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8.E：潜在能量和节能（练习）

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    概念性问题

    8.1 系统的潜在能量

    1. 系统的动能必须始终为正或零。 解释对系统的潜在能量来说这是否正确。
    2. 跳水板施加的力是保守的，前提是内部摩擦可以忽略不计。 假设摩擦力可以忽略不计，请描述一下游泳运动员开车离开跳水板时其潜在能量的变化，从游泳者踏上跳水板之前开始，直到双脚离开跳水板之后。
    3. 描述标枪的引力势能量转移和转换，从运动员拿起标枪的那一刻开始，到标枪被投掷后卡在地上时结束。
    4. 几个质量相等的足球以相同的速度但以不同的角度踢出地面。 足球 A 的踢球角度略高于水平线，而球 B 的踢出角度略低于垂直角度。 以下两项对比球A和球B如何？ (a) 初始动能和 (b) 引力势能从地面到最高点的变化？ 如果 (a) 部分中的能量与 (b) 部分的能量不同，请解释为什么两种能量之间存在差异。
    5. 如果对物体所做的唯一工作来自引力，那么影响物体速度的主导因素是什么？该物体从静止开始沿着无摩擦的斜坡开始？
    6. 两个人观察到一片树叶从树上掉下来。 一个人站在梯子上，另一个人站在地上。 如果每个人比较观察到的树叶的能量，从树上掉下来到落到地面，每个人会发现树叶的以下能量相同还是不同：（a）叶子的动能；（b）引力势能的变化；（c）最终的叶子引力势能？

    8.2 保守派和非保守势力

    1. 非保守势力的物理含义是什么？
    2. 瓶装火箭以 30 m/s 的速度直接向空中射击。如果忽略空气阻力，瓶装火箭将上升到大约 46 米的高度。但是，火箭在返回地面之前只能上升到 35 米。 发生了什么？ 解释，只给出定性回应。
    3. 在从一个点到另一个点再回到同一点的旅程中，外力作用于粒子。 该粒子仅受保守力量影响。 这个粒子的动能和势能会因为这次旅行而发生变化吗？

    8.3 节约能源

    1. 当人体沿着倾斜的平面滑下时，摩擦的作用是否取决于身体的初始速度？ 对于身体在曲面上滑动，请回答同样的问题。
    2. 考虑以下场景。 摩擦力不可忽视的汽车在山上休息后会加速，短距离后汽油就会耗尽（见下文）。 司机让汽车在山下滑得更远，然后向上滑过一个小山顶。 然后，他沿着那座山滑行进入加油站，在那里他刹车停下来，然后在油箱里装满汽油。 确定汽车拥有的能量形式，以及它们在这一系列事件中是如何变化和转移的。

    一辆汽车沿着山坡向上驶过一个小山顶，然后下坡。 在山底，它停下来换汽油。

    1. 掉落的球会反弹到其原始高度的一半。 讨论正在发生的能量转换。
    2. “E = K + U 常数是工作能量定理的一个特例。” 讨论这句话。
    3. 在常见的物理演示中，保龄球被绳子悬挂在天花板上。 教授将球从其平衡位置拉开，并将球放在鼻子附近，如下所示。 他释放球让球直接从他身边摆动。 他在回球挥杆时会被球击中吗？ 他想在这次演示中展示什么？

    这幅画描绘了一个男子拉着一个保龄球，该保龄球被绳子悬挂在天花板上，远离其平衡位置，并将其放在鼻子附近。 在第二张照片中，球直接从他身边摆动。

    1. 一个孩子在床上上下跳跃，每次弹跳后都会达到更高的身高。 解释孩子如何在每次弹跳时增加其最大引力势能。
    2. 非保守力能增加系统的机械能吗？
    3. 忽略空气阻力，如果我想将坠落物体的冲击速度提高一倍，我必须将垂直高度提高多少？
    4. 一个盒子在弹簧的平衡位置掉落到弹簧上。 弹簧在装有盒子的情况下压缩并休息。 既然弹簧处于垂直位置，那么在这个问题中是否需要考虑弹簧压缩时盒子的引力势能的变化？

