18.11: 角动量

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检查你的理解

11.1。 a.$\mu_{S} \geq \frac{\tan \theta}{1 + \left(\dfrac{mr^{2}}{I_{CM}}\right)}$; 插入角度并注意，对于空心圆柱体 I _{CM = m} r ²，我们有$\mu_{S} \geq \frac{\tan 60^{o}}{1 + \left(\dfrac{mr^{2}}{mr^{2}}\right)} = \frac{1}{2} \tan 60^{o}$ = 0.87；静摩擦系数的值为 0.6，小于 0.87，因此条件不满足，空心圆柱体会滑动；b.实心圆柱体符合条件$\mu_{S} \geq \frac{1}{3} \tan \theta = \frac{1}{3} \tan 60^{o}$ = 0.58。值为 0.6$\mu_{S}$ 满足此条件，因此实心圆柱体不会滑动。

11.2。 从图中我们可以看出，半径向量与动量向量的交叉积给出了指向页面的向量。在角动量表达式中插入半径和动量，我们有 $$\ vec {l} =\ vec {r}\ times\ vec {p} = (0.4\; m\;\ hat {i})\ times [1.67\ times 10^ {−27}\; kg (4.0\ times 10^ {6}\; m/s)\ hat {j} = 2.7\ times 10^ {−^ 21}\; kg\ cdotp m^ {2} /s\;\ hat {k}\]

11.3。 I s _phere = m$\frac{2}{5}$ r ²_，I collen = m$\frac{1}{2}$ r ²；取角力矩的比例，我们有：$\frac{L_{cylinder}}{L_{sphere}} = \frac{I_{cylinder} \omega_{0}}{I_{sphere} \omega_{0}} = \frac{\frac{1}{2} mr^{2}}{\frac{2}{5} mr^{2}} = \frac{5}{4}$。因此，圆柱体的角动量增加了25％。这是因为圆柱体的质量更大，分布在离旋转轴更远的地方。

11.4。 使用角动量守恒法，我们得出 I（4.0 rev/min）= 1.25I$\omega_{f}$，$\omega_{f}$=$\frac{1.0}{1.25}$（4.0 rev/min）= 3.2 rev/min

11.5。 月球的重力是地球重力的1/6。通过研究方程式 11.12，我们可以看到顶部的进动频率与重力加速度成线性成正比。月球上的所有其他量、质量、惯性矩和自旋速率都是相同的。因此，月球上的进动频率为$\omega_{P}$（月球）=$\frac{1}{6} \omega_{P}$（地球）=$\frac{1}{6}$（5.0 rad/s）= 0.83 rad/s。

概念性问题

1。不，静摩擦力为零。

3。车轮更有可能在陡峭的斜坡上滑动，因为静摩擦系数必须随着角度的增加而增加，才能保持滚动运动而不会滑动。

5。圆柱体达到更高的高度。根据方程式 11.20，它在斜坡向下方向上的加速度会更小。

7。直线上的所有点将产生零角动量，因为交叉成平行向量的向量为零。

9。粒子必须沿着穿过所选原点的直线移动。

11。 如果没有小型螺旋桨，直升机的机身将以与大型螺旋桨相反的角度旋转，以保持角动量。小型螺旋桨在距离飞机质心 R 处施加推力，以防止这种情况发生。

13。 角速度增加是因为惯性矩在减小。

15。更多的质量集中在旋转轴附近，这会减少惯性矩，从而导致恒星增加其角速度。

17。 为了改变其方向，需要在垂直于角动量向量的方向上施加扭矩。太空飞行器上的这些力位于安装陀螺仪的容器外部，不会向陀螺仪的旋转盘施加扭矩。

问题

19。 v _CM = R$\omega \Rightarrow \omega$ = 66.7 rad/s

21。 $\alpha$= 3.3 rad/s ²

23。 I _{CM = m}$\frac{2}{5}$ r ²，a _CM = 3.5 m/s ²；x = 15.75 m

25。 正值是斜面向下；$$a_ {CM} =\ frac {mg\ sin\ theta} {m +\ 左 (\ dfrac {I_ {CM}} {r^ {2}}\ 右)}\ Rightarrow I_ {CM} = r^ {2}\ Bigg [\ frac {mg\ sin 30} {a_ {CM}} − m\ Bigg], $$$x − x_ {0} = v_ {0} t −\ frac {1} {2} a_ {CM} t^ {2}\ Rightarrow a_ {CM} = 2.96\; m/s^ {2}，$$$I_ {CM} = 0.66\; mr^ {2}\]

