18.13: 引力
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13.1。 当每个物体落在一起时，重力随着反距离的平方而增加，因此加速度也随之增加。 例如，如果距离减半，则力和加速度将增加四倍。 我们的平均值仅在加速度线性增加时才是准确的，而加速度实际上是以更快的速度增加。 所以我们计算的速度太小了。 根据牛顿第三定律（作用-反作用力），任何两个物体之间的重力必须相同。 但是，如果它们的质量不同，则加速度就不会如此。
13.2。 世界上最高的建筑物都不到1公里。 由于 g 与距地球中心的距离的平方成正比，因此使用简单的比率可以看出 g 在距离地球表面 1 km 处的变化小于 0.0001%。 在结构设计中没有必要考虑这一点。
13.3。 g 的值在这次高度变化中下降了大约 10%。 因此\(\Delta\) U = mg (y 2 − y 1) 会给出太大的值。 如果我们使用 g = 9.80 m/s，那么我们得到\(\Delta\) U = mg (y 2 − y 1) = 3.53 x 10 10 J，比使用正确方法得出的值高出大约 6％。
13.4。 探测器必须克服地球和太阳的引力。 在示例的第二次计算中，我们发现了逃离地球轨道一定距离的太阳所需的速度，而不是从地球本身逃离所需的速度。 找到该值的正确方法是从能量方程式 13.3.2 开始，其中要包括地球和太阳的势能项。
13.5。 您可以使用在所有点上都垂直于速度的力来改变速度方向。 实际上，你必须不断调整推进器，产生向心力，直到你的动量从切向变为径向。 一张简单的动量向量图显示，动量的净变化是动量本身幅度的 2 倍。 事实证明，这是一种非常低效的到达火星的方式。 我们将讨论开普勒行星运动定律中最有效的方法。
13.6。 在方程式 13.7 中，半径出现在平方根内的分母中。 因此，半径必须增加 4 倍，才能将轨道速度减小 2 倍。 轨道的周长也增加了这个系数 4，因此，如果轨道速度减半，周期必须长出 8 倍。 这也可以直接从方程式 13.4.1 中看出。
13.7。 假设轨道物体的体积远小于它所运行的物体的体积。 就月球和地球而言，这实际上是没有道理的。 地球和月球都围绕其共同的质心运行。 我们在下一个例子中解决这个问题。
13.8。 每个星系 “内部” 的恒星将更接近另一个星系，因此会比外部星系感受到更大的引力。 因此，它们将有更大的加速度。 即使没有这种力差，内部恒星也将以较小的半径运行，因此，每个星系都会产生伸长或拉伸。 力差只会增加这个效果。
13.9。 哈雷彗星高度椭圆轨道的半长轴为 17.8 AU，是近日点和远日点的平均值。 这分别位于土星和天王星的9.5 AU和19 AU的轨道半径之间。 圆形轨道的半径与半长轴相同，并且由于周期随着半长轴的增加而增加，因此可以预料哈雷的周期介于土星和天王星的周期之间。
13.10。 考虑上面的最后一个方程。 r 1 和 r 2 的值几乎保持不变，但月球的直径（r 2 − r 1）是地球的四分之一。 因此，月球上的潮汐力大约是地球上的四分之一。
13.11。 鉴于迫使地球大小的天体变成黑洞所需的密度令人难以置信，我们预计不会看到这么小的黑洞。 即使是质量相当于太阳的天体，也必须比中子星压缩80倍。 据信这种大小的恒星不会变成黑洞。 但是，对于具有少量太阳质量的恒星来说，人们认为恒星生命结束时的引力崩溃可能会形成黑洞。 正如我们稍后将讨论的那样，现在人们认为黑洞在星系中心很常见。 这些银河黑洞通常包含数百万颗恒星的质量。
概念性问题
1。 最终的真理是实验验证。 开发场论的目的是帮助解释如何在物体不接触以光速作用的重力和电磁力的情况下施加力。 直到二十世纪以来，我们才能够衡量部队不是立即运送的。
3。 向心加速度不是沿着引力引导的，因此建筑物的正确线（即铅锤线）不是指向地球中心。 但是工程师要么使用铅锤，要么使用公交，两者都会对重力方向和加速度做出反应。 无需特别考虑它们在地球上的位置。
5。 当我们移动到更大的轨道时，势能的变化增加，而轨道速度会降低。 因此，该比率在地球表面附近最高（如果我们在地球表面运行而不发生高度变化，则从技术上讲是无限的），当我们到达无限远处时，该比率会移至零。
7。 轨道周期必须为 24 小时。 但除此之外，卫星必须位于赤道轨道上，其轨道必须与地球自转的方向相同。 必须满足所有三个标准，卫星才能保持相对于地球表面的同一个位置。 至少需要三颗卫星，因为地球两侧的两颗卫星无法相互通信。 （从技术上讲，情况并非如此，因为可以选择提供足够衍射的波长。 但这完全不切实际。）
9。 当卫星最接近大质量时，速度最快，在距离更远的地方（分别是 periapsis 和 apoapsis）最少。 正是角动量的守恒决定了这种关系。 但它也可以从能量守恒中获得，在引力势能最小（最负）的情况下，动能必须是最大的。 在图中，力以及加速度始终指向 M，并且速度始终与路径相切。 加速度向量在 y 轴上部具有沿速度方向的切向分量；因此，卫星正在加速。 在较低的位置恰恰相反。
11。 随着地板向上加速，激光束将以比其左侧更低的高度击中远处的墙壁。 相对于实验室，激光束 “掉落”。 因此，我们预计这种情况会在引力场中发生。 光的质量，甚至是有质量的物体，都无关紧要。
问题
13。 7.4 x 10 −8 N
15。 a. 7.01 x 10 −7 N
b. 木星的质量为 m J = 1.90 x 10 27 千克，F J = 1.35 x 10 −6 N，\(\frac{F_{f}}{F_{J}}\)= 0.521
17。 a. 9.25 x 10 −6 N
b. 不是很好，因为国际空间站甚至不是对称的，更不用说球形对称了。
19。 a. 1.41 x 10 −15 m /s 2
