16.S：Waves（摘要）
- Page ID
- 204237
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)关键条款
| antinode | 驻波中最大振幅的位置 |
| 建设性干扰 | 当两个波浪完全相位到达同一点时；也就是说，两个波浪的波峰精确对齐，波谷也是如此 |
| 破坏性干扰 | 当两个相同的波浪完全异相到达同一点时；也就是说，波峰与波谷精确对齐 |
| 固定边界条件 | 当边界处的介质固定到位因此无法移动时 |
| 自由边界条件 | 当边界处的介质可以自由移动时存在 |
| 基本频率 | 会产生驻波的最低频率 |
| 强度 (I) | 单位面积功率 |
| 干扰 | 两个或多个波浪在同一时间点重叠 |
| 线性波动方程 | 描述由介质线性恢复力产生的波浪的方程；任何作为波动方程解的函数都描述了以恒定波速在 x 方向或负 x 方向上移动的波浪 |
| 纵波 | 扰动平行于传播方向的波 |
| 机械波 | 波浪受牛顿定律支配，需要媒介 |
| 节点 | 弦不移动的点；更一般地说，节点是驻波中波浪干扰为零的地方 |
| 普通模式 | 弦上驻波可能出现的驻波模式 |
| 意味 | 产生驻波且高于基波频率的频率 |
| 脉冲 | 在介质中移动的单一干扰，传递能量但不传递质量 |
| 驻波 | 波浪可以在特定区域来回反弹，实际上变为静止状态 |
| 叠加 | 当两个或多个波浪到达同一点时发生的现象 |
| 横波 | 扰动垂直于传播方向的波 |
| 波浪 | 从其源头移动并携带能量的干扰 |
| 波浪函数 | 介质粒子位置的数学模型 |
| 波数 | $$\ frac {2\ pi} {\ lambda} $$ |
| 波速 | 波速的大小 |
| 波速 | 扰动移动的速度；也称为传播速度 |
| 波长 | 波浪相邻相同部分之间的距离 |
关键方程式
| 波速 | $$v =\ frac {\ lambda} {T} =\ lambda f$$ |
| 线性质量密度 | $$\ mu =\ frac {mass\; of\; string} {length\; of\; string} $$ |
| 拉力下弦上波浪或脉冲的速度 | $$|v| =\ sqrt {\ frac {F_ {T}} {\ mu}} $$ |
| 流体中压缩波的速度 | $$v =\ sqrt {\ frac {B} {\ rho}} $$ |
| 两个除相移外完全相同的正弦波叠加产生的合成波 | \ [y_ {R} (x, t) =\ Bigg [2A\ cos\ left (\ dfrac {\ phi} {2}\ 右)\ Bigg]\ sin\ 左 (kx-\ omega t +\ dfrac {\ phi} {2}\ 右) $$ |
| 波数 | $$k =\ equiv\ frac {2\ pi} {\ lambda} $$ |
| 波速 | $$v =\ frac {\ omega} {k} $$ |
| 周期性波浪 | $$y (x, t) = A\ sin (kx\ mp\ omega +\ phi) $$ |
| 波浪的相位 | $$kx\ mp\ omega t +\ phi$$ |
| 线性波动方程 | $$\ frac {\ partial^ {2} y (x, t)} {\ partial x^ {2}} =\ frac {1} {v_ {w} ^ {2}}\ frac {\ partial^ {2} y (x, t)} {\ partial t^ {2}} $$ |
| 一个波长在波浪中的功率 | $$P_ {ave} =\ frac {E_ {\ lambda}} {T} =\ frac {1} {2}\ mu A^ {2}\ frac {\ lambda} {T} =\ frac {1} {2}\ mu A^ {2} v$$ |
| 强度 | $$I =\ frac {P} {A} $$ |
| 球形波的强度 | $$I =\ frac {P} {2\ pi r^ {2}} $$ |
