6.3: حل المسائل باستخدام قوانين نيوتن (الجزء 2)
- Page ID
- 200073
قوانين نيوتن للحركة وعلم الحركة
الفيزياء هي الأكثر إثارة للاهتمام والأكثر قوة عند تطبيقها على المواقف العامة التي تنطوي على أكثر من مجموعة ضيقة من المبادئ الفيزيائية. يمكن أيضًا دمج قوانين نيوتن للحركة مع المفاهيم الأخرى التي تمت مناقشتها سابقًا في هذا النص لحل مشكلات الحركة. على سبيل المثال، تنتج القوى التسارعات، وهو موضوع الكينماتيكا، وبالتالي أهمية الفصول السابقة.
عند التعامل مع المشكلات التي تنطوي على أنواع مختلفة من القوى والتسارع والسرعة و/أو الموقع، فإن إدراج المعطيات والكميات التي سيتم حسابها سيسمح لك بتحديد المبادئ المعنية. بعد ذلك، يمكنك الرجوع إلى الفصول التي تتناول موضوعًا معينًا وحل المشكلة باستخدام الاستراتيجيات الموضحة في النص. يوضح المثال العملي التالي كيفية تطبيق استراتيجية حل المشكلات الواردة سابقًا في هذا الفصل، بالإضافة إلى الاستراتيجيات المقدمة في فصول أخرى، على مشكلة مفهوم متكامل.
تبدأ لاعبة كرة قدم في وضع السكون وتتسارع إلى الأمام لتصل إلى سرعتها ٨٫٠٠ م/ث في ٢٫٥٠ ث. (أ) ما متوسط التسارع؟ (ب) ما متوسط القوة التي تمارسها الأرض للأمام على العداءة حتى تحقق هذا التسارع؟ تبلغ كتلة اللاعب 70.0 كجم، ومقاومة الهواء ضئيلة.
إستراتيجية
للعثور على إجابات لهذه المشكلة، نستخدم استراتيجية حل المشكلات الواردة سابقًا في هذا الفصل. توضح حلول كل جزء من المثال كيفية تطبيق خطوات محددة لحل المشكلات. في هذه الحالة، لا نحتاج إلى استخدام جميع الخطوات. نحن ببساطة نحدد المبادئ الفيزيائية، وبالتالي المعروف والمجهول؛ نطبق قانون نيوتن الثاني؛ ونتحقق لمعرفة ما إذا كانت الإجابة معقولة.
الحل
- نحصل على السرعات الأولية والنهائية (صفر و8.00 متر/ثانية للأمام)؛ وبالتالي، فإن التغير في السرعة هو\(\Delta\) v = 8.00 m/s. لقد أعطينا الوقت المنقضي، لذلك\(\Delta\) t = 2.50 ثانية. المجهول هو التسارع، والذي يمكن العثور عليه من تعريفه: $a =\ frac {\ Delta v} {\ Delta t}\ ldotp$$استبدال القيم المعروفة ينتج $$a =\ frac {8.00\; m/s} {2.50\ s} = 3.20\ /s^ {2}\ ldotp$$
- يُطلب منا هنا إيجاد متوسط القوة التي تمارسها الأرض على العداء لإنتاج هذا التسارع. (تذكر أننا نتعامل مع القوة أو القوى التي تعمل على موضوع الاهتمام.) هذه هي قوة رد الفعل على تلك التي يمارسها اللاعب للخلف على الأرض، وفقًا لقانون نيوتن الثالث. عند إهمال مقاومة الهواء، سيكون هذا مساويًا في الحجم لصافي القوة الخارجية على اللاعب، لأن هذه القوة تسبب تسارعها. نظرًا لأننا نعرف الآن تسارع اللاعب ونعطينا كتلته، يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني لإيجاد القوة المؤثرة. وهذا يعني أن $$F_ {net} = ma\ lDotP$$استبدال القيم المعروفة لـ m و a يعطي $F_ {net} = (70.0\; كجم) (3.20\; م/s^ {2}) = 224\; N\ ldotp$$
هذه نتيجة معقولة: يمكن تحقيق التسارع للرياضي في حالة جيدة. تبلغ القوة حوالي 50 رطلاً، وهي قوة متوسطة معقولة.
الدلالة
يوضح هذا المثال كيفية تطبيق استراتيجيات حل المشكلات على المواقف التي تتضمن موضوعات من فصول مختلفة. تتمثل الخطوة الأولى في تحديد المبادئ الفيزيائية والمعروفات والمجهول التي تنطوي عليها المشكلة. الخطوة الثانية هي حل المجهول، في هذه الحالة باستخدام قانون نيوتن الثاني. أخيرًا، نتحقق من إجابتنا للتأكد من أنها معقولة. ستكون هذه التقنيات لمشاكل المفاهيم المتكاملة مفيدة في تطبيقات الفيزياء خارج دورة الفيزياء، كما هو الحال في مهنتك، وفي تخصصات العلوم الأخرى، وفي الحياة اليومية.
