5.2: 部队

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学习目标

区分运动学和动力学
了解武力的定义
识别简单的自由体图
定义力的 SI 单位，即牛顿
将力描述为矢量

运动研究被称为运动学，但运动学仅描述物体的运动方式——它们的速度和加速度。 动力学是研究力如何影响物体和系统的运动。它考虑了感兴趣的物体和系统的运动原因，其中系统就是正在分析的任何东西。动力学的基础是艾萨克·牛顿（1642—1727 年）所说的运动定律。这些法律为自然运作所依据的原则的广度和简单性提供了一个例子。它们也是普遍的规律，因为它们适用于地球和太空的情况。

牛顿的运动定律只是使他成为传奇人物的巨大作品的一部分（图\(\PageIndex{1}\)）。牛顿定律的发展标志着从文艺复兴到现代时代的过渡。直到现代物理学问世，人们才发现，只有当物体以远低于光速的速度移动并且这些物体大于大多数分子的大小（直径约为10 ⁻⁹ m）时，牛顿定律才能很好地描述运动。这些约束定义了牛顿力学的领域。二十世纪初，阿尔伯特·爱因斯坦（1879—1955）发展了相对论，并与许多其他科学家一起发展了量子力学。量子力学没有牛顿物理学中存在的限制。我们在本章中考虑的所有情况，以及在相对论中引入相对论之前的所有情况，都属于牛顿物理学领域。

艾萨克·牛顿的肖像。 — 图\(\PageIndex{1}\)：艾萨克·牛顿（1642—1727 年）于 1687 年出版了他的精彩著作《自然哲学 Principia Mathematica》。它提出了科学定律，这些定律至今仍适用于描述物体的运动（运动定律）。牛顿还发现了引力定律，发明了微积分，并为光与色理论做出了巨大贡献。

力的工作定义

动力学是对导致物体和系统移动的力的研究。要理解这一点，我们需要一个有效的武力定义。直观地定义力（即推或拉）是一个不错的起点。我们知道推或拉既有大小又有方向（因此，它是一个向量量），因此我们可以将力定义为对具有特定大小和方向的物体的推或拉。力可以用向量表示，也可以表示为标准力的倍数。

对物体的推或拉在大小或方向上都可能有很大差异。例如，一门大炮对发射到空中的炮弹施加强大的力。相比之下，地球只对跳蚤施加微小的向下拉力。我们的日常经历也让我们很好地了解了多种力量是如何增加的。如果两个人朝不同的方向推进第三人称，如图所示\(\PageIndex{2}\)，我们可能预计总力将朝所示的方向发展。由于力是一个向量，它会像其他向量一样相加。与其他向量一样，力由箭头表示，可以使用熟悉的从头到尾法或三角函数方法进行添加。这些想法是在 Vector s 中提出的。

图 a 显示了两个人使用相互垂直的力 F1 和 F2 推动三分之一。另一个图显示了向量加法，其中 F1 和 F2 从头到尾放置，由此产生的向量 F total 构成三角形的斜边。图 b 显示了自由体图，其中 F1 和 F2 源自同一个点源。 — 图\(\PageIndex{2}\)：（a）两名滑冰运动员推着第三名滑冰运动员的俯视图。力是向量，与其他向量相加，因此第三名滑冰运动员的总力朝向所示方向。 (b) 代表作用于第三名滑冰运动员的力量的自由体图。

图\(\PageIndex{2}\) (b) 是我们的第一个自由体图示例，它是一个草图，显示了作用于物体或系统的所有外力。物体或系统由单个孤立点（或自由体）表示，仅显示来自物体或系统之外的作用在其上的力（即外力）。（这些力是唯一显示的力，因为只有作用于自由体的外力才会影响其运动。我们可以忽略身体内的任何内力。）力由从自由体向外延伸的向量表示。

自由体图可用于分析作用于物体或系统的力，并广泛用于研究和应用牛顿运动定律。你将在本文和所有物理学研究中看到它们。以下步骤简要说明了如何创建自由体图；我们将在绘制自由体图中更详细地研究此策略。

