(يجب الرجوع إلى هذا الملحق بعد القراءة الأولى مرحبًا بكم في الاقتصاد!) الاقتصاد ليس الرياضيات. لا يوجد مفهوم مهم في هذه الدورة لا يمكن تفسيره بدون الرياضيات. ومع ذلك، فإن الرياضيات هي أداة يمكن استخدامها لتوضيح المفاهيم الاقتصادية. هل تتذكر مقولة أن الصورة تساوي ألف كلمة؟ بدلاً من الصورة، فكر في الرسم البياني. إنه نفس الشيء. يستخدم الاقتصاديون النماذج كأداة أساسية لاستخلاص رؤى حول القضايا والمشاكل الاقتصادية. الرياضيات هي إحدى طرق العمل مع النماذج الاقتصادية (أو التلاعب بها).
هناك طرق أخرى لتمثيل النماذج، مثل النص أو السرد. ولكن لماذا تستخدم قبضة يدك لضرب الظفر، إذا كان لديك مطرقة؟ للرياضيات مزايا معينة مقارنة بالنص. إنه يضبط تفكيرك من خلال جعلك تحدد بالضبط ما تعنيه. يمكنك التخلص من التفكير الغامض في رأسك، ولكن لا يمكنك ذلك عندما تختزل النموذج إلى معادلات جبرية. في الوقت نفسه، للرياضيات أيضًا عيوب. تعتمد النماذج الرياضية بالضرورة على تبسيط الافتراضات، لذلك من غير المحتمل أن تكون واقعية تمامًا. تفتقر النماذج الرياضية أيضًا إلى الفروق الدقيقة التي يمكن العثور عليها في النماذج السردية. النقطة هي أن الرياضيات هي إحدى الأدوات، ولكنها ليست الأداة الوحيدة أو حتى دائمًا أفضل أداة يمكن للاقتصاديين استخدامها. إذن ما هي الرياضيات التي ستحتاجها لهذا الكتاب؟ الجواب هو: أكثر بقليل من الجبر والرسوم البيانية في المدرسة الثانوية. ستحتاج إلى معرفة ما يلي:
ما هي الوظيفة
كيفية تفسير معادلة الخط (أي المنحدر والفاصل)
كيفية التعامل مع الخط (أي تغيير المنحدر أو التقاطع)
كيفية حساب وتفسير معدل النمو (أي تغيير النسبة المئوية)
كيفية قراءة الرسم البياني والتعامل معه
في هذا النص، سنستخدم أسهل طريقة حسابية ممكنة، وسنقدمها في هذا الملحق. لذلك إذا وجدت بعض الرياضيات في الكتاب التي لا يمكنك متابعتها، فارجع إلى هذا الملحق للمراجعة. مثل معظم الأشياء، الرياضيات لها عوائد متناقصة. إن القليل من القدرة على الرياضيات يقطع شوطًا طويلاً؛ فكلما أدخلت الرياضيات الأكثر تقدمًا، قلت المعرفة الإضافية التي ستحصل عليها. ومع ذلك، إذا كنت ستتخصص في الاقتصاد، فعليك التفكير في تعلم القليل من حساب التفاضل والتكامل. سيكون الأمر يستحق وقتك من حيث مساعدتك على تعلم الاقتصاد المتقدم بسرعة أكبر.
نماذج جبرية
غالبًا ما يتم التعبير عن النماذج الاقتصادية (أو أجزاء من النماذج) من حيث الوظائف الرياضية. ما هي الدالة؟ تصف الدالة العلاقة. في بعض الأحيان تكون العلاقة تعريفًا. على سبيل المثال (باستخدام الكلمات)، أستاذك هو آدم سميث. يمكن التعبير عن هذا باسم الأستاذ = آدم سميث. أو الأصدقاء = بوب + شون + مارغريت.
في كثير من الأحيان في الاقتصاد، تصف الوظائف السبب والنتيجة. المتغير على الجانب الأيسر هو ما يتم شرحه («التأثير»). على الجانب الأيمن يوجد ما يقوم بالشرح («الأسباب»). على سبيل المثال، افترض أنه تم تحديد GPA الخاص بك على النحو التالي:
تنص هذه المعادلة على أن المعدل التراكمي الخاص بك يعتمد على ثلاثة أشياء: درجة SAT المجمعة الخاصة بك، وحضور الفصل، وعدد الساعات التي تقضيها في الدراسة. كما يشير أيضًا إلى أن وقت الدراسة هو ضعف أهمية (0.50) مقارنة بنتيجة Combined_Sat (0.25) أو class_atendence (0.25). إذا كانت هذه العلاقة صحيحة، كيف يمكنك رفع المعدل التراكمي الخاص بك؟ من خلال عدم تخطي الفصل والدراسة أكثر. لاحظ أنه لا يمكنك فعل أي شيء بشأن درجة SAT الخاصة بك، لأنه إذا كنت في الكلية، فأنت (من المفترض) قد حصلت بالفعل على اختبارات SAT.
بالطبع، تعبر النماذج الاقتصادية عن العلاقات باستخدام المتغيرات الاقتصادية، مثل Budget = money_spent_on_con_books + money_spent_on_music، على افتراض أن الأشياء الوحيدة التي تشتريها هي كتب الاقتصاد والموسيقى.
\[y=b+mx\]
التعبير عن المعادلات بيانيًا
الرسوم البيانية مفيدة لغرضين. الأول هو التعبير عن المعادلات بصريًا، والثاني هو عرض الإحصائيات أو البيانات. يناقش هذا القسم التعبير عن المعادلات بصريًا.