b. 1.69 x 10 −4 m /s 2
21。 a. 1.62 m/s 2
b. 3.75 m/s 2
23。 a. 147 N
b. 25.5 N
c. 15 千克
d. 0
e. 15 千克
25。 12 m/s 2
27。 \(\frac{3}{2}\)R E
29。 5000 m/s
31。 1440 m/s
33。 11 km/s
35。 a. 5.85 x 10 10 J
b. −5.85 x 10 10 J；不是。 它假设动能是可回收的。 如果我们在地球和月球之间有电梯，这甚至是不合理的。
37。 a. 0.25
b. 0.125
39。 a. 5.08 x 10 3 km
b. 这小于地球的半径。
41。 1.89 x 10 27 千克
43。 a. 4.01 x 10 13 千克
b. 卫星必须在小行星的半径之外，因此它不能大于这个半径。 如果是这个大小，那么它的密度约为1200 kg/m 3。 这略高于水，所以这似乎很合理。
45。 a. 1.66 x 10 −10 m/s 2；是的，向心加速度太小了，支持了在太阳上可以找到几乎惯性的参考系的论点。b. 2.17 x 10 5 m/s
47。 1.98 x 10 30 kg；在 0.05% 以内的值相同。
49。 比较方程 13.7 和方程 13.5.5，发现它们的区别仅在于圆半径 r 被半长轴 a 所取代。因此，平均半径是远日点和近日点之和的一半，与半长轴相同。
51。 半长轴 3.78 AU 是从该周期的方程中得出的。 这是远日点和近日点之和的一半，得出的远日点距离为 4.95 AU。
53。 1.75 年
55。 19,800 N；这显然无法生存
57。 1.19 x 10 7 km
其他问题
59。 a. 1.85 x 10 14 N
b. 别这么做！
61。 1.49 x 10 8 km
63。 该行星的g值为2.4 m/s 2，约为地球的四分之一。 所以他们是弱跳高运动员。
65。 在北极，北纬 983；在赤道处，北 980
67。 a. 逃逸速度仍为 43.6 km/s。通过从地球朝地球切向速度方向发射，相对于地球，你需要 43.4 − 29.8 = 13.8 km/s。
b. 总能量为零，轨迹为抛物线。
69。 44.9 km/s
71。 a. 1.3 x 10 7 m
b. 1.56 x 10 10 J；−3.12 x 10 10 J；−1.56 x 10 10 J
73。 a. 6.24 x 10 3 秒或大约 1.7 小时。 这是使用平均直径为 520 km 的。
b. Vesta 显然不是很球形，所以你需要超过最大尺寸，接近 580 km。 更重要的是，非球形性质会很快干扰轨道，因此即使对于一个轨道，这种计算也不是很准确。
75。 a. 323 km/s
b. 不，你只需要太阳系轨道速度和逃生速度之间的差值，所以大约 323 − 228 = 95 km/s。
77。 设置 e = 1，我们有\(\frac{\alpha}{r}\) = 1 + cos\(\theta\) →\(\alpha\) = r + rcos\(\theta\) = r + x；因此，r 2 = x 2 + y 2 = (\(\alpha\)− x) 2。 展开并收集以显示 x =\(\frac{1}{−2 \alpha}\) y 2 +\(\frac{\alpha}{2}\)。
79。 使用角动量守恒法中的 pv p = qv q 直接代入能量方程，然后求解 v p。
挑战问题
81。 g =\(\frac{4}{3}\) G\(\rho \pi\) r → F = mg = [\(\frac{4}{3}\)Gm\(\rho \pi\)] r，从 F = m 开始\(\frac{d^{2} r}{dt^{2}}\)，我们得到\(\frac{d^{2} r}{dt^{2}}\) = [\(\frac{4}{3}\)G\(\rho \pi\)] r 第一个项在哪里\(\omega^{2}\)。 然后 T =\(\frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4G \rho \pi}}\) 如果我们替换\(\rho\) =\(\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}\)，我们得到的表达式与轨道周期 R 的表达式相同
83。 使用太阳的质量和地球的轨道半径，该方程得出 2.24 x 10 15 m 2 /s。的值\(\frac{\pi R_{ES}^{2}}{1\; year}\)给出了相同的值。
85。 \(\Delta\)U = U f − U i = −\(\frac{GM_{E} m}{r_{f}} + \frac{GM_{E} m}{r_{i}}\) = GM E m\(\left(\dfrac{r_{f} − r_{i}}{r_{f} r_{i}}\right)\) 其中 h = r f − r i。 如果 h << R E，那么 r f r i β R E 2，替换后，我们有\(\Delta\) U = GM E m\(\left(\dfrac{h}{R_{E}^{2}}\right)\) = mh，\(\left(\dfrac{GM_{E}}{R_{E}^{2}}\right)\)其中我们识别带有括号的表达式是 g 的定义。
87。 a. 找出力差，$$F_ {tidal} =\ frac {2GMM} {R^ {3}}\ Delta r;\]
b. 在给定的情况下，使用上一个问题中的 Schwarzschild 半径，我们的潮汐力为 9.5 x 10 −3 N，这甚至不会被注意到！