7.4: 有限总体校正系数

我们看到样本数量对方差有重要影响，因此也对抽样分布的标准差有重要影响。 同样令人感兴趣的是抽样占总人口的比例。 我们假设人口非常庞大，而且我们对一小部分人口进行了抽样。 随着总体变小，我们对更多的观测值进行抽样，样本观测值彼此之间并不独立。 为了纠正这种影响，可以使用有限校正因子来调整采样分布的方差。 当对超过5％的人口进行抽样并且人口规模已知时，这是合适的。 在某些情况下，人口是已知的，因此必须应用校正系数。 均值的抽样分布和比率的抽样分布都出现了问题。 标准化公式中显示的均值方差的有限总体校正系数为：

$$Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}\nonumber$$

对于比例方差，则为：

$$\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\nonumber$$

以下示例显示如何应用该因子。 使用上述公式调整采样方差。

示例$\PageIndex{1}$

据了解，美国白人德国牧羊犬的数量为4,000只狗，德国牧羊犬的平均体重为75.45磅。 另据了解，总体标准差为 10.37 磅。 如果样本数量为 100 只狗，则求出样本的平均值与真实概率均值相差小于 2 磅的概率。

回答

解决方案 7.1

$N=4000, \quad n=100, \quad \sigma=10.37, \quad \mu=75.45, \quad(\overline{x}-\mu)=\pm 2$

$$Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{ \pm 2}{\frac{10.37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4000-100}{4000-1}}}=\pm 1.95\nonumber$$

$$f(Z)=0.4744 \cdot 2=0.9488\nonumber$$

请注意，“差异较小” 是指平均值两侧向右或向左 2 磅以内的面积。

示例$\PageIndex{2}$

当客户使用Rudy的在线办公用品下订单时，计算机化会计信息系统（AIS）会自动检查客户是否已超过其信用额度。 过去的记录表明，客户超过信用额度的概率为0.06。

假设在某一天总共下了 3,000 个订单。 如果我们随机选择360个订单，那么10到20个客户超过其信用额度的概率是多少？

回答

解决方案 7.2

$N=3000, \quad n=360, \quad p=0.06$

$$\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3000-360}{3000-1}}=0.0117\nonumber$$

$$p_{1}=\frac{10}{360}=0.0278, \quad p_{2}=\frac{20}{360}=0.0556\nonumber$$

$$Z=\frac{p^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{0.0278-0.06}{0.011744}=-2.74\nonumber$$

\[p\left(\frac{0.0278-0.06}{0.011744}<\frac{0.0556-0.06}{0.011744}\right)\]