignes sont pointillées.
La solution est la zone ombrée deux fois, qui est également la solution pour\(x−2y<−4\).
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x+1 \\ −3x+y\geq −4\end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Résolvez le système en représentant graphiquement :\(\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x+2\\x+4y\leq 4\end{array}\right.\)
- Réponse
-
La solution est la zone grise.
Résoudre les applications des systèmes d'inégalités
La première chose que nous devrons faire pour résoudre les applications des systèmes d'inégalités est de traduire chaque condition en inégalité. Ensuite, nous graphiquons le système, comme nous l'avons fait ci-dessus, pour voir la région qui contient les solutions. De nombreuses situations ne seront réalistes que si les deux variables sont positives. Nous ajoutons donc des inégalités au système en tant qu'exigences supplémentaires.
Christy vend ses photos sur un stand lors d'une foire de rue. Au début de la journée, elle souhaite avoir au moins 25 photos à exposer sur son stand. Chaque petite photo qu'elle expose lui coûte 4$ et chaque grande photo lui coûte 10$. Elle ne veut pas dépenser plus de 200$ en photos à exposer.
a. Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
b. Représentez le système sous forme graphique.
c. Pourrait-elle afficher 10 petites photos et 20 grandes photos ?
d. Pourrait-elle afficher 20 grandes photos et 10 petites photos ?
Solution :
un.
\(\begin{array} {ll} \text{Let} &{x=\text{the number of small photos.}} \\ {} &{y=\text{the number of large photos}}\end{array}\)
Pour trouver le système d'équations, traduisez les informations.
\( \qquad \begin{array} {l} \\ \\ \text{She wants to have at least 25 photos.} \\ \text{The number of small plus the number of large should be at least }25. \\ \hspace{45mm} x+y\geq 25 \\ \\ \\ $4 \text{ for each small and }$10\text{ for each large must be no more than }$200 \\ \hspace{40mm} 4x+10y\leq 200 \\ \\ \\ \text{The number of small photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} x\geq 0 \\ \\ \\ \text{The number of large photos must be greater than or equal to }0. \\ \hspace{50mm} y\geq 0 \end{array} \)
Nous avons notre système d'équations.
\(\hspace{65mm} \left\{\begin{array} {l} x+y\geq 25 \\4x+10y\leq 200\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.\)
b.
Puisque\(x\geq 0\) et\(y\geq 0\) (les deux sont supérieurs ou égaux à), toutes les solutions se trouveront dans le premier quadrant. Par conséquent, notre graphique ne montre que le premier quadrant.
| Pour représenter\(x+y\geq 25\) graphiquement, tracez un graphique\(x+y=25\) sous forme de ligne continue Choisissez\((0, 0)\) comme point de test. Comme cela ne signifie pas que l'inégalité est vraie, ombrez (rouge) le côté qui n'inclut pas le point\((0, 0).\) À tracer\(4x+10y\leq 200\), tracez un graphique\(4x+10y=200\) en trait plein. Choisissez\((0, 0)\) comme point de test. Comme cela confirme l'inégalité, ombrez (bleu) le côté qui inclut le point\((0, 0).\) |
 |
La solution du système est la zone du graphe qui est la plus foncée. Les sections de ligne de démarcation qui bordent la section ombrée foncée sont incluses dans la solution, de même que les points de l'\(x\)axe -de\((25, 0)\) à\((55, 0).\)
c. Pour déterminer si 10 petites photos et 20 grandes photos peuvent fonctionner, nous examinons le graphique pour voir si le point\((10, 20)\) se trouve dans la zone de solution. Nous pourrions également tester le point pour voir s'il s'agit d'une solution des deux équations.
Ce n'est pas le cas, Christy n'afficherait pas 10 petites et 20 grandes photos.
d. Pour déterminer si 20 petites photos et 10 grandes photos fonctionneraient, nous examinons le graphique pour voir si le point\((20, 10)\) se trouve dans la zone de solution. Nous pourrions également tester le point pour voir s'il s'agit d'une solution des deux équations.
C'est le cas, donc Christy a pu choisir d'exposer 20 petites et 10 grandes photos.
