22.1: ضمیمه A- استفاده از ریاضیات در اصول اقتصاد
- Page ID
- 212810
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)(این ضمیمه باید پس از اولین خواندن مشورت شود به اقتصاد خوش آمدید!) اقتصاد ریاضی نیست. هیچ مفهوم مهمی در این دوره وجود ندارد که بدون ریاضیات قابل توضیح نباشد. گفته می شود، ریاضی ابزاری است که می تواند برای نشان دادن مفاهیم اقتصادی مورد استفاده قرار گیرد. به یاد داشته باشید که یک تصویر ارزش هزار کلمه را دارد؟ به جای یک تصویر، به یک نمودار فکر کنید. این همان چیزی است. اقتصاددانان از مدل ها به عنوان ابزار اولیه برای استخراج بینش در مورد مسائل و مشکلات اقتصادی استفاده می کنند. ریاضی یکی از راه های کار با (یا دستکاری) مدل های اقتصادی است.
راه های دیگری برای نشان دادن مدل ها وجود دارد، مانند متن یا روایت. ولي چرا بايد از مشتت براي ضربه زدن به ميخ استفاده کني، اگه چکش داشتي؟ ریاضی مزایای خاصی نسبت به متن دارد. این تفکر شما را منظم می کند و شما را دقیقا مشخص می کند که منظور شما چیست. شما می توانید با تفکر فازی در ذهن خود کنار بیایید، اما نمی توانید زمانی که یک مدل را به معادلات جبری کاهش می دهید. در عین حال، ریاضی معایبی نیز دارد. مدل های ریاضی لزوماً مبتنی بر فرضیات ساده کننده هستند، بنابراین به احتمال زیاد کاملاً واقع گرایانه نیستند. مدل های ریاضی نیز فاقد تفاوت های ظریفی هستند که می توان در مدل های روایی یافت. نکته این است که ریاضی یک ابزار است، اما تنها ابزار یا حتی همیشه بهترین ابزاری نیست که اقتصاددانان می توانند از آن استفاده کنند. برای این کتاب به چه ریاضی نیاز دارید؟ پاسخ این است: کمی بیشتر از جبر و گراف دبیرستان. شما باید بدانید:
- یک تابع چیست
- نحوه تفسیر معادله یک خط (به عنوان مثال، شیب و رهگیری)
- نحوه دستکاری یک خط (به عنوان مثال، تغییر شیب یا رهگیری)
- چگونگی محاسبه و تفسیر نرخ رشد (به عنوان مثال، درصد تغییر)
- نحوه خواندن و دستکاری یک نمودار
در این متن، ما از ساده ترین ریاضی ممکن استفاده خواهیم کرد و ما آن را در این ضمیمه معرفی خواهیم کرد. بنابراین اگر مقداری ریاضی در کتاب پیدا کردید که نمی توانید دنبال کنید، برای مرور به این پیوست برگردید. مانند بسیاری از چیزها، ریاضیات بازده کاهش می یابد. کمی توانایی ریاضی راه طولانی را طی می کند. هرچه ریاضیات پیشرفته تری وارد کنید، دانش اضافی کمتری برای شما به دست می آورد. گفته می شود، اگر می خواهید در اقتصاد تحصیل کنید، باید کمی حساب دیفرانسیل و انتگرال یاد بگیرید. ارزش این را خواهد داشت که به شما کمک کند اقتصاد پیشرفته را سریعتر یاد بگیرید.
مدلهای جبری
اغلب مدلهای اقتصادی (یا بخشهایی از مدلها) بر حسب توابع ریاضی بیان میشوند. یک تابع چیست؟ یک تابع یک رابطه را توصیف می کند. گاهی اوقات رابطه یک تعریف است. به عنوان مثال (با استفاده از کلمات)، استاد شما آدام اسمیت است. این را می توان به عنوان پروفسور = آدام اسمیت بیان کرد. یا دوستان = باب + شاون + مارگارت.
اغلب در اقتصاد، توابع علت و معلول را توصیف می کنند. متغیر در سمت چپ همان چیزی است که توضیح داده شده است («اثر»). در سمت راست چیزی است که توضیح می دهد («علل»). به عنوان مثال، فرض کنید GPA شما به شرح زیر تعیین شده است:
این معادله بیان می کند که معدل شما به سه چیز بستگی دارد: نمره SAT ترکیبی شما، حضور در کلاس و تعداد ساعاتی که صرف مطالعه می کنید. همچنین می گوید که زمان مطالعه دو برابر مهم است (0.50) به عنوان نمره Combined_SAT (0.25) یا کلاس حضور (0.25). اگر این رابطه درست باشد، چگونه می توانید GPA خود را افزایش دهید؟ با نگذراندن کلاس و مطالعه بیشتر. توجه داشته باشید که شما نمی توانید در مورد نمره SAT خود کاری انجام دهید، زیرا اگر در کالج هستید، (احتمالاً) قبلاً SAT را گرفته اید.
البته مدلهای اقتصادی روابط را با استفاده از متغیرهای اقتصادی بیان میکنند، مانند Budget = money_spent_on_econ_books + money_spent_on_music، با این فرض که تنها چیزهایی که میخرید کتابهای اقتصادی و موسیقی هستند.
اکثر روابطی که ما در این دوره استفاده می کنیم به صورت معادلات خطی فرم بیان می شوند:
بیان معادلات به صورت گرافیکی
نمودارها برای دو منظور مفید هستند. اول این است که معادلات را به صورت بصری بیان کنید، و دوم نمایش آمار یا داده ها است. این بخش در مورد بیان معادلات به صورت بصری بحث خواهد کرد.