    问题

    8.1 系统的潜在能量

    1. 使用表 8.2 中的值，老式电视管光束中单个电子携带的能量可以破坏多少 DNA 分子？ （这些电子本身并不危险，但它们确实会产生危险的X射线。 后期型号的电子管电视具有屏蔽层，可以在X射线逃脱并暴露观众之前将其吸收。）
    2. 如果聚变炸弹中的能量被用来满足世界的能源需求，那么一年的能源供应需要9兆吨级的能量中有多少呢（使用表8.1中的数据）？
    3. 重达 10 N 的摄像机从一架悬停在头顶 20 米的小型无人机上掉下来，进入自由落体状态。 如果你以 (a) 地面为零引力势能的参考点，摄像机从无人机到地面的引力势能变化是多少？ (b) 无人机的引力势能为零？ 如果将零引力势能的参考点视为从距离地面 30 米的建筑物向外望去的第二个人，则摄像机从无人机上掉落之前（c）和（d）相机降落在地面上的引力势能是多少？
    4. 有人从距离水线 70.0 米的停靠游轮上掉了一块 50-g 的卵石。 在距离水线 3.0 米的码头上，有人拿着网抓卵石。 (a) 在掉落过程中，重力在卵石上做了多少工作？ (b) 跌落期间引力势能的变化如何？ 如果水线上的引力势能为零，那么卵石掉落时的引力势能 (c) 是多少？ (d) 它何时上网？ 如果水位上的引力势能为 30.0 焦耳会怎样？ (e) 找到 (c) 和 (d) 中相同问题的答案。
    5. 质量为 15 g 的猫咪起皱球玩具直接向上抛出，初始速度为 3 m/s。假设在这个问题中空气阻力可以忽略不计。 (a) 球离开手牌时的动能是多少？ (b) 在球上升到顶峰期间，引力做了多少工作？ (c) 球在升至峰值期间的引力势能有什么变化？ (d) 如果引力势能在离开你的手时被定为零，那么当它达到最大高度时，引力势能是多少？ (e) 如果在球达到的最大高度时将引力势能设为零，那么当球离开手牌时，引力势能会是多少？ (f) 球达到的最大高度是多少？

    8.2 保守派和非保守势力

    1. 力 F (x) = (3.0/x) N 在粒子沿正 x 轴移动时作用于粒子。 (a) 当粒子从 x = 2.0 m 移动到 x = 5.0 m 时，力对粒子起了多少作用？ (b) 选择一个方便的势能参考点，在 x = 处为零\(\infty\)，找到该力的势能。
    2. 力 F (x) = (−5.0x 2 + 7.0x) N 作用于粒子。 (a) 当粒子从 x = 2.0 m 移动到 x = 5.0 m 时，力对粒子起了多少作用？ (b) 选择一个方便的势能参考点，在 x = 处为零\(\infty\)，找到该力的势能。
    3. 找到与势能 U (x) = 对应的力\(− \frac{a}{x} + \frac{b}{x^{2}}\)。
    4. 双原子分子中两个原子中任一个的势能函数通常由 U (x) = 近似，其\(− \frac{a}{x^{12}} − \frac{b}{x^{6}}\)中 x 是原子之间的距离。 (a) 势能在多远的分离距离处具有局部最小值（不是 x =\(\infty\)）？ (b) 这种分离时原子上的力是多少？ (c) 力如何随间隔距离变化？
    5. 质量为 2.0 kg 的粒子在力 F (x) =\(\left( \dfrac{3}{\sqrt{x}}\right)\) N 的影响下移动。如果它在 x = 2.0 m 时的速度为 v = 6.0 m/s，则它在 x = 7.0 m 时的速度是多少？
    6. 质量为 2.0 kg 的粒子在力 F (x) = (−5x 2 + 7x) N 的影响下移动。如果它在 x = −4.0 m 时的速度为 v = 20.0 m/s，则它在 x = 4.0 m 时的速度是多少？
    7. 滚轮上的箱子在没有摩擦损耗的情况下被推过货车的地板（见下图）。 汽车以恒定速度向右移动 v0。 如果箱子相对于货车处于静止状态，那么根据工作能量定理，Fd =\(\frac{mv^{2}}{2}\)，其中 d 是箱子移动的距离，v，箱子的速度，都是相对于货车来测量的。 (a) 对于在轨道旁休息的观察者来说，当箱子在车内移动距离 d 时，它会推多远 d′？ (b) 轨道旁观察者测得的箱子的初始和最终速度 v 0 ′ 和 v′ 是多少？ (c) 表明 Fd′ =\(\frac{m(v′)^{2}}{2} − \frac{m(v_{0}')^{2}}{2}\) 以及因此该功等于两个参考系中动能的变化。