يتوقف لاعب كرة القدم بعد الانتهاء من اللعب الموصوف أعلاه، لكنه يلاحظ الآن أن الكرة في وضع يسمح لها بالسرقة. إذا واجهت الآن قوة مقدارها ١٢٦ نيوتن لمحاولة سرقة الكرة، التي تبعد ٢٫٠٠ متر عنها، فما المدة التي ستستغرقها للوصول إلى الكرة؟
تبلغ سرعة طائرة هليكوبتر نموذجية تزن ١.٥٠ كجم ٥٫٠٠\(\hat{j}\) م/ث عند t = 0. يتم تسريعها بمعدل ثابت لمدة ثانيتين (2.00 ثانية) وبعد ذلك تبلغ سرعتها (6.00\(\hat{i}\) + 12.00\(\hat{j}\)) م/ث، ما مقدار القوة الناتجة التي تؤثِّر على الطائرة العمودية خلال هذه الفترة الزمنية؟
إستراتيجية
يمكننا بسهولة إعداد نظام إحداثيات يكون فيه المحور السيني (\(\hat{i}\)الاتجاه) أفقيًا والمحور y (\(\hat{j}\)الاتجاه) عموديًا. نحن نعلم أن\(\Delta\) t = 2.00s و\(\Delta\) v = (\(\hat{i}\)6.00+ 12.00\(\hat{j}\) م/ث) - (5.00\(\hat{j}\) م/ث). من هذا، يمكننا حساب العجلة بالتعريف؛ يمكننا بعد ذلك تطبيق قانون نيوتن الثاني.
الحل
لدينا
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(6.00 \hat{i} + 12.00 \hat{j}\; m/s) - (5.00 \hat{j}\; m/s)}{2.00\; s} = 3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}$$ $$\sum \vec{F} = m \vec{a} = (1.50\; kg)(3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}) = 4.50 \hat{i} + 5.25 \hat{j}\; N \ldotp\]
يمكن الآن العثور على حجم القوة بسهولة:
\[F = \sqrt{(4.50\; N)^{2} + (5.25\; N)^{2}} = 6.91\; N \ldotp\]
الدلالة
تم ذكر المشكلة الأصلية من حيث\(\hat{i}\) - مكونات\(\hat{j}\) المتجهات، لذلك استخدمنا طرق المتجهات. قارن هذا المثال مع المثال السابق.
أوجد اتجاه ناتج ناتج طائرة الهليكوبتر النموذجية التي تزن ١٫٥٠ كجم.
يوضح الشكل\(\PageIndex{7}\) (أ) جرار الأمتعة الذي يسحب عربات الأمتعة من طائرة. يبلغ وزن الجرار 650.0 كجم، بينما كتلة العربة A 250.0 كجم والعربة B 150.0 كجم. تعمل القوة الدافعة لفترة وجيزة من الوقت على تسريع النظام من السكون وتعمل لمدة 3.00 ثانية. (أ) إذا أعطيت هذه القوة الدافعة بواسطة F = (820.0t) N، فأوجد السرعة بعد 3.00 ثانية. (ب) ما القوة الأفقية المؤثرة على كبل التوصيل بين الجرار والعربة A في هذه اللحظة؟
إستراتيجية
يُظهر الرسم التخطيطي للجسم الحر القوة الدافعة للجرار، مما يعطي النظام تسارعه. نحتاج فقط إلى النظر في الحركة في الاتجاه الأفقي. توازن القوى الرأسية بعضها البعض وليس من الضروري النظر فيها. بالنسبة للجزء ب، نستخدم مخطط الجسم الحر للجرار وحده لتحديد القوة بينه وبين العربة A. وهذا يكشف قوة الاقتران\(\vec{T}\)، وهو هدفنا.
الحل
- $$\ sum F_ {x} = m_ {system} a_ {x}\; و\;\ sum F_ {x} = 820.0t, $$لذا $820.0t = (650.0 + 250.0 + 150.0) a$$$$a = 0.7809t\ lDotP$$نظرًا لأن التسارع هو دالة الوقت، يمكننا تحديد سرعة الجرار باستخدام a =\(\frac{dv}{dt}\) مع الشرط الأولي هذا v 0 = 0 عند t = 0. ندمج من t = 0 إلى t = 3: $$\ نبدأ {تقسيم} dv & = adt\\\ int_ {0} ^ {3} dv & =\ int_ {0} ^ {3.00} adt =\ int_ {0} ^ {0} ^ {3.00} 0.7809tdt\\ v & = 0.3905t^ {2}\\ كبير] _ {0} ^ {3.00} = 3.51\; م/ث\ ldotp\ end {الانقسام} $$
- راجع مخطط الجسم الحر في الشكل\(\PageIndex{7}\) (ب) $$\ ابدأ {الانقسام}\ المجموع F_ {x} & = m_ {جرار} a_ {x}\\\ 820.0t - T & = m_ {جرار} (0.7805) t\\ (820.0) (3.00) - T & = (650.0) (0.7805) (3.00)\ T & = 938\؛\ N ldotp\ end {الانقسام} $$
الدلالة
نظرًا لأن القوة تختلف بمرور الوقت، يجب علينا استخدام حساب التفاضل والتكامل لحل هذه المشكلة. لاحظ مدى أهمية الكتلة الكلية للنظام في حل الشكل\(\PageIndex{7}\) (أ)، بينما كانت كتلة الشاحنة فقط (نظرًا لأنها وفرت القوة) هي التي استخدمت في الشكل\(\PageIndex{7}\) (ب).