| 驻波方程 | \ [y (x, t) = [2A\ sin (kx)]\ cos (\ omega t) $$ |
| 对称边界条件的波长 | $$\ lambda_ {n} =\ frac {2} {n} L，\ qquad n = 1、2、3、4、5\ ldots$$ |
| 对称边界条件的频率 | $$f_ {n} = n\ frac {v} {2L} = nf_ {1}，\ qquad n = 1、2、3、4、5\ ldots$$ |
摘要
16.1 旅行波浪
- 波浪是一种以波速 v 从原点移动的干扰
- 波浪具有波长\(\lambda\)，即波浪的相邻相同部分之间的距离。 波速和波长与波浪的频率和周期有关 v\(\frac{\lambda}{T}\) =\(\lambda\) f。
- 机械波是在介质中移动的干扰，受牛顿定律的支配。
- 电磁波是电场和磁场中的干扰，不需要介质。
- 物质波是量子力学的核心部分，与自然界中发现的质子、电子、中子和其他基本粒子有关。
- 横向波的干扰垂直于波浪的传播方向，而纵波的干扰与其传播方向平行。
16.2 波浪数学
- 波浪是一种通过介质传播的（具有物理量的）振荡，伴随着能量的传递。 能量沿波浪运动的方向从一个点转移到另一个点。 介质中的粒子围绕平衡位置上下、来回振荡，或上下和来回振荡。
- 时间 t = 0.00 s 时正弦波的快照可以建模为位置函数。 此类函数的两个示例是 y (x) = A sin (kx +\(\phi\)) 和 y (x) = A cos (kx +\(\phi\))。
- 假定波浪的函数是波浪的快照，并且只是位置 x 的函数，则可以使用该函数对以恒定速度移动的脉冲或波浪的运动进行建模，将 x 替换为 x vt。 减号代表正向运动，加号代表负方向运动。
- 波函数由 y (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)) 给出，其中 k =\(\frac{2 \pi}{\lambda}\) 定义为波数，\(\omega = \frac{2 \pi}{T}\)是角频率，\(\phi\)是相移。
- 波浪以恒定速度 v w 移动，介质中的粒子围绕平衡位置振荡。 波浪的恒定速度可以通过v =\(\frac{\lambda}{T}\) = 来找到\(\frac{\omega}{k}\)。
16.3 拉伸绳上的波速
- 弦上波浪的速度取决于弦的线性密度和弦中的张力。 线性密度是字符串每单位长度的质量。
- 通常，波浪的速度取决于介质弹性特性与惯性特性之比的平方根。
- 波浪穿过流体的速度等于流体的体积模量与流体密度之比的平方根。
- T = 20 °C 时，声音通过空气的速度约为 v s = 343.00 m/s。
16.4 波浪的能量和力量
- 波浪的能量和功率与波浪振幅的平方和波浪角频率的平方成正比。
- 正弦波在弦上的时间平均功率由 P ave = 求得\(\frac{1}{2} \mu A^{2} \omega^{2} v\)，其中\(\mu\)是弦的线性质量密度，A 是波浪的振幅，\(\omega\)是波浪的角频率，v 是波浪的速度。
- 强度定义为功率除以面积。 在球形波中，面积为 A = 4\(\pi\) r 2，强度为 I =\(\frac{P}{4 \pi r^{2}}\)。 当波浪从源头移出时，能量是守恒的，但强度会随着面积的增加而降低。
16.5 波浪的干扰
- 叠加是两个波浪在同一位置的组合。
- 构造干扰来自两个相位相同的波浪的叠加。
- 破坏性干扰源于两个相位异常180°（\(\pi\)弧度）的相同波的叠加。
- 两个正弦波的叠加产生的波浪是振幅取决于相位差值的波浪。
16.6 驻波和共振
- 驻波是两个波浪的叠加，它产生的波浪振幅各不相同，但不会传播。
- 节点是驻波中的不运动点。
- antinode 是驻波最大振幅的位置。
- 弦上波浪的正常模式是可能的驻波模式。 产生驻波的最低频率被称为基频。 产生驻波的较高频率称为泛音。