Notez que nous pourrions également tester les solutions possibles en substituant les valeurs dans chaque inégalité.
Une remorque peut transporter un poids maximum de 160 livres et un volume maximal de 15 pieds cubes. Un four à micro-ondes pèse 30 livres et a un volume de 2 pieds cubes, tandis qu'une imprimante pèse 20 livres et dispose de 3 pieds cubes d'espace.
a. Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
b. Représentez le système sous forme graphique.
c. Est-ce que cette remorque peut transporter 4 micro-ondes et 2 imprimantes ?
d. Est-ce que cette remorque peut transporter 7 micro-ondes et 3 imprimantes ?
- Réponse
-
a.\(\left\{\begin{array} {l} 30m+20p\leq 160\\2m+3p\leq 15\end{array}\right.\)
b.
c. oui
d. non
Mary doit acheter des feuilles de réponses et des crayons pour un test standardisé qui sera donné aux juniors de son lycée. Le nombre de feuilles de réponses nécessaires est supérieur d'au moins 5 au nombre de crayons. Les crayons coûtent 2$ et les feuilles de réponses coûtent 1$. Le budget de Mary pour ces fournitures permet un coût maximum de 400$.
a. Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
b. Représentez le système sous forme graphique.
c. Mary pourrait-elle acheter 100 crayons et 100 feuilles de réponses ?
d. Mary pourrait-elle acheter 150 crayons et 150 feuilles de réponses ?
- Réponse
-
a.\(\left\{\begin{array} {l} a\geq p+5 \\ a+2p\leq 400\end{array}\right.\)
b.
c. non
d. non
Lorsque nous utilisons des variables autres que\(x\) et\(y\) pour définir une quantité inconnue, nous devons également modifier les noms des axes du graphe.
Omar doit manger au moins 800 calories avant de se rendre à l'entraînement de son équipe. Il ne veut que des hamburgers et des biscuits, et il ne veut pas dépenser plus de 5 dollars. Au restaurant de hamburgers près de son université, chaque hamburger contient 240 calories et coûte 1,40$. Chaque biscuit contient 160 calories et coûte 0,50$.
a. Écrivez un système d'inégalités pour modéliser cette situation.
b. Représentez le système sous forme graphique.
c. Pourrait-il manger 3 hamburgers et 1 biscuit ?
d. Pourrait-il manger 2 hamburgers et 4 biscuits ?
Solution :
un.
\(\begin{array} {ll} \text{Let} & h=\text{the number of hamburgers.} \\ & c=\text{the number of cookies}\end{array}\)
Pour trouver le système d'équations, traduisez les informations.
Les calories provenant des hamburgers à 240 calories chacun, plus les calories des biscuits à 160 calories chacun doivent être supérieures à 800.
\(\qquad \begin{array} {l} \hspace{40mm} 240h+160c\geq 800 \\ \\ \\ \text{The amount spent on hamburgers at }$1.40\text{ each, plus the amount spent on cookies}\\\text{at }$0.50\text{ each must be no more than }$5.00.\\ \hspace{40mm} 1.40h+0.50c\leq 5 \\ \\ \\ \text{The number of hamburgers must be greater than or equal to 0.} \\ \hspace{50mm} h\geq 0 \\ \text{The number of cookies must be greater than or equal to 0.}\\ \hspace{50mm} c\geq 0 \end{array} \)
\(\text{We have our system of equations.} \qquad \left\{ \begin{array} {l} 240h+160c\geq 800 \\ 1.40h+0.50c\leq 5 \\ h\geq 0 \\ c\geq 0\end{array} \right.\)
b.
