11.4: فروپاشی رادیواکتیو
- Page ID
- 216187
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)در پایان این بخش، شما قادر خواهید بود:
- حالت های رایج پوسیدگی رادیواکتیو را تشخیص دهید
- ذرات و انرژی های رایج درگیر در واکنش های واپاشی هسته ای را شناسایی کنید
- معادلات واپاشی هسته ای را بنویسید و متعادل کنید
- محاسبه پارامترهای جنبشی برای فرآیندهای فروپاشی، از جمله نیمه عمر
- تکنیک های متداول قدمت رادیومتری را توصیف کنید
پس از کشف تا حدودی غیرمنتظره رادیواکتیویته توسط بکرل، بسیاری از دانشمندان برجسته شروع به بررسی این پدیده جدید و جذاب کردند. در میان آنها ماری کوری (اولین زنی که برنده جایزه نوبل شد و تنها فردی بود که دو جایزه نوبل را در علوم مختلف - شیمی و فیزیک) برد، که اولین زنی بود که اصطلاح «رادیواکتیویته» را ابداع کرد و ارنست رادرفورد (از شهرت آزمایش فویل طلا)، که سه مورد از رایج ترین انواع تابش را بررسی و نامگذاری کرد. در طول آغاز قرن بیستم، بسیاری از مواد رادیواکتیو کشف شد، خواص تابش مورد بررسی و اندازه گیری قرار گرفت و درک جامد از تابش و فروپاشی هسته ای توسعه یافت.
تغییر خود به خودی یک هسته ناپایدار به دیگری، واپاشی رادیواکتیو است. نوکلید ناپایدار، نوکلید والد نامیده می شود. هسته ای که از فروپاشی حاصل می شود، به عنوان هسته دختر شناخته می شود. نوکلید دختر ممکن است پایدار باشد، یا ممکن است خود را از بین ببرد. تابش تولید شده در طی واپاشی رادیواکتیو به گونه ای است که هسته دختر نسبت به هسته اصلی به باند پایداری نزدیکتر است، بنابراین مکان یک هسته نسبت به باند پایداری می تواند به عنوان راهنمایی برای نوع واپاشی که متحمل خواهد شد باشد (شکل). \(\PageIndex{1}\)
اگرچه فروپاشی رادیواکتیو یک هسته برای دیدن با چشم غیر مسلح بسیار کوچک است، ما می توانیم به طور غیرمستقیم فروپاشی رادیواکتیو را در محیطی به نام اتاق ابر مشاهده کنیم. اینجا را کلیک کنید تا در مورد اتاق های ابر اطلاعات کسب کنید و یک نمایش جالب اتاق ابر را از آزمایشگاه جفرسون مشاهده کنید.
انواع واپاشی رادیواکتیو
آزمایشهای ارنست رادرفورد شامل برهمکنش تابش با یک میدان مغناطیسی یا الکتریکی (شکل\(\PageIndex{2}\)) به او کمک کرد تا تشخیص دهد که یک نوع تابش شامل ذرات با بار مثبت و نسبتاً پرجرم است؛ نوع دوم از \(α\) ذرات با بار منفی و بسیار کم جرم \(β\) تشکیل شده است؛ و نوع سوم امواج الکترومغناطیسی شارژ نشده، پرتوهای γ. اکنون می دانیم که \(α\) ذرات هسته های هلیوم با انرژی بالا هستند، \(β\) ذرات الکترون های پر انرژی هستند و تابش γ تابش الکترومغناطیسی با انرژی بالا را تشکیل می دهند. ما انواع مختلف واپاشی رادیواکتیو را با تابش تولید شده طبقه بندی می کنیم.
واپاشی آلفا (\(α\)) گسیل یک \(α\) ذره از هسته است. به عنوان مثال، پولونیوم-210 تحت فروپاشی قرار می گیرد: \(α\)
\[\ce{_{84}^{210} Po ->_{2}^{4} He +_{82}^{206} Pb} \nonumber \]
یا
\[\ce{_{84}^{210} Po ->_{2}^{4} \alpha +_{82}^{206} Pb} \nonumber \]
واپاشی آلفا در درجه اول در هستههای سنگین (\(A > 200\),\(Z > 83\)) رخ میدهد. از آنجا که از دست دادن یک \(α\) ذره، یک هسته دختر با عدد جرمی چهار واحد کوچکتر و عدد اتمی دو واحد کوچکتر از هسته والد را به دست می دهد، هسته دختر نسبت n:p بزرگتری نسبت به هسته والد دارد. اگر نوکلید والد در حال \(α\) فروپاشی در زیر باند ثبات قرار داشته باشد (به شکل 21.2 مراجعه کنید)، نوکلید دختر به باند نزدیکتر خواهد شد.
