3.4 : Trouver l'équation d'une droite
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Trouvez une équation de la droite en fonction de la pente et de l'intersection Y
- Trouvez une équation de la droite en fonction de la pente et d'un point
- Trouvez une équation de la droite à partir de deux points
- Trouve l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée
- Trouve l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Comment les entreprises en ligne savent-elles que « vous pouvez également aimer » un article en particulier en fonction de ce que vous venez de commander ? Comment les économistes peuvent-ils savoir comment une hausse du salaire minimum affectera le taux de chômage ? Comment les chercheurs en médecine créent-ils des médicaments pour cibler les cellules cancéreuses ? Comment les ingénieurs de la circulation peuvent-ils prévoir l'effet sur votre temps de trajet d'une hausse ou d'une baisse du prix de l'essence ? Ce ne sont que des mathématiques.
Les sciences physiques, les sciences sociales et le monde des affaires regorgent de situations qui peuvent être modélisées à l'aide d'équations linéaires reliant deux variables. Pour créer un modèle mathématique d'une relation linéaire entre deux variables, nous devons être en mesure de trouver l'équation de la droite. Dans cette section, nous allons examiner plusieurs manières d'écrire l'équation d'une droite. La méthode spécifique que nous utilisons sera déterminée par les informations qui nous seront fournies.
Trouvez une équation de la droite en fonction de la pente et de l'intersection y
Nous pouvons facilement déterminer la pente et l'intersection d'une droite si l'équation est écrite sous forme d'intersection de pente,\(y=mx+b\). Nous allons maintenant faire l'inverse : nous allons commencer par la pente et l'intersection y et les utiliser pour trouver l'équation de la droite.
Détermine l'équation d'une droite avec pente\(−9\) et intersection \((0,−4)\)y.
- Réponse
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Comme on nous donne la pente et l'intersection y de la ligne, nous pouvons substituer les valeurs nécessaires dans la forme d'intersection de pente,\(y=mx+b\).
Donnez un nom à la pente. 
Nommez l'intercept y. 
Remplacez les valeurs par\(y=mx+b\). 
Détermine l'équation d'une droite avec pente\(25\) et intersection \((0,4)\)y.
- Réponse
-
\(y=\frac{2}{5}x+4\)
Détermine l'équation d'une droite avec pente\(−1\) et intersection \((0,−3)\)y.
- Réponse
-
\(y=−x−3\)
Parfois, la pente et l'intersection doivent être déterminées à partir du graphique.
Trouvez l'équation de la droite indiquée sur le graphique.
- Réponse
-
Nous devons trouver la pente et l'intersection y de la droite à partir du graphique afin de pouvoir substituer les valeurs nécessaires dans la forme d'intersection de pente,\(y=mx+b\).
Pour trouver la pente, nous choisissons deux points sur le graphique.
L'intersection y est\((0,−4)\) et le graphe passe\((3,−2)\).
Déterminez la pente en comptant la montée et la course. 
Trouvez l'intersection y. 
Remplacez les valeurs par y=mx+b.y=mx+b. 
Trouvez l'équation de la droite indiquée sur le graphique.
- Réponse
-
\(y=\frac{3}{5}x+1\)
Trouvez l'équation de la droite indiquée sur le graphique.
- Réponse
-
\(y=\frac{4}{3}x−5\)
Trouvez une équation de la droite en fonction de la pente et d'un point
La recherche de l'équation d'une droite à l'aide de la forme d'intersection de pente de l'équation fonctionne bien lorsque l'on vous donne la pente et l'intersection y ou lorsque vous les lisez sur un graphique. Mais que se passe-t-il lorsque vous avez un autre point au lieu de l'intersection y ?
Nous allons utiliser la formule de pente pour dériver une autre forme d'équation de la droite.
Supposons que nous ayons une droite qui a une pente m et qui contient un point spécifique\((x_1,y_1)\) et un autre point, que nous appellerons simplement\((x,y)\). Nous pouvons écrire la pente de cette ligne, puis la changer sous une forme différente.
\( \begin{array} {llll} {} &{m} &= &{\frac{y-y_1}{x-x_1}} \\ {\text{Multiply both sides of the equation by }x−x_1.} &{m(x-x_1)} &= &{\left( \frac{y−y_1}{x−x_1} \right)(x−x_1)} \\ {\text{Simplify.}} &{m(x-x_1)} &= &{y-y_1} \\ {\text{Rewrite the equation with theyterms on the left.}} &{y-y_1} &= &{m(x-x_1)} \\ \end{array} \)
Ce format est appelé forme de pente ponctuelle d'une équation d'une droite.
