4.7: X 射线衍射
- Page ID
- 202005
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)在本节结束时，您将能够：
- 描述 X 射线与原子尺度结构相互作用时表现出的干扰和衍射效应
由于 X 射线光子能量很高，因此它们的波长相对较短，大约在\(10^{-8}\) m 到\(10^{-12}\) m 之间。因此，典型的 X 射线光子在遇到宏观物体（如牙齿）时就像射线一样，产生尖锐的阴影。 但是，由于原子的大小约为 0.1 nm，因此可以使用 X 射线来检测原子和分子的位置、形状和大小。 这个过程被称为 X 射线衍射，它涉及 X 射线的干扰以产生图案，这些图案可以进行分析，以获取有关散射 X 射线的结构的信息。
也许最著名的X射线衍射例子是1953年在英格兰卡文迪许实验室工作的一个国际科学家小组发现了 DNA 的双螺旋结构，他们是美国人詹姆斯·沃森、英国人弗朗西斯·克里克和出生于新西兰的莫里斯·威尔金斯。 他们利用罗莎琳德·富兰克林产生的X射线衍射数据，率先对生命至关重要的DNA双螺旋结构进行建模。 由于这项工作，沃森、克里克和威尔金斯获得了1962年诺贝尔生理学或医学奖。 （关于罗莎琳德·富兰克林没有被列入该奖项的问题存在一些争论和争议，尽管她于1958年在获奖前去世。）
该图\(\PageIndex{1}\)显示了晶体的 X 射线散射产生的衍射图案。 这个过程被称为X射线晶体学，因为它可以产生有关晶体结构的信息，而这是罗莎琳德·富兰克林提供给沃森和克里克的DNA数据类型。 X 射线不仅可以确认原子的大小和形状，还可以提供有关材料中原子排列的信息。 例如，最近对高温超导体的研究涉及复杂材料，这些材料的晶格排列对于获得超导材料至关重要。 这些可以通过X射线晶体学进行研究。
从历史上看，来自晶体的X射线的散射被用来证明X射线是高能电磁（EM）波。 自1895年发现X射线以来，人们就怀疑这一点，但直到1912年，德国人马克斯· 冯·劳伊（1879—1960）才说服他的两位同事从晶体中散射X射线。 他推理说，如果获得衍射图案，那么 X 射线必须是波浪，其波长是可以确定的。 （根据阿沃加德罗数的良好值，当时各种晶体中原子的间距已相当广为人知。） 这些实验令人信服，1914年诺贝尔物理学奖被授予冯·劳伊，因为他的建议证明了X射线是电磁波。 1915 年，威廉·亨利·布拉格爵士和他的儿子威廉·劳伦斯· 布拉格爵士组成的独一无二的父子团队因发明了 X 射线光谱仪和当时新的 X 射线分析科学而获得诺贝尔联合奖。
以让人联想到薄膜干扰的方式，我们考虑的是两个采用 X 射线波长的平面波，每个平面波从晶格内的不同原子平面反射，如图所示\(\PageIndex{2}\)。 从几何学来看，路径长度的差异是\(2d \, \sin \, \theta\)。 当该距离是波长的整数倍时，就会产生构造干扰。 这个条件由布拉格方程捕获，
\[m\lambda = 2d \, \sin \, \theta,\label{Bragg} \]
对于\(m = 1,2,3, ...\)。
其中\(m\)是正整数，\(d\)是平面之间的间距。 根据反射定律，入射波和反射波都是用相同的角度描述的\(θ\)，但与几何光学的一般做法不同，入射波和反射波\(θ\)是根据表面本身而不是法线来测量的。
普通食盐主要由\(\ce{NaCl}\)晶体组成。 在\(\ce{NaCl}\)晶体中，有一系列相距 0.252 nm 的平面。 如果在 18.1° 的入射角下观察到一阶最大值，那么该晶体的 X 射线散射波长是多少？
策略：
使用布拉格方程式\ ref {Bragg} 求解\(θ\)。
解决方案
对于一阶和\(m = 1\)，平面间距\(d\)是已知的。 求解布拉格方程以获得波长会产生
\[\begin{align*} \lambda &= \dfrac{2d \, \sin \, \theta}{m} \\[4pt] &= \dfrac{2(0.252 \times 10^{-9} m) \, \sin \, (18.1^o)}{1} \\[4pt] &= 1.57 \times 10^{-10} m, \, or \, 0.157 \, nm \end{align*} \nonumber \]
意义
确定的波长适合电磁频谱的X射线区域。 再一次，当光的波长 () 与它相互作用的物理结构 (\(\lambda = 0.157 \, nm\)\(d = 0.252 \, nm\)) 的大小相似时，光的波浪性质就会变得突出。
对于示例中描述的实验\(\PageIndex{1}\)，可以观察到干扰最大值的另外两个角度是什么？ 什么限制了最大值的数量？
- 回答
-
\(38.4^o\)和\(68.8^o\); 之间\(\theta = 0^o \rightarrow 90^o\)，顺序 1、2 和 3 都是存在的。
尽管为了简单起见，图中将晶体\(\PageIndex{2}\)描绘成散射中心的二维阵列，但真正的晶体是三维结构。 散射可以同时发生在不同方向和间距模式的不同平面族上，称为布拉格平面，如图所示\(\PageIndex{3}\)。 由此产生的干扰模式可能非常复杂。
