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9.3：加减有理表达式

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    定义：添加或减去有理表达式

    要加上或减去有理表达式，可以将其视为带变量的分数。 加法和减法需要一个公分母（称为 LCD）。

    找到 LCD/LCM

    定义：液晶显示器/液晶显示器

    要找到 LCD，首先要将所有分母全部考虑在内。 根据所有分母中的因子构建 LCD。 将每个因子在任一表达式中出现的最大次数相乘。 如果同一个因子在两个表达式中多次出现，则将该因子在任一表达式中出现的最大次数相乘。 在本节中，它将被称为 LCM（最小公倍数），因为这些问题中没有分数。

    示例 Template:Index
    1. \((x^2 − 2x − 3)\)和\((x^2 + 2x − 15)\)
    2. \((x^2 − 9)\)和\((2x^2 − 5x − 3)\)
    3. \((x^2 + x − 2)\)和\((x^2 + 4x + 4)\)

    解决方案

    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 2x − 3) \text{ and } (x^2 + 2x − 15) &\text{Example problem} \\ &(x − 3)(x + 1) \text{ and } (x − 3)(x + 5) &\text{Factor} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 1)(x + 5) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\& &\text{Only one copy of \((x − 3)\)是必需的，因为它代表在每个表达式中找到的因子。} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 9) \text{ and } (2x^2 − 5x − 3) &\text{Example problem} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x^2−6x+1x−3) &\text{Factor; the first polynomial is a difference of squares, and use factor by grouping for the second polynomial.} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x(x−3)+1(x− 3)) &\text{Factor by grouping.} \\ &(x − 3)(x + 3) \text{ and } (2x + 1)(x − 3) &\text{Completely factored.} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 3)(2x + 1) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Only one copy of \((x − 3)\)是必需的，因为它代表在每个表达式中找到的因子。} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 + x − 2) \text{ and } (x^2 + 4x + 4) &\text{Example problem} \\ &(x − 1)(x + 2) \text{ and } (x + 2)(x + 2) &\text{Factor.} \\ &\text{The LCM is } (x − 1)(x + 2)(x + 2) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Two copies of \((x + 2)\)是必需的，因为它代表了任一表达式中找到的因子中数量最多的因子。}\\ &\ text {LCM 是} (x − 1) (x + 2) ^2 &\ text {备用答案。} \ end {array}\)
    练习 Template:Index

    找到 LCM：

    1. \((3x^2 − 13x + 4)\)和\((x^2 − 16)\)
    2. \((2x^2 + x − 3)\)和\((x^2 − 2x + 1)\)
    3. \((x − 1)\)和\((x^2 − 4x − 5)\)
    4. \((6x^2 − 23x + 20)\)和\((4x^2 − 25)\)

    减去有理表达式并简化为单个有理表达式

    定义：使用 LCD 添加或减去有理表达式

    有理表达式是带有变量的分数（也称为代数分数）。 要加上或减去有理表达式，首先找到公分母（LCD），然后加上或减去分子，保持相同的（公共）分母。 最后，尽可能通过从分子和分母中移除常见因子来进行分解和简化。

    示例 Template:Index

    加上或减去并简化：

    1. \(\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5}\)
    2. \(\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9}\)
    3. \(\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)

    解决方案

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Find the LCD, which is \((2x − 1)(2x + 5)\)}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5)} {(2x − 1) (2x + 5)}-\ dfrac {2x (2x − 1)} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {将每个有理表达式的分子和分母乘以 LCD 中缺失的项。}\\ &\ dfrac {(+ 2x 5) − [(2x − 1)]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {将减法放在单个公分母上的分子。}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − [4x^2 − 2x]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {分布，像术语一样组合并简化分子。}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − 4x^2 +} {(− 2x 1) (+ 5)} &\ text {注意将减法分配给两个术语。}\\ &\ dfrac {12x} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {最终答案。} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 3)(x − 3)(x + 3)\)}\\ &\ dfrac {4 (x − 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)}-\ dfrac {5 (x + 3)} {(x − 3) (x − 3)} &\ text {将每个有理表达式的分子和分母乘以 LCD 中缺失的项。}\\ &\ dfrac {4} {(x − 3) − 5 (x + 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {将减法放入单个公分母上的分子。}\\ &\ dfrac {4x − 12 − [5x + 15]} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {分布，像术语一样组合并简化分子。}\\ &\ dfrac {4x − 12 − 5x − 15} {(x + 3) (x − 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {注意将减法分配给两个项。}\\ &\dfrac {−x − 27} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {最终答案。}\\ &\ dfrac {− (x + 27)} {(x + 3) (x − 3)} &\ text {备用答案}\ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 1)(x + 1)\)}\\ &\ dfrac {x (x − 1)} {(x + 1) (x − 1)} +\ dfrac {(2x + 3)} {(x − 1) (x + 1)} &\ text {将每个有理表达式的分子和分母乘以 LCD 中缺失的项。}\\ &\ text {注意第二个有理表达式的液晶显示屏已经是它的分母。}\\ [0.125in] &\ dfrac {x (x − 1) + (2x + 3)} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {将分子中的减法放在单个公分母上。}\\ &\ dfrac {x^2 − x + 2x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {分发，像术语一样组合并简化分子。}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {注意将减法分配给两个项。}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {最终答案。} \ end {array}\)
    练习 Template:Index

    加上或减去并简化：

    1. \(\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{24x^3}{x3 + 2}\)
    2. \(\dfrac{x}{1 − x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)
    3. \(\dfrac{5}{x + 3} + \dfrac{x^2 − 4x − 21}{x^2 − 9}\)
    4. \(\dfrac{39x + 36}{x^2 − 3x − 10} - \dfrac{23x − 16}{x^2 − 7x + 10}\)