4.6E : Exercices

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Ecrire la matrice augmentée pour un système d'équations

Dans les exercices suivants, écrivez chaque système d'équations linéaires sous forme de matrice augmentée.

ⓐ$\left\{ \begin{array} {l} 3x−y=−1\\ 2y=2x+5\end{array} \right.$
ⓑ$\left\{ \begin{array} {l} 4x+3y=−2\\ x−2y−3z=7 \\ 2x−y+2z=−6 \end{array} \right.$

ⓐ$\left\{ \begin{array} {l} 2x+4y=−5\\ 3x−2y=2\end{array} \right.$
ⓑ$\left\{ \begin{array} {l} 3x−2y−z=−2\\ −2x+y=5 \\ 5x+4y+z=−1 \end{array} \right.$

Réponse: ⓐ$\left[ \begin{matrix} 2 &4 &−5 \\ 3 &−2 &2 \end{matrix} \right]$
ⓑ$\left[ \begin{matrix} 3 &−2 &−1 &−2 \\ −2 &1 &0 &5 \\ 5 &4 &1 &−1 \end{matrix} \right]$

ⓐ$\left\{ \begin{array} {l} 3x−y=−4 \\ 2x=y+2 \end{array} \right.$
ⓑ$\left\{ \begin{array} {l} x−3y−4z=−2 \\ 4x+2y+2z=5 \\ 2x−5y+7z=−8 \end{array} \right.$

ⓐ$\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y=−3 \\ 4x=3y−1 \end{array} \right.$
ⓑ$\left\{ \begin{array} {l} 4x+3y−2z=−3 \\ −2x+y−3z=4 \\ −x−4y+5z=−2 \end{array} \right.$

Réponse: ⓐ$\left[ \begin{matrix} 2 &−5 &−3 \\ 4 &−3 &−1 \end{matrix} \right]$
ⓑ$\left[ \begin{matrix} 4 &3 &−2 &−3 \\ −2 &1 &−3 &4 \\ −1 &−4 &5 &−2 \end{matrix} \right]$

Ecrivez le système d'équations qui correspond à la matrice augmentée.

$\left[ \begin{array} {cc|c} 2 &−1 &4 \\ 1 &−3 &2 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array} {cc|c} 2 &−4 &-2 \\ 3 &−3 &-1 \end{array} \right]$

Réponse: $\left\{ \begin{array} {l} 2x−4y=−2 \\ 3x−3y=−1 \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array} {ccc|c} 1 &0 &−3 &-1 \\ 1 &−2 &0 &-2 \\ 0 &−1 &2 &3 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array} {ccc|c} 2 &−2 &0 &-1 \\ 0 &2 &−1 &2 \\ 3 &0 &−1 &-2 \end{array} \right]$

Réponse: $\left\{ \begin{array} {l} 2x−2y=−1 \\ 2y−z=2 \\ 3x−z=−2 \end{array} \right.$

Utiliser des opérations de ligne sur une matrice

Dans les exercices suivants, effectuez les opérations indiquées sur les matrices augmentées.

$\left[ \begin{array} {cc|c} 6 &−4 &3 \\ 3 &−2 &1 \end{array} \right]$

ⓐ Échangez les rangées 1 et 2

ⓑ Multipliez la ligne 2 par 3

$\left[ \begin{array} {cc|c} 4 &−6 &-3 \\ 3 &2 &1 \end{array} \right]$

ⓐ Échangez les rangées 1 et 2

ⓑ Multipliez la ligne 1 par 4

Réponse: ⓐ$\left[ \begin{matrix} 3 &2 &1 \\ 4 &−6 &−3 \end{matrix} \right]$
ⓑ$\left[ \begin{matrix} 12 &8 &4 \\ 4 &−6 &−3 \end{matrix} \right]$
ⓒ$\left[ \begin{matrix} 12 &8 &4 \\ 24 &−10 &−5 \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{array} {ccc|c} 4 &−12 &−8 &16 \\ 4 &−2 &−3 &-1 \\ −6 &2 &−1 &-1 \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array} {ccc|c} 6 &−5 &2 &3 \\ 2 &1 &−4 &5 \\ 3 &−3 &1 &-1 \end{array} \right]$

Réponse: ⓐ$\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{matrix} \right]$
ⓑ$\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{matrix} \right]$
ⓒ$\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ −4 &7 &−6 &7 \end{matrix} \right]$

Effectuez l'opération de ligne nécessaire pour que la première entrée de la ligne 2 soit nulle dans la matrice augmentée :$\left[ \begin{array} {cc|c} 1 &2 &5 \\ −3 &−4 &-1 \end{array} \right]$

Effectuez les opérations de ligne nécessaires pour que la première entrée de la ligne 2 et de la ligne 3 soit nulle dans la matrice augmentée :$\left[ \begin{array} {ccc|c} 1 &−2 &3 &-4 \\ 3 &−1 &−2 &5 \\ 2 &−3 &−4 &1 \end{array} \right]$

Réponse: $\left[ \begin{matrix} 1 &−2 &3 &−4 \\ 0 &5 &−11 &17 \\ 0 &1 &−10 &7 \end{matrix} \right]$

Résoudre des systèmes d'équations à l'aide

Dans les exercices suivants, résolvez chaque système d'équations à l'aide d'une matrice.