برای یک ریاضیدان یا اقتصاددان، متغیر نامی است که به کمیتی داده میشود که ممکن است طیفی از مقادیر را فرض کند. در معادله یک خط ارائه شده در بالا، x و y متغیرهایی هستند که x در محور افقی و y در محور عمودی، و b و m نشان دهنده عواملی هستند که شکل خط را تعیین می کنند. برای دیدن نحوه کار این معادله، یک مثال عددی را در نظر بگیرید:
در این معادله برای یک خط خاص، عبارت b برابر با ۹ و عبارت m برابر ۳ تنظیم شدهاست. جدول A1 مقادیر x و y را برای این معادله نشان می دهد. شکل A1 این معادله و این مقادیر را در یک نمودار نشان می دهد. برای ساخت جدول، فقط یک سری از مقادیر مختلف را برای x وصل کنید و سپس محاسبه کنید که چه مقدار y نتیجه می دهد. در شکل، این نقاط رسم شده و یک خط از طریق آنها کشیده می شود.
| x | y |
|---|---|
| ۰ | ۹ |
| ۱ | ۱۲ |
| ۲ | ۱۵ |
| ۳ | ۱۸ |
| ۴ | ۲۱ |
| ۵ | ۲۴ |
| ۶ | ۲۷ |
این مثال نشان می دهد که چگونه عبارات b و m در یک معادله برای یک خط مستقیم شکل خط را تعیین می کنند. اصطلاح b را y-intercept می نامند. دلیل این نام این است که اگر x = 0 باشد، عبارت b نشان می دهد که خط در کجا محور y را متوقف می کند یا از آن عبور می کند. در این مثال، خط در 9 به محور عمودی برخورد می کند. عبارت m در معادله خط شیب است. به یاد داشته باشید که شیب به عنوان تعریف می شود افزایش بیش از حد اجرا. به طور خاص، شیب یک خط از یک نقطه به نقطه دیگر تغییر در محور عمودی تقسیم بر تغییر در محور افقی است. در این مثال، هر بار که عبارت x به اندازهٔ یک (run) افزایش مییابد، عبارت y به اندازهٔ سه افزایش مییابد. بنابراین، شیب این خط سه است. مشخص کردن یک رهگیری y و یک شیب - یعنی مشخص کردن b و m در معادله برای یک خط - یک خط خاص را مشخص می کند. اگر چه برای نقاط داده دنیای واقعی نادر است که خود را به عنوان یک خط مستقیم دقیق مرتب کنند، اغلب معلوم می شود که یک خط مستقیم می تواند تقریبی معقول از داده های واقعی ارائه دهد.
تفسیر شیب
مفهوم شیب در اقتصاد بسیار مفید است، زیرا رابطه بین دو متغیر را اندازه گیری می کند. شیب مثبت به این معنی است که دو متغیر رابطه مثبت دارند. یعنی وقتی x افزایش می یابد، y نیز افزایش می یابد یا وقتی x کاهش می یابد، y نیز کاهش می یابد. از نظر گرافیکی، شیب مثبت به این معنی است که با حرکت یک خط در نمودار خط از چپ به راست، خط بالا می رود. رابطه طول و وزن، که در شکل A3 بعدا در این ضمیمه نشان داده شده است، شیب مثبت دارد. ما در فصل های دیگر یاد خواهیم گرفت که قیمت و مقدار عرضه شده رابطه مثبت دارند؛ یعنی شرکت ها زمانی که قیمت بالاتر باشد، بیشتر عرضه می کنند.
شیب منفی به این معنی است که دو متغیر با هم رابطه منفی دارند. یعنی وقتی x افزایش می یابد، y کاهش می یابد یا وقتی x کاهش می یابد، y افزایش می یابد. از نظر گرافیکی، شیب منفی به این معنی است که با حرکت خط روی نمودار خط از چپ به راست، خط سقوط می کند. رابطه چگالی ارتفاع-هوا، که در شکل A4 بعداً در این ضمیمه نشان داده شده است، شیب منفی دارد. ما یاد خواهیم گرفت که قیمت و مقدار تقاضا شده رابطه منفی دارند؛ یعنی وقتی قیمت بالاتر باشد، مصرف کنندگان کمتر خرید می کنند.
شیب صفر به این معنی است که هیچ رابطه ای بین x و y وجود ندارد از نظر گرافیکی، خط مسطح است؛ یعنی صفر در طول اجرا افزایش می یابد. شکل A5 نرخ بیکاری، که بعدا در این ضمیمه نشان داده شده است، الگوی مشترک بسیاری از نمودارهای خطی را نشان می دهد: برخی از بخش هایی که شیب مثبت است، بخش های دیگر که شیب منفی است و هنوز بخش های دیگر که شیب نزدیک به صفر است.
شیب یک خط مستقیم بین دو نقطه را می توان به صورت عددی محاسبه کرد. برای محاسبه شیب، با تعیین یک نقطه به عنوان «نقطه شروع» و نقطه دیگر به عنوان «نقطه پایان» و سپس محاسبه افزایش بیش از حد بین این دو نقطه شروع کنید. به عنوان مثال، شیب نمودار چگالی هوا بین نقاط نشان دهنده ارتفاع ۴۰۰۰ متر و ارتفاع ۶۰۰۰ متر را در نظر بگیرید:
افزایش: تغییر در متغیر در محور عمودی (نقطه پایان منهای نقطه اصلی)
اجرا: تغییر در متغیر در محور افقی (نقطه پایان منهای نقطه اصلی)
بنابراین، شیب یک خط مستقیم بین این دو نقطه به این صورت خواهد بود که از ارتفاع 4000 متری تا 6000 متر، چگالی هوا برای هر یک از 1000 متر بعدی تقریباً 0.1 کیلوگرم در متر مکعب کاهش می یابد.
