8.A：原子结构（答案）

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8.1。 不。 量子数$\displaystyle m=−l,−l+1,…,0,…,l−1,l$。 因此，的大$\displaystyle L_z$小总是小于 L，因为$\displaystyle <\sqrt{l(l+1)}$

8.2。 $\displaystyle s=3/2<$

8.3。 频率四倍

概念性问题

1。 n（主量子数）→ 总能量

$\displaystyle l$（轨道角量子数）→ 轨道角动量的总绝对大小

$\displaystyle m$（轨道角投影量子数）→ 轨道角动量的 z 分量

3。 玻尔模型将电子描述为在定义明确的轨道上绕质子运动的粒子。 薛定葛的模型将电子描述为波浪，而对电子位置的了解仅限于概率陈述。 两种模型中处于基态（和所有激发态）的电子的总能量是相同的。 但是，对于这些模型，基态的轨道角动量是不同的。 在玻尔的模型和薛定当的模型中，$\displaystyle L(ground state)=0$.$\displaystyle L(ground state)=1$

5。 a、c、d；总能量发生变化（塞曼分裂）。 在氢原子上所做的工作会使原子旋转，因此角动量和极角的 z 分量受到影响。 但是，角动量不受影响。

7。 即使在基态下$\displaystyle (l=0)$，由于固有（内部）电子自旋，氢原子也具有磁特性。 电子的磁矩与其自旋成正比。

9。 适用于所有电子，$\displaystyle s=½$以及$\displaystyle m_s=±½$。 正如我们将看到的，并非所有粒子都有相同的自旋量子数。 例如，光子为自旋 1 ($\displaystyle s=1$)，而希格斯玻色子的自旋为 0 ($\displaystyle s=0$)。

11。 电子具有与其固有（内部）自旋相关的磁矩。 当自旋轨道耦合与电子的轨道角动量产生的磁场相互作用时，就会发生自旋轨道耦合。

13。 元素周期表中属于同一列的元素的外壳填充物相同，因此价电子数量相同。 例如：

Li:$\displaystyle 1s^22s^1$（$\displaystyle n=2$壳中有一个价电子）

Na:$\displaystyle 1s^22s2p^63s^1$（$\displaystyle n=2$壳中有一个价电子）

李和娜都属于第一列。

15。 原子和分子光谱被认为是 “离散的”，因为只能观察到某些光谱线。 相比之下，来自白色光源（由许多光子频率组成）的光谱是连续的，因为可以观察到连续的 “彩虹” 颜色。

17。 紫外线由频率相对较高（短波长）的光子组成。 因此，吸收的光子的能量和原子中的能量转变 ($\displaystyle ΔE$) 相对较大。 相比之下，可见光由频率相对较低的光子组成。 因此，原子中的能量转换和发射光子的能量相对较小。

19。 对于宏观系统来说，量子数非常大，因此相邻能级（轨道$\displaystyle ΔE$）之间的能量差（）非常小。 在这些紧密的太空能量水平之间的过渡中释放的能量太小，无法察觉。

21。 激光依赖于受激发射过程。 在这个过程中，电子必须在激发（上方）亚稳态下制备，这样光穿过系统就会产生去激发，从而产生额外的光。

23。 蓝光播放器使用蓝色激光探测光盘的凹陷和凹陷，CD 播放器使用红色激光。 波长相对较短的蓝光是探测蓝光光盘上较小的凹坑和凹凸所必需的；较小的凹坑和凹凸对应于更高的存储密度。

问题

25。 $\displaystyle (r,θ,ϕ)=(\sqrt{6,}66°,27°)$。

27。 $\displaystyle ±3,±2,±1,0$是可能的

29。 18

31。 $\displaystyle F=−k\frac{Qq}{r^2}$

33。 (1、1、1)

35。 对于轨道角动量量子数 l，允许的值为：

$\displaystyle m=−l,−l+1,...0,...l−1,l$。

除了$\displaystyle m=0$，总数只有 2l，因为两边的州数$\displaystyle m=0$只有 l。 包括$\displaystyle m=0$，轨道角动量量子数 l 的轨道角动量态总数为：$\displaystyle 2l+1$。 后来，当我们考虑电子自旋时，会发现角动量态的总数是该值的两倍，因为每个轨道角动量态都与两种电子自旋状态有关：向上自旋和向下旋转）。