بالنسبة لعالم الرياضيات أو الاقتصادي، فإن المتغير هو الاسم الذي يطلق على الكمية التي قد تفترض نطاقًا من القيم. في معادلة الخط الموضح أعلاه، x و y هما المتغيران، مع x على المحور الأفقي و y على المحور الرأسي، و b و m يمثلان العوامل التي تحدد شكل الخط. لمعرفة كيفية عمل هذه المعادلة، ضع في اعتبارك مثالًا رقميًا:
\[y=9+3x\]
في هذه المعادلة لسطر معين، تم تعيين الحد b مساويًا لـ 9 والحد m يساوي 3. يوضح الجدول 1 قيم x و y لهذه المعادلة المعطاة. يوضح الشكل 1 هذه المعادلة، وهذه القيم، في رسم بياني. لإنشاء الجدول، ما عليك سوى توصيل سلسلة من القيم المختلفة لـ x، ثم حساب قيمة نتائج y. في الشكل، يتم رسم هذه النقاط ورسم خط من خلالها.
س
ص
0
9
1
12
2
15
3
18
4
21
5
24
6
27
الجدول 1: قيم معادلة اعتراض المنحدر
الميل وجبر الخطوط المستقيمة
الشكل 1: يحتوي هذا الرسم البياني الخطي على x على المحور الأفقي و y على المحور الرأسي. التقاطع y - أي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور الصادي - هو 9. ميل الخط هو 3؛ أي أن هناك ارتفاعًا بمقدار 3 على المحور الرأسي لكل زيادة بمقدار 1 على المحور الأفقي. المنحدر هو نفسه على طول خط مستقيم.
يوضح هذا المثال كيف تحدد حدود b و m في معادلة الخط المستقيم شكل الخط المستقيم. يُطلق على المصطلح b اسم التقاطع y. والسبب في هذا الاسم هو أنه إذا كان x = 0، فإن المصطلح b سيكشف أين يعترض الخط أو يتقاطع مع المحور y. في هذا المثال، يصل الخط إلى المحور الرأسي عند 9. الحد m في معادلة الخط هو المنحدر. تذكر أن المنحدر يُعرّف بأنه الارتفاع فوق المسار؛ وبشكل أكثر تحديدًا، ميل الخط من نقطة إلى أخرى هو التغيير في المحور الرأسي مقسومًا على التغيير في المحور الأفقي. في هذا المثال، في كل مرة يزداد فيها مصطلح x بمقدار واحد (المدى)، يرتفع مصطلح y بمقدار ثلاثة. وبالتالي، فإن منحدر هذا الخط هو ثلاثة. تحديد التقاطع y والمنحدر - أي تحديد b و m في معادلة الخط - سيحدد خطًا معينًا. على الرغم من أنه من النادر أن تقوم نقاط البيانات في العالم الحقيقي بترتيب نفسها كخط مستقيم دقيق، إلا أنه غالبًا ما يتبين أن الخط المستقيم يمكن أن يقدم تقديرًا تقريبيًا معقولًا للبيانات الفعلية.
تفسير المنحدر
مفهوم المنحدر مفيد جدًا في الاقتصاد، لأنه يقيس العلاقة بين متغيرين. يعني المنحدر الموجب أن متغيرين مرتبطان بشكل إيجابي؛ أي عندما يزداد x، وكذلك y، أو عندما ينخفض x، ينخفض y أيضًا. من الناحية الرسومية، يعني المنحدر الموجب أنه عندما يتحرك خط على الرسم البياني الخطي من اليسار إلى اليمين، يرتفع الخط. علاقة الطول والوزن، الموضحة في الشكل 3 لاحقًا في هذا الملحق، لها ميل إيجابي. سنتعلم في فصول أخرى أن السعر والكمية الموردة لهما علاقة إيجابية؛ أي أن الشركات ستوفر المزيد عندما يكون السعر أعلى.
المنحدر السالب يعني وجود متغيرين مرتبطين سلبًا؛ أي عندما يزداد x أو ينخفض y أو عندما ينخفض x يزداد y. من الناحية الرسومية، يعني المنحدر السالب أنه عندما يتحرك الخط على الرسم البياني الخطي من اليسار إلى اليمين، يسقط الخط. العلاقة بين الارتفاع وكثافة الهواء، الموضحة في الشكل 4 لاحقًا في هذا الملحق، لها ميل سلبي. سنتعلم أن السعر والكمية المطلوبة لهما علاقة سلبية؛ أي أن المستهلكين سيشترون أقل عندما يكون السعر أعلى.
ميل الصفر يعني عدم وجود علاقة بين x و y. من الناحية التخطيطية، يكون الخط مسطحًا؛ أي ارتفاع صفري على المدى. يوضح الشكل 4 لمعدل البطالة، الموضح لاحقًا في هذا الملحق، نمطًا شائعًا للعديد من الرسوم البيانية الخطية: بعض الأجزاء التي يكون فيها المنحدر موجبًا، والأجزاء الأخرى التي يكون فيها المنحدر سلبيًا، والأجزاء الأخرى التي يكون فيها المنحدر قريبًا من الصفر.
يمكن حساب ميل الخط المستقيم بين نقطتين من الناحية العددية. لحساب المنحدر، ابدأ بتعيين نقطة واحدة كـ «نقطة البداية» والنقطة الأخرى كـ «نقطة النهاية» ثم حساب الارتفاع فوق المدى بين هاتين النقطتين. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك منحدر الرسم البياني لكثافة الهواء بين النقاط التي تمثل ارتفاعًا يبلغ 4,000 متر وارتفاعًا يبلغ 6000 متر:
الارتفاع: التغيير في المتغير على المحور الرأسي (نقطة النهاية ناقص النقطة الأصلية)
\[=0.100-0.307\]
\[=-0.207\]
التشغيل: التغيير في المتغير على المحور الأفقي (نقطة النهاية ناقص النقطة الأصلية)
\[=6,000-4,000\]
\[=2,000\]
وبالتالي، فإن منحدر الخط المستقيم بين هاتين النقطتين هو أنه من ارتفاع 4000 متر حتى 6000 متر، تنخفض كثافة الهواء بحوالي 0.1 كيلوغرام/متر مكعب لكل متر من الألف متر التالي
لنفترض أن ميل الخط سيزداد. من الناحية الرسومية، هذا يعني أنه سيصبح أكثر حدة. لنفترض أن ميل الخط سينخفض. ثم سيصبح الأمر أكثر تملقًا. هذه الشروط صحيحة سواء كان المنحدر موجبًا أو سلبيًا في البداية. يعني المنحدر الموجب الأعلى إمالًا أكثر انحدارًا لأعلى إلى الخط، في حين أن المنحدر الإيجابي الأصغر يعني إمالًا صعوديًا أكثر تسطحًا إلى الخط. يعني المنحدر السالب الأكبر في القيمة المطلقة (أي أكثر سالبة) ميلًا هبوطيًا أكثر حدة إلى الخط. منحدر الصفر هو خط أفقي مسطح. خط عمودي له ميل غير محدود.