La forme ponctuelle d'une équation d'une droite de pente m et contenant le point\((x_1,y_1)\) est la suivante :
\[y−y_1=m(x−x_1) \nonumber\]
Nous pouvons utiliser la forme de pente ponctuelle d'une équation pour trouver l'équation d'une droite lorsque nous connaissons la pente et au moins un point. Ensuite, nous allons réécrire l'équation sous forme d'intersection de pente. La plupart des applications d'équations linéaires utilisent la forme d'intersection de pente.
Comment trouver l'équation d'une droite en fonction d'un point et d'une pente
Trouvez l'équation d'une droite\(m=−\frac{1}{3}\) dont la pente contient le point\((6,−4)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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Trouvez l'équation d'une droite avec pente\(m=−\frac{2}{5}\) et contenant le point\((10,−5)\).
- Réponse
-
\(y=−\frac{2}{5}x−1\)
Trouvez l'équation d'une droite avec pente\(m=−\frac{3}{4}\) et contenant le point\((4,−7)\).
- Réponse
-
\(y=−\frac{3}{4}x−4\)
Nous listons les étapes pour vous y référer facilement.
- Identifiez la pente.
- Identifiez le point.
- Substituez les valeurs dans la forme à pente ponctuelle,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
Trouvez l'équation d'une ligne horizontale qui contient le point\((−2,−6)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
Chaque ligne horizontale a une pente 0. Nous pouvons remplacer la pente et les points par la forme de pente ponctuelle,\(y−y_1=m(x−x1)\).
Identifiez la pente. 
Identifiez le point. 
Substituez les valeurs par y−y1=m (x−x1) .y−y1=m (x−x1). 
Simplifiez. 
Écrivez sous forme d'interception de pente. Il est au format Y, mais peut être écrit\(y=0x−6\). Avons-nous fini par avoir la forme d'une ligne horizontale,\(y=a\) ?
Trouvez l'équation d'une ligne horizontale contenant le point\((−3,8)\).
- Réponse
-
\(y=8\)
Trouvez l'équation d'une ligne horizontale contenant le point\((−1,4)\).
- Réponse
-
\(y=4\)
Trouvez une équation de la droite à partir de deux points
Lorsque des données du monde réel sont collectées, un modèle linéaire peut être créé à partir de deux points de données. Dans l'exemple suivant, nous verrons comment trouver l'équation d'une droite lorsque seulement deux points sont donnés.
Jusqu'à présent, nous avons deux options pour trouver l'équation d'une droite : pente d'intersection ou pente ponctuelle. Lorsque nous commençons avec deux points, il est plus logique d'utiliser la forme de pente ponctuelle.
Mais ensuite, nous avons besoin de la pente. Pouvons-nous trouver la pente avec seulement deux points ? Oui. Ensuite, une fois que nous avons la pente, nous pouvons l'utiliser avec l'un des points donnés pour trouver l'équation.
Comment trouver l'équation d'une droite à deux points
Trouvez l'équation d'une droite contenant les points\((−3,−1)\) et\((2,−2)\) écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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Trouvez l'équation d'une droite contenant les points\((−2,−4)\) et\((1,−3)\).
- Réponse
-
\(y=\frac{1}{3}x−\frac{10{3}\)
Trouvez l'équation d'une droite contenant les points\((−4,−3)\) et\((1,−5)\).
- Réponse
-
\(y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}\)
Les étapes sont résumées ici.
- Trouvez la pente en utilisant les points donnés. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- Choisissez un point.
- Substituez les valeurs sous la forme d'une pente ponctuelle :\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
Trouvez l'équation d'une droite contenant les points\((−3,5)\) et\((−3,4)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
Encore une fois, la première étape sera de trouver la pente.
Déterminez la pente de la ligne passant par\((−3,5)\) et\((−3,4)\).
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\]
\[m=\frac{4−5}{−3−(−3)} \nonumber\]
\[m=\frac{−1}{0} \nonumber\]
La pente n'est pas définie.
Cela nous indique qu'il s'agit d'une ligne verticale. Nos deux points ont une coordonnée x de\(−2\). Donc, notre équation de la droite est\(x=−2\). Comme il n'y a pas de y, nous ne pouvons pas l'écrire sous forme d'interception de pente.
Vous pouvez dessiner un graphique en utilisant les deux points donnés. Votre graphique est-il en accord avec notre conclusion selon laquelle il s'agit d'une ligne verticale ?
Trouvez l'équation d'une droite contenant les points\((5,1)\) et\((5,−4)\).
- Réponse
-
\(x=5\)
Trouvez l'équation d'une droite contenant les points\((−4,4)\) et\((−4,3)\).