37。 在玻尔半径之外发现氢原子的 1s 电子的概率为$\displaystyle ∫^∞_{a_0}P(r)dr≈0.68$

39。 对于$\displaystyle n=2, l=0$（1 个州）和$\displaystyle l=1$（3 个州）。 总数为 4。

41。 3p 状态对应于$\displaystyle n=3, l=2$。 因此，$\displaystyle μ=μ_B\sqrt{6}$

43。 它们的质量比为 1/207，因此它们的磁矩之比为 207。 电子的磁矩比μ子大200倍以上。

45。 a. 三维状态对应于$\displaystyle n=3, l=2$。 所以，

$\displaystyle I=4.43×10^{−7}A$。

b. 最大扭矩发生在磁矩和外部磁场矢量成直角时$\displaystyle (sinθ=1)$。 在这种情况下：

$\displaystyle |\vec{τ}|=μB.$

$\displaystyle τ=5.70×10^{−26}N⋅m$。。

47。 3p 电子处于状态并$\displaystyle n=3$且$\displaystyle l=1$. 当磁矩和外部磁场矢量最平行（反平行）时，就会出现最小扭矩大小。 这发生在$\displaystyle m=±1$. 扭矩大小由下式给出

$\displaystyle |\vec{τ}|=μBsinθ$，

在哪里

$\displaystyle μ=(1.31×10^{−24}J/T)$。

因为$\displaystyle m=±1$，我们有：

$\displaystyle |\vec{τ⃗}|=2.32×10^{21}N⋅m$。

49。 通过磁力矩$\displaystyle τ$使磁矩旋转一个角度而完成的无穷小工作 dW$\displaystyle −dθ$：

$\displaystyle dW=τ(−dθ)$，

哪里$\displaystyle τ=|\vec{μ}×\vec{B}∣$。 完成的工作被解释为势能 U 的下降，所以

$\displaystyle dW=−dU.$

总能量变化是通过将势能的无穷小变化相加来确定的：

$\displaystyle U=−μBcosθ$

$\displaystyle U=−\vec{μ}⋅\vec{B}$。

51。 向上旋转（相对于正 z 轴）：

$\displaystyle θ=55°$。

降速（相对于正 z 轴）：

$\displaystyle θ=cos^{−1}(\frac{S_z}{S})=cos^{−1}(\frac{−\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})=cos^{−1}(\frac{−1}{\sqrt{3}})=125°.$

53。 自旋投影量子数是$\displaystyle m_s=±½$，所以磁矩的 z 分量是

$\displaystyle μ_z=±μ_B$。

与电子和外部磁场相互作用相关的势能是

$\displaystyle U=∓μ_BB$。

这些状态之间的能量差是$\displaystyle ΔE=2μ_BB$，所以产生的光的波长是

$\displaystyle λ=5.36×10^{−5}m≈53.6μm$

55。 它增加了 2 倍。

57。 a. 32；

b。

(2+1)

0 s 2 (0+1) =2

1 p 2 (2+1) =6

2 d 2 (4+1) =10

3 f 2 (6+1) =14
32

59。 a. 和 e. 被允许；其他不允许。

b.$\displaystyle l=3$ 不允许$\displaystyle n=1,l≤(n−1)$。

c. 子壳中不能有三个电子，因为$\displaystyle 3>2(2l+1)=2$。

d. p 子壳中不能有七个电子（最多 6 个）$\displaystyle 2(2l+1)=2(2+1)=6$。

61。 $\displaystyle [Ar]4s^23d^6$

63。 a. 的最小值$\displaystyle ℓ$是$\displaystyle l=2$其中有九个电子。

b$\displaystyle 3d^9$。

65。 $\displaystyle [He]2s^22p^2$

67。 因为$\displaystyle He^+$，一个电子 “运行” 一个有两个质子和两个中子的原核（$\displaystyle Z=2$）。 电离能是指从原子中移除电子所需的能量。 将处于 He+He+ 离子基态的电子移除到无穷大所需的能量是基态能量的负值，写为：