واپاشی بتا (\(β\)) گسیل یک الکترون (یعنی یک \(\beta\) ذره) از یک هسته است. ید 131 نمونه ای از یک هسته است که دچار فروپاشی می شود: \(β\)
\[\ce{_{53}^{131} I ->_{-1}^0 e +_{54}^{131} Xe} \nonumber \]
یا
\[ \ce{_{53}^{131} I ->_{-1}^0 \beta +_{54}^{131} Xe} \nonumber \]
واپاشی بتا که میتوان آن را تبدیل یک نوترون به یک پروتون و یک \(β\) ذره دانست، در نوکلیدهایی با نسبت n:p بزرگ مشاهده میشود. ذره بتا (الکترون) ساطع شده از هسته اتم است و یکی از الکترونهای اطراف هسته نیست. چنین هسته هایی در بالای باند ثبات قرار دارند. انتشار یک الکترون عدد جرمی هسته را تغییر نمی دهد، بلکه تعداد پروتون های آن را افزایش می دهد و تعداد نوترون های آن را کاهش می دهد. در نتیجه، نسبت n:p کاهش مییابد و نوکلید دختر نسبت به نوکلید والد به باند پایداری نزدیکتر است.
انتشار گاما (\(γ\)انتشار) زمانی مشاهده میشود که یک هسته در حالت برانگیخته تشکیل شده و سپس با انتشار یک \(γ\) پرتو، کوانتومی از تابش الکترومغناطیسی با انرژی بالا، به حالت پایه خود واپاشی میشود. حضور یک هسته در حالت هیجان زده اغلب با ستاره (*) نشان داده می شود. کبالت 60 \(γ\) اشعه ساطع می کند و در بسیاری از کاربردها از جمله درمان سرطان استفاده می شود:
\[ \ce{_{27}^{60} Co^{*} ->_0^0 \gamma +_{27}^{60} Co} \nonumber \]
هیچ تغییری در عدد جرمی یا عدد اتمی در طول انتشار یک \(γ\) پرتو وجود ندارد مگر اینکه \(γ\) انتشار با یکی از حالتهای دیگر واپاشی همراه باشد.
گسیل پوزیترون (\(β^{+}\)واپاشی) گسیل یک پوزیترون از هسته است. اکسیژن-۱۵ نمونهای از یک نوکلید است که تحت گسیل پوزیترون قرار میگیرد:
\[\ce{_{8}^{15} O ->_{+1}^0 e +_7^{15} N} \nonumber \]
یا
\[\ce{_{8}^{15} O ->_{+1}^0 \beta +_7^{15} N} \nonumber \]
گسیل پوزیترون برای نوکلیدها مشاهده میشود که در آنها نسبت n:p کم است. این نوکلیدها در زیر نوار پایداری قرار دارند. واپاشی پوزیترون تبدیل یک پروتون به یک نوترون با گسیل یک پوزیترون است. نسبت n:p افزایش مییابد و نوکلید دختر نسبت به نوکلید والد به باند پایداری نزدیکتر است.
جذب الکترون زمانی اتفاق می افتد که یکی از الکترون های داخلی یک اتم توسط هسته اتم اسیر شود. به عنوان مثال، پتاسیم 40 تحت جذب الکترون قرار می گیرد:
\[\ce{_{19}^{40} K +_{-1}^0 e ->_{18}^{40} Ar} \nonumber \]
گیراندازی الکترون زمانی رخ میدهد که یک الکترون پوستهٔ درونی با یک پروتون ترکیب شده و به یک نوترون تبدیل میشود. از دست دادن یک الکترون پوستهٔ درونی جای خالی بر جای میگذارد که توسط یکی از الکترونهای بیرونی پر خواهد شد. همانطور که الکترون بیرونی به جای خالی می افتد، انرژی ساطع می کند. در بیشتر موارد، انرژی ساطع شده به شکل اشعه ایکس خواهد بود. مانند انتشار پوزیترون، گیرش الکترون برای هستههای «غنی از پروتون» که زیر نوار پایداری قرار دارند، رخ میدهد. گیراندازی الکترون همان اثری را بر روی هسته دارد که انتشار پوزیترون انجام می دهد: عدد اتمی یک کاهش می یابد و عدد جرمی تغییر نمی کند. این امر نسبت n:p را افزایش میدهد و نوکلید دختر نسبت به نوکلید والد به باند ثبات نزدیکتر است. پیشبینی اینکه گیراندازی الکترون یا گسیل پوزیترون رخ دهد دشوار است. این انتخاب در درجه اول به دلیل عوامل جنبشی است، زیرا موردی که به انرژی فعال سازی کمتری نیاز دارد، احتمال وقوع آن بیشتر است.
