3.6: الجاذبية بأكثر من جسمين

Last updated

Nov 1, 2022
Page ID
197385
Save as PDF
- 3.5: حركات الأقمار الصناعية والمركبات الفضائية
- 3.E: المدارات والجاذبية (تمارين)

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

اشرح كيف يمكن لتفاعلات الجاذبية للعديد من الأجسام أن تسبب اضطرابات في حركاتها
اشرح كيف تم اكتشاف كوكب نبتون

حتى الآن، اعتبرنا الشمس والكوكب (أو الكوكب وأحد أقماره) أكثر من زوج من الأجسام التي تدور حول بعضها البعض. في الواقع، تمارس جميع الكواكب قوى الجاذبية على بعضها البعض أيضًا. تتسبب عوامل الجذب بين الكواكب هذه في اختلافات طفيفة عن المدارات مما كان متوقعًا إذا تم إهمال قوى الجاذبية بين الكواكب. إن حركة الجسم التي تقع تحت تأثير الجاذبية لجسمين آخرين أو أكثر معقدة للغاية ولا يمكن حسابها بشكل صحيح إلا باستخدام أجهزة كمبيوتر كبيرة. لحسن الحظ، يمتلك علماء الفلك أجهزة كمبيوتر من هذا القبيل تحت تصرفهم في الجامعات ومعاهد البحوث الحكومية.

تفاعلات العديد من الهيئات

على سبيل المثال، لنفترض أن لديك مجموعة من ألف نجم تدور جميعها حول مركز مشترك (مثل هذه المجموعات شائعة جدًا، كما سنرى في مجموعات النجوم). إذا عرفنا الموضع الدقيق لكل نجم في أي لحظة، يمكننا حساب قوة الجاذبية المجمعة للمجموعة بأكملها على أي عضو واحد من الكتلة. بمعرفة القوة على النجم المعني، يمكننا بالتالي معرفة كيفية تسريعها. إذا عرفنا كيف كانت تتحرك في البداية، فيمكننا بعد ذلك حساب كيفية تحركها في اللحظة التالية من الوقت، وبالتالي تتبع حركتها.

ومع ذلك، فإن المشكلة معقدة بسبب حقيقة أن النجوم الأخرى تتحرك أيضًا وبالتالي تغير تأثيرها على نجمنا. لذلك، يجب أن نحسب في نفس الوقت تسارع كل نجم ناتج عن الجمع بين عوامل الجذب الجاذبية لجميع النجوم الأخرى من أجل تتبع حركات كل منها، وبالتالي حركة أي منها. تم إجراء مثل هذه الحسابات المعقدة باستخدام أجهزة الكمبيوتر الحديثة لتتبع تطور مجموعات افتراضية من النجوم يصل عدد أعضائها إلى مليون عضو (الشكل $\PageIndex{1}$ ).

بديل — الشكل $\PageIndex{1}$ : هذه الحواسيب العملاقة في مركز أميس للأبحاث التابع لناسا قادرة على تتبع حركات أكثر من مليون جسم تحت جاذبيتها المتبادلة.

داخل النظام الشمسي، تعتبر مشكلة حساب مدارات الكواكب والمركبات الفضائية أبسط إلى حد ما. لقد رأينا أن قوانين كيبلر، التي لا تأخذ في الاعتبار تأثيرات الجاذبية للكواكب الأخرى على المدار، تعمل بشكل جيد حقًا. هذا لأن هذه التأثيرات الإضافية صغيرة جدًا مقارنة بجاذبية الشمس السائدة. في ظل هذه الظروف، من الممكن علاج آثار الأجسام الأخرى على أنها اضطرابات صغيرة (أو اضطرابات). خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، طور علماء الرياضيات العديد من التقنيات الأنيقة لحساب الاضطرابات، مما سمح لهم بالتنبؤ بدقة شديدة بمواقع الكواكب. أدت هذه الحسابات في النهاية إلى التنبؤ واكتشاف كوكب جديد في عام 1846.

اكتشاف نبتون

كان اكتشاف الكوكب الثامن، نبتون، أحد النقاط العالية في تطوير نظرية الجاذبية. في عام 1781، اكتشف ويليام هيرشل، وهو موسيقي وعالم فلك هاوي، بطريق الخطأ الكوكب السابع، أورانوس. يحدث أن أورانوس قد تمت ملاحظته قبل قرن من الزمان، ولكن لم يتم التعرف عليه في أي من تلك المشاهد السابقة ككوكب؛ بل تم تسجيله ببساطة كنجم. أظهر اكتشاف هيرشل أنه يمكن أن تكون هناك كواكب في النظام الشمسي قاتمة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها بالعين المجردة، ولكنها جاهزة للاكتشاف باستخدام التلسكوب إذا عرفنا فقط أين ننظر.