$\displaystyle E=−54.4eV$。

因此，电离电子的能量是$\displaystyle +54.4eV$。

同样，将处于$\displaystyle Li^{2+}$离子的第一个激发态的电子移除到无穷大所需的能量是第一个激发态能量的负值，写道：

$\displaystyle E=−30.6eV$。

电离电子的能量为 30.6 eV。

69。 激光的波长由下式给出：

$\displaystyle λ=\frac{hc}{−ΔE}$，

其中$\displaystyle E_γ$是光子的能量，$\displaystyle ΔE$是能量差的大小。 求解后者，我们得到：

$\displaystyle ΔE=−2.795eV$。

负号表示电子在过渡过程中失去了能量。

71。 $\displaystyle ΔE_{L→K}≈(Z−1)^2(10.2eV)=3.68×10^3eV$。

73。 根据能量的守恒，电子的势能被完全转化为动能。 电子的初始动能为零（电子从静止状态开始）。 因此，电子在撞击目标之前的动能是：

$\displaystyle K=eΔV$。

如果所有这些能量都转化为制动辐射，则发射辐射的频率为最大值，因此：

$\displaystyle f_{max}=\frac{eΔV}{h}$。

当发射频率为最大值时，发射波长为最小值，所以：

$\displaystyle λ_{min}=0.1293nm$。

75。 μ子比电子重200倍，但最小波长不取决于质量，因此结果没有变化。

77。 $\displaystyle 4.13×10^{−11}m$

79。 72.5 keV

81。 铜和金的原子数分别为$\displaystyle Z=29$和79。 金的 X 射线光子频率比铜高出一个系数：

$\displaystyle (\frac{f_{Au}}{f_{Cu}})^2=(\frac{79−1}{29−1})^2≈8$。

因此，金的X射线波长比铜的X射线波长短约八倍。

83。 a. 如果肉体的密度与水相同，那么我们使用$\displaystyle 1.34×10^{23}$光子。

b. 2.52 兆瓦

其他问题

85。 最小角度对应于$\displaystyle l=n−1$和$\displaystyle m=l=n−1$。 因此$\displaystyle θ=cos^{−1}(\sqrt{n−1}{n}$）。

87。 a. 根据方程式 8.1$\displaystyle r=0, U(r)=−∞$，何时何地$\displaystyle r=+∞,U(r)=0$。 前一个结果表明，电子可以具有无限的负势能。 氢原子的量子模型避免了这种可能性，因为概率密度$\displaystyle r=0$为零。

89。 使用总和的正式解决方案有些复杂。 但是，通过研究主量子数和轨道角动量态总数之间的数学模式，很容易找到答案。

对于$\displaystyle n=1$，轨道角动量状态的总数为 1；对于$\displaystyle n=2$，总数为 4；当时$\displaystyle n=3$，总数为 9，依此类推。 该模式表明第 n 个壳的轨道角动量状态总数为$\displaystyle n^2$。

（稍后，当我们考虑电子自旋时，会发现角动量态的总数为$\displaystyle 2n^2$，因为每个轨道角动量态都与两种电子自旋状态有关：自旋向上和向下旋转）。

91。 50

93。 原子第 n 个壳中的最大轨道角动量电子态数为$\displaystyle n^2$。 这些状态中的每一个都可以通过自旋向上和向下旋转的电子来填充。 因此，第 n 个壳中的最大电子态数为$\displaystyle 2n^2$。

95。 a.、c. 和 e. 是允许的；其他的则不允许。

b.$\displaystyle l>n$ 不允许。

d。$\displaystyle 7>2(2l+1)$

97。 $\displaystyle f=1.8×10^9Hz$

99。 铜和银的原子数分别为$\displaystyle Z=29$和 47。 银的 X 射线光子频率大于铜，其系数如下：

$\displaystyle (\frac{f_{Ag}}{f_{Cu}})^2=2.7$。

因此，银的X射线波长比铜的X射线波长短大约三倍。

101。 a. 3.24；

b.$\displaystyle n_i$ 不是整数。c. 波长一定不正确。 因为$\displaystyle n_i>2$，假设这条线来自巴尔默系列是可能的，但是光的波长没有产生整数值$\displaystyle n_i$。 如果波长正确，那么假设气体是氢气是不正确的；它可能是钠。