3.3: 牛顿万有引力定律

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

解释什么决定了重力的强度
描述牛顿的万有引力定律如何扩展我们对开普勒定律的理解

牛顿的运动定律表明，静止的物体将保持静止状态，运动中的物体将继续沿直线均匀移动，除非受到力作用。因此，直线定义了最自然的运动状态。但是行星以椭圆而不是直线移动；因此，一定有一些力在弯曲它们的路径。牛顿提出，这种力量是重力。

在牛顿时代，重力仅与地球有关。日常经验向我们表明，地球对其表面的物体施加引力。如果你掉落某物，它会在坠落时加速向地球。牛顿的洞察力是，地球的重力可能会延伸到月球，并产生所需的力，使月球的路径从直线弯曲并使其保持在轨道上。他进一步假设重力不仅限于地球，而是所有物质体之间存在普遍的吸引力。如果是这样，太阳和每颗行星之间的吸引力可以使它们保持在轨道上。（这似乎是我们当今日常思维的一部分，但在牛顿时代，这是一个了不起的见解。）

一旦牛顿大胆地假设太空中任何地方的所有天体之间都有普遍的吸引力，他就必须确定吸引力的确切性质。对这种引力的精确数学描述必须决定行星的运动与开普勒所描述的完全相同（如开普勒的三定律所述）。此外，正如伽利略所观察到的那样，这种引力必须预测地球上坠落物体的正确行为。为了满足这些条件，重力必须如何依赖距离？

这个问题的答案需要尚未开发的数学工具，但这并没有阻止艾萨克·牛顿，他发明了我们今天所说的微积分来解决这个问题。最终，他得出结论，随着太阳和行星之间（或任何两个物体之间）之间距离的增加，重力的大小必须与它们分离的反平方成正比。换句话说，如果一颗行星离太阳的距离是太阳的两倍，那么力就会变大\((1/2)^2\)，或者\(1/4\)同样大。把行星放到三倍远的地方，力量就大了\((1/3)^2\)，或者\(1/9\)一样大。

牛顿还得出结论，两个物体之间的引力吸引力必须与它们的质量成正比。物体的质量越大，其引力的拉力就越强。因此，任何两个物体之间的引力吸引力是由所有科学中最著名的方程式之一给出的：

\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M-2}{R^2} \nonumber\]

其中\(F_{gravity}\)是两个物体之间的引力\(M_1\)，\(M_2\)是两个物体的质量，\(R\)是它们的分离。 \(G\)是一个被称为通用引力常数的常数，方程本身象征性地总结了牛顿的万有引力定律。凭借这样的力和运动定律，牛顿能够用数学方法证明，唯一允许的轨道正是开普勒定律所描述的轨道。

牛顿的万有引力定律适用于行星，但它真的具有普遍性吗？引力理论还应该预测月球绕地球运行时观测到的向地球的加速度，以及掉落在地球表面附近的任何物体（比如苹果）的加速度。苹果的坠落是我们可以很容易地测量的，但是我们可以用它来预测月球的运动吗？

回想一下，根据牛顿第二定律，力会导致加速。牛顿的万有引力定律说，作用于物体朝向地球的力（以及加速度）应与其与地球中心距离的平方成反比。观察到诸如苹果之类的物体，位于地球表面，距离地球中心一个地球半径的距离，会以每秒 9.8 米（9.8\(\text{m}/\text{s}^2\)）的速度向下加速。

正是这种地球表面的重力赋予了我们的重量感。 与你的质量不同，你的质量在任何行星或月球上都会保持不变，你的重量取决于局部重力。因此，即使你的质量没有变化，你在火星和月球上的重量也会比在地球上的重量轻。（这意味着你回来后还得在大学食堂里轻松吃甜点！）