بحلول عام 1790، تم حساب مدار أورانوس باستخدام ملاحظات حركته في العقد التالي لاكتشافه. ولكن حتى بعد مراعاة التأثيرات المقلقة لكوكب المشتري وزحل، وجد أن أورانوس لم يتحرك في مدار يتناسب تمامًا مع الملاحظات السابقة له التي أجريت منذ عام 1690. بحلول عام 1840، بلغ التباين بين المواقع المرصودة لأورانوس وتلك المتوقعة من مداره المحسوب حوالي 0.03 درجة - وهي زاوية بالكاد يمكن تمييزها بالعين المجردة ولكنها لا تزال أكبر من الأخطاء المحتملة في الحسابات المدارية. بعبارة أخرى، يبدو أن أورانوس لم يتحرك في المدار المتوقع من نظرية نيوتن.

في عام 1843، بدأ جون كوتش آدامز، الشاب الإنجليزي الذي أكمل للتو دراسته في كامبريدج، تحليلًا رياضيًا مفصلاً للمخالفات في حركة أورانوس لمعرفة ما إذا كان من الممكن إنتاجها عن طريق سحب كوكب غير معروف. لقد افترض وجود كوكب أكثر بعدًا عن الشمس من أورانوس، ثم حدد الكتلة والمدار الذي يجب أن يأخذه في الحسبان المغادرين في مدار أورانوس. في أكتوبر 1845، سلم آدامز نتائجه إلى جورج إيري، عالم الفلك البريطاني رويال، وأبلغه أين في السماء للعثور على الكوكب الجديد. نحن نعلم الآن أن وضع آدامز المتوقع للجسم الجديد كان صحيحًا في حدود درجتين، ولكن لمجموعة متنوعة من الأسباب، لم يتابع إيري ذلك على الفور.

في هذه الأثناء، قام عالم الرياضيات الفرنسي أوربان جان جوزيف لو فيرييه، الذي لم يكن على دراية بآدامز أو بعمله، بمهاجمة نفس المشكلة ونشر حلها في يونيو 1846. أشار إيري إلى أن موقع لو فيرييه المتوقع للكوكب المجهول تم الاتفاق عليه في حدود 1 درجة مع موقع آدامز، واقترح على جيمس تشاليس، مدير مرصد كامبريدج، أن يبدأ البحث عن الكائن الجديد. قام عالم الفلك في كامبريدج، الذي لم يكن لديه مخططات نجمية حديثة لمنطقة الدلو في السماء حيث كان من المتوقع أن يكون الكوكب، بتسجيل مواقع جميع النجوم الخافتة التي يمكنه ملاحظتها باستخدام التلسكوب الخاص به في ذلك الموقع. كانت خطة تشاليس لتكرار مثل هذه المؤامرات على فترات عدة أيام، على أمل أن يميز الكوكب نفسه عن النجم بحركته. لسوء الحظ، كان مهملاً في فحص ملاحظاته؛ على الرغم من أنه رأى الكوكب بالفعل، إلا أنه لم يتعرف عليه.

بعد حوالي شهر، اقترح لو فيرييه على يوهان جالي، عالم الفلك في مرصد برلين، أن يبحث عن الكوكب. تلقى جالي رسالة لو فيريير في 23 سبتمبر 1846، وامتلك خرائط جديدة لمنطقة الدلو، ووجد الكوكب وحدده في تلك الليلة بالذات. كانت أقل من درجة علمية عن المنصب الذي توقعه Le Verrier. كان اكتشاف الكوكب الثامن، المعروف الآن باسم نبتون (الاسم اللاتيني لإله البحر)، انتصارًا كبيرًا لنظرية الجاذبية لأنها أكدت بشكل كبير عمومية قوانين نيوتن. يتم تقاسم شرف الاكتشاف بشكل صحيح من قبل اثنين من علماء الرياضيات، آدامز ولو فيرييه (الشكل $\PageIndex{2}$ ).

يجب أن نلاحظ أن اكتشاف نبتون لم يكن مفاجأة كاملة لعلماء الفلك، الذين اشتبهوا منذ فترة طويلة في وجود الكوكب بناءً على حركة أورانوس «العصيان». في 10 سبتمبر 1846، قبل أسبوعين من العثور على نبتون فعليًا، قال جون هيرشل، ابن مكتشف أورانوس، في خطاب أمام الجمعية البريطانية، «نرى [الكوكب الجديد] كما رأى كولومبوس أمريكا من شواطئ إسبانيا. لقد شعرت تحركاتها بالارتعاش على طول الخط البعيد المدى لتحليلنا مع يقين لا يكاد يكون أدنى من العرض البصري».

كان هذا الاكتشاف خطوة رئيسية إلى الأمام في الجمع بين النظرية النيوتونية والملاحظات المضنية. يستمر هذا العمل في عصرنا الخاص مع اكتشاف الكواكب حول النجوم الأخرى.

للحصول على قصة كاملة عن كيفية التنبؤ بنبتون والعثور عليه (وتأثير الاكتشاف على البحث عن بلوتو)، يمكنك قراءة هذه الصفحة عن الاكتشاف الرياضي للكواكب.