أذكر أن v =\(\frac{ds}{dt}\) و a =\(\frac{dv}{dt}\). إذا كان التسارع دالة للوقت، يمكننا استخدام نماذج حساب التفاضل والتكامل التي تم تطويرها في الحركة على طول خط مستقيم، كما هو موضح في هذا المثال. ومع ذلك، في بعض الأحيان يكون التسارع دالة الإزاحة. في هذه الحالة، يمكننا استخلاص نتيجة مهمة من علاقات حساب التفاضل والتكامل هذه. حل dt في كل منها، لدينا dt =\(\frac{ds}{v}\) و dt =\(\frac{dv}{a}\). الآن، بمعادلة هذه التعبيرات، لدينا\(\frac{ds}{v}\) =\(\frac{dv}{a}\). يمكننا إعادة ترتيب هذا للحصول على ds = v dv.
تُطلق قذيفة هاون تزن ١٠,٠ كجم رأسيًّا لأعلى من الأرض، بسرعة أولية قدرها ٥٠٫٠ م/ث (انظر الشكل\(\PageIndex{8}\)). حدد الحد الأقصى للارتفاع الذي سينتقل إليه إذا تم قياس المقاومة الجوية كـ F D = (0.0100 v 2) N، حيث v هي السرعة في أي لحظة.
إستراتيجية
يمكن ربط القوة المعروفة على قذيفة الهاون بتسارعها باستخدام معادلات الحركة. يمكن بعد ذلك استخدام الكينماتيكا لربط تسارع قذيفة الهاون بموضعها.
الحل
في البداية، y 0 = 0 و v 0 = 50.0 م/ث عند أقصى ارتفاع y = h، v = 0. يُظهر مخطط الجسم الحر أن F D يعمل لأسفل، لأنه يبطئ الحركة التصاعدية لقذيفة الهاون. وهكذا، يمكننا الكتابة
\[\begin{split} \sum F_{y} & = ma_{y} \\ -F_{D} - w & = ma_{y} \\ -0.0100 v^{2} - 98.0 & = 10.0 a \\ a & = -0.00100 v^{2} - 9.80 \ldotp \end{split}\]
يعتمد التسارع على v وبالتالي فهو متغير. نظرًا لأن a = f (v)، يمكننا ربط a إلى v باستخدام إعادة الترتيب الموضحة أعلاه،
\[a ds = v dv \ldotp\]
نستبدل ds بـ dy لأننا نتعامل مع الاتجاه الرأسي،
\[\begin{split} ady & = vdv \\ (−0.00100v^{2} − 9.80)dy & = vdv \ldotp \end{split}\]
نقوم الآن بفصل المتغيرات (v و dv على جانب واحد؛ dy على الجانب الآخر):
\[\begin{split} \int_{0}^{h} dy & = \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} - 9.80)} \\ & = - \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} + 9.80)} \\ & = (-5 \times 10^{3}) \ln(0.00100v^{2} + 9.80) \Big|_{50.0}^{0} \ldotp \end{split}\]
وبالتالي، ح = 114 م.
الدلالة
لاحظ الحاجة إلى تطبيق حساب التفاضل والتكامل لأن القوة ليست ثابتة، مما يعني أيضًا أن التسارع ليس ثابتًا. لزيادة الطين بلة، تعتمد القوة على v (وليس t)، ولذا يجب علينا استخدام الحيلة الموضحة قبل المثال. تشير إجابة الارتفاع إلى ارتفاع أقل إذا كانت هناك مقاومة للهواء. سنتعامل مع تأثيرات مقاومة الهواء وقوى السحب الأخرى بمزيد من التفصيل في قوة السحب والسرعة الطرفية.
في حالة إهمال مقاومة الغلاف الجوي، ابحث عن أقصى ارتفاع لقذيفة الهاون. هل حساب التفاضل والتكامل مطلوب لهذا الحل؟
استكشف القوى التي تعمل في هذه المحاكاة عندما تحاول الضغط على خزانة الملفات. قم بإنشاء قوة مطبقة وشاهد قوة الاحتكاك الناتجة والقوة الكلية التي تعمل على الخزانة. تُظهر الرسوم البيانية القوى والموقع والسرعة والتسارع مقابل الوقت. شاهد مخطط الجسم الحر لجميع القوى (بما في ذلك قوى الجاذبية والقوى العادية).