18.11: 角动量
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11.1。 a.μS≥tanθ1+(mr2ICM); 插入角度并注意,对于空心圆柱体 I CM = m r 2,我们有μS≥tan60o1+(mr2mr2)=12tan60o = 0.87;静摩擦系数的值为 0.6,小于 0.87,因此条件不满足,空心圆柱体会滑动;b.实心圆柱体符合条件μS≥13tanθ=13tan60o = 0.58。 值为 0.6μS 满足此条件,因此实心圆柱体不会滑动。
11.2。 从图中我们可以看出,半径向量与动量向量的交叉积给出了指向页面的向量。 在角动量表达式中插入半径和动量,我们有 $$\ vec {l} =\ vec {r}\ times\ vec {p} = (0.4\; m\;\ hat {i})\ times [1.67\ times 10^ {−27}\; kg (4.0\ times 10^ {6}\; m/s)\ hat {j} = 2.7\ times 10^ {−^ 21}\; kg\ cdotp m^ {2} /s\;\ hat {k}\]
11.3。 I s phere = m25 r 2,I collen = m12 r 2;取角力矩的比例,我们有:LcylinderLsphere=Icylinderω0Isphereω0=12mr225mr2=54。 因此,圆柱体的角动量增加了25%。 这是因为圆柱体的质量更大,分布在离旋转轴更远的地方。
11.4。 使用角动量守恒法,我们得出 I(4.0 rev/min)= 1.25Iωf,ωf=1.01.25(4.0 rev/min)= 3.2 rev/min
11.5。 月球的重力是地球重力的1/6。通过研究方程式 11.12,我们可以看到顶部的进动频率与重力加速度成线性成正比。 月球上的所有其他量、质量、惯性矩和自旋速率都是相同的。 因此,月球上的进动频率为ωP(月球)=16ωP(地球)=16(5.0 rad/s)= 0.83 rad/s。
概念性问题
1。 不,静摩擦力为零。
3。 车轮更有可能在陡峭的斜坡上滑动,因为静摩擦系数必须随着角度的增加而增加,才能保持滚动运动而不会滑动。
5。 圆柱体达到更高的高度。 根据方程式 11.20,它在斜坡向下方向上的加速度会更小。
7。 直线上的所有点将产生零角动量,因为交叉成平行向量的向量为零。
9。 粒子必须沿着穿过所选原点的直线移动。
11。 如果没有小型螺旋桨,直升机的机身将以与大型螺旋桨相反的角度旋转,以保持角动量。 小型螺旋桨在距离飞机质心 R 处施加推力,以防止这种情况发生。
13。 角速度增加是因为惯性矩在减小。
15。 更多的质量集中在旋转轴附近,这会减少惯性矩,从而导致恒星增加其角速度。
17。 为了改变其方向,需要在垂直于角动量向量的方向上施加扭矩。 太空飞行器上的这些力位于安装陀螺仪的容器外部,不会向陀螺仪的旋转盘施加扭矩。
问题
19。 v CM = Rω⇒ω = 66.7 rad/s
21。 α= 3.3 rad/s 2
23。 I CM = m25 r 2,a CM = 3.5 m/s 2;x = 15.75 m
25。 正值是斜面向下;aCM= fracmg sin thetam+ 左( dfracICMr2 右) RightarrowICM=r2 Bigg[ fracmg sin30aCM−m Bigg],$x − x_ {0} = v_ {0} t −\ frac {1} {2} a_ {CM} t^ {2}\ Rightarrow a_ {CM} = 2.96\; m/s^ {2},$$$I_ {CM} = 0.66\; mr^ {2}\]
27。 α= 67.9 rad/s 2,(a CM) x = 1.5 m/s 2
29。 W = −1080.0 J
31。 底部的机械能等于顶部的机械能; frac12mv20+ frac12 左( dfrac12mr2 右) 左( dfracv0r 右)2=mgh Rightarrowh= frac1g 左( dfrac12+ dfrac14 右)v20,h = 7.7 m,所以向上倾斜的距离为 220.5 m
33。 使用节能 \boldsymbol{\ begin {split}\ frac {1} {2} mv_ {0} ^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {Cyl}\ omega_ {0} ^ {2} ^ {2}\ frac {1} 2} I_ {Sph}\ omega_ {0} ^ {2} & = mgh_ {Sph}\ ldotp\ end {split}}减去两个方程,减去初始平移能量,我们有 frac12ICyl omega20− frac12ISph omega20=mg(hCyl−hSph),$\ frac {1} {2} mr^ {2}\ left (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} −\ frac {1} {2}\ 左 (\ dfrac {2} {3}\ 右) mr^ {2}\ 左 (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} = mg (h_ {Cyl} − h_ {Sph}),$ frac12v20− frac12 left( dfrac23\右)v20=g(hCyl−hSph),$h_ {Cyl} − h_ {Sph} =\ frac {1} {g}\ 左 (\ dfrac {1} {3}\ 右) v_ {0} ^ {2} =\ frac c {1} {9.8\; m/s^ {2}}\ 左 (\ dfrac {1} {6}\ 右) (5.0\; m/s) ^ {2} = 0.43\; m\ ldotp$Thus,惯性矩较小的空心球体向上滚动到较低的高度 1.0 − 0。43 = 0.57 m。
35。 鸟的半径及其动量向量的横积的大小产生 rp sinθ,这将 r sinθ 作为鸟的高度 h。角动量的方向垂直于半径和动量向量,我们可以任意选择这些向量ˆk,它在地面上:$$\ vec {L} =\ vec {r}\ times\ vec {p} = hmv\;\ hat {k} = (300.0\; m) (2.0\; kg) (20.0\; m/s)\;\ hat {k} = 12,000.0\; kg\ cdotp m^ {2} /s}\]
37。 a.→l = 45.0 kg • m 2 /sˆk
b.→τ = 10.0 N • mˆk
39。 a.→l1 = −0.4 kg • m 2 /sˆk,→l2=→l4= 0,→l3= 1.35 kg • m 2 /sˆk
b.→L = 0.95 kg • m 2 /sˆk
41。 a. L = 1.0 x 10 11 kg • m 2 /s
b. 不,角动量保持不变,因为交叉积仅涉及从平面到地面的垂直距离,无论其路径位于何处。
43。 一个。→v=−gtˆj,→r⊥=−d; ˆi,→l=mdgtˆk
b。→F=−mgˆj,Σ→τ=dmgˆk
c. 是的
45。 a.mgh =12 m (rω) 2 +12(25)mr2ω2;ω = 51.2 rad/s; L = 16.4 kg • m 2 /s
b.ω = 72.5 rad/s;L = 23.2 kg • m 2 /s
47。 a. I = 720.0 kg • m 2;α= 4.20 rad/s 2;ω(10 s)= 42.0 rad/s;L = 3.02 x 10 4 kg • m 2 /s;ω(20 秒)= 84.0 rad/s
b.τ = 3.03 x 10 3 N • m
49。 a. L = 1.131 x 10 7 kg • m 2 /s
b.τ = 3.77 x 10 4 N • m
51。 ω= 28.6 rad/s⇒ L = 2.6 kg • m 2 /s
53。 Lf= frac25MS(3.5 times103km)2 frac2 piTf,$ (7.0\ times 10^ {5}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {28\; days} = (3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {T_ {f}} $$$T_ {f}\ Rightarrow = 28\; days\ frac {(3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}} = 7.0\ times 10^ {−^ 4}\;day = 60.5\; s\]
55。 f f = 2.1 rev/s⇒ f 0 = 0.5 rev/s
57。 r P mv P = r A mv A⇒ v P = 18.3 km/s
59。 a. I d isk = 5.0 x 10 −4 kg • m 2,I bug = 2.0 x 10 −4 kg • m 2,(I d isk + I bug)ω1= I 磁盘ω2,ω2= 14.0 rad/s
b.Δ K = 0.014 J
c.ω3 = 10.0 rad/s 返回原始值
d.12(I d isk + I bug)ω23= 0.035 J 恢复到原始值
e. 在磁盘上搜寻错误的工作
61。 L i = 400.0 kg • m 2 s,L f = 500.0 kg • m 2ω,ω= 0.80 rad/s
63。 I 0 = 340.48 kg • m 2,I f = 268.8 kg • m 2,ωf= 25.33 rpm
65。 a. L = 280 kg • m 2 /s,I f = 89.6 kg • m 2,ωf= 3.125 rad/s
b. K i = 437.5 J,K f = 437.5 J
67。 创纪录旋转中的惯性矩:I 0 = 0.5 kg • m 2,I f = 1.1 kg • m 2,ωf=I0Ifω0⇒f f = 155.5 rev/min
