8.5: 章节公式回顾

总体标准差的置信区间未知、小样本案例

$s$= 样本值的标准差。

$t=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$是 t 分数的公式，用于衡量学生 t 分布中度量与总体均值的距离

$df = n - 1$; 学生 t 分布的自由度，其中$n$表示样本的大小

$T \sim t_{d f}$随机变量具有学生的 t 分布，自由度为 df$T$

单一均值、总体标准差未知和样本数量小于 30 Student's t 的置信区间的一般形式由下式给出：$\overline{x}-t_{\mathrm{v}, \alpha}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) \leq \mu \leq \overline{x}+t_{\mathrm{v}, \alpha}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$

总体比例的置信区间

$p^{\prime}=\frac{x}{n}$其中，$x$表示样本中的成功次数，$n$代表样本数量。 变量 p′ 是样本比例，用作真实总体比率的点估计值。

$q^{\prime}=1-p^{\prime}$

该变量$p^{\prime}$具有二项式分布，可以近似于此处显示的正态分布。 真实总体比率的置信区间由以下公式给出：

$\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}$

$n=\frac{Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2} p^{\prime} q^{\prime}}{e^{2}}$提供估算总体比例$p$、置信$1 - \alpha$度和误差幅度进行抽样所需的观测值数量$e$。 其中$e$ = 实际总体比例和样本比率之间的可接受差值。

计算样本数量 n：连续和二进制随机变量

$n=\frac{Z^{2} \sigma^{2}}{(\overline{x}-\mu)^{2}}$= 用于确定连续随机变量在给定置信水平下达到所需误差幅度所需的样本数量 ($n$) 的公式

$n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \mathrm{pq}}{e^{2}}$= 如果随机变量为二进制，则用于确定样本数量的公式