شکل این نوع واپاشی را به همراه معادلات آنها و تغییرات در اعداد اتمی و جرمی \(\PageIndex{3}\) خلاصه میکند.
اسکن های توموگرافی انتشار پوزیترون (PET) از اشعه برای تشخیص و ردیابی شرایط بهداشتی و نظارت بر درمان های پزشکی با نشان دادن نحوه عملکرد بخش هایی از بدن بیمار استفاده می کنند (شکل\(\PageIndex{4}\)). برای انجام اسکن PET، یک رادیوایزوتوپ ساطع کننده پوزیترون در یک سیکلوترون تولید می شود و سپس به ماده ای متصل می شود که توسط بخشی از بدن مورد بررسی استفاده می شود. سپس این ترکیب «برچسب» یا رادیوترکر، به بیمار تزریق می شود (از طریق IV تزریق می شود یا به عنوان یک گاز تنفس می شود)، و نحوه استفاده از آن توسط بافت نشان می دهد که چگونه آن عضو یا سایر قسمت های بدن عمل می کند.
به عنوان مثال، F-18 توسط بمباران پروتون تولید می شود \(\ce{^{18}O}\)
\[\ce{_{8}^{18} O +_{1}^{1} p ->_{9}^{18} F +_{0}^{1} n} \nonumber \]
و در یک آنالوگ گلوکز به نام fludeoxyglucose (FDG) گنجانیده شده است. چگونگی استفاده از FDG توسط بدن اطلاعات تشخیصی مهمی را فراهم می کند؛ به عنوان مثال، از آنجا که سرطان ها از گلوکز متفاوت از بافت های طبیعی استفاده می کنند، FDG می تواند سرطان را نشان دهد. پوزیترونهایی \(\ce{^{18}F}\) منتشر میکنند که با الکترونهای مجاور برهمکنش میکنند و یک انفجار پرتو گاما تولید میکنند. این انرژی توسط اسکنر تشخیص داده می شود و به یک تصویر رنگی دقیق، سه بعدی تبدیل می شود که نشان می دهد آن قسمت از بدن بیمار چگونه عمل می کند. سطوح مختلف تابش گاما مقادیر مختلفی از روشنایی و رنگ را در تصویر ایجاد می کند که پس از آن می تواند توسط یک رادیولوژیست تفسیر شود تا نشان دهد چه اتفاقی می افتد. اسکن PET می تواند آسیب های قلبی و بیماری های قلبی را تشخیص دهد، به تشخیص بیماری آلزایمر کمک کند، بخشی از مغز را که تحت تاثیر صرع قرار دارد، نشان می دهد، سرطان را نشان می دهد، نشان می دهد که چه مرحله ای است و چقدر گسترش یافته است و آیا درمان ها موثر هستند یا خیر. بر خلاف تصویربرداری رزونانس مغناطیسی و اشعه ایکس، که تنها نشان می دهد که چگونه چیزی به نظر می رسد، مزیت بزرگ اسکن PET این است که آنها نشان می دهند که چگونه چیزی عمل می کند. اسکن PET در حال حاضر معمولا همراه با یک اسکن توموگرافی کامپیوتری انجام می شود.
سری واپاشی رادیواکتیو
ایزوتوپ های رادیواکتیو سنگین ترین عناصر به زنجیره ای از فروپاشی های پی در پی یا فروپاشی می افتند و تمام گونه ها در یک زنجیره یک خانواده رادیواکتیو یا سری فروپاشی رادیواکتیو را تشکیل می دهند. سه تا از این سریها بیشتر عناصر پرتوزای طبیعی جدول تناوبی را شامل میشوند. آنها سری اورانیوم، سری اکتینید و سری توریم هستند. سری نپتونیوم یک سری چهارم است که به دلیل نیمه عمر کوتاه گونه های درگیر، دیگر بر روی زمین قابل توجه نیست. هر سری توسط یک والد (عضو اول) مشخص می شود که نیمه عمر طولانی دارد و یک سری از هسته های دختر که در نهایت منجر به یک محصول نهایی پایدار می شود - یعنی یک هسته در باند ثبات (شکل). \(\PageIndex{5}\) در هر سه سری، محصول نهایی یک ایزوتوپ پایدار سرب است. سری نپتونیوم که قبلاً تصور می شد با بیسموت 209 خاتمه می یابد، با تالیوم 205 خاتمه می یابد.