فرض کنید شیب یک خط باید افزایش یابد. از نظر گرافیکی، این بدان معنی است که تندتر می شود. فرض کنید شیب یک خط باید کاهش یابد. سپس چاپلوسی می شود. این شرایط درست است که آیا شیب در ابتدا مثبت یا منفی بوده است. شیب مثبت بالاتر به معنای شیب رو به بالا تندتر به خط است، در حالی که شیب مثبت کوچکتر به معنای شیب مسطح تر به سمت بالا به خط است. شیب منفی که در مقدار مطلق بزرگتر است (یعنی منفی تر) به معنای شیب رو به پایین تندتر به خط است. شیب صفر یک خط مسطح افقی است. یک خط عمودی دارای شیب بی نهایت است.
فرض کنید یک خط دارای یک رهگیری بزرگتر است. از نظر گرافیکی، این بدان معنی است که از مبدا قدیمی، موازی با خط قدیمی تغییر می کند (یا بالا می رود). اگر یک خط دارای یک رهگیری کوچکتر باشد، به موازات خط قدیمی به داخل (یا پایین) تغییر می کند.
حل مدل ها با جبر
اقتصاددانان اغلب از مدل ها برای پاسخ به یک سوال خاص استفاده می کنند، مانند: اگر اقتصاد با 3٪ در سال رشد کند، نرخ بیکاری چقدر خواهد بود؟ پاسخ به سوالات خاص نیاز به حل «سیستم» معادلات دارد که مدل را نشان می دهند.
فرض کنید تقاضا برای پیتزاهای شخصی با معادله زیر به دست می آید:
که در آن Qd مقدار پیتزاهای شخصی است که مصرف کنندگان می خواهند بخرند (یعنی مقدار تقاضا شده) و P قیمت پیتزا است. فرض کنید عرضه پیتزاهای شخصی عبارت است از:
که در آن Qs مقدار تولید کنندگان پیتزا عرضه خواهد شد (به عنوان مثال، مقدار عرضه شده).
در نهایت، فرض کنید که بازار پیتزا شخصی در جایی فعالیت می کند که عرضه برابر با تقاضا است، یا
اکنون دستگاهی از سه معادله و سه مجهول (Qd، Qs و P) داریم که با جبر میتوانیم آن را حل کنیم:
از آنجا که Qd = Qs، می توانیم معادله تقاضا و عرضه را برابر با یکدیگر تنظیم کنیم:
کم کردن 2 از هر دو طرف و اضافه کردن 2P به هر دو طرف نتیجه می دهد:
به عبارت دیگر، قیمت هر پیتزای شخصی 2 دلار خواهد بود. مصرف کنندگان چقدر خرید خواهند کرد؟
با در نظر گرفتن قیمت 2 دلار و وصل کردن آن به معادله تقاضا، به این نتیجه می رسیم:
بنابراین اگر قیمت هر کدام 2 دلار باشد، مصرف کنندگان 12 را خریداری می کنند. تولید کنندگان چقدر عرضه خواهند کرد؟ با در نظر گرفتن قیمت 2 دلار و وصل کردن آن به معادله عرضه، به دست می آوریم:
بنابراین اگر قیمت هر کدام 2 دلار باشد، تولید کنندگان 12 پیتزا شخصی را عرضه می کنند. این بدان معناست که ما ریاضی خود را به درستی انجام داده ایم، زیرا Qd = Qs.
حل مدل ها با گراف
اگر جبر نقطه قوت شما نیست، می توانید با استفاده از گراف ها همان پاسخ را دریافت کنید. معادلات Qd و Qs را در نظر بگیرید و آنها را در همان مجموعه محورها همانطور که در شکل A2 نشان داده شده است، نمودار کنید. از آنجایی که P در محور عمودی قرار دارد، اگر هر معادله را برای P حل کنید، ساده ترین کار این است که منحنی تقاضا P = 8 - 0.5Qd و منحنی عرضه P = -0.4 + 0.2Qs است. توجه داشته باشید که فاصله های عمودی 8 و 0.4- است و شیب ها 0.5- برای تقاضا و 0.2 برای عرضه است. اگر نمودارها را با دقت رسم کنید، خواهید دید که در جایی که آنها عبور می کنند (Qs = Qd)، قیمت 2 دلار و مقدار 12 است، درست مانند جبر پیش بینی شده.
ما در این کتاب از نمودارها بیشتر از جبر استفاده خواهیم کرد، اما اکنون شما ریاضی پشت نمودارها را می دانید.
نرخ رشد
نرخ رشد اغلب در اقتصاد دنیای واقعی دیده می شود. نرخ رشد به سادگی درصد تغییر در مقداری است. این می تواند درآمد شما باشد. این می تواند فروش یک کسب و کار باشد. این می تواند تولید ناخالص داخلی یک کشور باشد. فرمول محاسبه نرخ رشد ساده است:
فرض کنید شغل شما 10 دلار در ساعت پرداخت می کند. با این حال، رئیس شما آنقدر تحت تأثیر کار شما قرار گرفته است که در هر ساعت 2 دلار به شما افزایش می دهد. درصد تغییر (یا نرخ رشد) در پرداخت شما $2/$10 = 0.20 یا 20٪ است.
