4.7E : Exercices

Last updated
Save as PDF

Page ID: 194180

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Évaluer le déterminant d'une matrice 2 × 2

Dans les exercices suivants, évaluez le déterminant de chaque matrice carrée.

$\left[\begin{matrix}6&−2\\3&−1\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}−4&8\\−3&5\end{matrix}\right]$

Réponse: $4$

$\left[\begin{matrix}−3&5\\0&−4\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}−2&0\\7&−5\end{matrix}\right]$

Réponse: $10$

Évaluer le déterminant d'une matrice 3 × 3

Dans les exercices suivants, trouvez puis évaluez les mineurs indiqués.

$\left|\begin{matrix}3&−1&4\\−1&0&−2\\−4&1&5\end{matrix}\right|$

Trouvez le mineur ⓐ$a_1$ ⓑ$b_2$ ⓒ$c_3$

$\left|\begin{matrix}−1&−3&2\\4&−2&−1\\−2&0&−3\end{matrix}\right|$

Trouvez le mineur ⓐ$a_1$ ⓑ$b_1$ ⓒ$c_2$

Réponse: ⓐ 6 ⓑ$−14$ ⓒ$−6$

$\left|\begin{matrix}2&−3&−4\\−1&2&−3\\0&−1&−2\end{matrix}\right|$

Trouvez le mineur ⓐ$a_2$ ⓑ$b_2$ ⓒ$c_2$

$\left|\begin{matrix}−2&−2&3\\1&−3&0\\−2&3&−2\end{matrix}\right|$

Trouvez le mineur ⓐ$a_3$ ⓑ$b_3$ ⓒ$c_3$

Réponse: ⓐ 9 ⓑ$−3$ ⓒ 8

Dans les exercices suivants, évaluez chaque déterminant en le développant par mineurs le long de la première rangée.

$\left|\begin{matrix}−2&3&−1\\−1&2&−2\\3&1&−3\end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix}4&−1&−2\\−3&−2&1\\−2&−5&7\end{matrix}\right|$

Réponse: $−77$

$\left|\begin{matrix}−2&−3&−4\\5&−6&7\\−1&2&0\end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix}1&3&−2\\5&−6&4\\0&−2&−1\end{matrix}\right|$

Réponse: $49$

Dans les exercices suivants, évaluez chaque déterminant en l'élargissant aux mineurs.

$\left|\begin{matrix}−5&−1&−4\\4&0&−3\\2&−2&6\end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix}4&−1&3\\3&−2&2\\−1&0&4\end{matrix}\right|$

Réponse: $−24$

$\left|\begin{matrix}3&5&4\\−1&3&0\\−2&6&1\end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix}2&−4&−3\\5&−1&−4\\3&2&0\end{matrix}\right|$

Réponse: $25$

Utilisez la règle de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations

Dans les exercices suivants, résolvez chaque système d'équations à l'aide de la règle de Cramer.

$\left\{\begin{array} {l} −2x+3y=3\\x+3y=12\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} x−2y=−5\\2x−3y=−4\end{array}\right.$

Réponse: $(7,6)$

$\left\{\begin{array} {l} x−3y=−9\\2x+5y=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 2x+y=−4\\3x−2y=−6\end{array}\right.$

Réponse: $(−2,0)$

$\left\{\begin{array} {l} x−2y=−5\\2x−3y=−4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} x−3y=−9\\2x+5y=4\end{array}\right.$

Réponse: $(−3,2)$

$\left\{\begin{array} {l} 5x−3y=−1\\2x−y=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 3x+8y=−3\\2x+5y=−3\end{array}\right.$

Réponse: $(−9,3)$

$\left\{\begin{array} {l} 6x−5y+2z=3\\2x+y−4z=5\\3x−3y+z=−1 \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 4x−3y+z=7\\2x−5y−4z=3\\3x−2y−2z=−7\end{array}\right.$

Réponse: $(−3,−5,4)$

$\left\{\begin{array} {l} 2x−5y+3z=8\\3x−y+4z=7\\x+3y+2z=−3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 11x+9y+2z=−9\\7x+5y+3z=−7\\4x+3y+z=−3\end{array}\right.$

Réponse: $(2,−3,−2)$

$\left\{\begin{array} {l} x+2z=0\\4y+3z=−2\\2x−5y=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 2x+5y=4\\3y−z=3\\4x+3z=−3\end{array}\right.$

Réponse: $(−3,2,3)$

$\left\{\begin{array} {l} 2y+3z=−1\\5x+3y=−6\\7x+z=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 3x−z=−3\\5y+2z=−6\\4x+3y=−8\end{array}\right.$

Réponse: $(−2,0,−3)$

$\left\{\begin{array} {l} 2x+y=3\\6x+3y=9\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} x−4y=−1\\−3x+12y=3\end{array}\right.$

Réponse: une infinité de solutions

$\left\{\begin{array} {l} −3x−y=4\\6x+2y=−16\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 4x+3y=2\\20x+15y=5\end{array}\right.$

Réponse: incohérent

$\left\{\begin{array} {l} x+y−3z=−1\\y−z=0\\−x+2y=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} 2x+3y+z=1\\2x+y+z=9\\3x+4y+2z=20\end{array}\right.$

Réponse: incohérent

$\left\{\begin{array} {l} 3x+4y−3z=−2\\2x+3y−z=−1\\2x+y−2z=6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array} {l} x−2y+3z=1\\x+y−3z=7\\3x−4y+5z=7\end{array}\right.$

Réponse: une infinité de solutions

Résolvez des applications en utilisant

Dans les exercices suivants, déterminez si les points donnés sont colinéaires.

$(0,1)$$(2,0)$, et$(−2,2)$.

$(0,−5)$$(−2,−2)$, et$(2,−8)$.

Réponse: oui

$(4,−3)$$(6,−4)$, et$(2,−2)$.

$(−2,1)$$(−4,4)$, et$(0,−2)$.

Réponse: non

Exercices d'écriture

Expliquez la différence entre une matrice carrée et son déterminant. Donnez un exemple de chacune d'entre elles.

Expliquez ce que signifie le mineur d'une entrée dans une matrice carrée.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

Expliquez comment choisir la ligne ou la colonne à utiliser pour développer un$3×3$ déterminant.

Expliquez les étapes pour résoudre un système d'équations à l'aide de la règle de Cramer.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

Auto-vérification

ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$Ce tableau comporte 4 colonnes, 4 lignes et une ligne d'en-tête. La ligne d'en-tête étiquette chaque colonne : je peux, en toute confiance, avec de l'aide et non, je ne comprends pas. La première colonne contient les énoncés suivants : Évaluer le déterminant d'une matrice 2 par 2, Évaluer le déterminant d'une matrice 3 par 3, utiliser la règle de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations, résoudre des applications à l'aide de déterminants. Les colonnes restantes sont vides.$

ⓑ Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour atteindre tous les objectifs en toute confiance ?