- Réponse
-
\(x=−4\)
Nous avons vu que nous pouvons utiliser soit la forme d'intersection de pente, soit la forme de pente ponctuelle pour trouver l'équation d'une droite. Le formulaire que nous utilisons dépend des informations qui nous sont fournies.
| Pour écrire l'équation d'une droite | ||
|---|---|---|
| En cas d'administration : | Utilisation : | Formulaire : |
| Pente et intersection en Y | interception de pente | \(y=mx+b\) |
| Pente et point | pente ponctuelle | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
| Deux points | pente ponctuelle | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
Trouver l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée
Supposons que nous devions trouver l'équation d'une droite passant par un point spécifique et parallèle à une droite donnée. Nous pouvons utiliser le fait que les lignes parallèles ont la même pente. Nous aurons donc un point et la pente, exactement ce dont nous avons besoin pour utiliser l'équation des points de pente.
Tout d'abord, regardons cela graphiquement.
Ce graphique montre que\(y=2x−3.\) nous voulons tracer une ligne parallèle à cette ligne et passant par le point\((−2,1)\).
Nous savons que les lignes parallèles ont la même pente. La deuxième ligne aura donc la même pente que\(y=2x−3\). Cette pente l'est\(m_∥=2\). Nous utiliserons la notation mm pour représenter la pente d'une droite parallèle à une droite de pente m. (Notez que l'indice || ressemble à deux lignes parallèles.)
La deuxième ligne passera\((−2,1)\) et aura\(m=2\).
Pour tracer la courbe, nous commençons par\((−2,1)\) et comptons la hausse et la course.
Avec\(m=2\) (ou\(m=\frac{2}{1}\)), on compte la hausse 2 et la course 1. Nous tracons la ligne, comme indiqué sur le graphique.
Les lignes apparaissent-elles parallèles ? Est-ce que la deuxième ligne passe\((−2,1)\) ?
On nous a demandé de tracer la ligne, maintenant voyons comment procéder de manière algébrique.
Nous pouvons utiliser la forme d'intersection de pente ou la forme de pente ponctuelle pour trouver l'équation d'une droite. Ici, nous connaissons un point et pouvons trouver la pente. Nous allons donc utiliser la forme à pente ponctuelle.
Comment trouver l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée et à un point
Trouvez l'équation d'une droite parallèle à\(y=2x−3\) celle contenant le point\((−2,1)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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Regardez le graphique avec les lignes parallèles montrées précédemment. Cette équation a-t-elle du sens ? Qu'est-ce que l'intersection y de la ligne ? Quelle est la pente ?
Trouvez l'équation d'une droite parallèle à la droite\(y=3x+1\) contenant le point\((4,2)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
\(y=3x−10\)
Trouvez l'équation d'une droite parallèle à la droite\(y=12x−3\) contenant le point\((6,4)\).
Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
\(y=\frac{1}{2}x+1\)
- Détermine la pente de la ligne donnée.
- Détermine la pente de la ligne parallèle.
- Identifiez le point.
- Substituez les valeurs sous la forme d'une pente ponctuelle :\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
Trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée
Maintenant, considérons les lignes perpendiculaires. Supposons que nous ayons besoin de trouver une ligne passant par un point spécifique et qui soit perpendiculaire à une ligne donnée. Nous pouvons utiliser le fait que les lignes perpendiculaires ont des pentes réciproques négatives. Nous utiliserons à nouveau l'équation de pente ponctuelle, comme nous l'avons fait pour les droites parallèles.
Ce graphique montre\(y=2x−3\). Maintenant, nous voulons tracer une ligne perpendiculaire à cette droite et la traversant\((−2,1)\).
Nous savons que les lignes perpendiculaires ont des pentes réciproques négatives.
Nous utiliserons la notation\(m_⊥\) pour représenter la pente d'une droite perpendiculaire à une ligne de pente m. (Notez que l'indice\(⊥\) ressemble aux angles droits formés par deux lignes perpendiculaires.)
\[y=2x−3 perpendicular line \nonumber\]
\[m=2 m⊥=−12\nonumber\]
Nous savons maintenant que la ligne perpendiculaire passera\((−2,1)\) par\(m⊥=−12\).
Pour tracer la courbe, nous allons commencer par\((−2,1)\) et compter la hausse\(−1\) et la course\(2\). Ensuite, nous tracons la ligne.
Les lignes paraissent-elles perpendiculaires ? Est-ce que la deuxième ligne passe\((−2,1)\) ?
On nous a demandé de tracer la ligne, maintenant, voyons comment procéder algébriquement.
Nous pouvons utiliser la forme d'intersection de pente ou la forme de pente ponctuelle pour trouver l'équation d'une droite. Dans cet exemple, nous connaissons un point et pouvons trouver la pente. Nous allons donc utiliser la forme de pente ponctuelle.
Comment trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée et à un point
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à\(y=2x−3\) laquelle se trouve le point\((−2,1)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite\(y=3x+1\) contenant le point\((4,2)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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\(y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\)
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite\(y=12x−3\) contenant le point\((6,4)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
\(y=−2x+16\)
- Détermine la pente de la ligne donnée.