برای محاسبه نرخ رشد داده ها در یک دوره زمانی طولانی، به عنوان مثال، متوسط رشد سالانه در تولید ناخالص داخلی طی یک دهه یا بیشتر، مخرج معمولاً کمی متفاوت تعریف می شود. در مثال قبلی، ما کمیت را به عنوان مقدار اولیه یا کمیت زمانی که شروع کردیم تعریف کردیم. این برای یک محاسبه یکبار مصرف خوب است، اما وقتی رشد را بارها و بارها محاسبه می کنیم، منطقی تر است که کمیت را به عنوان کمیت متوسط در دوره مورد نظر تعریف کنیم، که به عنوان کمیت در نیمه راه بین مقدار اولیه و کمیت بعدی تعریف می شود. توضیح این موضوع با کلمات سخت تر از نشان دادن با یک مثال است. فرض کنید تولید ناخالص داخلی یک کشور 1 تریلیون دلار در سال 2005 و 1.03 تریلیون دلار در سال 2006 بود. نرخ رشد بین سالهای 2005 و 2006 تغییر در تولید ناخالص داخلی (1.03 تریلیون دلار - 1.00 تریلیون دلار) تقسیم بر میانگین تولید ناخالص داخلی بین سالهای 2005 و 2006 (1.03 تریلیون دلار + 1.00 تریلیون دلار) /2 خواهد بود. به عبارت دیگر:
توجه داشته باشید که اگر از روش اول استفاده کنیم، محاسبه خواهد شد (1.03 تریلیون - 1.00 تریلیون دلار) /1.00 تریلیون = 3٪ رشد، که تقریبا همان روش دوم، پیچیده تر است. اگر شما نیاز به یک تقریب خشن دارید، از روش اول استفاده کنید. اگر به دقت نیاز دارید، از روش دوم استفاده کنید.
چند نکته را باید به خاطر بسپارید: نرخ رشد مثبت به معنای افزایش مقدار است. نرخ رشد کوچکتر به این معنی است که مقدار آن کندتر رشد می کند. نرخ رشد بیشتر به این معنی است که مقدار آن سریعتر رشد می کند. نرخ رشد منفی به این معنی است که مقدار در حال کاهش است.
همان تغییر در طول زمان، نرخ رشد کمتری را به همراه دارد. اگر هر سال 2 دلار افزایش داشته باشید، همانطور که در بالا نشان داده شده است، در سال اول نرخ رشد $2/10 = 20٪ خواهد بود. اما در سال دوم، نرخ رشد خواهد بود $2/$12 = 0.167 یا 16.7٪ رشد. در سال سوم، همان افزایش $2 به $2/14 = 14.2٪ مربوط می شود. نتیجه اخلاقی داستان این است: برای ثابت نگه داشتن نرخ رشد، تغییر باید در هر دوره افزایش یابد.
نمایش داده ها به صورت گرافیکی و تفسیر نمودار
نمودارها همچنین برای نمایش داده ها یا شواهد استفاده می شوند. گرافها روشی برای ارائه الگوهای عددی هستند. آنها اطلاعات عددی دقیق را به شکل بصری متراکم می کنند که در آن روابط و الگوهای عددی را می توان به راحتی مشاهده کرد. به عنوان مثال، کدام کشورها جمعیت بزرگتر یا کمتری دارند؟ یک خواننده دقیق می تواند یک لیست طولانی از اعداد نشان دهنده جمعیت بسیاری از کشورها را بررسی کند، اما با وجود بیش از 200 کشور در جهان، جستجو از طریق چنین لیستی تمرکز و زمان می گیرد. قرار دادن همین اعداد در یک نمودار می تواند به سرعت الگوهای جمعیت را نشان دهد. اقتصاددانان از نمودارها برای ارائه جمع و جور و قابل خواندن گروه های اعداد و برای ایجاد درک بصری از روابط و ارتباطات استفاده می کنند.
در این کتاب از سه نوع نمودار استفاده میشود: گراف خط، گراف پای، و نمودار میلهای. هر کدام در زیر بحث شده است. ما همچنین هشدارهایی در مورد چگونگی دستکاری نمودارها برای تغییر درک بینندگان از روابط موجود در داده ها ارائه می دهیم.
نمودارهای خطی
نمودارهایی که تاکنون مورد بحث قرار دادیم نمودارهای خطی نامیده می شوند، زیرا رابطه بین دو متغیر را نشان می دهند: یکی در محور افقی اندازه گیری می شود و دیگری در محور عمودی اندازه گیری می شود.
گاهی اوقات مفید است که بیش از یک مجموعه داده را در محورهای مشابه نشان دهید. داده ها در جدول A2 در شکل A3 نشان داده شده است که رابطه بین دو متغیر را نشان می دهد: طول و وزن متوسط برای پسران و دختران آمریکایی در طول سه سال اول زندگی. (میانه به این معنی است که نیمی از نوزادان بیش از این وزن دارند و نیمی دیگر وزن کمتری دارند.) نمودار خط طول را بر حسب اینچ در محور افقی و وزن را بر حسب پوند در محور عمودی اندازه گیری می کند. به عنوان مثال، نقطه A در شکل نشان می دهد که یک پسر با طول 28 اینچ وزن متوسط حدود 19 پوند دارد. یک خط در نمودار رابطه طول و وزن را برای پسران نشان می دهد و خط دیگر رابطه را برای دختران نشان می دهد. این نوع نمودار به طور گسترده ای توسط ارائه دهندگان مراقبت های بهداشتی مورد استفاده قرار می گیرد تا بررسی کند که آیا رشد فیزیکی کودک تقریبا در مسیر است یا خیر.