27。 $\alpha$= 67.9 rad/s ²，(a _CM) x = 1.5 m/s ²

29。 W = −1080.0 J

31。 底部的机械能等于顶部的机械能；$$\ frac {1} {2} mv_ {0} ^ {2} +\ frac {1} {2}\ 左 (\ dfrac {1} {2} mr^ {2}\ 右)\ 左 (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} = mgh\ Rightarrow h =\ frac {1} {g}\ 左 (\ dfrac {1} {2} +\ dfrac {1} {4}\ 右) v_ {0} ^ {2}，$$h = 7.7 m，所以向上倾斜的距离为 220.5 m

33。使用节能 $$\ begin {split}\ frac {1} {2} mv_ {0} ^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {Cyl}\ omega_ {0} ^ {2} ^ {2}\ frac {1} 2} I_ {Sph}\ omega_ {0} ^ {2} & = mgh_ {Sph}\ ldotp\ end {split} $$减去两个方程，减去初始平移能量，我们有 $$\ frac {1} {2} I_ {Cyl}\ omega_ {0} ^ {2} −\ frac {1} {2} I_ {Sph}\ omega_ {0} ^ {2} = mg (h_ {Cyl} − h_ {Sph})，$$$\ frac {1} {2} mr^ {2}\ left (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} −\ frac {1} {2}\ 左 (\ dfrac {2} {3}\ 右) mr^ {2}\ 左 (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} = mg (h_ {Cyl} − h_ {Sph})，$$$\ frac {1} {2} v_ {0} ^ {2} −\ frac {1} {2}\ left (\ dfrac {2} {3}\右) v_ {0} ^ {2} = g (h_ {Cyl} − h_ {Sph})，$$$h_ {Cyl} − h_ {Sph} =\ frac {1} {g}\ 左 (\ dfrac {1} {3}\ 右) v_ {0} ^ {2} =\ frac c {1} {9.8\; m/s^ {2}}\ 左 (\ dfrac {1} {6}\ 右) (5.0\; m/s) ^ {2} = 0.43\; m\ ldotp$Thus，惯性矩较小的空心球体向上滚动到较低的高度 1.0 − 0。43 = 0.57 m。

35。 鸟的半径及其动量向量的横积的大小产生 rp sin$\theta$，这将 r sin$\theta$ 作为鸟的高度 h。角动量的方向垂直于半径和动量向量，我们可以任意选择这些向量$\hat{k}$，它在地面上：$$\ vec {L} =\ vec {r}\ times\ vec {p} = hmv\;\ hat {k} = (300.0\; m) (2.0\; kg) (20.0\; m/s)\;\ hat {k} = 12,000.0\; kg\ cdotp m^ {2} /s}\]

37。 a.$\vec{l}$ = 45.0 kg • m ² /s$\hat{k}$

b.$\vec{\tau}$ = 10.0 N • m$\hat{k}$

39。 a.$\vec{l}_{1}$ = −0.4 kg • m ² /s$\hat{k}$，$\vec{l}_{2} = \vec{l}_{4}$= 0，$\vec{l}_{3}$= 1.35 kg • m ² /s$\hat{k}$

b.$\vec{L}$ = 0.95 kg • m ² /s$\hat{k}$

41。 a. L = 1.0 x 10 ¹¹ kg • m ² /s

b. 不，角动量保持不变，因为交叉积仅涉及从平面到地面的垂直距离，无论其路径位于何处。

43。 一个。$\vec{v} = −gt\; \hat{j}, \vec{r}_{\perp} = −d;\ \hat{i}, \vec{l} = mdgt\; \hat{k}$

b。$\vec{F} = −mg\; \hat{j}, \Sigma \vec{\tau} = dmg\; \hat{k}$

c. 是的

45。 a.mgh =$\frac{1}{2}$ m (r$\omega$) ² +$\frac{1}{2} \left(\dfrac{2}{5}\right) mr^{2} \omega^{2}$;$\omega$ = 51.2 rad/s; L = 16.4 kg • m ² /s

b.$\omega$ = 72.5 rad/s；L = 23.2 kg • m ² /s

47。 a. I = 720.0 kg • m ²；$\alpha$= 4.20 rad/s ²；$\omega$（10 s）= 42.0 rad/s；L = 3.02 x 10 ⁴ kg • m ² /s；$\omega$（20 秒）= 84.0 rad/s

