Skip to main content
Global

18.9: الزخم الخطي والتصادمات

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199948

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تحقق من فهمك

    9.1. للوصول إلى سرعة نهائية قدرها v f =\(\frac{1}{4}\) (3.0 × 10 8 متر/ثانية) بسرعة 10 جرام، الوقت المطلوب هو $$\ ابدأ {الانقسام} 10g & =\ frac {v_ {f}} {\ دلتا تي}\\\ دلتا تي & =\ فراك {v_ {f} {10g}\ frac {\ frac {\ frac {1} {4} (3.0\ مرات 10 ^ 8)}\؛ م/ث)} {10g} = 7.7\ مرات 10^ {5}\؛ s = 8.9\؛ d\ إنهاء {الانقسام}\]

    9.2. إذا ارتد الهاتف بنفس السرعة الأولية تقريبًا لسرعة تأثيره، فسيكون التغيير في زخم الهاتف\(\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v} − (−m \Delta \vec{v}) = 2m \Delta \vec{v}\). هذا هو ضعف تغير الزخم مما يحدث عندما لا يرتد الهاتف، لذلك تخبرنا نظرية الزخم النبضي أنه يجب تطبيق المزيد من القوة على الهاتف.

    9.3. إذا كانت العربة الصغيرة تدور بسرعة 1.33 متر/ثانية إلى اليسار، فإن الحفاظ على الزخم يعطي $$\ begin {split} (m_ {1} + m_ {2})\ vec {v} _ {f} & = m_ {1} v_ {1}\؛\ hat {i} − m_ {2} v_ {2}\\\ قبعة {v}\\\ vec {v} {v}\\\ vec {v} {v}} & =\ يسار (\ dfrac {m_ {1} v_ {1} − m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}\ يمين)\؛\ قبعة {i}\\\ & =\ بيج [\ فراك {(0.675\؛ كجم) (0.75\؛ م/ث) - (0.500\؛ كجم) (1.33\؛ م/ث)} {1.175\؛ كجم}\\ بيج]\؛\ قبعة {i}\\\ & = − (0.135\؛ م/ث)\؛\ قبعة {i}\ نهاية {سبليت} $$ وبالتالي، فإن السرعة النهائية هي 0.135 متر/ثانية إلى اليسار.

    9.4. إذا لم ترتد الكرة، فإن زخمها النهائي سيكون\(\vec{p}_{2}\) صفرًا، لذلك يبدأ $$ {الانقسام}\ دلتا\ vec {p} & =\ vec {p} _ {2} −\ vec {p} −\ vec {p} _ {1}\\\ & = (0)\؛\\ hat {j} - (−1.4\; kg\ cdotp m/s)\\\\ dotp m/s)\;\ hat {j}\ النهاية {الانقسام}\]

    9.5. ضع في اعتبارك نظرية الزخم النبضي، وهي\(\vec{J} = \Delta \vec{p}\). إذا كان\(\vec{J}\) = 0، فلدينا الموقف الموضح في المثال. إذا كانت القوة تعمل على النظام، إذن\(\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t\). وبالتالي، بدلاً من ذلك\(\vec{p}_{f} = \vec{p}_{i}\)، لدينا\(\vec{F}_{ave} \Delta t = \Delta \vec{p} = \vec{p}_{f} − \vec{p}_{i}\)\(\vec{F}_{ave}\) أين القوة الناتجة عن الاحتكاك.

    9.6. الدافع هو التغيير في الزخم مضروبًا في الوقت المطلوب لحدوث التغيير. من خلال الحفاظ على الزخم، تكون التغييرات في زخم المسبار والتعليق بنفس الحجم، ولكن في اتجاهين متعاكسين، ويكون وقت التفاعل لكل منهما هو نفسه أيضًا. لذلك، يكون الدافع الذي يتلقاه كل منهما بنفس الحجم، ولكن في اتجاهين متعاكسين. نظرًا لأنها تعمل في اتجاهين متعاكسين، فإن الدوافع ليست هي نفسها. أما بالنسبة للدافع، فإن القوة على كل جسم تعمل في اتجاهين متعاكسين، وبالتالي فإن القوى على كل منها ليست متساوية. ومع ذلك، يختلف التغيير في الطاقة الحركية لكل منهما، لأن التصادم ليس مرنًا.

