4.1: 函数定义
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
函数是一条规则，它为输入值集（域）中的每个元素赋值一个也是唯一一个输出值集合（范围）中的一个元素。
确定以下每个方程是否都是函数：
- \(y = x^2 + 1\)
- \(y^2 = x + 1\)
解决方案
- 要查看这个方程的结果，假设 x = 3。
\(\begin{aligned} y &= x^2 + 1 \\ y &= 3^2 + 1 \\ y &= 9 + 1 \\ y &= 10\end{aligned}\)
为输入的任何值都只能\(x\)生成一个值\(y\)。
对于\(y\)，只有一个解决方案\(y = 10\)。
\(y = x^2 + 1\)是一个函数！
- 要查看这个方程的结果，再来一次\(x = 3\)。
\(\begin{aligned} y^2 &= x + 1 \\ y^ 2 &= 3 + 1 = 4 \\ y &= \sqrt{4 } \\ y &= 2 \text{ or } y = −2\end{aligned}\)
输入的任何值都\(x\)不会为生成一个精确的值\(y\)。 \(y = 2\)和\(y\)，有两种解决方案\(y = −2\)。
\(y^2 = x + 1\)不是一个函数！