    一幅画描绘了滚轮上的箱子被推过货车的地板。 箱子的质量为 m，用力 F 向右推动，汽车的速度在右边小于零。

    8.3 节约能源

    1. 一个男孩以 20 m/s 的初始速度直接向上投掷质量为 0.25 kg 的球。当球回到男孩身上时，它的速度为 17 m/s 空气阻力在球飞行过程中会起到多少作用？
    2. 一只质量为 200 g 的老鼠从垂直的矿井下掉落 100 米，以 8.0 m/s 的速度降落在底部。在它掉落时，空中阻力在鼠标上做了多少工作？
    3. 考虑到能量并假设空气阻力可以忽略不计，可以看出，从水面上方20.0 m的桥上抛出的石头以15.0 m/s的初始速度冲击水面，与投掷方向无关，速度为24.8 m/s。 （提示：显示 K i + U i = K f + U f）
    4. 一个 1.0 千克的球在 2.0 米长的绳子末端在垂直平面上摆动。 在最低点，球以 10 m/s 的速度移动。（a）它在路径顶部的速度是多少？ (b) 当球在路径的底部和顶部时，绳子的张力是多少？
    5. 忽略与摩擦、手臂和腿部肌肉施加的额外力量以及其他因素相关的细节，我们可以将撑杆跳高视为将运动员的跑步动能转化为引力势能。 如果运动员要在跳马时将身体抬起 4.8 米，那么他在放下杆子时必须有多快的速度？
    6. 泰山以 9.0 m/s 的速度跑步时抓住一棵垂直悬挂在高大树上的葡萄树。(a) 他能向上摆动多高？ (b) 葡萄树的长度会影响这个高度吗？
    7. 假设弓对箭的力起作用类似于弹簧力。 在瞄准箭时，弓箭手将弓向后拉 50 厘米，然后用 150 N 的力将其保持在适当的位置。如果箭的质量为 50 g 而 “弹簧” 是无质量的，那么箭离开弓箭后立即的速度是多少？
    8. 一名 100-kg 的男子来到比地面高 1.8 米的小斜坡时，正以 8.0 m/s 的速度滑过平坦的地面，如下图所示。 (a) 如果滑雪者滑上山坡，他到达山顶高原时的速度是多少？ 假设雪地和滑雪板之间的摩擦力可以忽略不计。 (b) 如果 80 − N 的摩擦力作用在滑雪板上，当他到达上层时，他的速度是多少？

    该图描绘了一位滑雪运动员爬上了 8.0 米长的斜坡。 斜坡顶部和底部之间的垂直距离为 1.8 米。

    1. 重量为 70 kg 的雪橇从静止开始，然后沿着 80 米长 10° 的斜坡向下滑动。 然后它水平移动 20 m，然后开始向上 8° 的斜度。 在休息之前，它沿着这个斜坡行驶 80 米。 摩擦在雪橇上会起什么作用？
    2. 滑板上的女孩（总质量为 40 kg）在长坡道底部以 10 m/s 的速度移动。 坡道相对于水平方向倾斜20°。 如果她在停下来之前沿着坡道向上行驶 14.2 米，那么她身上的净摩擦力是多少？
    3. 质量为 0.25 kg 的棒球以 40 m/s 的速度击中本垒板。当它落在距离本垒板 120 米的水平距离左场看台的座位上时，它以 30 m/s 的速度移动。如果球落在被击中位置上方 20 m 处，那么空阻对它做了多少工作？
    4. 一小块 m 在没有摩擦的情况下在环路设备周围滑动，如下所示。 (a) 如果方块在 A 处从静止状态开始，则它在 B 处的速度是多少？ (b) B 区块上轨道的力量是多少？

    轨道的循环半径为 R。轨道的顶部是距离循环底部四 R 的垂直距离。 显示一个方块在轨道上滑动。 位置 A 位于轨道顶部。 位置 B 位于循环的一半。

    1. 弹簧枪的无质量弹簧的力常数 k = 12 N/cm。 当枪支垂直瞄准时，一枚 15 克的射弹会射到膨胀弹簧末端上方 5.0 米的高度。 （见下文。） 弹簧最初压缩了多少？