问题解决策略：绘制自由体图

画出正在考虑的对象。如果您将物体视为粒子，请将该物体表示为一个点。将此点放在 xy 坐标系的原点。
包括作用于物体的所有力，将这些力表示为向量。但是，请勿包括物体上的净力或物体对其环境施加的力。
将所有力向量解析为 x 和 y 分量。
为问题中的每个对象绘制单独的自由体图。

我们用两个自由体图示例（图\(\PageIndex{3}\)）来说明这种策略。本章后面将更详细地解释本图中使用的术语。

图 a 显示了水平表面上静止的盒子。自由体图显示法向力向量指向上而权重向量指向下方。图 b 显示了倾斜平面上的一个方框。它的自由体图显示了权重向量直接向下指向，法向力向量指向上方，在垂直于平面的方向上，摩擦力向量沿着飞机的方向指向上方。 — 图\(\PageIndex{3}\)：在这些自由体图中，\(\vec{N}\)是法向力，\(\vec{w}\)是物体的重量，\(\vec{f}\)是摩擦力。

这里给出的步骤足以指导你制定这个重要的问题解决策略。本章的最后一部分更详细地说明了在使用本章中提出的想法时如何绘制自由体图。

部队概念的发展

力的定量定义可以基于某种标准力，就像距离是以相对于标准长度的单位来测量一样。一种可能性是将弹簧拉伸到一定的固定距离（图\(\PageIndex{4}\)），然后使用它施加的力量将弹簧拉回松的形状（称为恢复力）作为标准。所有其他力的大小可以看作是这个标准力单位的倍数。标准部队还有许多其他可能性。本章后面将给出武力的一些替代定义。

图 a 显示了一根长度为 x 的未受干扰的字符串。图 b 显示了按距离 delta x 拉伸的弹簧和向相反方向作用的力 F 恢复。图 c 显示了弹簧刻度。连接在弹簧上的钩子向一个方向拉动。刻度上有标记可以显示弹簧的拉伸程度。 — 图\(\PageIndex{4}\)：拉伸弹簧施加的力可用作标准的力单位。 (a) 该弹簧在未失真时的长度为 x。 (b) 当拉伸距离\(\Delta\) x 时，弹簧会施加\(\vec{F}\)恢复力，这是可重复的。 (c) 弹簧秤是一种使用弹簧测量力的设备。力\(\vec{F}\)恢复作用在挂钩上的任何物体上。在这里，该力的大小为所用力标准的六个单位。

让我们更深入地分析力量。假设一位物理系学生坐在一张桌子旁，勤奋地做作业（图\(\PageIndex{5}\)）。什么外部力量对他起作用？我们能确定这些力量的起源吗？

图 a 显示一个人坐在椅子上，前臂靠在桌子上。向上的力 C 和向下方向的 W，两者的大小相等，沿着他的躯干线起作用。力 T 位于人的前臂附近，向上方向。力 F 位于人脚附近的向上方向。图 b 显示了 C 和 W 的自由体图 — 图\(\PageIndex{5}\)：（a）作用在学生身上的力是由椅子、桌子、地板和地球的引力引起的。 (b) 在解决涉及学生的问题时，我们可能需要考虑沿着穿过学生躯干的线条起作用的力量。显示了这种情况的自由体图。

在大多数情况下，力分为两类：接触力和野战力。你可能会猜到，接触力是由于物体之间的直接物理接触造成的。例如，Figure 中的学生\(\PageIndex{5}\)经历了接触力\(\vec{C}\)\(\vec{F}\)\(\vec{T}\)、和，这些接触力分别由椅子施加在他后部、脚上的地板和前臂上的桌子施加。但是，野战部队的作用不需要物体之间的物理接触。它们取决于所考虑物体周围空间区域是否存在 “场”。由于学生在地球的引力场中，他会感觉到一种引力\(\vec{w}\)；换句话说，他有体重。