Puisque\(h\geq 0\) et\(c\geq 0\) (les deux sont supérieurs ou égaux à), toutes les solutions se trouveront dans le premier quadrant. Par conséquent, notre graphique ne montre que le premier quadrant.
| Pour représenter\(240h+160c\geq 800\) graphiquement, tracez un graphique\(240h+160c=800\) sous forme de ligne continue Choisissez\((0, 0)\) comme point de test. Comme cela ne signifie pas que l'inégalité est vraie, ombrez (rouge) le côté qui n'inclut pas le point\((0, 0).\) |
 |
Graphe\(1.40h+0.50c\leq 5\). La ligne de démarcation est\(1.40h+0.50c=5\). Nous testons\((0, 0)\) et cela confirme l'inégalité. Nous ombrons le côté de la ligne qui inclut\((0, 0).\)
La solution du système est la zone du graphe qui est la plus foncée. Les sections de ligne de démarcation qui bordent la section ombrée foncée sont incluses dans la solution, de même que les points de l'\(x\)axe -de\((5, 0)\) à\((10, 0).\)
c. Pour déterminer si 3 hamburgers et 2 biscuits répondent aux critères d'Omar, nous voyons si le point\((3, 2)\) se trouve dans la zone de solution. C'est vrai, donc Omar pourrait choisir de manger 3 hamburgers et 2 biscuits.
d. Pour déterminer si 2 hamburgers et 4 biscuits répondent aux critères d'Omar, nous voyons si le point\((2, 4)\) se trouve dans la zone de solution. Oui, Omar pourrait choisir de manger 2 hamburgers et 4 biscuits.
Nous pourrions également tester les solutions possibles en substituant les valeurs dans chaque inégalité.
La tension a besoin de consommer au moins 1 000 calories supplémentaires par jour pour se préparer à courir un marathon. Il n'a que 25$ à dépenser pour les aliments supplémentaires dont il a besoin et il les dépensera pour des beignets de 0,75$ contenant 360 calories chacun et 2 dollars pour des boissons énergisantes contenant 110 calories.
a. Rédigez un système d'inégalités qui modélise cette situation.
b. Représentez le système sous forme graphique.
c. Peut-il acheter 8 beignets et 4 boissons énergisantes et satisfaire ses besoins caloriques ?
d. Peut-il acheter 1 beignet et 3 boissons énergisantes et satisfaire ses besoins caloriques ?
- Réponse
-
a.\(\left\{\begin{array} {l} 0.75d+2e\leq 25\\360d+110e\geq 1000\end{array}\right.\)
b.
c. oui
d. non
Le médecin de Philip lui dit qu'il devrait ajouter au moins 1 000 calories supplémentaires par jour à son alimentation habituelle. Philip veut acheter des barres protéinées qui coûtent 1,80$ chacune et contiennent 140 calories et du jus qui coûte 1,25$ par bouteille et contient 125 calories. Il ne veut pas dépenser plus de 12 dollars.
a. Rédigez un système d'inégalités qui modélise cette situation.
b. Représentez le système sous forme graphique.
c. Peut-il acheter 3 barres protéinées et 5 bouteilles de jus ?
d. Peut-il acheter 5 barres protéinées et 3 bouteilles de jus ?
- Réponse
-
a.\(\left\{\begin{array} {l} 140p+125j\geq 1000\\1.80p+1.25j\leq 12\end{array}\right.\)
b.
c. oui
d. non
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- Résolution de systèmes d'inégalités linéaires par représentation graphique
- Systèmes d'inégalités linéaires
Concepts clés
- Solutions d'un système d'inégalités linéaires : Les solutions d'un système d'inégalités linéaires sont les valeurs des variables qui vérifient toutes les inégalités. La solution d'un système d'inégalités linéaires est présentée sous la forme d'une région ombrée dans le système de\(xy\) coordonnées qui inclut tous les points dont les paires ordonnées confirment les inégalités.
- Comment résoudre un système d'inégalités linéaires à l'aide d'un graphique.
- Tracez la première inégalité.
Tracez la ligne de démarcation
De l'ombre sur le côté de la ligne de démarcation où l'inégalité est vraie. - Sur la même grille, tracez la deuxième inégalité.
Tracez la ligne de démarcation
De l'ombre sur le côté de cette ligne de démarcation où l'inégalité est vraie. - La solution est la zone où les ombres se chevauchent.
- Vérifiez en choisissant un point de test.
- Tracez la première inégalité.
Lexique
- système d'inégalités linéaires
- Deux inégalités linéaires ou plus regroupées forment un système d'inégalités linéaires.