نیمه عمر رادیواکتیو
واپاشی رادیواکتیو از سینتیک مرتبه اول پیروی میکند. از آنجا که واکنشهای مرتبه اول قبلاً بهطور مفصل در فصل سینتیک پوشش داده شدهاند، اکنون این مفاهیم را در واکنشهای واپاشی هستهای به کار میبریم. هر نوکلید پرتوزا دارای مشخصه، نیمه عمر ثابت (\(t_{1/2}\))، زمان لازم برای واپاشی نیمی از اتمهای موجود در یک نمونه است. نیمه عمر یک ایزوتوپ به ما اجازه می دهد تا تعیین کنیم که نمونه ای از یک ایزوتوپ مفید چه مدت در دسترس خواهد بود و چه مدت یک نمونه از ایزوتوپ نامطلوب یا خطرناک باید ذخیره شود قبل از اینکه به سطح تابش به اندازه کافی پایین برسد که دیگر مشکلی نیست.
برای مثال منبع کوبا، از آنجا که نیمی از هستهها هر ۵٫۲۷ سال واپاشی میکنند، هم مقدار ماده و هم شدت تابش ساطع شده هر ۵٫۲۷ سال به نصف کاهش مییابد. (توجه داشته باشید که برای یک ماده معین، شدت تابشی که تولید می کند با میزان پوسیدگی ماده و مقدار ماده متناسب است.) این همانطور است که برای فرآیندی که از سینتیک مرتبه اول پیروی می کند انتظار می رود. بنابراین، یک منبع کبالت-60 که برای درمان سرطان استفاده می شود باید به طور مرتب جایگزین شود تا همچنان موثر باشد.
از آنجایی که واپاشی هستهای از سینتیک مرتبه اول پیروی میکند، میتوانیم روابط ریاضی مورد استفاده برای واکنشهای شیمیایی مرتبه اول را تطبیق دهیم. ما به طور کلی تعداد هسته \(N\) ها را جایگزین غلظت می کنیم. اگر نرخ در واپاشی هسته ای در ثانیه بیان شود، ما به آن به عنوان فعالیت نمونه رادیواکتیو اشاره می کنیم. نرخ واپاشی رادیواکتیو عبارت است از:
\[\text{decay rate} = λN \nonumber \]
با \(λ\) = ثابت واپاشی برای رادیوایزوتوپ خاص.
ثابت واپاشی\(λ\)، که همان ثابت نرخ است که در فصل سینتیک مورد بحث قرار گرفته است. میتوان ثابت واپاشی را بر حسب نیمهعمر بیان کرد،\(t_{1/2}\):
\[\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1 / 2}}=\dfrac{0.693}{t_{1 / 2}} \nonumber \]
یا
\[t_{1 / 2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\dfrac{0.693}{\lambda} \nonumber \]
معادلات مرتبه اول مربوط به مقدار و \(N\) زمان عبارتند از:
\[N_t=N_0 e^{-\lambda t} \label{firstorder} \]
یا
\[t=-\frac{1}{\lambda} \ln \left(\frac{N_t}{N_0}\right) \nonumber \]
\(\ce{^{60}_{27}Co}\)تجزیه با نیمه عمر 5.27 سال برای تولید \(\ce{^{60}_{28}Co}\)
- ثابت فروپاشی برای فروپاشی رادیواکتیو کبالت-60 چیست؟
- کسر نمونه ای از \(\ce{^{60}_{27}Co}\) ایزوتوپ را که پس از 15 سال باقی می ماند محاسبه کنید.
- چه مدت طول می کشد تا یک نمونه تجزیه \(\ce{^{60}_{27}Co}\) شود تا حدی که فقط 2.0٪ از مقدار اصلی باقی مانده است؟
راه حل a
مقدار ثابت نرخ به صورت زیر داده می شود:
\[\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1 / 2}}=\frac{0.693}{5.27 y }=0.132 y^{-1} \nonumber \]
راه حل ب
کسری از \(\ce{^{60}_{27}Co}\) آن پس از گذشت زمان باقی مانده \(t\) است\(\frac{N_t}{N_0}\). بازآرایی رابطه مرتبه اول در معادله\ ref {firstorder} (\(N_t = N_0e^{–λt}\)برای حل این نسبت نتیجه میدهد:
\[\frac{N_t}{N_0}=e^{-\lambda t}=e^{-(0.132 / \text{y} )(15 \, \text{y} )}=0.138 \nonumber \]
کسری از \(\ce{^{60}_{27}Co}\) آن پس از 15.0 سال باقی خواهد ماند 0.138 است. یا به عبارت دیگر، 13.8٪ از \(\ce{^{60}_{27}Co}\) موجود اصلی پس از 15 سال باقی خواهد ماند.