لنفترض أن الخط يحتوي على نقطة تقاطع أكبر. من الناحية الرسومية، هذا يعني أنه سيتحول (أو لأعلى) من الأصل القديم، بالتوازي مع الخط القديم. إذا كان الخط يحتوي على نقطة تقاطع أصغر، فسيتحول إلى الداخل (أو الأسفل)، بالتوازي مع الخط القديم.
حل النماذج باستخدام الجبر
غالبًا ما يستخدم الاقتصاديون نماذج للإجابة على سؤال محدد، مثل: ماذا سيكون معدل البطالة إذا نما الاقتصاد بنسبة 3٪ سنويًا؟ تتطلب الإجابة على أسئلة محددة حل «نظام» المعادلات التي تمثل النموذج.
لنفترض أن الطلب على البيتزا الشخصية يتم من خلال المعادلة التالية:
\[Qd=16-2P\]
حيث Qd هي كمية البيتزا الشخصية التي يرغب المستهلكون في شرائها (أي الكمية المطلوبة)، و P هي سعر البيتزا. لنفترض أن توريد البيتزا الشخصية هو:
\[Qs=2+5P\]
حيث Qs هي كمية منتجي البيتزا التي سيوردها منتجو البيتزا (أي الكمية الموردة).
أخيرًا، لنفترض أن سوق البيتزا الشخصية يعمل حيث يساوي العرض الطلب، أو
\[Qd=Qs\]
لدينا الآن نظام من ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل (Qd و Qs و P)، يمكننا حلها بالجبر:
نظرًا لأن Qd = Qs، يمكننا ضبط معادلة العرض والطلب مساوية لبعضها البعض:
\[Qd=Qs\]
\[16-2P=2+5P\]
يؤدي طرح 2 من كلا الجانبين وإضافة 2P إلى كلا الجانبين إلى:
\[16-2P-2=2+5P-2\]
\[14-2P=5P\]
\[14-2P+2P=5P+2P\]
\[14=7P\]
\[\dfrac{14}{7}=\dfrac{7P}{7}\]
\[2=P\]
بمعنى آخر، سيكون سعر كل بيتزا شخصية 2 دولار. كم سيشتري المستهلكون؟
عند أخذ سعر 2 دولار، وإدخاله في معادلة الطلب، نحصل على:
\[Qd=16-2P\]
\[=16-2(2)\]
\[=16-4\]
\[=12\]
لذلك إذا كان السعر دولارين لكل منهما، فسيشتري المستهلكون 12 دولارًا. كم سيوفر المنتجون؟ بأخذ سعر 2 دولار وتوصيله بمعادلة العرض، نحصل على:
\[Qs=2+5P\]
\[=2+5(2)\]
\[=2+10\]
\[=12\]
لذلك إذا كان السعر دولارين لكل منهما، فسيقوم المنتجون بتوفير 12 بيتزا شخصية. هذا يعني أننا قمنا بحساباتنا بشكل صحيح، لأن Qd = Qs.
حل النماذج باستخدام الرسوم البيانية
إذا لم يكن الجبر موطن قوتك، يمكنك الحصول على نفس الإجابة باستخدام الرسوم البيانية. خذ معادلات Qd و Qs ورسمها على نفس مجموعة المحاور كما هو موضح في الشكل 2. نظرًا لوجود P على المحور الرأسي، يكون من الأسهل حل كل معادلة لـ P. منحنى الطلب هو P = 8 - 0.5Qd ومنحنى الطلب هو P = —0.4 + 0.2Qs. لاحظ أن التقاطعات الرأسية هي 8 و —0.4، والمنحدرات هي -0.5 للطلب و 0.2 للعرض. إذا قمت برسم الرسوم البيانية بعناية، فسترى أنه عند تقاطعها (Qs = Qd)، يكون السعر 2 دولارًا والكمية 12، تمامًا كما تنبأ الجبر.
رسم بياني للعرض والطلب
الشكل 2: يتم عرض معادلات Qd و Qs بيانياً بواسطة الخطوط المنحدرة.
سنستخدم الرسوم البيانية بشكل متكرر في هذا الكتاب أكثر من الجبر، لكنك الآن تعرف الرياضيات وراء الرسوم البيانية.
معدلات النمو
كثيرًا ما تتم مصادفة معدلات النمو في اقتصاديات العالم الحقيقي. معدل النمو هو ببساطة النسبة المئوية للتغير في بعض الكمية. يمكن أن يكون دخلك. يمكن أن تكون مبيعات الشركة. يمكن أن يكون الناتج المحلي الإجمالي للأمة. إن صيغة حساب معدل النمو واضحة ومباشرة:
لنفترض أن وظيفتك تدفع 10 دولارات في الساعة. ومع ذلك، فإن رئيسك معجب جدًا بعملك لدرجة أنه يمنحك زيادة قدرها 2 دولار في الساعة. النسبة المئوية للتغيير (أو معدل النمو) في راتبك هي 2 دولار/10 دولارات = 0.20 أو 20٪.
