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18.11: 角动量

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11.1。 a.μStanθ1+(mr2ICM); 插入角度并注意,对于空心圆柱体 I CM = m r 2,我们有μStan60o1+(mr2mr2)=12tan60o = 0.87;静摩擦系数的值为 0.6,小于 0.87,因此条件不满足,空心圆柱体会滑动;b.实心圆柱体符合条件μS13tanθ=13tan60o = 0.58。 值为 0.6μS 满足此条件,因此实心圆柱体不会滑动。

11.2。 从图中我们可以看出,半径向量与动量向量的交叉积给出了指向页面的向量。 在角动量表达式中插入半径和动量,我们有 $$\ vec {l} =\ vec {r}\ times\ vec {p} = (0.4\; m\;\ hat {i})\ times [1.67\ times 10^ {−27}\; kg (4.0\ times 10^ {6}\; m/s)\ hat {j} = 2.7\ times 10^ {−^ 21}\; kg\ cdotp m^ {2} /s\;\ hat {k}\]

11.3。 I s phere = m25 r 2I collen = m12 r 2;取角力矩的比例,我们有:LcylinderLsphere=Icylinderω0Isphereω0=12mr225mr2=54。 因此,圆柱体的角动量增加了25%。 这是因为圆柱体的质量更大,分布在离旋转轴更远的地方。

11.4。 使用角动量守恒法,我们得出 I(4.0 rev/min)= 1.25Iωfωf=1.01.25(4.0 rev/min)= 3.2 rev/min

11.5。 月球的重力是地球重力的1/6。通过研究方程式 11.12,我们可以看到顶部的进动频率与重力加速度成线性成正比。 月球上的所有其他量、质量、惯性矩和自旋速率都是相同的。 因此,月球上的进动频率为ωP(月球)=16ωP(地球)=16(5.0 rad/s)= 0.83 rad/s。

概念性问题

1。 不,静摩擦力为零。

3。 车轮更有可能在陡峭的斜坡上滑动,因为静摩擦系数必须随着角度的增加而增加,才能保持滚动运动而不会滑动。

5。 圆柱体达到更高的高度。 根据方程式 11.20,它在斜坡向下方向上的加速度会更小。

7。 直线上的所有点将产生零角动量,因为交叉成平行向量的向量为零。

9。 粒子必须沿着穿过所选原点的直线移动。

11。 如果没有小型螺旋桨,直升机的机身将以与大型螺旋桨相反的角度旋转,以保持角动量。 小型螺旋桨在距离飞机质心 R 处施加推力,以防止这种情况发生。

13。 角速度增加是因为惯性矩在减小。

15。 更多的质量集中在旋转轴附近,这会减少惯性矩,从而导致恒星增加其角速度。

17。 为了改变其方向,需要在垂直于角动量向量的方向上施加扭矩。 太空飞行器上的这些力位于安装陀螺仪的容器外部,不会向陀螺仪的旋转盘施加扭矩。

问题

19。 v CM = Rωω = 66.7 rad/s

21。 α= 3.3 rad/s 2

23。 I CM = m25 r 2,a CM = 3.5 m/s 2;x = 15.75 m

25。 正值是斜面向下;aCM= fracmg sin thetam+ ( dfracICMr2 ) RightarrowICM=r2 Bigg[ fracmg sin30aCMm Bigg],$x − x_ {0} = v_ {0} t −\ frac {1} {2} a_ {CM} t^ {2}\ Rightarrow a_ {CM} = 2.96\; m/s^ {2},$$$I_ {CM} = 0.66\; mr^ {2}\]

27。 α= 67.9 rad/s 2,(a CM) x = 1.5 m/s 2

29。 W = −1080.0 J

31。 底部的机械能等于顶部的机械能; frac12mv20+ frac12 ( dfrac12mr2 ) ( dfracv0r )2=mgh Rightarrowh= frac1g ( dfrac12+ dfrac14 )v20h = 7.7 m,所以向上倾斜的距离为 220.5 m