    图中显示了三张直接向上瞄准的枪的图画。 在左边，弹簧被压缩到未知距离 d。弹丸停留在弹簧的顶部。 在中间的图中，弹簧被扩展了。 弹丸仍在弹簧的顶部，但现在以速度 v 向上移动。在右边，弹簧膨胀。 弹丸位于弹簧顶部上方 5.0 米处。 它的速度为零。

    1. 一个小球被绑在绳子上，然后在垂直圆圈中旋转，摩擦力可以忽略不计。 如果球以尽可能慢的速度移过圆圈顶部（因此绳子中的张力可以忽略不计），假设在旋转过程中球没有增加额外的能量，那么圆圈底部绳子的张力是多少？

    8.4 势能图和稳定性

    1. 10 N 的神秘恒力水平作用在所有事物上。 人们发现，力量的方向总是指向大厅里的墙壁。 假设墙上的势能为零，求出粒子在距离墙壁 x 距离时由于该力而产生的势能。
    2. 单力 F (x) = −4.0x（以牛顿为单位）作用于重达 1.0 千克的身体上。 当 x = 3.5 m 时，人体的速度为 4.0 m/s。x = 2.0 m 时的速度是多少？
    3. 质量为 4.0 kg 的粒子被限制在单力 F (x) = −cx 3 下沿 x 轴移动，其中 c = 8.0 N/m 3。 粒子在 A 处的速度为 6.0 m/s，其中 x A = 1.0 m。它在 B 处的速度是多少，其中 x B = −2.0 m？
    4. 质量为 2.0 kg 的粒子上的力随位置而变化，根据 F (x) = −3.0x 2（x 以米为单位，F (x) 以牛顿为单位）。 在 x = 2.0 m 时，粒子的速度为 5.0 m/s。使用 (a) 原点作为参考点，(b) x = 4.0 m 作为参考点来计算粒子的机械能。 (c) 找出粒子在 x = 1.0 m 处的速度。对每个参考点执行这部分问题。
    5. 沿 x 轴移动的 4.0 千克粒子受到作用力，其功能形式如下所示。 x = 0 处的粒子速度为 v = 6.0 m/s。在 x = (a) 2.0 m、(b) 4.0 m、(c) 10.0 m、(d) 粒子是否会在某个时候转身返回原点？ (e) 如果 v = 2.0 m/s 在 x = 0 时重复 (d) 部分。

    X 的 F 图，以牛顿为单位测量，作为 x 的函数，以米为单位测量。 水平比例从 0 到 8.0，垂直比例从 -10.0 到 10.0 最高 10.0。 对于小于 3.0 米的 x，该函数在 -5.0 N 处保持恒定。 它在 5.0 米处线性增加到 5.0 N，然后在大于 5.0 m 的 x 处保持不变。

    1. 质量为 0.50 kg 的粒子沿着 x 轴移动，其势能与 x 的依赖关系如下所示。 (a) 在 x = 2.0、5.0、8.0 和 12 m 处对粒子施加的力是多少？ (b) 如果粒子的总机械能 E 为 −6.0 J，则粒子的最小和最大位置是多少？ (c) 如果 E = 2.0 J，这些位置是什么？ (d) 如果 E = 16 J，则粒子在 (a) 部分所列位置的速度是多少？

    x 的能量 I（以焦耳为单位）绘制为 x 的函数。 水平比例从小于零一直延伸到超过 20 米，但标注的范围仅为 0 到 20。 垂直比例从 —12.0 到 12 焦耳不等。 对于所有小于 4.0 米的 x，U of x 均为 4.0 焦耳的常数。 它在 6.0 米处线性上升至 12.0 焦耳，然后在 10.0 米处线性降至 —12.0 焦耳。 它在 10.0 到 14.0 米之间保持 —12.0 焦耳，然后在 18 米处上升到 12.0 焦耳。 所有大于 18 米的 x 均保持在 12.0 焦耳。