لحساب معدل نمو البيانات على مدى فترة طويلة من الزمن، على سبيل المثال، متوسط النمو السنوي في الناتج المحلي الإجمالي على مدى عقد أو أكثر، يتم تعريف القاسم بشكل مختلف قليلاً. في المثال السابق، قمنا بتعريف الكمية على أنها الكمية الأولية - أو الكمية عندما بدأنا. هذا جيد للحساب لمرة واحدة، ولكن عندما نحسب النمو مرارًا وتكرارًا، يكون من المنطقي تحديد الكمية على أنها متوسط الكمية خلال الفترة المعنية، والتي يتم تعريفها على أنها الكمية في منتصف الطريق بين الكمية الأولية والكمية التالية. يصعب شرح ذلك بالكلمات بدلاً من إظهاره بمثال. لنفترض أن الناتج المحلي الإجمالي للدولة كان 1 تريليون دولار في عام 2005 و 1.03 تريليون دولار في عام 2006. سيكون معدل النمو بين عامي 2005 و 2006 هو التغيير في الناتج المحلي الإجمالي (1.03 تريليون دولار - 1.00 تريليون دولار) مقسومًا على متوسط الناتج المحلي الإجمالي بين عامي 2005 و 2006 (1.03 تريليون دولار + 1.00 تريليون دولار) /2. بمعنى آخر:
لاحظ أنه إذا استخدمنا الطريقة الأولى، فسيكون الحساب (1.03 تريليون دولار - 1.00 تريليون دولار) /1.00 تريليون دولار = نمو بنسبة 3٪، وهو تقريبًا نفس الطريقة الثانية الأكثر تعقيدًا. إذا كنت بحاجة إلى تقريب تقريبي، استخدم الطريقة الأولى. إذا كنت بحاجة إلى الدقة، استخدم الطريقة الثانية.
بعض الأشياء التي يجب تذكرها: معدل النمو الإيجابي يعني أن الكمية تنمو. يعني معدل النمو الأصغر أن الكمية تنمو بشكل أبطأ. يعني معدل النمو الأكبر أن الكمية تنمو بسرعة أكبر. معدل النمو السلبي يعني أن الكمية تتناقص.
يؤدي نفس التغيير بمرور الوقت إلى معدل نمو أصغر. إذا حصلت على زيادة قدرها 2 دولار كل عام، فسيكون معدل النمو في السنة الأولى 2 دولار/10 دولارات = 20٪، كما هو موضح أعلاه. ولكن في السنة الثانية، سيكون معدل النمو 2 دولار/12 دولارًا = 0.167 أو نمو بنسبة 16.7٪. في السنة الثالثة، ستتوافق نفس الزيادة البالغة 2 دولار مع 2 دولار/14 دولارًا = 14.2٪. العظة من القصة هي: للحفاظ على معدل النمو كما هو، يجب أن يزداد التغيير في كل فترة.
عرض البيانات بيانيًا وتفسير الرسم البياني
تستخدم الرسوم البيانية أيضًا لعرض البيانات أو الأدلة. الرسوم البيانية هي طريقة لعرض الأنماط العددية. إنها تكثف المعلومات العددية التفصيلية في شكل مرئي يمكن من خلاله رؤية العلاقات والأنماط العددية بسهولة أكبر. على سبيل المثال، ما هي الدول التي لديها عدد أكبر أو أصغر من السكان؟ يمكن للقارئ الدقيق فحص قائمة طويلة من الأرقام التي تمثل سكان العديد من البلدان، ولكن مع وجود أكثر من 200 دولة في العالم، فإن البحث في مثل هذه القائمة سيستغرق التركيز والوقت. يمكن أن يؤدي وضع هذه الأرقام نفسها على الرسم البياني إلى الكشف بسرعة عن أنماط السكان. يستخدم الاقتصاديون الرسوم البيانية لعرض مضغوط وقابل للقراءة لمجموعات الأرقام ولبناء فهم بديهي للعلاقات والروابط.
يتم استخدام ثلاثة أنواع من الرسوم البيانية في هذا الكتاب: الرسوم البيانية الخطية والرسوم البيانية الدائرية والرسوم البيانية الشريطية. تتم مناقشة كل منها أدناه. نقدم أيضًا تحذيرات حول كيفية معالجة الرسوم البيانية لتغيير تصورات المشاهدين للعلاقات في البيانات.
الرسوم البيانية الخطية
تسمى الرسوم البيانية التي ناقشناها حتى الآن الرسوم البيانية الخطية، لأنها تُظهر العلاقة بين متغيرين: أحدهما يُقاس على المحور الأفقي والآخر يُقاس على المحور الرأسي.
في بعض الأحيان يكون من المفيد عرض أكثر من مجموعة بيانات واحدة على نفس المحاور. يتم عرض البيانات في الجدول 2 في الشكل 3 الذي يوضح العلاقة بين متغيرين: الطول والوزن المتوسط للأولاد والبنات الأمريكيين خلال السنوات الثلاث الأولى من الحياة. (المتوسط يعني أن نصف جميع الأطفال يزنون أكثر من هذا والنصف يزن أقل.) يقيس الرسم البياني الخطي الطول بالبوصة على المحور الأفقي والوزن بالباوند على المحور الرأسي. على سبيل المثال، تُظهر النقطة A في الشكل أن الصبي الذي يبلغ طوله 28 بوصة سيكون متوسط وزنه حوالي 19 رطلاً. يُظهر أحد الأسطر على الرسم البياني علاقة الطول والوزن للأولاد بينما يوضح السطر الآخر العلاقة بين الفتيات. يستخدم مقدمو الرعاية الصحية هذا النوع من الرسوم البيانية على نطاق واسع للتحقق مما إذا كان النمو البدني للطفل يسير على الطريق الصحيح تقريبًا.