راه حل ج
2.00٪ از مقدار اصلی برابر با 0.0200 N 0 \(\ce{^{60}_{27}Co}\) است. با جایگزینی این در معادله زمان برای سینتیک مرتبه اول، داریم:
\[t=-\frac{1}{\lambda} \ln \left(\frac{N_t}{N_0}\right)=-\frac{1}{0.132\, \text{y}^{-1}} \ln \left(\frac{0.0200 \times N_0}{N_0}\right)=29.6 y \nonumber \]
رادون 222 \(\ce{^{222}_{86}Rn}\) دارای نیمه عمر 3.823 روز است. چه مدت طول می کشد تا یک نمونه از رادون 222 با جرم 0.750 گرم به عناصر دیگر تبدیل شود و تنها 0.100 گرم از رادون 222 باقی بماند؟
- پاسخ
-
11.1 روز
از آنجا که هر هسته دارای تعداد مشخصی نوکلئون، تعادل خاصی از دافعه و جاذبه و درجه پایداری خاص خود است، نیمه عمر هسته های رادیواکتیو بسیار متفاوت است. به عنوان مثال: نیمه عمر \(1.9 \times 10^{19}\) سال \(\ce{^{209}_{83}Bi}\) است؛ 24000 سال \(\ce{^{239}_{94}Ra}\) است؛ 3.82 روز \(\ce{^{222}_{86}Rn}\) است؛ و عنصر 111 (Rg برای رونتگنیم) ثانیه است. \(1.5 \times 10^{–3}\) نیمه عمر تعدادی از ایزوتوپ های رادیواکتیو مهم برای پزشکی در جدول نشان داده شده است\(\PageIndex{1}\), و دیگران در ضمیمه M ذکر شده.
| نوع 1 | حالت پوسیدگی | نیمه عمر | موارد استفاده |
|---|---|---|---|
| اف-۱۸ | β + واپاشی | 110 دقیقه | اسکن PET |
| کو-۶۰ | فروپاشی β، فروپاشی γ | 5.27 سالها | درمان سرطان |
| تیسی-۹۹ام | واپاشی γ | 8.01 ساعت ها | اسکن مغز، ریه، قلب، استخوان |
| آی-۱۳۱ | واپاشی β | 8.02 روز | اسکن تیروئید و درمان |
| تیال-۲۰۱ | گیراندازی الکترون | 73 ساعت ها | اسکن قلب و عروق؛ تست استرس قلبی |
تاریخگذاری رادیومتری
چندین رادیو ایزوتوپ نیمه عمر و خواص دیگری دارند که آنها را برای اهداف «تاریخ گذاری» منشا اشیاء مانند مصنوعات باستان شناسی، موجودات زنده قبلی یا تشکیلات زمین شناسی مفید می کند. این فرآیند تاریخگذاری رادیومتری است و مسئول بسیاری از اکتشافات علمی در مورد تاریخ زمین شناسی زمین، تکامل زندگی و تاریخ تمدن بشری بوده است. ما برخی از رایج ترین انواع تاریخ گذاری رادیواکتیو و نحوه عملکرد ایزوتوپ های خاص برای هر نوع را بررسی خواهیم کرد.
قدمت رادیواکتیو با استفاده از کربن 14
رادیواکتیویته کربن 14 روشی را برای تعیین قدمت اشیایی که بخشی از یک موجود زنده بودند، فراهم می کند. این روش تاریخگذاری رادیومتری، که تاریخگذاری رادیوکربن یا تاریخگذاری کربن-۱۴ نیز نامیده میشود، برای تاریخگذاری مواد حاوی کربن که تا حدود ۳۰٬۰۰۰ سال قدمت دارند، دقیق است و میتواند تاریخهای نسبتاً دقیقی را تا حداکثر حدود ۵۰٬۰۰۰ سال ارائه دهد.