    9.7. يمثل هذا الحل الحالة التي لا يحدث فيها أي تفاعل: فالقرص الأول يخطئ القرص الثاني ويستمر بسرعة 2.5 متر/ثانية إلى اليسار. لا تقدم هذه الحالة أي رؤى مادية ذات مغزى.

    9.8. إذا كان الاحتكاك الصفري يؤثر على السيارة، فستستمر في الانزلاق إلى أجل غير مسمى (d → ∞)، لذلك لا يمكننا استخدام نظرية الشغل والحركة والطاقة كما هو الحال في المثال. وبالتالي، لم نتمكن من حل المشكلة من المعلومات المقدمة.

    9.9. إذا لم تكن السرعات الأولية في الزوايا الصحيحة، فسيتعين التعبير عن إحدى السرعات أو كلتيهما في شكل مكون. سيكون التحليل الرياضي للمشكلة أكثر تعقيدًا قليلاً، لكن النتيجة المادية لن تتغير.

    9.10. يبلغ حجم خزان الغوص حوالي 11 لترًا بافتراض أن الهواء هو غاز مثالي، فإن عدد جزيئات الغاز في الخزان هو $$\ begin {split} PV & = NRT\\\ N & =\ frac {PV} {RT} =\ frac {(2500\; psi) (0.011\; m^ {3})} {(8.31\; j/mol\ cdotp K) (300\; K)}\ يسار (\ dfrac {6894.8\؛ Pa} {1\؛ psi}\\ يمين)\\ & = 75.9\؛ مول \ end {split} $يبلغ متوسط الكتلة الجزيئية للهواء 29 جم/مول، وبالتالي فإن كتلة الهواء الموجودة في الخزان تبلغ حوالي 2.2 كجم. هذا أقل بحوالي 10 مرات من كتلة الخزان، لذلك من الآمن إهماله. كما أن القوة الأولية لضغط الهواء تتناسب تقريبًا مع مساحة سطح كل قطعة، والتي بدورها تتناسب مع كتلة كل قطعة (بافتراض سمك موحد). وبالتالي، فإن التسارع الأولي لكل قطعة لن يتغير كثيرًا إذا أخذنا في الاعتبار الهواء بشكل صريح.

    9.11. يبلغ متوسط نصف قطر مدار الأرض حول الشمس 1.496 × 10 9 م، مع الأخذ في الاعتبار أن الشمس هي الأصل، ومع ملاحظة أن كتلة الشمس هي تقريبًا نفس كتلة الشمس والأرض والقمر مجتمعة، فإن مركز كتلة الأرض+نظام القمر والشمس هو $$\ begin {split} R_ {سم} & =\ فراك {m_ {الشمس} R_ {الشمس} + m_ {em} R_ {em} {m_ {m} {m_ {الشمس}}\\\ & =\ فراك {(1.989\ مرات 10^ {30}\؛ كجم) (0) + (5.97\ مرات 10 ^ {22}\؛ كجم) (1.496)\ مرات 10^ {9}\؛ م)} {1.989\ مرات 10^ {30}\؛ كجم}\\\ & = 4.6\؛ كم\ نهاية {سبليت} $$وبالتالي، فإن مركز كتلة الشمس والأرض ونظام القمر هو 4.6 كم من مركز الشمس.