69。 她在空中的旋转速度为:f f = 2.0 rev/s;她可以在空中翻转四次。
71。 所有孩子都登机的惯性矩:I 0 = 2.4 x 10 5 kg • m 2;I f = 1.5 x 10 5 kg • m 2;f f = 0.3 rev/s
73。 I 0 = 1.00 x 10 kg • m 2,I f = 9.94 x 10 9 kg • m 2,f f = 3.32 转速/分钟
75。 I = 2.5 x 10 −3 kg • m 2,ωP= 0.78 rad/s
77。 a. L E arth = 7.06 x 10 33 kg • m 2 /s,ΔL = 5.63 x 10 33 kg • m 2 /s
b.τ = 1.7 x 10 22 N • m
c. 赤道上的两种力将具有相同的大小,但方向不同,一个在地球的另一侧,一个在北方向,另一个在南方向。 力和杠杆臂与地球中心的角度为 90°,因此给定扭矩的大小τ = FR E sin 90° = FR E。 两者都会提供相同方向的扭矩:τ= 2FR E⇒ F = 1.3 x 10 15 N
其他问题
79。 a CM = −310 g,v 2 = v 0 2 + 2a CM x⇒ v 2 = (7.0 m/s) 2 − 2(310g) x,v 2 = 0⇒ x = 8.34 m
b.t =v−v0aCM,v = v 0 + a CM⇒ t t = 2.38 s;空心球的惯性矩更大,因此比大理石或实心球体更难休息。 行进的距离越大,经过的时间越长。
81. a. W = −500.0 J
b. K + U grav = 恒定,500 J + 0 = 0 + (6.0 kg) (9.8 m/s 2) h,h = 8.5 m,d = 17.0 m;空心球体的惯性矩较小,因此停止它所需的工作量更少。 同样,它在斜坡上滚动的距离比篮圈短。
83。 a.τ = 34.0 N • m
b.l = mr 2ω⇒ω = 3.6 rad/s
85。 a.d M = 3.85 x 10 8 m 到月球的平均距离;轨道周期 27.32d = 2.36 x 10 6 秒;月球速度2π3.85×108m2.36×106s = 1.0 x 10 3 m/s;月球质量 7.35 x 10 22 千克,L = 2.90 x 10 34 kgm 2 /s
b. 月球半径 1.74 x 10 6 m;轨道周期与 (a) 相同:ω= 2.66 x 10 −6 rad/s,L = 2.37 x 1029 kg • m 2 /s;轨道角动量比月球旋转角动量大 1.22 x 10 5 倍。
87。 I = 0.135 kg • m 2,α= 4.19 rad/s 2ω=ω0+αt,ω(5 s)= 21.0 rad/s,L = 2.84 kg • m 2 /s,ω(10 s)= 41.9 rad/s,L = 5.66 kg • m/s 2
89。 在角动量守恒方程中,旋转速率出现在两边,因此我们保留(rev/min)表示法,因为角速度可以乘以常数得到(rev/min):L i = −0.04 kg • m 2(300.0 rev/min),L f =(0.08 kg • m 2)ff⇒ f f = −150.0 顺时针转速/分钟
91。 I 0ω0 = I fωf,I 0 = 6120.0 kg • m 2,I f = 1180.0 kg • m 2,ωf= 31.1 转/分钟
93。 L i = 1.00 x 10 7 kg • m 2 /s,I f = 2.025 x 10 5 kg • m 2,ωf= 7.86 rev/s
挑战问题
95。 假设滚动相对于地面向前加速,加速度为 a′。 然后它以加速度(a − a′)相对于卡车向后加速。
另外,Rα = a − a′,I = m12 R 2,ΣF x = f s = ma′,Στ= f s Rα = Ia−a′R,f s =IR2 (a − a′) =12 m (a − a′)
求解 a′:f s =12 m (a − a′),a′ =a3,x − x 0 = v 0 t + a12 t 2,d = a13 t 2,t =√3da,因此,s = 1.5d
97。 a. 琴弦中的张力提供了向心力,因此 T sinθ = mr ⊥ω2。 垂直张力的分量与引力相反,因此 T cosθ = mg。 这给出 T = 5.7 N。我们求解 r ⊥= 0.16 m。这给出了弦的长度为 r = 0.32 m。在ω = 10.0 rad/s 时,杆有了新的角度、张力和垂直半径。 将涉及张力的两个方程除以将其消除sinθcosθ=(0.32msinθ)ω2g⇒1cosθ=(0.32m)ω2g;cosθ = 0.31⇒θ = 72.2°
b.l 初始 = 0.08 kg • m 2 /s,l fin al = 0.46 kg• m 2 /s
c. 不,角度的余弦与角速度的平方成反比,因此,按照θ → 90° 的顺序,ω→ ∞。 鱼竿必须以无限快的速度旋转。