علاقة الطول والوزن للفتيان والفتيات الأمريكيين
الشكل 3: يوضح الرسم البياني الخطي العلاقة بين الطول والوزن للأولاد والبنات منذ الولادة وحتى 3 سنوات. تُظهر النقطة A، على سبيل المثال، أن الصبي الذي يبلغ ارتفاعه 28 بوصة (يُقاس على المحور الأفقي) يبلغ وزنه عادةً 19 رطلاً (يُقاس على المحور الرأسي). تنطبق هذه البيانات فقط على الأطفال في السنوات الثلاث الأولى من الحياة.
الأولاد من الولادة إلى 36 شهرًا
الفتيات من الولادة إلى 36 شهرًا
الطول (بوصة)
الوزن (بالرطل)
الطول (بوصة)
الوزن (بالرطل)
20.0
8.0
20.0
7.9
22.0
10.5
22.0
10.5
24.0
13.5
24.0
13.2
26.0
16.4
26.0
16.0
28.0
19.0
28.0
18.8
30.0
21.8
30.0
21.2
32.0
24.3
32.0
24.0
34.0
27.0
34.0
26.2
36.0
29.3
36.0
28.9
38.0
32.0
38.0
31.3
الجدول 2: علاقة الطول بالوزن للأولاد والبنات الأمريكيين
ليست كل العلاقات في الاقتصاد خطية. في بعض الأحيان تكون منحنيات. يقدم الشكل 4 مثالاً آخر للرسم البياني الخطي، الذي يمثل البيانات من الجدول 3. في هذه الحالة، يُظهر الرسم البياني الخطي مدى رقة الهواء عند تسلق أحد الجبال. يُظهر المحور الأفقي للشكل الارتفاع، مقاسًا بالأمتار فوق مستوى سطح البحر. يقيس المحور الرأسي كثافة الهواء عند كل ارتفاع. تقاس كثافة الهواء بوزن الهواء في المتر المكعب من المساحة (أي صندوق يبلغ طوله مترًا واحدًا وعرضه وعمقه). كما يوضح الرسم البياني، يكون ضغط الهواء أثقل عند مستوى الأرض ويصبح أخف عند التسلق. يوضح الشكل 4 أن المتر المكعب من الهواء على ارتفاع 500 متر يزن حوالي كيلوغرام واحد (حوالي 2.2 رطل). ومع ذلك، مع زيادة الارتفاع، تنخفض كثافة الهواء. سيزن المتر المكعب من الهواء في قمة جبل إيفرست، على ارتفاع حوالي 8828 مترًا، 0.023 كيلوجرامًا فقط. يفسر الهواء الرقيق على ارتفاعات عالية سبب حاجة العديد من متسلقي الجبال إلى استخدام خزانات الأكسجين عند وصولهم إلى قمة الجبل.
علاقة الارتفاع وكثافة الهواء
الشكل 4: يوضح هذا الرسم البياني الخطي العلاقة بين الارتفاع، المقاس بالأمتار فوق مستوى سطح البحر، وكثافة الهواء، المقاسة بالكيلوغرامات من الهواء لكل متر مكعب. مع ارتفاع الارتفاع، تنخفض كثافة الهواء. يبلغ ارتفاع النقطة الموجودة على قمة جبل إيفرست حوالي 8828 مترًا فوق مستوى سطح البحر (المحور الأفقي) وكثافة الهواء 0.023 كجم لكل متر مكعب (المحور الرأسي).
الارتفاع (بالأمتار)
كثافة الهواء (كجم/متر مكعب)
0
1.200
500
1.093
1,000
0.831
1,500
0.678
2,000
0.569
2,500
0.484
3,000
0.415
3,500
0.357
4,000
0.307
4,500
0.231
5,000
0.182
5,500
0.142
6,000
0.100
6,500
0.085
7,000
0.066
7,500
0.051
8,000
0.041
8,500
0.025
9,000
0.022
9,500
0.019
10,000
0.014
الجدول 3: علاقة الارتفاع بكثافة الهواء
تمثل علاقة الطول والوزن وعلاقات الارتفاع وكثافة الهواء في هذين الشكلين المتوسطات. إذا كنت تريد جمع بيانات فعلية عن ضغط الهواء على ارتفاعات مختلفة، فإن نفس الارتفاع في المواقع الجغرافية المختلفة سيكون له كثافة هواء مختلفة قليلاً، اعتمادًا على عوامل مثل مدى بعدك عن خط الاستواء، والظروف الجوية المحلية، والرطوبة في الهواء. وبالمثل، عند قياس طول ووزن الأطفال للرسم البياني الخطي السابق، سيكون للأطفال ذوي الطول المعين مجموعة من الأوزان المختلفة، بعضها فوق المتوسط وبعضها أدناه. في العالم الحقيقي، يعد هذا النوع من الاختلاف في البيانات أمرًا شائعًا. تتمثل مهمة الباحث في تنظيم تلك البيانات بطريقة تساعد على فهم الأنماط النموذجية. تعد دراسة الإحصائيات، خاصة عند دمجها مع إحصاءات الكمبيوتر وبرامج جداول البيانات، مساعدة كبيرة في تنظيم هذا النوع من البيانات، ورسم الرسوم البيانية الخطية، والبحث عن العلاقات الأساسية النموذجية. بالنسبة لمعظم تخصصات الاقتصاد والعلوم الاجتماعية، ستكون هناك حاجة إلى دورة إحصائية في مرحلة ما.