کربن طبیعی از سه ایزوتوپ تشکیل شده است: \(\ce{^{12}_{6}C}\) که حدود 99٪ کربن روی زمین را تشکیل می دهد\(\ce{^{13}_6C}\)، حدود 1٪ از کل؛ و مقدار کمی از آن\(\ce{^{14}_6C}\). کربن 14 در جو فوقانی با واکنش اتم های نیتروژن با نوترون های پرتوهای کیهانی در فضا شکل می گیرد:
\[\ce{_{7}^{14} N +_{0}^{1}n ->_{6}^{14}C + _{1}^{1} H} \nonumber \]
تمام ایزوتوپهای کربن با اکسیژن واکنش میدهند تا \(\ce{CO2}\) مولکولها را تولید کنند. نسبت \(\ce{^{14}_{6}CO2}\) به \(\ce{^{12}_{6}CO2}\) بستگی به نسبت \(\ce{^{14}_{6}CO}\) به \(\ce{^{12}_{6}CO}\) در جو دارد. فراوانی طبیعی موجود \(\ce{^{14}_{6}CO}\) در جو تقریباً 1 قسمت در تریلیون است. تا همین اواخر، این به طور کلی در طول زمان ثابت بوده است، همانطور که نمونه های گازی که در یخ به دام افتاده اند مشاهده می شود. ترکیب \(\ce{^{14}_{6}CO2}\) و \(\ce{^{14}_{6}CO2}\) به گیاهان بخشی منظم از فرآیند فتوسنتز است، به این معنی که \(\ce{^{14}_{6}C} : \ce{^{12}_{6}C}\) نسبت موجود در یک گیاه زنده همان \(\ce{^{14}_{6}C} : \ce{^{12}_{6}C}\) نسبت موجود در جو است. اما وقتی گیاه می میرد، دیگر کربن را از طریق فتوسنتز به دام نمی اندازد. چون یک ایزوتوپ پایدار \(\ce{^{12}_{6}C}\) است و دچار واپاشی رادیواکتیو نمیشود غلظت آن در گیاه تغییر نمیکند. با این حال، کربن 14 با \(β\) انتشار با نیمه عمر 5730 سال تجزیه می شود:
\[\ce{_{6}^{14} C ->_{7}^{14} N +_{-1}^0 e} \nonumber \]
بنابراین، این نسبت پس از مرگ گیاه به تدریج کاهش می یابد. کاهش نسبت با زمان اندازه گیری زمان سپری شده از زمان مرگ گیاه (یا ارگانیسم دیگری که گیاه را خورده است) فراهم می کند. شکل\(\PageIndex{7}\): بصری این روند را نشان می دهد.
به عنوان مثال، با نیمه عمر 5730 سال، اگر نسبت موجود در یک شی چوبی که در یک حفاری باستان شناسی یافت می شود نصف آنچه در یک درخت زنده است، این نشان می دهد که جسم چوبی 5730 سال قدمت دارد. تعیین بسیار دقیق نسبت ها را می توان از نمونه های بسیار کوچک (به اندازه یک میلی گرم) با استفاده از یک طیف سنج جرمی بدست آورد.
برای انجام شبیه سازی های دوستیابی رادیومتری به این وب سایت مراجعه کنید.
یک تکه کاغذ کوچک (تولید شده از مواد گیاهی که قبلاً زنده بودند) که از طومارهای دریای مرده گرفته شده است، فعالیت 10.8 تجزیه در دقیقه در هر گرم کربن دارد. اگر فعالیت اولیه C-14 13.6 فروپاشی در دقیقه/گرم C بود، سن طومارهای دریای مرده را تخمین بزنید.
راه حل
نرخ واپاشی (تعداد واپاشی ها/دقیقه/گرم کربن) متناسب با مقدار رادیواکتیو C-14 باقی مانده در کاغذ است، بنابراین ما می توانیم نرخ ها را برای مقادیر جایگزین کنیم، در رابطه: \(N\)
\[t=-\frac{1}{\lambda} \ln \left(\frac{N_t}{N_0}\right) \longrightarrow t=-\frac{1}{\lambda} \ln \left(\frac{\text { Rate }_t}{\text { Rate }_0}\right) \nonumber \]
که در آن زیرنویس 0 نشان دهنده زمانی است که گیاهان برای ساخت کاغذ بریده شده اند، و زیرنویس t نشان دهنده زمان فعلی است.
ثابت واپاشی را می توان از نیمه عمر C-14، 5730 سال تعیین کرد:
\[\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1 / 2}}=\frac{0.693}{5730 \,\text{y}}=1.21 \times 10^{-4}\, \text{y}^{-1} \nonumber \]
جایگزینی و حل، ما داریم:
\[t=-\frac{1}{\lambda} \ln \left(\frac{\text { Rate }_t}{\text { Rate }_0}\right) = -\frac{1}{1.21 \times 10^{-4}\, \text{y}^{-1}} \ln \left(\frac{10.8 \, \cancel{ \text{dis} / \text{min} / \text{g}\, \ce{C}} }{13.6 \, \cancel{ \text{dis} / \text{min} / \text{g}\, \ce{C}} }\right)=1910\, \text{y} \nonumber \]
بنابراین، کتیبه های دریای مرده تقریبا 1900 ساله هستند (شکل\(\PageIndex{8}\)).