b.$\tau$ = 3.03 x 10 ³ N • m

49。 a. L = 1.131 x 10 ⁷ kg • m ² /s

b.$\tau$ = 3.77 x 10 ⁴ N • m

51。 $\omega$= 28.6 rad/s$\Rightarrow$ L = 2.6 kg • m ² /s

53。 $$L_ {f} =\ frac {2} {5} M_ {S} (3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {T_ {f}}，$$$ (7.0\ times 10^ {5}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {28\; days} = (3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {T_ {f}} $$$T_ {f}\ Rightarrow = 28\; days\ frac {(3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}} = 7.0\ times 10^ {−^ 4}\;day = 60.5\; s\]

55。 f _f = 2.1 rev/s$\Rightarrow$ f ₀ = 0.5 rev/s

57。 r _P mv _P = r _A mv _A$\Rightarrow$ v _P = 18.3 km/s

59。 a. I d _isk = 5.0 x 10 ⁻⁴ kg • m ²，I _bug = 2.0 x 10 ⁻⁴ kg • m ²，（I d _isk + I _bug）$\omega_{1}$= I _磁盘$\omega_{2}$，$\omega_{2}$= 14.0 rad/s

b.$\Delta$ K = 0.014 J

c.$\omega_{3}$ = 10.0 rad/s 返回原始值

d.$\frac{1}{2}$（I d _isk + I _bug）$\omega_{3}^{2}$= 0.035 J 恢复到原始值

e. 在磁盘上搜寻错误的工作

61。 L _i = 400.0 kg • m ² s，L _f = 500.0 kg • m ²$\omega$，$\omega$= 0.80 rad/s

63。 I ₀ = 340.48 kg • m ²，I _f = 268.8 kg • m ²，$\omega_{f}$= 25.33 rpm

65。 a. L = 280 kg • m ² /s，I _f = 89.6 kg • m ²，$\omega_{f}$= 3.125 rad/s

b. K _i = 437.5 J，K _f = 437.5 J

67。 创纪录旋转中的惯性矩：I ₀ = 0.5 kg • m ²，I _f = 1.1 kg • m ²，$\omega_{f} = \frac{I_{0}}{I_{f}} \omega_{0} \Rightarrow $f _f = 155.5 rev/min

69。 她在空中的旋转速度为：f _f = 2.0 rev/s；她可以在空中翻转四次。

71。 所有孩子都登机的惯性矩：I ₀ = 2.4 x 10 ⁵ kg • m ²；I _f = 1.5 x 10 ⁵ kg • m ²；f _f = 0.3 rev/s

73。 I ₀ = 1.00 x ¹⁰ kg • m ²，I _f = 9.94 x 10 ⁹ kg • m ²，f _f = 3.32 转速/分钟

75。 I = 2.5 x 10 ⁻³ kg • m ²，$\omega_{P}$= 0.78 rad/s

77。 a. L E _arth = 7.06 x 10 ³³ kg • m ² /s，$\Delta$L = 5.63 x 10 ³³ kg • m ² /s

b.$\tau$ = 1.7 x 10 ²² N • m

c. 赤道上的两种力将具有相同的大小，但方向不同，一个在地球的另一侧，一个在北方向，另一个在南方向。力和杠杆臂与地球中心的角度为 90°，因此给定扭矩的大小$\tau$ = FR _E sin 90° = FR _E。两者都会提供相同方向的扭矩：$\tau$= 2FR _E$\Rightarrow$ F = 1.3 x 10 ¹⁵ N

其他问题

79。 a _CM = −$\frac{3}{10}$ g，v ² = v ₀ ² + 2a _CM x$\Rightarrow$ v ² = (7.0 m/s) ² − 2$\left(\dfrac{3}{10}g\right)$ x，v ² = 0$\Rightarrow$ x = 8.34 m

b.t =$\frac{v − v_{0}}{a_{CM}}$，v = v ₀ + a _CM$\Rightarrow$ t t = 2.38 s；空心球的惯性矩更大，因此比大理石或实心球体更难休息。行进的距离越大，经过的时间越长。