يُطلق على الرسم البياني الخطي الشائع اسم السلسلة الزمنية، حيث يعرض المحور الأفقي الوقت ويعرض المحور الرأسي متغيرًا آخر. وبالتالي، يُظهر الرسم البياني للسلسلة الزمنية كيف يتغير المتغير بمرور الوقت. يوضح الشكل 5 معدل البطالة في الولايات المتحدة منذ عام 1975، حيث يتم تعريف البطالة على أنها النسبة المئوية للبالغين الذين يريدون وظائف ويبحثون عن وظيفة، ولكن لا يمكنهم العثور عليها. يتم رسم نقاط معدل البطالة في كل عام على الرسم البياني، ثم يربط خط بين النقاط، يوضح كيف تحرك معدل البطالة صعودًا وهبوطًا منذ عام 1975. يجعل الرسم البياني الخطي من السهل أن نرى، على سبيل المثال، أن أعلى معدل للبطالة خلال هذه الفترة الزمنية كان أقل بقليل من 10٪ في أوائل الثمانينيات و 2010، بينما انخفض معدل البطالة من أوائل التسعينيات إلى نهاية التسعينيات، قبل أن يرتفع ثم يتراجع مرة أخرى في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، ثم ارتفع بشكل حاد خلال فترة الركود من 2008 إلى 2009.
معدل البطالة في الولايات المتحدة، 1975-2014
الشكل 5: يوفر هذا الرسم البياني ملخصًا مرئيًا سريعًا لبيانات البطالة. باستخدام رسم بياني مثل هذا، من السهل تحديد أوقات البطالة المرتفعة والبطالة المنخفضة.
الرسوم البيانية الدائرية
يُستخدم الرسم البياني الدائري (يُسمى أحيانًا المخطط الدائري) لإظهار كيفية تقسيم الإجمالي الكلي إلى أجزاء. تمثل الدائرة المجموعة ككل. تُظهر شرائح هذه «الفطيرة» الدائرية الأحجام النسبية للمجموعات الفرعية.
يوضح الشكل 6 كيف تم تقسيم سكان الولايات المتحدة بين الأطفال والبالغين في سن العمل وكبار السن في 1970 و 2000 وما هو متوقع لعام 2030. يتم نقل المعلومات أولاً بالأرقام في الجدول 4، ثم في ثلاثة مخططات دائرية. يُظهر العمود الأول من الجدول 4 إجمالي عدد سكان الولايات المتحدة لكل سنة من السنوات الثلاث. تصنف الأعمدة 2-4 المجموع من حيث الفئات العمرية - من الولادة إلى 18 عامًا، ومن 19 إلى 64 عامًا، ومن 65 عامًا فما فوق. في الأعمدة 2-4، يُظهر الرقم الأول العدد الفعلي للأشخاص في كل فئة عمرية، بينما يُظهر الرقم بين قوسين النسبة المئوية لمجموع السكان الذين يشكلون تلك الفئة العمرية.
عام
إجمالي عدد السكان
19 عامًا فأقل
من 20 إلى 64 عامًا
أكثر من 65
1970
205.0 مليون
7.2 (37.6%)
107.7 (52.5٪)
20.1 (9.8٪)
2000
275.4 مليون
78.4 (28.5٪)
162.2 (58.9%)
34.8 (12.6%)
2030
351.1 مليون
92.6 (26.4%)
18.2 (53.6٪)
70.3 (20.0%)
الجدول 4: التوزيع العمري في الولايات المتحدة، 1970 و2000 و2030 (متوقع)
الرسوم البيانية الدائرية للتوزيع العمري للولايات المتحدة (الأرقام بالملايين)
الشكل 6: توضح الرسوم البيانية الدائرية الثلاثة تقسيم إجمالي السكان إلى ثلاث فئات عمرية للسنوات الثلاث المختلفة.
في الرسم البياني الدائري، تمثل كل شريحة من الفطيرة حصة من الإجمالي، أو نسبة مئوية. على سبيل المثال، ستكون 50٪ نصف الفطيرة و 20٪ ستكون خُمس الفطيرة. توضح الرسوم البيانية الدائرية الثلاثة في الشكل 6 أن نسبة سكان الولايات المتحدة الذين تبلغ أعمارهم 65 عامًا فأكثر آخذة في الازدياد. تسمح لك الرسوم البيانية الدائرية بالتعرف على الحجم النسبي للفئات العمرية المختلفة من 1970 إلى 2000 إلى 2030، دون الحاجة إلى البحث في الأرقام والنسب المئوية المحددة في الجدول. تتضمن بعض الأمثلة الشائعة لكيفية استخدام الرسوم البيانية الدائرية تقسيم السكان إلى مجموعات حسب العمر ومستوى الدخل والعرق والدين والمهنة؛ وتقسيم الشركات المختلفة إلى فئات حسب الحجم والصناعة وعدد الموظفين؛ وتقسيم الإنفاق الحكومي أو الضرائب إلى فئاتها الرئيسية.
الرسوم البيانية الشريطية
يستخدم الرسم البياني الشريطي ارتفاع الأشرطة المختلفة لمقارنة الكميات. يسرد الجدول 5 البلدان الـ 12 الأكثر اكتظاظًا بالسكان في العالم. يوفر الشكل 7 هذه البيانات نفسها في رسم بياني شريطي. يتوافق ارتفاع القضبان مع عدد سكان كل بلد. على الرغم من أنك قد تعرف أن الصين والهند هما البلدان الأكثر اكتظاظًا بالسكان في العالم، إلا أن رؤية كيف تساعد الأشرطة الموجودة على برج الرسم البياني فوق البلدان الأخرى في توضيح حجم الفرق بين أحجام السكان الوطنيين.
الدول الرائدة في العالم حسب عدد السكان، 2015 (بالملايين)
الشكل 7: يوضح الرسم البياني 12 دولة في العالم ذات أكبر عدد من السكان. يُظهر ارتفاع الأشرطة في الرسم البياني الشريطي حجم السكان لكل بلد.