    1. (a) 绘制势能函数 U (x) = 的图形\(\frac{kx^{2}}{2} + Ae^{−\alpha x^{2}}\)，其中 k、A 和\(\alpha\)是常数。 (b) 与该潜在能量相对应的力是多少？ (c) 假设以该势能移动的质量为 m 的粒子在位置为 x = a 时其速度为 v a。表明除非该粒子不会穿过原点\(A \leq \frac{mv_{a}^{2} + ka^{2}}{2 \big( 1 - e^{- \alpha a^{2}} \big)}\)。

    alt

    8.5 能量来源

    1. 在卡通电影《风中奇缘》（https://openstaxcollege.org/l/21pocahontclip）中，Pocahontas 跑到悬崖边跳了下来，展示了她个性有趣的一面。 (a) 如果她在跳下悬崖之前以 3.0 m/s 的速度跑步，然后以 20.0 m/s 的速度撞到悬崖底部的水面，那么悬崖有多高？ 假设这部动画片中的空气阻力可以忽略不计。 (b) 如果她从停顿状态中跳下同一个悬崖，那么在她落水之前她会以多快的速度掉下来？
    2. 在真人秀节目 “Amazing Race”（https://openstaxcollege.org/l/21amazraceclip）中，一名参赛者正在用弹弓射出 12 公斤的西瓜，击中场下目标。 弹弓向后拉 1.5 米，西瓜被认为在地面。 发射点距离地面 0.3 米，目标水平距离 10 米。 计算弹弓的弹簧常数。
    3. 在《回到未来》电影（https://openstaxcollege.org/l/21bactofutclip）中，一辆重达 1230 公斤的 DeLorean 汽车以每小时 88 英里的速度行驶，冒险回到未来。 (a) DeLorian 的动能是多少？ (b) 在 0.1 米的距离内阻止这个 DeLorean 需要什么弹簧常数？
    4. 在《饥饿游戏》电影（https://openstaxcollege.org/l/21HungGamesclip）中，凯妮丝·埃弗丁从地面发射一支 0.0200 千克的箭，在舞台上刺穿苹果。 弓的弹簧常数为 330 N/m，她将箭向后拉 0.55 m 的距离。舞台上的苹果比箭的发射点高 5.00 m。 箭 (a) 离开弓的速度是多少？ (b) 打苹果？
    5. 在 “Top Fail” 视频（https://openstaxcollege.org/l/21topfailvideo）中，两名女性互相奔跑，一起击中健身球发生碰撞。 如果每个女性的体重为50 kg（包括健身球），一个女性的体重为2.0 m/s向右跑，另一个女子以1.0 m/s的速度向她奔跑，（a）系统中有多少总动能？ (b) 如果碰撞后能量得以保存，并且每个健身球的质量为 2.0 kg，那么球飞向镜头的速度会有多快？
    6. 在 Coyote/Road Runner 卡通片段 (https://openstaxcollege.org/l/21coyroadcarcl) 中，弹簧迅速膨胀并将土狼送入岩石中。 如果弹簧延伸了 5 m 并将质量为 20 kg 的土狼送到 15 m/s 的速度，(a) 这个弹簧的弹簧常数是多少？ (b) 如果土狼在春天之前用给他的能量垂直送入空中，那么如果没有非保守势力，他能走多高？
    7. 在标志性的电影场景中，《阿甘正传》（https://openstaxcollege.org/l/21ForrGumpvid）在全国各地播出。 如果他以 3 m/s 的恒定速度跑步，上坡或下坡会消耗他或多或少的能量吗？为什么？
    8. 在电影《Monty Python and the Holy Grail》（https://openstaxcollege.org/l/21monpytmovcl）中，一头牛从城堡墙的顶部弹射到下面的人身上。 地面上的引力势能设置为零。 母牛是从弹簧常数为1.1×10 4 N/m的弹簧中发射的，该弹簧距离平衡点膨胀0.5米。 如果城堡高 9.1 米，奶牛的质量为 110 千克，（a）城堡顶部的牛的引力势能是多少？ (b) 弹射器释放之前母牛的弹性弹簧能量是多少？ (c) 奶牛落在地面前的速度是多少？
    9. 如图所示，一名初始速度为12.0 m/s的60.0公斤的滑雪者在2.50米的高空上滑行。 鉴于她的滑雪板和雪地之间的摩擦系数为0.80，请在顶部找到她的最终速度。