81. a. W = −500.0 J

b. K + U _grav = 恒定，500 J + 0 = 0 + (6.0 kg) (9.8 m/s ²) h，h = 8.5 m，d = 17.0 m；空心球体的惯性矩较小，因此停止它所需的工作量更少。同样，它在斜坡上滚动的距离比篮圈短。

83。 a.$\tau$ = 34.0 N • m

b.l = mr ²$\omega \Rightarrow \omega$ = 3.6 rad/s

85。 a.d _M = 3.85 x 10 ⁸ m 到月球的平均距离；轨道周期 27.32d = 2.36 x 10 ⁶ 秒；月球速度$\frac{2 \pi 3.85 \times 10^{8}\; m}{2.36 \times 10^{6}\; s}$ = 1.0 x 10 ³ m/s；月球质量 7.35 x 10 ²² 千克，L = 2.90 x 10 ³⁴ kgm ² /s

b. 月球半径 1.74 x 10 ⁶ m；轨道周期与 (a) 相同：$\omega$= 2.66 x 10 ⁻⁶ rad/s，L = 2.37 x 1029 kg • m ² /s；轨道角动量比月球旋转角动量大 1.22 x 10 ⁵ 倍。

87。 I = 0.135 kg • m ²，$\alpha$= 4.19 rad/s ²$\omega = \omega_{0} + \alpha t$，$\omega$（5 s）= 21.0 rad/s，L = 2.84 kg • m ² /s，$\omega$（10 s）= 41.9 rad/s，L = 5.66 kg • m/s ²

89。 在角动量守恒方程中，旋转速率出现在两边，因此我们保留（rev/min）表示法，因为角速度可以乘以常数得到（rev/min）：L _i = −0.04 kg • m ²（300.0 rev/min），L _f =（0.08 kg • m ²）f_f$\Rightarrow$ f _f = −150.0 顺时针转速/分钟

91。 I ₀$\omega_{0}$ = I _f$\omega_{f}$，I ₀ = 6120.0 kg • m ²，I _f = 1180.0 kg • m ²，$\omega_{f}$= 31.1 转/分钟

93。 L _i = 1.00 x 10 ⁷ kg • m ² /s，I _f = 2.025 x 10 ⁵ kg • m ²，$\omega_{f}$= 7.86 rev/s

挑战问题

95。 假设滚动相对于地面向前加速，加速度为 a′。然后它以加速度（a − a′）相对于卡车向后加速。

另外，R$\alpha$ = a − a′，I = m$\frac{1}{2}$ R ²，$\Sigma$F _x = f _s = ma′，$\Sigma \tau$= f _s R$\alpha$ = I$\frac{a − a′}{R}$，f _s =$\frac{I}{R^{2}}$ (a − a′) =$\frac{1}{2}$ m (a − a′)

求解 a′：f _s =$\frac{1}{2}$ m (a − a′)，a′ =$\frac{a}{3}$，x − x _{0 = v ₀} t + a$\frac{1}{2}$ t ²，d = a$\frac{1}{3}$ t ²，t =$\sqrt{\frac{3d}{a}}$，因此，s = 1.5d

显示了水平表面上圆柱体上的力。圆柱的半径为 R，惯性矩为半米 R 的平方，以 x y 坐标系为中心，该坐标系向右为正 x，正向上 y。力 m g 作用于圆柱体的中心并指向下方。力 N 指向上方并作用于圆柱体接触表面的接触点。力 f sub s 指向右侧并作用于圆柱体接触表面的接触点。

97。 a. 琴弦中的张力提供了向心力，因此 T sin$\theta$ = mr _$\perp$$\omega^{2}$。垂直张力的分量与引力相反，因此 T cos$\theta$ = mg。这给出 T = 5.7 N。我们求解 r _$\perp$= 0.16 m。这给出了弦的长度为 r = 0.32 m。在$\omega$ = 10.0 rad/s 时，杆有了新的角度、张力和垂直半径。将涉及张力的两个方程除以将其消除$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{(0.32\; m\; \sin \theta) \omega^{2}}{g} \Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} = \frac{(0.32\; m) \omega^{2}}{g}$；cos$\theta$ = 0.31$\Rightarrow \theta$ = 72.2°

b.l _初始 = 0.08 kg • m ² /s，l fin _al = 0.46 kg• m ² /s

c. 不，角度的余弦与角速度的平方成反比，因此，按照$\theta$ → 90° 的顺序，$\omega$→ ∞。鱼竿必须以无限快的速度旋转。

贡献者和归因

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