البلد
تعداد السكان
الصين
1,369
الهند
1,270
الولايات المتحدة
321
إندونيسيا
255
البرازيل
204
باكستان
190
نيجيريا
184
بنغلاديش
158
روسيا
146
اليابان
127
المكسيك
121
الفلبين
101
الجدول 5:12 دولة رائدة في العالم من حيث عدد السكان
يمكن تقسيم الرسوم البيانية الشريطية بطريقة تكشف معلومات مشابهة لتلك التي يمكننا الحصول عليها من المخططات الدائرية. يقدم الشكل 8 ثلاثة رسوم بيانية شريطية استنادًا إلى المعلومات الواردة في الشكل 6 حول التوزيع العمري للولايات المتحدة في 1970 و 2000 و 2030. ويبين الشكل 8 (أ) ثلاثة أشرطة لكل عام، تمثل إجمالي عدد الأشخاص في كل فئة عمرية لكل عام. يُظهر الشكل 8 (ب) شريطًا واحدًا فقط لكل عام، ولكن الفئات العمرية المختلفة مظللة الآن داخل الشريط. في الشكل 8 (ج)، الذي لا يزال يعتمد على نفس البيانات، يقيس المحور الرأسي النسب المئوية بدلاً من عدد الأشخاص. في هذه الحالة، تكون جميع الرسوم البيانية الشريطية الثلاثة بنفس الارتفاع، وتمثل 100٪ من السكان، مع تقسيم كل شريط وفقًا لنسبة السكان في كل فئة عمرية. في بعض الأحيان يكون من الأسهل للقارئ أن يضع عينيه على العديد من الرسوم البيانية الشريطية، ومقارنة المناطق المظللة، بدلاً من محاولة مقارنة العديد من الرسوم البيانية الدائرية.
سكان الولايات المتحدة باستخدام الرسوم البيانية الشريطية
الشكل 8: يمكن تمثيل البيانات السكانية بطرق مختلفة. (أ) تعرض ثلاثة أشرطة لكل عام، تمثل إجمالي عدد الأشخاص في كل فئة عمرية لكل عام. (ب) يعرض شريطًا واحدًا فقط لكل عام، ولكن الفئات العمرية المختلفة مظللة الآن داخل الشريط. (ج) يحدد المحور الرأسي كمقياس للنسب المئوية بدلاً من عدد الأشخاص. جميع الرسوم البيانية الشريطية الثلاثة لها نفس الارتفاع ويتم تقسيم كل شريط وفقًا للنسبة المئوية للسكان في كل فئة عمرية.
يوضح الشكل 7 والشكل 8 كيف يمكن للأشرطة تمثيل البلدان أو السنوات، وكيف يمكن للمحور الرأسي أن يمثل قيمة عددية أو قيمة مئوية. يمكن أن تقارن الرسوم البيانية الشريطية أيضًا الحجم والكمية والمعدلات والمسافات والفئات الكمية الأخرى.
مقارنة الرسوم البيانية الخطية بالمخططات الدائرية والرسوم البيانية الشريطية
الآن بعد أن أصبحت على دراية بالرسوم البيانية الدائرية والرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية الخطية، كيف تعرف الرسم البياني الذي يجب استخدامه لبياناتك؟ غالبًا ما تكون الرسوم البيانية الدائرية أفضل من الرسوم البيانية الخطية في إظهار كيفية تقسيم المجموعة الكلية. ومع ذلك، إذا كان الرسم البياني الدائري يحتوي على عدد كبير جدًا من الشرائح، فقد يصبح من الصعب تفسيره.
الرسوم البيانية الشريطية مفيدة بشكل خاص عند مقارنة الكميات. على سبيل المثال، إذا كنت تدرس السكان في بلدان مختلفة، كما هو الحال في الشكل 7، يمكن أن تعرض الرسوم البيانية الشريطية العلاقات بين أحجام السكان في بلدان متعددة. لا يمكنها فقط إظهار هذه العلاقات، ولكن يمكنها أيضًا إظهار تفاصيل المجموعات المختلفة داخل السكان.
غالبًا ما يكون الرسم البياني الخطي هو التنسيق الأكثر فعالية لتوضيح العلاقة بين متغيرين يتغيران. على سبيل المثال، يمكن أن تعرض الرسوم البيانية للسلاسل الزمنية الأنماط مع تغير الوقت، مثل معدل البطالة بمرور الوقت. تستخدم الرسوم البيانية الخطية على نطاق واسع في الاقتصاد لتقديم بيانات مستمرة حول الأسعار والأجور والكميات المشتراة والمباعة وحجم الاقتصاد.
كيف يمكن أن تكون الرسوم البيانية مضللة
لا تكشف الرسوم البيانية الأنماط فحسب؛ بل يمكنها أيضًا تغيير كيفية إدراك الأنماط. لرؤية بعض الطرق التي يمكن بها القيام بذلك، ضع في اعتبارك الرسوم البيانية الخطية للشكل 9 والشكل 10 والشكل 11. توضح جميع هذه الرسوم البيانية معدل البطالة - ولكن من وجهات نظر مختلفة.
الشكل 9
عرض معدلات البطالة بطرق مختلفة، كلها دقيقة
الشكل 10: يمكن أن يؤدي مجرد تغيير عرض وارتفاع المنطقة التي يتم عرض البيانات فيها إلى تغيير تصور البيانات.
عرض معدلات البطالة بطرق مختلفة، كلها دقيقة
الشكل 11: يمكن أن يؤدي مجرد تغيير عرض وارتفاع المنطقة التي يتم عرض البيانات فيها إلى تغيير تصور البيانات.
لنفترض أنك أردت رسمًا بيانيًا يعطي الانطباع بأن ارتفاع البطالة في عام 2009 لم يكن كبيرًا أو استثنائيًا وفقًا للمعايير التاريخية. يمكنك اختيار تقديم البيانات الخاصة بك كما في الشكل 9 (أ). يتضمن الشكل 9 (أ) الكثير من البيانات نفسها المقدمة سابقًا في الشكل 5، ولكنه يوسع المحور الأفقي لفترة أطول بالنسبة للمحور الرأسي. من خلال نشر الرسم البياني على نطاق واسع ومسطح، فإن المظهر المرئي هو أن ارتفاع البطالة ليس كبيرًا جدًا، ويشبه بعض الزيادات السابقة في البطالة. تخيل الآن أنك تريد التأكيد على كيفية ارتفاع البطالة بشكل كبير في عام 2009. في هذه الحالة، باستخدام نفس البيانات، يمكنك تمديد المحور الرأسي بالنسبة للمحور الأفقي، كما هو الحال في الشكل 9 (ب)، مما يجعل جميع حالات الارتفاع والانخفاض في البطالة تبدو أكبر.