$\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=2 \\ x−y=−2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=2 \\ x−y=2 \end{array} \right.$

Réponse: $(1,−1)$

$\left\{ \begin{array} {l} −x+2y=−2 \\ x+y=−4 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} −2x+3y=3 \\ x+3y=12 \end{array} \right.$

Réponse: $(3,3)$

Dans les exercices suivants, résolvez chaque système d'équations à l'aide d'une matrice.

$\left\{ \begin{array} {l} 2x−3y+z=19 \\ −3x+y−2z=−1 \\ 5x+y+z=0 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} 2x−y+3z=−3 \\ −x+2y−z=10 \\ x+y+z=5 \end{array} \right.$

Réponse: $(−2,5,2)$

$\left\{ \begin{array} {l} 2x−6y+z=3 \\ 3x+2y−3z=2 \\ 2x+3y−2z=3 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y+z=7 \\ 2x−5y−4z=3 \\ 3x−2y−2z=−7 \end{array} \right.$

Réponse: $(−3,−5,4)$

$\left\{ \begin{array} {l} x+2z=0 \\ 4y+3z=−2 \\ 2x−5y=3 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} 2x+5y=4 \\ 3y−z=3 \\ 4x+3z=−3 \end{array} \right.$

Réponse: $(−3,2,3)$

$\left\{ \begin{array} {l} 2y+3z=−1 \\ 5x+3y=−6 \\ 7x+z=1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} 3x−z=−3 \\ 5y+2z=−6 \\ 4x+3y=−8 \end{array} \right.$

Réponse: $(−2,0,−3)$

$\left\{ \begin{array} {l} 2x+3y+z=1 \\ 2x+y+z=9 \\ 3x+4y+2z=20 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} x+2y+6z=5 \\ −x+y−2z=3 \\ x−4y−2z=1 \end{array} \right.$

Réponse: aucune solution

$\left\{ \begin{array} {l} x+2y−3z=−1 \\ x−3y+z=1 \\ 2x−y−2z=2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y+2z=0 \\ −2x+3y−7z=1 \\ 2x−2y+3z=6 \end{array} \right.$

Réponse: aucune solution

$\left\{ \begin{array} {l} x−y+2z=−4 \\ 2x+y+3z=2 \\ −3x+3y−6z=12 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} −x−3y+2z=14 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x+y−2z=6 \end{array} \right.$

Réponse: infiniment de solutions$(x,y,z)$ où se$x=12z+4;\space y=12z−6;\space z$ trouve n'importe quel nombre réel

$\left\{ \begin{array} {l} x+y−3z=−1 \\ y−z=0 \\ −x+2y=1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} {l} x+2y+z=4 \\ x+y−2z=3 \\ −2x−3y+z=−7 \end{array} \right.$

Réponse: infiniment de solutions$(x,y,z)$ où se$x=5z+2;\space y=−3z+1;\space z$ trouve n'importe quel nombre réel

Exercices d'écriture

Résolvez le système d'équations$\left\{ \begin{array} {l} x+y=10 \\ x−y=6\end{array} \right.$ ⓐ par représentation graphique et ⓑ par substitution. ⓒ Quelle méthode préférez-vous ? Pourquoi ?

Résolvez le système d'équations$\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=1 \\ 2x=y−8 \end{array} \right.$ par substitution et expliquez toutes vos étapes avec des mots.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

Auto-vérification

ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$Ce tableau comporte 4 colonnes, 5 lignes et une ligne d'en-tête. La ligne d'en-tête étiquette chaque colonne que je peux, en toute confiance, avec de l'aide et non, je ne comprends pas. La première colonne contient les instructions suivantes : Écrire la matrice augmentée pour un système d'équations, Utiliser des opérations de ligne sur une matrice, Résoudre des systèmes d'équations à l'aide de matrices, Écrire la matrice augmentée pour un système d'équations, Utiliser des opérations de ligne sur une matrice. Les colonnes restantes sont vides.$

ⓑ Après avoir examiné la liste de contrôle, pensez-vous être bien préparé pour la section suivante ? Pourquoi ou pourquoi pas ?