7.6: 章节作业

样本均值的中心极限定理

49

此前，德安扎统计专业的学生估计，学生的日间统计数据变化量呈指数分布，平均值为0.88美元。 假设我们随机挑选了 25 名日间统计专业的学生。

1. 换句话说，\(Χ\)= __________
2. \(Χ \sim\)_____ (_____、_____)
3. 换句话说，\(\overline X\)= __________
4. \(\overline X \sim\)______ (______、______)
5. 找出一个人的收入在0.80美元到1.00美元之间的概率。 绘制情况图，并在待确定的区域中使用阴影。
6. 找出 25 名学生的平均值在 0.80 美元和 1.00 美元之间的概率。 绘制情况图，并在待确定的区域中使用阴影。
7. 解释为什么 e 部分和 f 部分有区别。

回答

1. \(Χ\)= 学生携带的零钱金额
2. \(Χ \sim E(0.88, 0.88)\)
3. \(\overline X\)= 25 名学生样本的平均变化量。
4. \(\overline X \sim N(0.88, 0.176)\)
5. \(0.0819\)
6. \(0.1882\)
7. 分布不同。 第 1 部分是指数，第 2 部分是正态的。

50。

假设飞球击中外场（棒球）的距离呈正态分布，平均值为 250 英尺，标准差为 50 英尺。 我们随机抽样 49 个飞球。

1. 如果\(\overline X\) = 49 个飞球的平均距离（以英尺为单位），则\(\overline X \sim\) _______（_______，_______）
2. 49 个球平均行驶不到 240 英尺的概率是多少？ 绘制图表。 缩放的水平轴\(\overline X\)。 对与概率对应的区域进行阴影。 找到概率。
3. 找出 49 个飞球平均分布的第 80 个百分位数。

51。

根据美国国税局（Internal Revenue Service）的数据，个人填写（保存、学习、准备、复制、汇编和发送）IRS 1040 表格的平均时间为 10.53 小时（不附带任何时间表）。 分布未知。 让我们假设标准差为两个小时。 假设我们随机抽样了 36 名纳税人。

1. 换句话说，\(Χ =\)___________
2. 换句话说，\(\overline X\)= ___________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____、_____)
4. 如果36名纳税人平均在超过12小时的时间内完成了1040表格，你会感到惊讶吗？ 用完整的句子解释原因或原因。
5. 如果一位纳税人在 12 个多小时内填完他或她的 1040 表格，你会感到惊讶吗？ 用一句完整的句子解释原因。

52。

假设已知有一类世界级跑步者平均跑完马拉松（26 英里），标准差为 14 分钟。 以49场比赛为例。 \(\overline X\)取49场比赛的平均值。

1. \(\overline X \sim\)_____ (_____、_____)
2. 找出跑步者在这 49 场马拉松比赛中平均在 142 到 146 分钟之间的概率。
3. 找出这 49 场马拉松平均值的\(80^{th}\)百分位数。
4. 找出平均运行时间的中位数。

53。

收藏家的 iTunes 专辑集中的歌曲长度均匀分布，从两分钟到 3.5 分钟不等。 假设我们从集合中随机选出五张专辑。 五张专辑中共有43首歌曲。

1. 用文字表示，\(Χ\)= _______
2. \(Χ \sim\)___________
3. 换句话说，\(\overline X\)= ___________
4. \(\overline X \sim\)_____ (_____、_____)
5. 找到平均歌曲长度的第一个四分位数。
6. 平均歌曲长度的\(IQR\)（四分位间距）从 _______—_____。

54。

1940 年，美国农场的平均面积为 174 英亩。 假设标准差为 55 英亩。 假设我们随机调查了 1940 年以来的 38 名农民。

1. 换句话说，\(Χ\)= ___________
2. 换句话说，\(\overline X\)= ___________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____、_____)
4. \(IQR\)占\(\overline X\)地从 _____ 英亩到 _______ 英亩不等。

55。

确定以下哪些是正确的，哪些是错误的。 然后，用完整的句子证明你的答案是正确的。

1. 当样本数量较大时，的\(\overline X\)均值大致等于的均值\(Χ\)。
2. 当样本数量较大时，近似\(\overline X\)正态分布。
3. 当样本数量较大时，的\(\overline X\)标准差与的标准差大致相同\(Χ\)。

56。

美国人每天消耗的脂肪卡路里百分比是正态分布，平均值约为36，标准差约为十。 假设随机选择了 16 个人。 让\(\overline X\) = 脂肪卡路里的平均百分比。

1. \(\overline X \sim\)______ (______、______)
2. 对于16人组，找出消耗的脂肪卡路里平均百分比超过5的概率。 绘制待确定区域的情况和阴影。
3. 找到脂肪卡路里平均百分比的第一四分位数。

57。

一些第三世界国家的收入分配被认为是楔形的（许多非常贫穷的人，很少有中等收入的人，更少的富人）。 假设我们选择一个分布呈楔形的国家。 假设平均工资为每年2,000美元，标准差为8,000美元。 我们随机调查了该国的1,000名居民。