月球距离地球中心有 60 个地球半径。如果重力（及其引起的加速度）随着距离的平方而变弱，那么月球经历的加速度应该比苹果的加速度小很多。加速度应为\((1/60)^2 = 1/3600\)（或少 3600 倍），大约 0.00272\(\text{m}/\text{s}^2\)。这正是观测到的月球在其轨道上的加速度。（正如我们将看到的，月球不是通过这种加速落入地球，而是围绕地球坠落。）想象一下，牛顿意识到自己发现并验证了一条适用于地球、苹果、月球以及据他所知宇宙中所有事物的定律，一定会感到多么激动。

示例\(\PageIndex{1}\)：计算重量

如果地球的质量是目前体积的八倍，那么一个人在地球表面的体重会因什么因素发生变化？

解决方案

如果体积是原来的八倍，地球的半径将翻一番。这意味着地表的引力将减少一倍\((1/2)^2 = 1/4\)，因此一个人的体重仅为四分之一。

练习\(\PageIndex{1}\)

如果地球有现在的大小，但只有目前质量的三分之一，那么一个人在地球表面的体重会因什么因素发生变化？

回答: 如果是目前质量的三分之一，地表的引力将减少1/3倍，因此一个人的体重仅为其三分之一。

重力是质量的 “内置” 属性。每当宇宙中有质量时，它们就会通过引力吸引力相互作用。质量越大，吸引力就越大。在地球上，质量的最大浓度当然是我们所处的行星，它的吸引力主导着我们所经历的引力相互作用。但是所有有质量的东西都会吸引宇宙中任何其他有质量的东西。

牛顿定律还意味着重力永远不会变为零。随着距离的推移，它很快就会变弱，但无论你走多远，它都会在一定程度上起作用。太阳在水星的吸引力比在冥王星的吸引力更强，但能感受到的远远超出了冥王星，天文学家有充分的证据表明，冥王星不断使大量较小的冰体在巨大的轨道上移动。太阳的引力与数十亿其他恒星的吸引力相结合，创造了银河系的引力。反过来，这种力量可以使其他较小的星系绕银河系运行，依此类推。

那么，你可能会问，为什么当我们在电视上看到宇航员和漂浮在航天器中的物体的图像时，航天飞机上的宇航员似乎没有引力作用在他们身上？毕竟，航天飞机中的宇航员距离地球表面只有几百公里，与地球的大小相比，这不是一个很大的距离，所以重力在那么远的地方肯定不会弱很多。宇航员觉得 “失重”（意思是他们感觉不到重力作用在他们身上），原因与电缆断裂的电梯或发动机不再工作的飞机上的乘客感到失重的原因相同：他们正在坠落（图\(\PageIndex{1}\)）。 ¹

alt — 自由落体中的人物\(\PageIndex{1}\)宇航员。在太空中，宇航员可以自由坠落，因此他们会经历 “失重”。从左上角顺时针方向：特雷西·考德威尔·戴森（NASA）、山崎直子（JAXA）、多萝西·梅特卡夫-林登伯格（NASA）和斯蒂芬妮·威尔逊（NASA）。

坠落时，它们处于自由落体状态，加速速度与周围所有事物相同，包括航天器或用于拍摄地球照片的相机。这样做时，宇航员不会受到额外的力量，因此感到 “失重”。但是，与坠落的电梯乘客不同，宇航员是在环绕地球坠落，而不是坠落到地球；因此，他们将继续坠落，据说处于环绕地球 “轨道上”（有关轨道的更多信息，请参阅下一节）。

轨道运动和质量

开普勒定律描述了物体的轨道，这些物体的运动由牛顿的运动定律和重力定律描述。但是，知道重力是吸引行星驶向太阳的力，这使牛顿得以重新思考开普勒的第三定律。回想一下，开普勒已经发现行星旋转的轨道周期与其与太阳的距离之间存在关系。但是牛顿的公式引入了太阳（M 1）和行星（M 2）质量的额外因子，两者都以太阳质量的单位表示。牛顿的万有引力定律可以用来在数学上证明这种关系实际上是

\[a^3=(M_1+M_2) \times P^2 \nonumber\]