| پسران از تولد تا 36 ماهگی | دختران از تولد تا 36 ماهگی | ||
|---|---|---|---|
| طول (اینچ) | وزن (پوند) | طول (اینچ) | وزن (پوند) |
| 20.0 | 8.0 | 20.0 | 7.9 |
| ۲۲٫۰ | 10.5 | ۲۲٫۰ | 10.5 |
| 24.0 | 13.5 | 24.0 | 13.2 |
| 26.0 | 16.4 | 26.0 | 16.0 |
| 28.0 | ۱۹٫۰ | 28.0 | ۱۸٫۸ |
| ۳۰٫۰ | 21.8 | ۳۰٫۰ | 21.2 |
| 32.0 | 24.3 | 32.0 | 24.0 |
| 34.0 | 27.0 | 34.0 | 26.2 |
| 36.0 | 29.3 | 36.0 | ۲۸٫۹ |
| 38.0 | 32.0 | 38.0 | 31.3 |
همه روابط در اقتصاد خطی نیستند. گاهی اوقات آنها منحنی هستند. شکل A4 نمونه دیگری از نمودار خط را نشان می دهد که داده ها را از جدول A3 نشان می دهد. در این حالت، نمودار خط نشان می دهد که هنگام بالا رفتن از کوه، هوا چقدر نازک می شود. محور افقی شکل ارتفاع را نشان می دهد که در متر بالاتر از سطح دریا اندازه گیری می شود. محور عمودی چگالی هوا را در هر ارتفاع اندازه گیری می کند. چگالی هوا با وزن هوا در یک متر مکعب فضا اندازه گیری می شود (یعنی یک جعبه اندازه گیری یک متر در ارتفاع، عرض و عمق). همانطور که نمودار نشان می دهد، فشار هوا در سطح زمین سنگین تر است و با بالا رفتن سبک تر می شود. شکل A4 نشان میدهد که یک متر مکعب هوا در ارتفاع ۵۰۰ متری تقریباً یک کیلوگرم (حدود ۲٫۲ پوند) وزن دارد. با این حال، با افزایش ارتفاع، تراکم هوا کاهش می یابد. یک متر مکعب هوا در بالای کوه اورست، در حدود 8828 متر، تنها 0.023 کیلوگرم وزن دارد. هوای رقیق در ارتفاعات بالا توضیح می دهد که چرا بسیاری از کوهنوردان هنگام رسیدن به بالای کوه باید از مخازن اکسیژن استفاده کنند.
| ارتفاع (متر) | تراکم هوا (کیلوگرم/متر مکعب) |
|---|---|
| ۰ | ۱٫۲۰۰ |
| ۵۰۰ | ۱٫۰۹۳ |
| ۱۰۰۰ | ۰٫۸۳۱ |
| ۱۵۰۰ | ۰٫۶۷۸ |
| ۲۰۰۰ | ۰٫۵۶۹ |
| ۲۵۰۰ | ۰٫۴۸۴ |
| ۳۰۰۰ | ۰٫۴۱۵ |
| ۳۵۰۰ | ۰٫۳۵۷ |
| 4000 | ۰٫۳۰۷ |
| ۴٬۵۰۰ | ۰٫۲۳۱ |
| 5000 | ۰٫۱۸۲ |
| ۵٬۵۰۰ | ۰٫۱۴۲ |
| 6000 | ۰٫۱۰۰ |
| ۶٬۵۰۰ | ۰٫۰۸۵ |
| ۷۰۰۰ | ۰٫۰۶۶ |
| ۷٬۵۰۰ | ۰٫۰۵۱ |
| ۸۰۰۰ | ۰٫۰۴۱ |
| ۸٬۵۰۰ | 0.025 |
| ۹۰۰۰ | ۰٫۰۲۲ |
| ۹٬۵۰۰ | ۰٫۰۱۹ |
| ۱۰٬۰۰۰ | ۰٫۰۱۴ |
رابطه طول-وزن و روابط ارتفاع-چگالی هوا در این دو رقم نشان دهنده میانگین است. اگر بخواهید داده های واقعی فشار هوا را در ارتفاعات مختلف جمع آوری کنید، همان ارتفاع در مکان های جغرافیایی مختلف چگالی هوا کمی متفاوت خواهد داشت، بسته به عواملی مانند فاصله شما از استوا، شرایط آب و هوایی محلی و رطوبت هوا. به طور مشابه، در اندازه گیری قد و وزن کودکان برای نمودار خط قبلی، کودکان با یک قد خاص دارای طیف وسیعی از وزن های مختلف هستند، برخی بالاتر از حد متوسط و برخی پایین تر. در دنیای واقعی، این نوع تنوع در داده ها رایج است. وظیفه یک محقق این است که آن داده ها را به گونه ای سازماندهی کند که به درک الگوهای معمول کمک کند. مطالعه آمار، به ویژه هنگامی که با آمار رایانه ای و برنامه های صفحه گسترده ترکیب شود، کمک بزرگی در سازماندهی این نوع داده ها، ترسیم نمودارهای خطی و جستجوی روابط اساسی معمول است. برای اکثر رشته های اقتصاد و علوم اجتماعی، یک دوره آمار در برخی موارد مورد نیاز است.