    9.12. على المقياس المجهري، يكون حجم خلية الوحدة ضئيلًا ويمكن اعتبار الكتلة البلورية موزعة بشكل متجانس في جميع أنحاء البلورة. وهكذا، $$\ vec {r} _ {سم} =\ frac {1} {M}\ sum_ {j = 1} ^ {N} m_ {j}\ vec {r} _ {j} =\ frac {1} {م}\ سوم_ {j = 1} ^ {N} م\ فيك {r} {j} = {j}\ sum_ {n} م\ فيك {j} = {j} =\ frac {1} {j}\ sum_ j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j} =\ frac {Nm} {M}\ frac {\\ sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j} {N} {N}} {N} $حيث نجمع عدد N من خلايا الوحدة في البلورة وm هي كتلة خلية الوحدة. لأن Nm = M، يمكننا كتابة $$\ vec {r} _ {سم} =\ frac {m} {M} {M}\ sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j} =\ frac {Nm} {M}\ frac {\ sum_ {j} {j} {j}\ frac {\ sum_ {j} {j} {j} {j} {j}\ frac {\ sum_ {j} {j} {j} {} {N}\ sum_ {j = 1} ^ {N}\ vec {r} _ {j}\ ldotP$$هذا هو تعريف المركز الهندسي للبلورة، وبالتالي فإن مركز الكتلة يقع في نفس نقطة الشكل الهندسي مركز.

    9.13. ستكون الانفجارات في الأساس متماثلة كرويًا، لأن الجاذبية لن تعمل على تشويه مسارات المقذوفات المتوسعة.

    9.14. يشير الرمز m g إلى كتلة الوقود بينما يشير m إلى كتلة الصاروخ بالإضافة إلى الكتلة الأولية للوقود. لاحظ أن m g يتغير بمرور الوقت، لذلك نكتبه كـ m g (t). باستخدام m R ككتلة الصاروخ بدون وقود، تكون الكتلة الإجمالية للصاروخ بالإضافة إلى الوقود m = m R + m g (t). يعطي التفاضل فيما يتعلق بالوقت $$\ frac {dm} {dt} =\ frac {dm_ {R}} {dt} +\ frac {dm_ {g} (t)} {dt} =\ frac {dm_ {g} (t)} {dt} $$حيث استخدمنا\(\frac{dm_{R}}{dt}\) = 0 لأن كتلة الصاروخ لا تتغير. وبالتالي، فإن معدل تغير كتلة الصاروخ هو نفس معدل الوقود.

    أسئلة مفاهيمية

    1. نظرًا لأن K =\(\frac{p^{2}}{2m}\)، إذا كان الزخم ثابتًا، فإن الجسم ذي الكتلة الأصغر يحتوي على طاقة حركية أكبر.

    3. نعم؛ الدافع هو القوة المطبقة مضروبًا في الوقت الذي يتم فيه تطبيقه (J = F\(\Delta\) t)، لذلك إذا عملت قوة صغيرة لفترة طويلة، فقد ينتج عنها دافع أكبر من قوة كبيرة تعمل لفترة صغيرة.

    5. من خلال الاحتكاك، يمارس الطريق قوة أفقية على إطارات السيارة، مما يغير زخم السيارة.

    7. يتم الحفاظ على الزخم عندما تظل كتلة نظام الاهتمام ثابتة أثناء التفاعل المعني وعندما لا تعمل أي قوة خارجية صافية على النظام أثناء التفاعل.

    9. لتسريع جزيئات الهواء في اتجاه حركة السيارة، يجب أن تمارس السيارة قوة على هذه الجزيئات بموجب قانون نيوتن الثاني\(\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}\). وفقًا لقانون نيوتن الثالث، تمارس جزيئات الهواء قوة متساوية الحجم ولكن في الاتجاه المعاكس على السيارة. تعمل هذه القوة في الاتجاه المعاكس لحركة السيارة وتشكل القوة بسبب مقاومة الهواء.

    11. لا، إنه ليس نظامًا مغلقًا لأن القوة الخارجية الصافية غير الصفرية تؤثر عليه في شكل كتل البداية التي تضغط على قدميه.

    13. نعم، يمكن فقدان كل الطاقة الحركية إذا استقرت الكتلتين بسبب الاصطدام (أي أنهما تلتصقان معًا).

    15. يجب أن تكون الزاوية بين الاتجاهات 90 درجة. أي نظام له قوة خارجية صافية صفرية في اتجاه واحد وقوة خارجية صافية غير صفرية في اتجاه عمودي سيفي بهذه الشروط.