    滑雪者出现在平坦的地面上。 在他面前，地面以比水平线高出35度的角度向上倾斜，然后又变为水平。 垂直上升为2.5米。 滑雪者的初始水平速度、向前速度 v sub i 和初始动能 K sub i。上升顶部的速度为 v sub f，其值未知。

    1. (a) 如果摩擦所完成的工作可以忽略不计，且其初始速度为 110 km/h，则汽车能在山坡上滑行多高（发动机脱离）？ (b) 实际上，如果观察到一辆初始速度为110 km/h的750公斤的汽车在山上滑行到比起点高出22.0米的高度，那么摩擦产生了多少热能？ (c) 如果山坡的斜率比水平线高 2.5°，平均摩擦力是多少？
    2. 一列5.00×10 5 kg的地铁列车在轨道尽头的大型弹簧保险杠以 0.500 m/s 的速度在 0.400 m 内停下来。 弹簧的弹簧常数 k 是多少？
    3. 弹簧棒的弹簧常数为 2.5 × 10 4 N/m，可以压缩 12.0 厘米。 如果孩子和棍棒的总重量为 40 kg，那么孩子只用弹簧中的能量就能从未压缩的弹簧跳到多大的高度？
    4. 质量为 500 g 的块连接到弹簧常数 80 N/m 的弹簧上（见下图）。 弹簧的另一端附着在支撑件上，而质量位于粗糙的表面上，摩擦系数为 0.20，倾斜角度为 30°。 方块沿着表面推动，直到弹簧压缩 10 厘米，然后从静止状态中松开。 (a) 方块刚刚释放时，方块弹簧支撑系统中储存了多少势能？ (b) 确定方块穿过弹簧既未压缩也未拉伸的点时的速度。 (c) 确定方块在上坡路上停留的位置。

    该图显示了一个与水平方向成了 30 度的斜坡。 弹簧位于坡道上，靠近其底部。 弹簧的下端连接到坡道上。 弹簧的上端连接到一个方块上。 方块位于坡道表面。

    1. 一个质量为 200 g 的块附着在无质量弹簧的末端，其平衡长度为 50 N/m。弹簧的另一端附着在天花板上，质量在被认为是引力势能为零的高度释放。 (a) 区块处于最低点时区块的净势能是多少？ (b) 区块在下降中点时的净势能是多少？ (c) 方块在下降中点时的速度是多少？
    2. 一把 T 恤大炮从距离地面 3.00 米的平台上以 5.00 m/s 的速度发射一件衬衫。 如果这件衬衫被双手距离地面 (a) 1.00 米的人抓住，它的行进速度会有多快？ (b) 距离地面 4.00 米？ 忽略空中阻力。
    3. 一个孩子（32 kg）在蹦床上上下跳跃。 蹦床对孩子施加弹簧恢复力，常数为 5000 N/m。在弹跳的最高点，孩子比蹦床水平表面高出 1.0 米。 蹦床的压缩距离是多少？ 忽略孩子在跳跃时腿部弯曲或将能量转移到蹦床上的任何情况。
    4. 下图是一个质量方块 m1，它位于无摩擦的斜坡上，与水平线成一定角度\(\theta\)。 这个盒子由一根相对较小的绳子连接，穿过无摩擦的滑轮，最后与壁架上方标有 m 2 的静止盒子相连。 如果 m 1 和 m 2 高于地面 h，而 m 2 >>m 1: (a) 系统的初始引力势能是多少？ (b) 系统的最终动能是多少？

    标记为 m sub1 的方块位于向上倾斜的坡道上，该坡道与水平方向成一定角度 theta。 质量与一根绳子相连，该绳子在坡道顶部的滑轮上移动，然后直线向下连接到另一个标有 m sub 2 的方块。 方块 m sub 2 未与任何表面接触。