یک گراف خط مشترک یک سری زمانی نامیده می شود که در آن محور افقی زمان را نشان می دهد و محور عمودی یک متغیر دیگر را نشان می دهد. بنابراین، یک گراف سری زمانی نشان می دهد که چگونه یک متغیر در طول زمان تغییر می کند. شکل A5 نرخ بیکاری در ایالات متحده را از سال 1975 نشان می دهد، جایی که بیکاری به عنوان درصد بزرگسالانی تعریف می شود که می خواهند شغل داشته باشند و به دنبال کار هستند، اما نمی توانند آن را پیدا کنند. نقاط مربوط به نرخ بیکاری در هر سال بر روی نمودار رسم شده است و سپس یک خط نقاط را به هم متصل می کند، نشان می دهد که چگونه نرخ بیکاری از سال 1975 بالا و پایین رفته است. نمودار خطی به راحتی می توان مشاهده کرد که به عنوان مثال، بالاترین نرخ بیکاری در این دوره زمانی کمی کمتر از 10٪ در اوایل 1980 و 2010 بود، در حالی که نرخ بیکاری از اوایل دهه 1990 تا پایان 1990 کاهش یافته است، قبل از افزایش و سپس سقوط در اوایل 2000s، و سپس در طول رکود اقتصادی از 2008-2009 به شدت افزایش یافته است.
نمودار پای
نمودار پای (گاهی اوقات نمودار دایره ای نامیده می شود) برای نشان دادن چگونگی تقسیم کل کل به قطعات استفاده می شود. دایره یک گروه را به عنوان یک کل نشان می دهد. برشهای این «پای» دایرهای اندازههای نسبی زیرگروهها را نشان میدهد.
شکل A6 نشان می دهد که چگونه جمعیت ایالات متحده بین کودکان، بزرگسالان در سن کار و سالمندان در 1970، 2000 و آنچه برای 2030 پیش بینی شده است تقسیم شده است. اطلاعات ابتدا با اعداد در جدول A4 و سپس در سه نمودار پای منتقل می شود. ستون اول جدول A4 کل جمعیت ایالات متحده را برای هر سه سال نشان می دهد. ستون های 2-4 کل را از نظر گروه های سنی طبقه بندی می کنند - از تولد تا 18 سال، از 19 تا 64 سال و 65 سال و بالاتر. در ستون های 2-4، اولین عدد تعداد واقعی افراد در هر رده سنی را نشان می دهد، در حالی که تعداد داخل پرانتز درصد کل جمعیت تشکیل شده توسط آن گروه سنی را نشان می دهد.
| سال | کل جمعیت | 19 و زیر | 20 تا 64 سال | بیش از 65 |
|---|---|---|---|---|
| ۱۹۷۰ | 205.0 میلیون | ۷۷٫۲ (۳۷٫۶٪) | 107.7 (52.5٪) | 20.1 (9.8٪) |
| ۲۰۰۰ | 275.4 میلیون | ۷۸٫۴ (۲۸٫۵٪) | ۱۶۲٫۲ (۵۸٫۹٪) | ۳۴٫۸ (۱۲٫۶٪) |
| 2030 | 351.1 میلیون | ۹۲٫۶ (۲۶٫۴٪) | ۱۸۸٫۲ (۵۳٫۶٪) | 70.3 (20.0٪) |
در یک نمودار پای، هر برش از پای نشان دهنده یک سهم از کل یا یک درصد است. به عنوان مثال، 50٪ نیمی از پای و 20٪ یک پنجم کیک خواهد بود. نمودار سه پای در شکل A6 نشان می دهد که سهم جمعیت 65 و بالاتر ایالات متحده در حال رشد است. نمودارهای دایره ای به شما این امکان را می دهد که اندازه نسبی گروه های سنی مختلف را از 1970 تا 2000 تا 2030 احساس کنید، بدون اینکه نیازی به استفاده از اعداد و درصد های خاص در جدول داشته باشید. برخی از نمونه های رایج نحوه استفاده از نمودارهای پای شامل تقسیم جمعیت به گروه ها بر اساس سن، سطح درآمد، قومیت، مذهب، شغل؛ تقسیم شرکت های مختلف به دسته ها بر اساس اندازه، صنعت، تعداد کارکنان؛ و تقسیم هزینه های دولت یا مالیات به دسته های اصلی آن است.
نمودارهای میله ای
یک نمودار میله ای از ارتفاع میله های مختلف برای مقایسه مقادیر استفاده می کند. جدول A5 12 کشور پرجمعیت جهان را فهرست می کند. شکل A7 همان داده ها را در یک نمودار میله ای فراهم می کند. ارتفاع میله ها مربوط به جمعیت هر کشور است. اگرچه ممکن است بدانید که چین و هند پرجمعیت ترین کشورهای جهان هستند، دیدن اینکه چگونه میله های برج نمودار بیش از سایر کشورها به نشان دادن میزان تفاوت بین اندازه جمعیت ملی کمک می کند.