你可以将场看作是空间的一种属性，它施加的力可以检测到它。科学家认为自然界中只有四个基本力场。它们是引力、电磁、强核和弱场（我们将在本文后面考虑自然界中的这四种力）。如图\(\vec{w}\)所示\(\PageIndex{5}\)，引力场是造成人体重量的原因。电磁场的力包括静电和磁力；它们也是体积物质中原子之间吸引的原因。强核力场和弱力场都只有在大致等于不大于原子核（10 ⁻¹⁵ m）的尺度长度的距离内才有效。它们的射程很小，以至于在牛顿力学的宏观世界中，这两个场都没有影响。

接触力基本上是电磁的。当图\(\PageIndex{5}\)中学生的肘部与桌面接触时，他皮肤中的原子电荷会与桌子表面的电荷发生电磁相互作用。净（总）结果是力\(\vec{T}\)。同样，当胶带粘在纸上时，胶带的原子会与纸的原子混合在一起，在两个物体之间产生净电磁力。但是，在牛顿力学的背景下，接触力的电磁起源并不是一个重要问题。

力量的矢量表示法

如前所述，力是一个矢量；它既有大小又有方向。 SI 的力单位称为牛顿（缩写为 N），1 N 是以 1 m/s 的速度加速质量为 1 kg 的物体所需的力 ²：1 N = 1 kg • m/s ²。记住牛顿大小的一个简单方法是想象拿着一个小苹果；它的重量约为 1 N。

因此，我们可以以\(\vec{F}\) = a\(\hat{i}\) + b 的形式描述二维力\(\hat{j}\)（单位向量\(\hat{i}\)，分别\(\hat{j}\)表示这些力沿 x 轴和 y 轴的方向）和形式为\(\vec{F}\) = a\(\hat{i}\) + b 的三维力\(\hat{j}\)+ c\(\hat{k}\)。在图中\(\PageIndex{2}\)，假设图左侧的滑冰运动员 1 以 30.0 N 的力向右水平推动；我们将其表示为\(\vec{F}_{1}\) = 30.0\(\hat{i}\) N 同样，如果滑冰运动员 2 在所示的垂直正方向上以 40.0 N 的力推动，我们会writ\(\vec{F}_{2}\) e = 40.0\(\hat{j}\) N 这两种力量的合成会导致质量加速，在本例中为第三名滑冰运动员。这个结果称为净外力，是通过将作用在物体或系统上的所有外力的矢量\(\vec{F}_{net}\)和得出的（因此，我们也可以将净外力表示为\(\sum\vec{F}\)）：

\[\vec{F}_{net} = \sum\vec{F} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \ldots \label{5.1}\]

这个方程可以扩展到任意数量的力。

在本示例中，我们有\(\vec{F}_{net}\) =\(\sum \vec{F}\) =\(\vec{F}_{1}\) +\(\vec{F}_{2}\) = 30.0\(\hat{i}\) + 40.0\(\hat{j}\)。图中所示三角形的斜边\(\PageIndex{2}\)是合力或净力。它是一个向量。为了找到其大小（向量的大小，不考虑方向），我们使用向量中给出的规则，取分量平方和的平方根：

\[\vec{F}_{net} = \sqrt{(30.0\; N)^{2} + (40.0\; N)^{2}} = 50.0\; N \ldotp\]

方向由下式给出

\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{F_{2}}{F_{1}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{40.0}{30.0}\right) = 53.1^{o},\]

从正 x 轴测量，如图\(\PageIndex{2}\) (b) 中的自由体图所示。

假设滑冰运动员现在用\(\vec{F}_{1}\) = 3.0\(\hat{i}\) + 8.0\(\hat{j}\) N 和\(\vec{F}_{2}\) = 5.0\(\hat{i}\) + 4.0\(\hat{j}\) N 推动第三名滑冰运动员。这两种力量的结果是什么？我们必须认识到力是一个向量；因此，我们必须使用向量加法规则进行添加：

\[\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = \big(3.0 \hat{i} + 8.0 \hat{j} \big) + \big(5.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} \big) = 8.0 \hat{i} + 12 \hat{j}\; N\]

练习 5.1

在刚才给出的滑冰运动员示例中找出净力的大小和方向。

模拟

观看此交互式仿真以了解如何添加向量。将矢量拖到图表上，更改它们的长度和角度，然后将它们相加。每个向量的大小、角度和分量可以用多种格式显示。