    其他问题

    1. 天花板上悬挂着一个力常数 k = 200 N/m 的无质量弹簧。 一个 2.0 千克的方块安装在弹簧的自由端并释放。 如果方块在向上开始之前掉落了 17 厘米，那么在下降过程中摩擦会做多少工作？
    2. 质量为 2.0 kg 的粒子在力 F (x) = (−5x 2 + 7x) N 的影响下移动。假设摩擦力也作用于粒子。 如果粒子在 x = −4.0 m 处开始时的速度为 0.0 m/s，当它到达 x = 4.0 m 时，它的速度为 9.0 m/s，那么 x = −4.0 m 和 x = 4.0 m 之间的摩擦力对它做了多少工作？
    3. 下图所示的方块 2 在方块 1 掉落时沿着无摩擦的桌子滑动。 两个方块均由无摩擦滑轮连接。 找出每个方块移动 2.0 m 后的速度。假设它们从静止状态开始，滑轮的质量可以忽略不计。 使用 m 1 = 2.0 千克和 m 2 = 4.0 千克。

    标记为方块 1 的方块由一根绳子悬挂，该绳子向上移动，越过滑轮，向左弯曲 90 度，然后连接到另一个标为方块 2 的方块。 方块 2 在水平表面上向右滑动。 方块 1 未与任何表面接触，正在向下移动。

    1. 质量为 m 且大小可以忽略不计的主体从静止开始，沿着半径为 R 的无摩擦固体球体的表面向下滑动（见下文。） 证明在\(\theta\) = cos −1 (2/3) 时身体会离开球体。

    显示了半径为 R 的球体。 方块显示在球体表面的两个位置并顺时针移动。 它显示在顶部，从垂直方向顺时针测量，角度为 theta。

    1. 神秘的力量作用于沿着特定线的所有粒子，并始终指向该线上的特定点 P。 粒子上的力的大小随着距该点距离的立方体而增加；如果从 P 到粒子位置的距离为\(\infty\) r，则为 F r 3。让 b 为比例常数，并将力的大小写成 F = br 3。 找出粒子与 P 的距离 D 时受此力的势能，假设粒子在 P 处时势能为零
    2. 质量为 10 kg 的物体在 A 点被释放，滑至 30° 斜度的底部，然后与水平无质量弹簧碰撞，最大压缩距离为 0.75 m。（见下文） 弹簧常数为 500 m/m，倾斜高度为 2.0 m，水平表面无摩擦。 (a) 斜坡底部的物体的速度是多少？ (b) 当物体在斜坡上时，摩擦对它的作用是什么？ (c) 弹簧反冲并将物体送回斜面。 物体到达斜坡底部时的速度是多少？ (d) 它向上移动的垂直距离是多少？

    向下倾斜坡道的顶部显示了一个方块。 坡道与水平方向成了 30 度的角度。 该方块的垂直距离为离地面 2.0 米。 在坡道的右边，在水平的地面上，是一个水平弹簧。 弹簧的远端附着在墙上。

    1. 下图是一个质量为 m 的小球，它附着在一根长度为 a 的绳子上。一个小钉子位于支撑绳子的点下方 h 处。 如果在绳子水平时球被释放，则显示 h 必须大于 3a/5 才能使球完全绕着球钉摆动。

    图中显示了一个小球附在一根长度为 a 的绳子上。小钉子位于支撑绳子的点下方 h 处。 当绳子水平并以圆弧摆动时，球就会被释放。

    1. 方块在落下高度 h 后会水平离开无摩擦的倾斜表面。找出它落在地板上的水平距离 D，以 h、H 和 g 表示

    一个方块静止地显示在坡道顶部，水平平台上方的垂直距离 h。 平台位于地板上方 H 处的距离。 显示该方块在平台上以 v 的速度水平向右移动，并降落在地板上，距离它从平台掉落的地方保持水平距离 D。

    1. 质量方块 m 在沿无摩擦的斜坡上滑动后，撞击另一个附着在弹簧常数 k 的弹簧上的质量块 M（见下文）。 这些方块在撞击时会粘在一起，一起移动。 (a) 当组合处于静止状态时，以 m、M、h、g 和 k 计算弹簧的压缩率。 (b) 由于两个质量在撞击时结合而造成的动能损失储存在两个质量的所谓结合能中。 计算结合能。

    质量方块 m 显示在向下倾斜坡道的顶部。 方块距离地面垂直距离 h，处于静止状态 (v=0。) 在坡道右侧，在水平地面上，是一个附着在水平弹簧上的质量 M。 弹簧的远端附着在墙上。