1. 换句话说，\(Χ\)= ___________
2. 换句话说，\(\overline X\)= ___________
3. \(\overline X \sim\)_____ (_____、_____)
4. 标准差怎么可能大于平均值？
5. 为什么 1,000 名居民的平均收入在 2,000 美元到 2,100 美元之间，而不是 2,100 美元到 2,200 美元？

58。

以下关于平均值分布的说法中哪一项不正确？

1. 均值、中位数和模态相等。
2. 曲线下方的面积为一。
3. 曲线从不接触 x 轴。
4. 曲线向右倾斜。

59。

湾区无铅汽油的成本曾经遵循未知分布，平均值为4.59美元，标准差为0.10美元。 湾区的十六个加油站是随机选择的。 我们对16个加油站的平均汽油成本感兴趣。 16 个加油站的平均汽油成本分配为：

一个。\(\overline X \sim N(4.59, 0.10)\)

b。\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{0.10}{\sqrt{16}}\right)\)

c。\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{16}{0.10}\right)\)

d。\(\overline X \sim N\left(4.59, \frac{\sqrt{16}}{0.10}\right)\)

使用中心极限定理

60。

5,000 名学生参加模拟考试，为标准化考试做准备。 总体均值为 140 个问题正确，标准差为 80。 研究人员应采用多大尺寸的样本才能得出标准差为 10 的样本均值分布？

61。

大量人口会偏斜数据，平均值为 70，标准差为 6。 采集大小为 100 的样本，并分析这些样本均值的分布。

1. 均值的分布会比总体的分布更接近正态分布吗？
2. 样本均值的均值会保持接近 70 吗？
3. 均值分布的标准差会更小吗？
4. 那个标准差是多少？

62。

一位研究人员正在研究来自大量人群的数据，其标准差太大了。 为了集中信息，研究人员决定对数据进行反复采样并使用样本平均值的分布？ 第一次使用样本量为 100。 但是标准差大约是研究人员想要的值的两倍。 研究人员可以用来解决这个问题的最小尺寸的样本是多少？

63。

一位研究人员查看了大量数据，得出结论，总体的标准差为40。 使用样本数量为 64，研究人员能够将样本均值的平均值聚焦到标准差为 5 的较窄分布。 然后，研究人员意识到最初的计算存在错误，初始标准差实际上是20。 由于样本均值的标准差是使用原始标准差获得的，因此该值也会受到误差发现的影响。 样本均值标准差的正确值是多少？

64。

总体的标准差为 50。 它使用大小为 100 的样本进行采样。 样本均值的方差是多少？

比例的中心极限定理

65。

一位农民从一片大田里采摘南瓜。 农民制作了260个南瓜的样本并对其进行了检查。 如果五十个南瓜中就有一个不适合上市，可以存下来做种子，那么样本比例抽样分布平均值的标准差是多少？

66。

一家商店对顾客进行调查，看看他们对所获得的服务是否满意。 采集了 25 项调查的样本。 五分之一的人不满意。 不满意客户数量的样本比率抽样分布均值的方差是多少？ 对于满意的客户，差异是多少？

67。

一家公司对员工进行匿名调查，以了解有多少百分比的员工感到满意。 公司规模太大，无法检查每个回复，因此抽取了50个样本，趋势是四分之三的员工感到满意。 对于样本比率抽样分布的平均值，如果样本数量增加了一倍，请回答以下问题。

1. 这如何影响均值？
2. 这会如何影响标准差？
3. 这对方差有何影响？

68。

民意调查员问一个问题，答案可能只有 “是” 和 “否”。 该民意调查在全国范围内进行，因此采集了100份回复的样本。 总的来说，每个否答案都有四个是的答案。 对于样本比率抽样分布的平均值，请找到以下答案为是。

1. 预期值。
2. 标准差。
3. 方差。

69。

样本比率抽样分布的平均值为 0.3，样本数量为 40。\(p\)

1. 假设角色\(p\)和\(q\)反向角色的预期值有区别吗？
2. 在相同反转的情况下，标准差的计算有区别吗？

有限种群校正系数

70。

一家公司有 1,000 名员工。 因病缺勤的平均工作日为 80 天，标准差为 11 天。 对80名员工的样本进行了检查。 样本平均工作日未因病缺勤至少为 78 天、最多 84 天的概率是多少？

71。

卡车通过自动秤，可监控 2,000 辆卡车。 这批卡车的平均重量为20吨，标准差为2吨。 如果采取 50 辆卡车的样本，则样本的平均重量在总体均值半吨以内的概率是多少？

72。

一个城镇保存天气记录。 根据这些记录，可以确定每年平均有12％的天数下雨。 如果从一年中随机选择 30 天，那么最多 3 天下雨的概率是多少？

73。

贺卡制造商存在墨水问题，导致墨水在7％的贺卡上涂抹。 每日制作量为 500 张卡片。 如果检查了 35 张卡片的样本，最多 5 张卡片上会有墨水涂抹的概率是多少？

74。

一所学校有 500 名学生。 通常，平均有20名学生缺席。 如果在某一天抽取了 30 名学生的样本，则样本中至少有 2 名学生缺席的概率是多少？