33。 使用节能 \boldsymbol{\ begin {split}\ frac {1} {2} mv_ {0} ^ {2} +\ frac {1} {2} I_ {Cyl}\ omega_ {0} ^ {2} ^ {2}\ frac {1} 2} I_ {Sph}\ omega_ {0} ^ {2} & = mgh_ {Sph}\ ldotp\ end {split}}减去两个方程,减去初始平移能量,我们有  frac12ICyl omega20 frac12ISph omega20=mg(hCylhSph)$\ frac {1} {2} mr^ {2}\ left (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} −\ frac {1} {2}\ 左 (\ dfrac {2} {3}\ 右) mr^ {2}\ 左 (\ dfrac {v_ {0}} {r}\ 右) ^ {2} = mg (h_ {Cyl} − h_ {Sph}),$ frac12v20 frac12 left( dfrac23\右)v20=g(hCylhSph)$h_ {Cyl} − h_ {Sph} =\ frac {1} {g}\ 左 (\ dfrac {1} {3}\ 右) v_ {0} ^ {2} =\ frac c {1} {9.8\; m/s^ {2}}\ 左 (\ dfrac {1} {6}\ 右) (5.0\; m/s) ^ {2} = 0.43\; m\ ldotp$Thus,惯性矩较小的空心球体向上滚动到较低的高度 1.0 − 0。43 = 0.57 m。

35。 鸟的半径及其动量向量的横积的大小产生 rp sinθ,这将 r sinθ 作为鸟的高度 h。角动量的方向垂直于半径和动量向量,我们可以任意选择这些向量ˆk,它在地面上:$$\ vec {L} =\ vec {r}\ times\ vec {p} = hmv\;\ hat {k} = (300.0\; m) (2.0\; kg) (20.0\; m/s)\;\ hat {k} = 12,000.0\; kg\ cdotp m^ {2} /s}\]

37。 a.l = 45.0 kg • m 2 /sˆk

b.τ = 10.0 N • mˆk

39。 a.l1 = −0.4 kg • m 2 /sˆkl2=l4= 0,l3= 1.35 kg • m 2 /sˆk

b.L = 0.95 kg • m 2 /sˆk

41。 a. L = 1.0 x 10 11 kg • m 2 /s

b. 不,角动量保持不变,因为交叉积仅涉及从平面到地面的垂直距离,无论其路径位于何处。

43。 一个。v=gtˆj,r=d; ˆi,l=mdgtˆk

b。F=mgˆj,Στ=dmgˆk

c. 是的

45。 a.mgh =12 m (rω) 2 +12(25)mr2ω2;ω = 51.2 rad/s; L = 16.4 kg • m 2 /s

b.ω = 72.5 rad/s;L = 23.2 kg • m 2 /s

47。 a. I = 720.0 kg • m 2α= 4.20 rad/s 2ω(10 s)= 42.0 rad/s;L = 3.02 x 10 4 kg • m 2 /s;ω(20 秒)= 84.0 rad/s

b.τ = 3.03 x 10 3 N • m

49。 a. L = 1.131 x 10 7 kg • m 2 /s

b.τ = 3.77 x 10 4 N • m

51。 ω= 28.6 rad/s L = 2.6 kg • m 2 /s

53。 Lf= frac25MS(3.5 times103km)2 frac2 piTf$ (7.0\ times 10^ {5}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {28\; days} = (3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}\ frac {2\ pi} {T_ {f}} $$$T_ {f}\ Rightarrow = 28\; days\ frac {(3.5\ times 10^ {3}\; km) ^ {2}} = 7.0\ times 10^ {−^ 4}\;day = 60.5\; s\]

55。 f f = 2.1 rev/s f 0 = 0.5 rev/s

57。 r P mv P = r A mv A v P = 18.3 km/s

59。 a. I d isk = 5.0 x 10 −4 kg • m 2,I bug = 2.0 x 10 −4 kg • m 2,(I d isk + I bugω1= I 磁盘ω2ω2= 14.0 rad/s

b.Δ K = 0.014 J

c.ω3 = 10.0 rad/s 返回原始值

d.12(I d isk + I bugω23= 0.035 J 恢复到原始值

e. 在磁盘上搜寻错误的工作

61。 L i = 400.0 kg • m 2 s,L f = 500.0 kg • m 2ωω= 0.80 rad/s

63。 I 0 = 340.48 kg • m 2,I f = 268.8 kg • m 2ωf= 25.33 rpm

65。 a. L = 280 kg • m 2 /s,I f = 89.6 kg • m 2ωf= 3.125 rad/s

b. K i = 437.5 J,K f = 437.5 J

67。 创纪录旋转中的惯性矩:I 0 = 0.5 kg • m 2,I f = 1.1 kg • m 2ωf=I0Ifω0f f = 155.5 rev/min

69。 她在空中的旋转速度为:f f = 2.0 rev/s;她可以在空中翻转四次。

71。 所有孩子都登机的惯性矩:I 0 = 2.4 x 10 5 kg • m 2;I f = 1.5 x 10 5 kg • m 2;f f = 0.3 rev/s