    1. 质量为 300 g 的块附着在弹簧常数 100 N/m 的弹簧上。弹簧的另一端固定在支撑上，而弹簧块位于光滑的水平台上，可以自由滑动而不受任何摩擦。 方块被水平推动，直到弹簧压缩 12 厘米，然后方块从静止状态中松开。 (a) 方块刚刚释放时，方块弹簧支撑系统中储存了多少势能？ (b) 确定方块穿过弹簧既未压缩也未拉伸的点时的速度。 (c) 确定方块在距离其被释放地点行进20厘米的距离时的速度。
    2. 假设一个重量为 0.200 kg 的块附着在弹簧常数 100 N/m 的弹簧上。该方块放在无摩擦的桌子上，弹簧的另一端固定在墙上，这样弹簧就与桌子水平了。 然后将方块推入，使弹簧压缩 10.0 cm。 找出方块穿过 (a) 弹簧未拉伸时的点、(b) (a) 中点向左 5.00 厘米以及 (c) 向 (a) 中点右侧 5.00 厘米时的速度。
    3. 滑雪者从休息开始，然后滑下坡。 如果滑雪者的垂直高度下降20米，他的速度会是多少？ 忽略任何空气阻力（实际上会很大），以及滑雪板和雪地之间的任何摩擦。
    4. 重复前面的问题，但是这一次，假设空中阻力所做的工作不容忽视。 假设滑雪者沿着给定的丘陵路径从 A 到 B 时空气阻力所做的工作为 −2000 J。空气阻力所做的工作是负面的，因为空气阻力的作用方向与位移的方向相反。 假设滑雪者的体重为50 kg，那么滑雪者在B点的速度是多少？
    5. 两个物体正在由一支保守力量相互作用。 证明由两个与保守力相互作用的物体组成的隔离系统的机械能是守恒的。 （提示：首先使用牛顿第三定律和功的定义，找出保守力量对每个物体所做的工作。）
    6. 在游乐园里，一辆汽车在轨道上行驶，如下所示。 找出汽车在 A、B 和 C 处的速度。请注意，滚动摩擦所做的工作为零，因为滚动摩擦作用于轮胎的点的位移暂时处于静止状态，因此排量为零。

    图中显示了一条有三座山丘的过山车轨道。 第一座山是最高的，距离地面 50 米，第二座是最小的，第三座山的中等高度，离地面 40 米。 汽车在第一座山顶的起始位置为 v = 0。 A 点是第二和第三座山之间的低点，离地面 20 米。 B 点位于第三座山的顶部，离地面 40 米。 C 点位于轨道尽头附近的地面。

    1. 一个 200 克的钢球绑在一根 2.00 米的 “无质量” 绳子上，悬挂在天花板上形成摆锤，然后，球被带到与垂直方向成30°角的位置，然后从静止状态中松开。 忽略空气阻力的影响，找出球的速度（a）垂直向下，（b）与垂直方向成20°的角度，（c）与垂直方向成10°的角度。
    2. 曲棍球在冰封的池塘中射出。 在曲棍球被击中之前，冰球处于休息状态。 击中后，冰球的速度为 40 m/s。冰球在 30 m 的距离后会休息。(a) 描述冰球的能量如何随时间变化，给出所涉及的任何工作或能量的数值。 (b) 找出净摩擦力的大小。
    3. 质量为2 kg的弹丸以20 m/s的速度发射，相对于水平方向成30°的角度。 (a) 根据发射位置零引力势能的参考点，计算弹丸的初始总能量。 (b) 计算弹丸最高垂直位置处的动能。 (c) 计算最高垂直位置的引力势能。 (d) 计算弹丸达到的最大高度。 利用你对弹丸运动的了解来解决同样的问题，比较这个结果。
    4. 炮弹射向离地面 200 米的目标。 当炮弹在空中 100 米时，它的速度为 100 m/s。击中目标时的速度是多少？ 忽略空气摩擦。
    5. 如果一个 60 公斤的人以恒定速度坠落 15 米，耗散阻力会损失多少能量？
    6. 一个盒子在无摩擦表面上滑动，总能量为 50 J。它撞击弹簧并将弹簧压缩到距离平衡点 25 厘米的距离。 如果同一个具有相同初始能量的盒子在粗糙的表面上滑动，它只能将弹簧压缩15厘米的距离，那么在粗糙的表面上滑动肯定会损失多少能量？

    贡献者和归因

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