    17. نعم، يمكن أن تتجاوز سرعة الصاروخ سرعة العادم للغازات التي يطلقها. لا يعتمد دفع الصاروخ على السرعات النسبية للغازات والصواريخ، بل يعتمد ببساطة على الحفاظ على الزخم.

    مشاكل

    19. أ. الحجم: 25 كجم • م/ث

    ب. نفس أ.

    21. 1.78 × 10 29 كجم • م/ث

    23. 1.3 × 10 9 كجم • م/ث

    25. أ. 1.50 × 10 6 نيوتن

    ب. 1.00 × 10 5 نيوتن

    27. 4.69 × 10 × 5 نيوتن

    29. 2.10 × 10 × 3 نيوتن

    31. \(\vec{p}\)(t) = (10\(\hat{i}\) + 20 طن\(\hat{j}\)) كجم • م/ث؛\(\vec{F}\) = (20 نيوتن)\(\hat{j}\)

    33. دع المحور السيني الموجب يكون في اتجاه الزخم الأصلي. ثم p x = 1.5 كجم • م/ث و p y = 7.5 كجم • م/ث

    35. (0.122 متر/ثانية)\(\hat{i}\)

    37. a. 47 m/s في الرصاصة لمنع الاتجاه

    ب. 70.6 نيوتن • ثانية، باتجاه الرصاصة

    ج. 70.6 نيوتن • ثانية، باتجاه الكتلة

    د. الحجم هو 2.35 × 10 4 نيوتن

    39. 3.1 متر/ثانية

    41. 5.9 متر/ثانية

    43. أ. 6.80 م/ث، 5.33 درجة

    ب- نعم (احسب نسبة الطاقات الحركية الأولية والنهائية)

    45. 2.5 سم

    47. تبلغ سرعة السيارة ذات المصد الرئيسي 6.00 متر/ثانية، بينما تبلغ سرعة السيارة ذات المصد الخلفي 5.60 متر/ثانية

    49. 6.6%

    51. 1.9 متر/ثانية

    53. 22.1 متر/ثانية عند 32.2 درجة تحت المستوى الأفقي

    55. أ. 33 متر/ثانية و 110 م/ث

    م. 57 م

    مساحة 480 مترًا

    57. (732 متر/ثانية)\(\hat{i}\) + (−80.6 م/ث)\(\hat{j}\)

    59. − (0.21 م/ث)\(\hat{i}\) + (0.25 م/ث)\(\hat{j}\)

    61. 341 متر/ثانية عند 86.8 درجة بالنسبة\(\hat{i}\) للمحور.

    63. مع تحديد الأصل ليكون في موضع الكتلة 150 جم، x CM = −1.23 سم و y CM = 0.69 سم

    65. $y_ {سم} =\ ابدأ {الحالات}\ frac {h} {2} -\ frac {1} {4} gt^ {2}،\ رباعي تي < T\\\ h -\ frac {1} {2} -\ frac {2} {2} -\ frac {1} {4} GT^ {2}\ إنهاء {الحالات}\]

    67. أ. R 1 = 4 م، R 2 = 2 م

    ب. ب. × سم =\(\frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}\)، Y سم =\(\frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2}}{m_{1} + m_{2}}\)

    ج - نعم، مع R =\(\frac{1}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{16m_{1}^{2} + 4m_{2}^{2}}\)

    69. × سم =\(\frac{3}{4} L \left(\dfrac{\rho_{1} + \rho_{0}}{\rho_{1} + 2 \rho_{0}}\right)\)

    71. \(\left(\dfrac{2a}{3}, \dfrac{2b}{3}\right)\)

    73. (× سم، ص سم، ز سم) = (0،0،\(\frac{h}{4}\))

    75. (× سم، ص سم، ز سم) = (0\(\frac{4R}{3 \pi}\)، 0)

    77. أ. 0.413 م/ث

    ب. حوالي 0.2 جول

    79. 1551 كجم

    81. 4.9 كم/ثانية

    مشاكل إضافية

    84. يتمتع الفيل بزخم أعلى

    86. قد تختلف الإجابات. الجملة الأولى صحيحة، لكن الجملة الثانية ليست صحيحة بشكل عام لأن سرعة جسم ذي كتلة صغيرة قد تكون كبيرة بما يكفي بحيث يكون زخم الجسم أكبر من زخم جسم ذو كتلة أكبر بسرعة أصغر.