73。 I 0 = 1.00 x 10 kg • m 2,I f = 9.94 x 10 9 kg • m 2,f f = 3.32 转速/分钟

75。 I = 2.5 x 10 −3 kg • m 2ωP= 0.78 rad/s

77。 a. L E arth = 7.06 x 10 33 kg • m 2 /s,ΔL = 5.63 x 10 33 kg • m 2 /s

b.τ = 1.7 x 10 22 N • m

c. 赤道上的两种力将具有相同的大小,但方向不同,一个在地球的另一侧,一个在北方向,另一个在南方向。 力和杠杆臂与地球中心的角度为 90°,因此给定扭矩的大小τ = FR E sin 90° = FR E。 两者都会提供相同方向的扭矩:τ= 2FR E F = 1.3 x 10 15 N

其他问题

79。 a CM = −310 g,v 2 = v 0 2 + 2a CM x v 2 = (7.0 m/s) 2 − 2(310g) x,v 2 = 0 x = 8.34 m

b.t =vv0aCM,v = v 0 + a CM t t = 2.38 s;空心球的惯性矩更大,因此比大理石或实心球体更难休息。 行进的距离越大,经过的时间越长。

81. a. W = −500.0 J

b. K + U grav = 恒定,500 J + 0 = 0 + (6.0 kg) (9.8 m/s 2) h,h = 8.5 m,d = 17.0 m;空心球体的惯性矩较小,因此停止它所需的工作量更少。 同样,它在斜坡上滚动的距离比篮圈短。

83。 a.τ = 34.0 N • m

b.l = mr 2ωω = 3.6 rad/s

85。 a.d M = 3.85 x 10 8 m 到月球的平均距离;轨道周期 27.32d = 2.36 x 10 6 秒;月球速度2π3.85×108m2.36×106s = 1.0 x 10 3 m/s;月球质量 7.35 x 10 22 千克,L = 2.90 x 10 34 kgm 2 /s

b. 月球半径 1.74 x 10 6 m;轨道周期与 (a) 相同:ω= 2.66 x 10 −6 rad/s,L = 2.37 x 1029 kg • m 2 /s;轨道角动量比月球旋转角动量大 1.22 x 10 5 倍。

87。 I = 0.135 kg • m 2α= 4.19 rad/s 2ω=ω0+αtω(5 s)= 21.0 rad/s,L = 2.84 kg • m 2 /s,ω(10 s)= 41.9 rad/s,L = 5.66 kg • m/s 2

89。 在角动量守恒方程中,旋转速率出现在两边,因此我们保留(rev/min)表示法,因为角速度可以乘以常数得到(rev/min):L i = −0.04 kg • m 2(300.0 rev/min),L f =(0.08 kg • m 2)ff f f = −150.0 顺时针转速/分钟

91。 I 0ω0 = I fωf,I 0 = 6120.0 kg • m 2,I f = 1180.0 kg • m 2ωf= 31.1 转/分钟

93。 L i = 1.00 x 10 7 kg • m 2 /s,I f = 2.025 x 10 5 kg • m 2ωf= 7.86 rev/s

挑战问题

95。 假设滚动相对于地面向前加速,加速度为 a′。 然后它以加速度(a − a′)相对于卡车向后加速。

另外,Rα = a − a′,I = m12 R 2ΣF x = f s = ma′,Στ= f s Rα = IaaR,f s =IR2 (a − a′) =12 m (a − a′)

求解 a′:f s =12 m (a − a′),a′ =a3,x − x 0 = v 0 t + a12 t 2,d = a13 t 2,t =3da,因此,s = 1.5d

显示了水平表面上圆柱体上的力。 圆柱的半径为 R,惯性矩为半米 R 的平方,以 x y 坐标系为中心,该坐标系向右为正 x,正向上 y。 力 m g 作用于圆柱体的中心并指向下方。 力 N 指向上方并作用于圆柱体接触表面的接触点。 力 f sub s 指向右侧并作用于圆柱体接触表面的接触点。

97。 a. 琴弦中的张力提供了向心力,因此 T sinθ = mr ω2。 垂直张力的分量与引力相反,因此 T cosθ = mg。 这给出 T = 5.7 N。我们求解 r = 0.16 m。这给出了弦的长度为 r = 0.32 m。在ω = 10.0 rad/s 时,杆有了新的角度、张力和垂直半径。 将涉及张力的两个方程除以将其消除sinθcosθ=(0.32msinθ)ω2g1cosθ=(0.32m)ω2g;cosθ = 0.31θ = 72.2°

b.l 初始 = 0.08 kg • m 2 /s,l fin al = 0.46 kg• m 2 /s

c. 不,角度的余弦与角速度的平方成反比,因此,按照θ → 90° 的顺序,ω→ ∞。 鱼竿必须以无限快的速度旋转。

贡献者和归因

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