| کشور | جمعیت |
|---|---|
| چین | ۱٬۳۶۹ |
| هند | ۱٬۲۷۰ |
| ایالات متحده | 321 |
| اندونزي | 255 |
| برزیل | ۲۰۴ |
| پاکستان | 190 |
| نيجريه | 184 |
| بنگلادش | 158 |
| روسیه | 146 |
| ژاپن | 127 |
| مکزيک | 121 |
| فیلیپین | ۱۰۱ |
نمودارهای میله ای را می توان به گونه ای تقسیم کرد که اطلاعاتی مشابه آنچه را که می توانیم از نمودارهای دایره ای بدست آوریم نشان دهد. شکل A8 سه نمودار میله ای را بر اساس اطلاعات شکل A6 در مورد توزیع سنی ایالات متحده در 1970، 2000 و 2030 ارائه می دهد. شکل A8 (a) سه میله را برای هر سال نشان می دهد، که نشان دهنده تعداد کل افراد در هر گروه سنی برای هر سال است. شکل A8 (b) فقط یک نوار را برای هر سال نشان می دهد، اما گروه های سنی مختلف در حال حاضر در داخل نوار سایه دارند. در شکل A8 (c)، هنوز هم بر اساس همان داده ها، محور عمودی درصد را به جای تعداد افراد اندازه گیری می کند. در این حالت، هر سه نمودار میله ای یک قد هستند و 100٪ جمعیت را نشان می دهند، هر نوار بر اساس درصد جمعیت در هر گروه سنی تقسیم می شود. گاهی اوقات برای یک خواننده آسان تر است که چشمان خود را در چندین نمودار میله ای قرار دهد، و مناطق سایه دار را مقایسه کند، نه اینکه سعی کند چندین نمودار پای را مقایسه کند.
شکل A7 و شکل A8 نشان می دهد که چگونه میله ها می توانند کشورها یا سال ها را نشان دهند و چگونه محور عمودی می تواند یک مقدار عددی یا درصد را نشان دهد. نمودارهای میله ای همچنین می توانند اندازه، کمیت، نرخ، فاصله و سایر دسته های کمی را مقایسه کنند.
مقایسه نمودارهای خطی با نمودارهای دایره ای و نمودارهای میله ای
اکنون که با نمودارهای پای، نمودارهای میله ای و نمودارهای خطی آشنا هستید، چگونه می دانید از کدام نمودار برای داده های خود استفاده کنید؟ نمودارهای پای اغلب بهتر از نمودارهای خطی در نشان دادن چگونگی تقسیم یک گروه کلی هستند. با این حال، اگر یک گراف پای دارای برش های زیادی باشد، تفسیر آن می تواند دشوار شود.
نمودارهای میله ای به ویژه هنگام مقایسه مقادیر مفید هستند. به عنوان مثال، اگر شما در حال مطالعه جمعیت کشورهای مختلف هستید، همانطور که در شکل A7، نمودارهای میله ای می توانند روابط بین اندازه جمعیت چندین کشور را نشان دهند. نه تنها می تواند این روابط را نشان دهد، بلکه همچنین می تواند تجزیه گروه های مختلف در جمعیت را نشان دهد.
نمودار خطی اغلب مؤثرترین قالب برای نشان دادن رابطه بین دو متغیر است که هر دو در حال تغییر هستند. به عنوان مثال، نمودارهای سری زمانی می توانند الگوهایی را به عنوان تغییرات زمان نشان دهند، مانند نرخ بیکاری در طول زمان. نمودارهای خطی به طور گسترده ای در اقتصاد برای ارائه داده های مداوم در مورد قیمت ها، دستمزد، مقادیر خرید و فروش، اندازه اقتصاد استفاده می شود.
چگونه نمودارها می توانند گمراه کننده باشند
نمودارها نه تنها الگوها را نشان می دهند بلکه می توانند نحوه درک الگوها را نیز تغییر دهند. برای دیدن برخی از راه های انجام این کار، نمودارهای خطی شکل A9، شکل A10 و شکل A11 را در نظر بگیرید. این نمودارها همه نرخ بیکاری را نشان می دهند - اما از دیدگاه های مختلف.
فرض کنید شما یک نمودار می خواستید که این تصور را بدهد که افزایش بیکاری در سال 2009 چندان بزرگ یا با معیارهای تاریخی فوق العاده نبوده است. شما ممکن است انتخاب کنید که داده های خود را مانند شکل A9 (a) ارائه دهید. شکل A9 (a) شامل بسیاری از داده های مشابه ارائه شده در شکل A5 است، اما محور افقی را نسبت به محور عمودی طولانی تر می کند. با گسترش نمودار گسترده و مسطح، ظاهر بصری این است که افزایش بیکاری خیلی بزرگ نیست، و شبیه به برخی از افزایش بیکاری گذشته است. اکنون تصور کنید که می خواهید تأکید کنید که چگونه بیکاری در سال 2009 به طور قابل توجهی افزایش یافت. در این مورد، با استفاده از داده های مشابه، می توانید محور عمودی را نسبت به محور افقی گسترش دهید، همانطور که در شکل A9 (b)، که باعث می شود همه افزایش و کاهش بیکاری بزرگتر شود.
اثر مشابهی را می توان بدون تغییر طول محورها انجام داد، اما با تغییر مقیاس در محور عمودی. در شکل A10 (c)، مقیاس در محور عمودی از 0٪ تا 30٪ اجرا می شود، در حالی که در شکل A10 (d)، محور عمودی از 3٪ تا 10٪ اجرا می شود. در مقایسه با شکل A5، که در آن مقیاس عمودی از 0٪ تا 12٪ اجرا می شود، شکل A10 (c) باعث می شود نوسان در بیکاری کوچکتر به نظر برسد، در حالی که شکل A10 (d) آن را بزرگتر نشان می دهد.