    88. 4.5 × 10 × 3 نيوتن

    90. $$\ vec {J} =\ int_ {0} ^ {\ تاو}\ كبير [m\ vec {g} - م\ فيك {g} (1 - e^ {\ frac {-bt} {م})\ كبير] dt =\ frac {m^ {2} {ب}\ فيك {g} (e^ {\ frac {-b\ تاو} {م} {م}} - 1 -)\]

    92. أ. - (2.1 × 10 3 كجم • م/ث)\(\hat{i}\)

    ب. - (24 × 10 3 نيوتن)\(\hat{i}\)

    94. أ. (1.1 × 10 3 كجم • م/ث)\(\hat{i}\)

    ب. (0.010 كجم • م/ث)\(\hat{i}\)

    ج. - (0.00093 متر/ثانية)\(\hat{i}\)

    د. - (0.0012 م/ث)\(\hat{i}\)

    96. − (7.2 م/ث)\(\hat{i}\)

    98. v 1، f = v 1، i\(\frac{m_{1} − m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\)، v 2، f = v 1، i\(\frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\)

    100. 2.8 متر/ثانية

    102. 0.094 متر/ثانية

    104. السرعة النهائية لكرة الإشارة هي − (0.76 م/ث)\(\hat{i}\)، والسرعات النهائية للكرتين الأخريين هي 2.6 م/ث عند ± 30 درجة فيما يتعلق بالسرعة الأولية لكرة الإشارة

    106. الكرة 1: − (1.4 م/ث)\(\hat{i}\) - (0.4 م/ث)\(\hat{j}\)، الكرة 2: (2.2 م/ث)\(\hat{i}\) + (2.4 م/ث)\(\hat{j}\)

    108. الكرة 1: (1.4 م/ث)\(\hat{i}\) − (1.7 م/ث)\(\hat{j}\)، الكرة 2: − (2.8 م/ث)\(\hat{i}\) + (0.012 م/ث)\(\hat{j}\)

    110. (ص،\(\theta\)) =\(\left(\dfrac{2R}{3}, \dfrac{\pi}{8}\right)\)

    112. قد تختلف الإجابات. يتم دفع الصاروخ إلى الأمام ليس عن طريق الغازات التي تدفع ضد سطح الأرض، ولكن من خلال الحفاظ على الزخم. يجب تعويض زخم الغاز الذي يتم طرده من الجزء الخلفي من الصاروخ بزيادة الزخم الأمامي للصاروخ.

    مشاكل التحدي

    114. أ. 617 نيوتن • ثانية، 108 درجة

    ب. F x = 2.91 × 10 4 N، F Y = 2.6 × 10 5 N

    ج. F x = 5850 نيوتن، F Y = 5265 نيوتن

    116. يتطلب الحفاظ على الزخم م 1 فولت 1، إي+ م 2 فولت 2، i = م 1 فولت 1، و + م 2 فولت 2، و. يُعطى لنا أن m 1 = م 2، v 1، i = v 2، f، و v 2، i = v 1، f = 0. إن الجمع بين هذه المعادلات والمعادلة المعطاة بحفظ الزخم يعطي v 1، i = v 1، i، وهذا صحيح، لذلك يتم الحفاظ على الزخم. يتطلب الحفاظ على الطاقة\(\frac{1}{2}\) م 1 فولت 1، و 2 +\(\frac{1}{2}\) م 2 فولت 2، و 2 =\(\frac{1}{2}\) م 1 فولت 1، و 2 +\(\frac{1}{2}\) م 2 فولت 2، و 2. مرة أخرى، يؤدي الجمع بين هذه المعادلة والشروط المذكورة أعلاه إلى إعطاء v 1، i = v 1، i، لذلك يتم تحقيق الحفاظ على الطاقة.

    118. افترض الأصل على خط الوسط وعلى الأرض، ثم (x سم، y سم) = (0، 86 سم)