其中\(a\)是半长轴，\(P\)是轨道周期。

开普勒怎么会错过这个因素？以太阳质量为单位，太阳的质量为1，以太阳质量为单位，典型行星的质量是一个可以忽略不计的小因子。这意味着太阳质量和行星质量之和 (\(M_1 + M_2\)) 非常非常接近 1。这使得牛顿的公式看起来与开普勒的公式几乎相同；与太阳相比，行星的质量很小，这是开普勒没有意识到计算中必须包括两个质量的原因。但是，在天文学中，在许多情况下，我们确实需要包括两个质量术语，例如，当两颗恒星或两个星系相互绕轨道运行时。

包括质量项允许我们以新的方式使用这个公式。如果我们能够测量在相互重力下作用的物体的运动（距离和轨道周期），那么这个公式将允许我们推断出它们的质量。例如，我们可以通过使用行星的距离和轨道周期来计算太阳的质量，或者通过记录木星卫星的运动来计算木星的质量。

事实上，牛顿对开普勒第三定律的重新表述是天文学中最有力的概念之一。我们从物体的运动中推断出物体质量的能力是理解许多天体的性质和演变的关键。我们将在本文中反复使用这个定律进行计算，范围从彗星的轨道到星系的相互作用。

示例\(\PageIndex{2}\)：计算重力的影响

在 0.71 地球年，人们发现像地球这样的行星以 1 AU 的距离绕恒星运行。你能用牛顿版本的开普勒第三定律来找出恒星的质量吗？（请记住，与恒星的质量相比，类地球行星的质量可以忽略不计。）

解决方案

在公式中\(a^3 = (M_1 + M_2) \times P_2\)，\(M_1 + M_2\)该系数现在大致等于\(M_1\)（恒星的质量），因为相比之下，行星的质量太小了。然后公式变成\(a_3 = M_1 \times P_2\)，我们可以求解\(M_1\)：

\[M_1= \frac{a^3}{P^2} \nonumber\]

从那以后\(a = 1\)\(a^3 = 1\)，所以

\[M_1= \frac{1}{P_2}= \frac{1}{0.71^2}=\frac{1}{0.5}=2 \nonumber\]

因此，恒星的质量是我们太阳质量的两倍。（请记住，这种表达定律的方式以地球和太阳为单位，因此质量以太阳质量的单位表示。）

练习\(\PageIndex{2}\)

假设一颗质量是我们太阳两倍的恒星有一颗类似地球的行星，它花了四年时间才绕恒星运行。这颗行星将在多远的距离（半长轴）上绕恒星运行？

回答: 同样，我们可以忽视地球的质量。这么\(M_1 = 2\)多\(P = 4\)年。公式是\(a^3 = M_1 \times P_2\)，所以\(a^3 = 2 \times 4^2 = 2 × 16 = 32\)。所以 a 是 32 的立方根。要找到这个，你可以问谷歌：“32 的立方根是什么？” 然后得到答案 3.2 AU。

你可能想尝试一个模拟，让你移动太阳、地球、月球和空间站，看看改变它们的距离对它们的引力和轨道的影响。你甚至可以关闭重力，看看会发生什么。

摘要

重力是所有质量之间的吸引力，是使行星保持在轨道上的原因。牛顿的万有引力定律将引力与质量和距离联系起来：

\[F_{gravity}=G \dfrac{M_1M_2}{R^2} \nonumber\]

重力是赋予我们重量感的原因。与恒定质量不同，重量可以根据你感受到的重力（或加速度）而变化。当根据牛顿的引力定律重新审视开普勒定律时，很明显，两个物体的质量对第三定律都很重要，第三定律变成

\[a^3 = (M_1 + M_2) \times P^2 \nonumber\]

相互引力效应使我们能够计算从彗星到星系的天文物体的质量。

脚注

² 在电影《阿波罗13号》中，宇航员 “失重” 的场景实际上是在坠落的飞机上拍摄的。你可以想象，飞机在发动机再次接合之前只坠落了很短的时间。

词汇表

重力: 物质体或粒子的相互吸引