- Détermine la pente de la ligne perpendiculaire.
- Identifiez le point.
- Substituez les valeurs dans la forme à pente ponctuelle,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à\(x=5\) laquelle se trouve le point\((3,−2)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
Encore une fois, puisque nous connaissons un point, l'option de pente ponctuelle semble plus prometteuse que l'option d'interception de pente. Nous avons besoin de la pente pour utiliser cette forme, et nous savons que la nouvelle ligne sera perpendiculaire à x=5,x=5. Cette ligne est verticale, donc sa perpendiculaire sera horizontale. Cela nous indique le m=0.m=0.
Identifiez le point.Identifiez la pente de la ligne perpendiculaire.Substituez les valeurs par toy−y1=m (x−x1) .Simplifiez. (3, −2) my−y1y− (−2) y+2y=====0m (x−x1) 0 (x−3) 0−2Identifiez le point. (3, −2) Identifiez la pente de la ligne perpendiculaire.Substituez les valeurs par toy−y−y 1=m (x−x1) .simplifie.M=0Y−Y1=M (x−x1) y− (−2) =0 (x−3) y+2 = 0y=−2
Esquissez le graphique des deux lignes. Sur votre graphique, les lignes semblent-elles perpendiculaires ?
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite\(x=4\) contenant le point\((4,−5)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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\(y=−5\)
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite\(x=2\) contenant le point\((2,−1)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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\(y=−1\)
Dans l'exemple, nous avons utilisé la forme de pente ponctuelle pour trouver l'équation. Nous aurions pu envisager la question d'une manière différente.
Nous voulons trouver une ligne perpendiculaire à\(x=5\) celle qui contient le point\((3,−2)\). Ce graphique nous montre la ligne\(x=5\) et le point\((3,−2)\).
Nous savons que chaque ligne perpendiculaire à une ligne verticale est horizontale, nous allons donc esquisser la ligne horizontale à travers\((3,−2)\).
Les lignes paraissent-elles perpendiculaires ?
Si nous examinons quelques points sur cette ligne horizontale, nous remarquons qu'ils ont tous des coordonnées y de\(−2\). Ainsi, l'équation de la droite perpendiculaire à la ligne verticale\(x=5\) est\(y=−2\).
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à\(y=−3\) laquelle se trouve le point\((−3,5)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
-
La ligne\(y=−3\) est une ligne horizontale. Toute ligne perpendiculaire à celle-ci doit être verticale, dans le formulaire\(x=a\). Comme la ligne perpendiculaire est verticale et passe\((−3,5)\), chaque point de cette ligne possède une coordonnée x de\(−3\). L'équation de la droite perpendiculaire est\(x=−3\).
Vous pouvez dessiner les lignes. Sont-elles perpendiculaires ?
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite\(y=1\) contenant le point\((−5,1)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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\(x=−5\)
Trouvez l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite\(y=−5\) contenant le point\((−4,−5)\). Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Réponse
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\(x=−4\)
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à trouver l'équation d'une droite.
- Écrivez une équation de droite en fonction de sa pente et de son intersection Y
- Utilisation de la forme de pente ponctuelle pour écrire l'équation d'une droite, trouver l'équation en fonction de la pente et du point
- Trouvez l'équation en fonction de deux points
- Trouvez l'équation des droites perpendiculaires et parallèles
Concepts clés
- Comment trouver l'équation d'une droite en fonction de la pente et d'un point.
- Identifiez la pente.
- Identifiez le point.
- Substituez les valeurs dans la forme à pente ponctuelle,\( y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
- Comment trouver l'équation d'une droite à partir de deux points.
- Trouvez la pente en utilisant les points donnés. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- Choisissez un point.
- Substituez les valeurs sous la forme d'une pente ponctuelle :\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
Pour écrire l'équation d'une droite En cas d'administration : Utilisation : Formulaire : Pente et intersection en Y interception de pente \(y=mx+b\) Pente et point pente ponctuelle \(y−y_1=m(x−x_1)\) Deux points pente ponctuelle \(y−y_1=m(x−x_1)\)
- Comment trouver l'équation d'une droite parallèle à une droite donnée.
- Détermine la pente de la ligne donnée.
- Détermine la pente de la ligne parallèle.
- Identifiez le point.
- Substituez les valeurs sous la forme d'une pente ponctuelle :\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente
- Comment trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à une droite donnée.
- Détermine la pente de la ligne donnée.
- Détermine la pente de la ligne perpendiculaire.
- Identifiez le point.
- Substituez les valeurs dans la forme à pente ponctuelle,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Écrivez l'équation sous forme d'intersection de pente.
Lexique
forme à pente ponctuelle
La forme ponctuelle de l'équation d'une droite de pente m et contenant le point\((x_1,y_1)\) est\(y−y_1=m(x−x_1)\).