علم الفلك والشعراء

عندما صاغ كوبرنيكوس وكيبلر وغاليليو ونيوتن القواعد الأساسية التي تكمن وراء كل شيء في العالم المادي، تغيرت أكثر بكثير من وجه العلم. بالنسبة للبعض، منحوا البشرية الشجاعة للتخلي عن الخرافات القديمة ورؤية العالم عقلانيًا ويمكن التحكم فيه؛ وبالنسبة للآخرين، فقد أزعجوا الطرق المريحة والمنظمة التي خدمت البشرية لقرون، ولم يتركوا سوى عالم جاف «آلي الساعة» في أعقابهم.

استجاب شعراء ذلك الوقت لمثل هذه التغييرات في عملهم وناقشوا ما إذا كانت الصورة العالمية الجديدة جذابة أم مخيفة. يرثي جون دون (1573—1631)، في قصيدة بعنوان «تشريح العالم»، زوال الحقائق القديمة:

الفلسفة الجديدة [العلم] تدعو الجميع
إلى الشك، يتم إخماد عنصر النار تمامًا؛
الشمس ضائعة، والأرض، ولا
يستطيع أي إنسان أن يوجهه جيدًا إلى أين يبحث عنها.

(هنا يشير «عنصر النار» أيضًا إلى مجال النار، الذي وضعه الفكر في العصور الوسطى بين الأرض والقمر.)

ومع ذلك، بحلول القرن التالي، كان شعراء مثل ألكسندر بوب يحتفلون بنيوتن والنظرة النيوتونية للعالم. يقول مقطع البابا الشهير، الذي كتب عند وفاة نيوتن،

تختفي الطبيعة وقوانين الطبيعة في الليل.
قال الله: دع نيوتن يكون! وكان كل شيء خفيفًا.

في قصيدته عام 1733، «مقال عن الإنسان»، يسعد البابا بتعقيد وجهات النظر الجديدة للعالم، على الرغم من أنها غير مكتملة:

من الإنسان، ماذا نرى نحن، ولكن محطته هنا،
من أي إلى سبب، إلى أي إشارة؟ .
هو، الذي «من خلال» ضخامة هائلة يمكن أن تخترق،
انظر العوالم على العوالم، يؤلف كونًا واحدًا،
لاحظ كيف يعمل النظام في النظام،
ما هي الكواكب الأخرى التي تدور حول الشموس الأخرى،
ما الذي يفرق بين الناس كل نجم،
قد يخبرنا لماذا تمتلك Heav'n صنعنا كما نحن..
كل الطبيعة ليست سوى فن، غير معروفة لك؛
كل فرصة، اتجاه، لا يمكنك رؤيته؛
كل خلاف وانسجام غير مفهوم؛
كل شر جزئي، خير عالمي:
وعلى الرغم من الفخر، في خطأ على الرغم من العقل، حقيقة
واحدة واضح، مهما كان، فهو صحيح.

استمر الشعراء والفلاسفة في النقاش حول ما إذا كانت الإنسانية قد تعظمت أو تدهورت بسبب وجهات النظر الجديدة للعلوم. يصرخ شاعر القرن التاسع عشر آرثر هيو كلوف (1819-1861) في قصيدته «سيناء الجديدة»:

وكما قال الله القديم من أعلى سيناء إن الله واحد،
وبالعلم الصارم لذلك يتكلم هو الآن ليخبرنا، لا يوجد أحد!
الأرض تمر بالقوى الكيميائية؛ السماء هي سيليست المكسيكية!
وقلب وعقل البشرية ساعة مثل البقية!

(«mécanique celeste» هو نموذج الساعة لإظهار الحركات السماوية.)

رأى شاعر القرن العشرين روبنسون جيفرز (الذي كان شقيقه فلكًا) الأمر بشكل مختلف في قصيدة تسمى «Star Swirls»:

لا يوجد شيء مثل علم الفلك لسحب الأشياء من الإنسان.
أحلامه الغبية وأهمية الديك الأحمر:
دعه يحسب دوامات النجوم.

المفاهيم الأساسية والملخص

يعد حساب تفاعل الجاذبية لأكثر من جسمين أمرًا معقدًا ويتطلب أجهزة كمبيوتر كبيرة. إذا كان جسم واحد (مثل الشمس في نظامنا الشمسي) يهيمن على الجاذبية، فمن الممكن حساب تأثيرات الجسم الثاني من حيث الاضطرابات الصغيرة. تم استخدام هذا النهج من قبل جون كوتش آدامز وأوربين لو فيرييه للتنبؤ بموقع نبتون من اضطراباته في مدار أورانوس وبالتالي اكتشاف كوكب جديد رياضيًا.

مسرد المصطلحات

اضطراب: تأثير مزعج صغير على حركة أو مدار الجسم الذي ينتجه جسم ثالث