راه دیگر برای تغییر درک نمودار، کاهش میزان تغییرات با تغییر تعداد نقاط رسم شده در نمودار است. شکل A10 (e) نرخ بیکاری را با توجه به میانگین پنج ساله نشان می دهد. با میانگین گرفتن برخی از تغییرات سال به سال، خط نرمتر و با اوج و پایین کمتر به نظر می رسد. در واقع، نرخ بیکاری ماهانه گزارش می شود و شکل A11 (f) ارقام ماهانه از سال 1960 را نشان می دهد که بیش از میانگین پنج ساله نوسان دارد. شکل A11 (f) همچنین یک تصویر واضح از این است که چگونه نمودارها می توانند داده های زیادی را فشرده کنند. این نمودار شامل داده های ماهانه از سال 1960 است، که تقریبا بیش از 50 سال، به نزدیک به 600 نقطه داده کار می کند. خواندن این لیست از 600 نقطه داده به شکل عددی می تواند هیپنوتیزم باشد. با این حال، شما می توانید یک حس بصری خوب از این 600 نقطه داده را خیلی سریع از نمودار دریافت کنید.
ترفند نهایی در دستکاری درک اطلاعات گرافیکی این است که با انتخاب دقیق نقاط شروع و پایان، می توانید بر درک افزایش یا سقوط متغیر تأثیر بگذارید. داده های اصلی نشان می دهد یک الگوی کلی با بیکاری کم در 1960s، اما در اواسط 1970s، اوایل 1980s، اوایل 1990s، اوایل 2000s، و اواخر 2000s افزایش یافته است. شکل A11 (g)، با این حال، نموداری را نشان می دهد که فقط به 1975 برمی گردد، که این تصور را می دهد که بیکاری کم و بیش به تدریج در طول زمان کاهش می یابد تا اینکه رکود اقتصادی 2009 آن را به سطح «اصلی» خود بازگرداند - که اگر فرد از نقطه اوج در حدود 1975 شروع کند، یک تفسیر قابل قبول است.
این نوع حقه ها - یا فقط آنها را «گزینه های ارائه» می نامیم - محدود به نمودارهای خطی نیستند. در یک نمودار دایره ای با بسیاری از برش های کوچک و یک برش بزرگ، یک نفر باید تصمیم بگیرد که چه دسته هایی باید برای تولید این برش ها در وهله اول استفاده شود، بنابراین برخی از برش ها بزرگتر از دیگران به نظر می رسند. اگر در حال ساخت یک نمودار میله ای هستید، می توانید محور عمودی را بلندتر یا کوتاه تر کنید، که باعث می شود تغییرات در ارتفاع میله ها کم و بیش ظاهر شود.
توانایی خواندن نمودارها یک مهارت اساسی است، هم در اقتصاد و هم در زندگی. نمودار فقط یک دیدگاه یا نقطه نظر است که با انتخاب هایی مانند مواردی که در این بخش مورد بحث قرار گرفته است شکل می گیرد. همیشه اولین برداشت سریع از یک نمودار را باور نکنید. مشاهده با احتیاط
مفاهیم کلیدی و خلاصه
ریاضی ابزاری برای درک اقتصاد است و روابط اقتصادی را میتوان به صورت ریاضی با استفاده از جبر یا گراف بیان کرد. معادله جبری برای یک خط y = b + mx است که در آن x متغیر روی محور افقی و y متغیر روی محور عمودی، عبارت b رهگیری y و ترم m شیب است. شیب یک خط در هر نقطه از خط یکسان است و نشان دهنده رابطه (مثبت، منفی یا صفر) بین دو متغیر اقتصادی است.
مدلهای اقتصادی را میتوان به صورت جبری یا گرافیکی حل کرد. نمودارها به شما امکان می دهند داده ها را به صورت بصری نشان دهید. آنها می توانند الگوها، مقایسه ها، روندها و تقسیم ها را با متراکم کردن داده های عددی و ارائه حس بصری روابط در داده ها نشان دهند. یک نمودار خطی رابطه بین دو متغیر را نشان می دهد: یکی در محور افقی و دیگری در محور عمودی نشان داده شده است. نمودار پای نشان می دهد که چگونه چیزی اختصاص داده می شود، مانند مبلغی پول یا گروهی از مردم. اندازه هر برش پای رسم شده است تا درصد مربوط به کل را نشان دهد. یک نمودار میله ای از ارتفاع میله ها برای نشان دادن یک رابطه استفاده می کند، جایی که هر نوار نشان دهنده یک نهاد خاص مانند یک کشور یا گروهی از مردم است. میله ها در یک نمودار میله ای نیز می توانند به بخش هایی تقسیم شوند تا زیر گروه ها را نشان دهند.
هر گراف یک دیدگاه بصری واحد در مورد یک موضوع است. تصوری که از آن باقی می ماند بر اساس انتخاب های بسیاری است، مانند اینکه چه داده ها یا چارچوب زمانی شامل می شود، چگونه داده ها یا گروه ها تقسیم می شوند، اندازه نسبی محورهای عمودی و افقی، اینکه آیا مقیاس مورد استفاده در یک عمودی از صفر شروع می شود. بنابراین، هر گراف باید تا حدودی شک و تردید در نظر گرفته شود، به یاد داشته باشید که رابطه اساسی می تواند به تفسیرهای مختلف باز باشد.
سوالات را مرور کنید
سه نوع نمودار را نام ببرید و به طور خلاصه بیان کنید که چه زمانی برای استفاده از هر نوع گراف مناسب تر است.
شیب در نمودار خط چیست؟
برش های نمودار دایره ای چه چیزی را نشان می دهد؟
چرا نمودار میله ای بهترین راه برای نشان دادن مقایسه است؟
ظاهر شیب مثبت با شیب منفی و شیب صفر چگونه متفاوت است؟