تاریخ دقیق تر سلطنت فرعون های مصر باستان اخیرا با استفاده از گیاهانی که در مقبره های خود حفظ شده اند، تعیین شده است. نمونه هایی از دانه ها و مواد گیاهی از مقبره پادشاه توتانخامون دارای میزان پوسیدگی C-14 9.07 در دقیقه/گرم C. چه مدت پیش سلطنت پادشاه توت به پایان رسید؟
- پاسخ
-
حدود ۳۳۵۰ سال پیش، یا حدود ۱۳۴۰ پ.م.
برخی از تغییرات قابل توجه و مستند در این \(\ce{^{14}_{6}C} : \ce{^{12}_{6}C}\) نسبت وجود داشته است. دقت یک کاربرد ساده از این تکنیک بستگی به \(\ce{^{14}_{6}C} : \ce{^{12}_{6}C}\) نسبت گیاه زنده دارد که در حال حاضر همان است که در دوران قبل بود، اما این همیشه معتبر نیست. با توجه به افزایش تجمع \(\ce{CO2}\) مولکول ها (به طور عمده\(\ce{^{12}_{6}C}\)) در جو ناشی از احتراق سوخت های فسیلی (که در آن اساسا همه از تجزیه \(\ce{^{14}_{6}C}\) شده است)، نسبت \(\ce{^{14}_{6}C} : \ce{^{12}_{6}C}\) در جو ممکن است تغییر کند. این افزایش ساخته دست بشر \(\ce{^{12}_{6}C}\) در جو باعث کاهش این \(\ce{^{14}_{6}C} : \ce{^{12}_{6}C}\) نسبت می شود و این به نوبه خود بر این نسبت در موجودات زنده فعلی روی زمین تأثیر می گذارد. خوشبختانه، با این حال، ما می توانیم از داده های دیگر، مانند قدمت درخت از طریق بررسی حلقه های رشد سالانه، برای محاسبه عوامل اصلاح استفاده کنیم. با این عوامل اصلاح، تاریخ دقیق را می توان تعیین کرد. به طور کلی، قدمت رادیواکتیو فقط برای حدود 10 نیمه عمر کار می کند؛ بنابراین، محدودیت برای قدمت کربن 14 حدود 57000 سال است.
تاریخ گذاری رادیواکتیو با استفاده از هسته های غیر از کربن 14
قدمت رادیواکتیو همچنین می تواند از سایر هسته های رادیواکتیو با نیمه عمر طولانی تر برای تاریخ رویدادهای قدیمی تر استفاده کند. به عنوان مثال، اورانیوم 238 (که در یک سری مراحل به سرب-206 فرو می ریزد) می تواند برای تعیین سن سنگ ها (و سن تقریبی قدیمی ترین سنگ های روی زمین) استفاده شود. از آنجایی که U-238 دارای نیمه عمر 4.5 میلیارد سال است، نیمی از U-238 اولیه طول می کشد تا به Pb-206 تبدیل شود. در نمونه ای از سنگ که مقادیر قابل توجهی از Pb-208، فراوانترین ایزوتوپ سرب را شامل نمی شود، می توان فرض کرد که سرب در هنگام تشکیل سنگ وجود نداشته است. بنابراین، با اندازه گیری و تجزیه و تحلیل نسبت U-238: Pb-206 می توان سن سنگ را تعیین کرد. این فرض را بر این می گذارد که تمام سرب-206 موجود از فروپاشی اورانیوم-238 حاصل شده است. اگر سرب 206 اضافی وجود داشته باشد، که با حضور سایر ایزوتوپ های سرب در نمونه نشان داده می شود، لازم است تنظیم شود. قدمت پتاسیم آرگون از روش مشابهی استفاده می کند. K-40 با انتشار پوزیترون و جذب الکترون واپاشی می شود و Ar-40 را با نیمه عمر 1.25 میلیارد سال تشکیل می دهد. اگر یک نمونه سنگ خرد شود و مقدار گاز Ar-40 که فرار می کند اندازه گیری شود، تعیین نسبت Ar-40:K-40 سن سنگ را نشان می دهد. روشهای دیگر، مانند تاریخگذاری روبیدیم-استرانسیوم (Rb-87 با نیمه عمر 48.8 میلیارد سال به Sr-87 واپاشی میشود)، بر اساس همین اصل عمل میکنند. دانشمندان برای تخمین حد پایین برای سن زمین، سن سنگ ها و مواد معدنی مختلف را تعیین می کنند و فرض می کنند که زمین قدیمی تر از قدیمی ترین سنگ ها و مواد معدنی در پوسته آن است. از سال 2014، قدیمی ترین سنگ های شناخته شده روی زمین، زیرکون های جک هیلز از استرالیا هستند که با قدمت اورانیوم سرب تقریبا 4.4 میلیارد سال قدمت دارند.
یک سنگ آذرین حاوی \(9.58 \times 10^{–5} \, \text{g}\) U-238 و Pb-206 و مقادیر بسیار بسیار کمتری \(2.51 \times 10^{–5} \, \text{g}\) از Pb-208 است. زمان تقریبی که در آن سنگ تشکیل شده است را تعیین کنید.
راه حل
نمونه سنگ حاوی Pb-208، رایج ترین ایزوتوپ سرب است، بنابراین می توانیم با خیال راحت فرض کنیم که تمام Pb-206 در سنگ توسط فروپاشی رادیواکتیو U-238 تولید شده است. هنگامی که سنگ تشکیل شد، حاوی تمام U-238 موجود در آن بود، به علاوه مقداری U-238 که از آن زمان تحت فروپاشی رادیواکتیو قرار گرفته است.
مقدار U-238 در حال حاضر در سنگ:
\[9.58 \times 10^{-5}\, \cancel{\text{g}\, \ce{U}} \times\left(\frac{1\, \text{mol}\, \ce{U} }{238\, \cancel{\text{g}\, \ce{U}}}\right)=4.03 \times 10^{-7} \, \text{mol}\, \ce{U} \nonumber \]
از آنجا که وقتی یک مول U-238 واپاشی می شود، یک مول Pb-206 تولید می کند، مقدار U-238 که از زمان تشکیل سنگ تحت واپاشی رادیواکتیو قرار گرفته است عبارت است از:
\[2.51 \times 10^{-5}\, \cancel{ \text{g}\, \ce{Pb}} \times\left(\frac{1\, \bcancel{\text{mol}\, \ce{Pb}} }{206\, \cancel{ \text{g}\, \ce{Pb}} }\right) \times\left(\frac{1\, \text{mol}\, \ce{U}}{1\, \bcancel{\text{mol}\, \ce{Pb}} }\right)=1.22 \times 10^{-7}\, \text{mol}\, \ce{U} \nonumber \]
بنابراین مقدار کل U-238 که در سنگ وجود دارد عبارت است از:
\[4.03 \times 10^{-7}\, \text{mol}\, \ce{U} + 1.22 \times 10^{-7}\, \text{mol}\, \ce{U} = 5.25 \times 10^{-7}\, \text{mol}\, \ce{U} \nonumber \]
مقدار زمانی که از زمان تشکیل سنگ گذشته است به صورت زیر داده می شود:
\[t=-\frac{1}{\lambda} \ln \left(\frac{N_t}{N_0}\right) \nonumber \]
با \(N_0\) نشان دادن مقدار اصلی U-238 و \(N_t\) نشان دادن مقدار فعلی U-238.
U-238 با نیمه عمر برابر به Pb-206 واپاشی می شود\(4.5 \times 10^9\, \text{y}\)، بنابراین ثابت واپاشی برابر است با: \(λ\)
\[\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1 / 2}}=\frac{0.693}{4.5 \times 10^9\, \text{y} }=1.54 \times 10^{-10} \, \text{y}^{-1} \nonumber \]
جایگزینی و حل، ما داریم:
\[t=-\frac{1}{1.54 \times 10^{-10}\, \text{y}^{-1}} \ln \left(\frac{4.03 \times 10^{-7} \, \cancel{\text{mol}\, \ce{U}}}{5.25 \times 10^{-7} \, \cancel{\text{mol}\, \ce{U}}}\right)=1.7 \times 10^9 \, \text{y} \nonumber \]
بنابراین، این سنگ تقریباً 1.7 میلیارد سال قدمت دارد.
نمونه ای از سنگ شامل \(6.14 \times 10^{–4}\) g Rb-87 و Sr-87 \(3.51 \times 10^{–5} g\) است. سن سنگ را محاسبه کنید. (نیمه عمر \(β\) فروپاشی Rb-87 است\(4.7 \times 10^{10}\, \text{y}\).)
- پاسخ
-
3.7 10 9 y
پانوشت
- 1 «m» در Tc-99m مخفف «metastable» است، که نشان می دهد این حالت ناپایدار و پر انرژی Tc-99 است. ایزوتوپهای متاستابل تابش γ منتشر میکنند تا خود را از انرژی اضافی خلاص کنند و (بیشتر) پایدار شوند.