يمكن تحقيق تأثير مماثل دون تغيير طول المحاور، ولكن عن طريق تغيير المقياس على المحور الرأسي. في الشكل 10 (ج)، يمتد المقياس على المحور الرأسي من 0٪ إلى 30٪، بينما في الشكل 10 (د)، يمتد المحور الرأسي من 3٪ إلى 10٪. وبالمقارنة بالشكل 5، حيث يمتد المقياس الرأسي من 0% إلى 12%، فإن الشكل 10 (ج) يجعل التذبذب في البطالة يبدو أصغر، بينما الشكل 10 (د) يجعله يبدو أكبر.
هناك طريقة أخرى لتغيير تصور الرسم البياني وهي تقليل مقدار الاختلاف عن طريق تغيير عدد النقاط المرسومة على الرسم البياني. ويبين الشكل 10 (هـ) معدل البطالة وفقا لمتوسطات السنوات الخمس. من خلال حساب متوسط بعض التغييرات من سنة إلى أخرى، يبدو الخط أكثر سلاسة مع عدد أقل من الارتفاعات والانخفاضات. في الواقع، يتم الإبلاغ عن معدل البطالة شهريًا، ويوضح الشكل 11 (و) الأرقام الشهرية منذ عام 1960، والتي تتقلب أكثر من متوسط الخمس سنوات. الشكل 11 (f) هو أيضًا توضيح حي لكيفية قيام الرسوم البيانية بضغط الكثير من البيانات. يتضمن الرسم البياني بيانات شهرية منذ عام 1960، والتي على مدار 50 عامًا تقريبًا، تصل إلى ما يقرب من 600 نقطة بيانات. ستكون قراءة هذه القائمة المكونة من 600 نقطة بيانات في شكل رقمي أمرًا مثيرًا للقلق. ومع ذلك، يمكنك الحصول على فكرة بديهية جيدة عن نقاط البيانات الـ 600 هذه بسرعة كبيرة من الرسم البياني.
تتمثل الحيلة الأخيرة في التلاعب بإدراك المعلومات الرسومية في أنه من خلال اختيار نقطتي البداية والنهاية بعناية، يمكنك التأثير على إدراك ما إذا كان المتغير يرتفع أو ينخفض. تُظهر البيانات الأصلية نمطًا عامًا مع انخفاض معدل البطالة في الستينيات، ولكنه ارتفع في منتصف السبعينيات وأوائل الثمانينيات وأوائل التسعينيات وأوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين وأواخر العقد الأول من القرن الحادي والعشرين. ومع ذلك، يُظهر الشكل 11 (ز) رسمًا بيانيًا يعود إلى عام 1975 فقط، مما يعطي انطباعًا بأن البطالة كانت تنخفض تدريجيًا بشكل أو بآخر بمرور الوقت إلى أن دفعها الركود في عام 2009 إلى مستواها «الأصلي» - وهو تفسير معقول إذا بدأ المرء عند نقطة الذروة حوالي عام 1975.
لا تقتصر هذه الأنواع من الحيل - أو يجب أن نسميها فقط «خيارات العرض التقديمي» - على الرسوم البيانية الخطية. في المخطط الدائري الذي يحتوي على العديد من الشرائح الصغيرة وشريحة واحدة كبيرة، يجب أن يقرر شخص ما الفئات التي يجب استخدامها لإنتاج هذه الشرائح في المقام الأول، وبالتالي جعل بعض الشرائح تبدو أكبر من غيرها. إذا كنت تقوم بعمل رسم بياني شريطي، يمكنك جعل المحور الرأسي أطول أو أقصر، مما سيؤدي إلى جعل الاختلافات في ارتفاع الأشرطة تظهر أكثر أو أقل.
تعد القدرة على قراءة الرسوم البيانية مهارة أساسية، سواء في الاقتصاد أو في الحياة. الرسم البياني هو مجرد منظور أو وجهة نظر واحدة، تتشكل من خلال اختيارات مثل تلك التي تمت مناقشتها في هذا القسم. لا تصدق دائمًا الانطباع السريع الأول من الرسم البياني. شاهد بحذر.
المفاهيم الأساسية والملخص
الرياضيات هي أداة لفهم الاقتصاد ويمكن التعبير عن العلاقات الاقتصادية رياضيًا باستخدام الجبر أو الرسوم البيانية. المعادلة الجبرية للخط هي y = b + mx، حيث x هو المتغير على المحور الأفقي و y هو المتغير على المحور الرأسي، والحد b هو التقاطع y والحد m هو المنحدر. ميل الخط هو نفسه في أي نقطة على الخط ويشير إلى العلاقة (الإيجابية أو السلبية أو الصفرية) بين متغيرين اقتصاديين.
يمكن حل النماذج الاقتصادية جبريًا أو بيانيًا. تسمح لك الرسوم البيانية بتوضيح البيانات بشكل مرئي. يمكنهم توضيح الأنماط والمقارنات والاتجاهات والتقسيم من خلال تكثيف البيانات العددية وتوفير إحساس بديهي بالعلاقات في البيانات. يوضح الرسم البياني الخطي العلاقة بين متغيرين: أحدهما يظهر على المحور الأفقي والآخر على المحور الرأسي. يُظهر الرسم البياني الدائري كيفية تخصيص شيء ما، مثل مبلغ من المال أو مجموعة من الأشخاص. يتم رسم حجم كل شريحة من الفطيرة لتمثيل النسبة المقابلة من الكل. يستخدم الرسم البياني الشريطي ارتفاع الأشرطة لإظهار العلاقة، حيث يمثل كل شريط كيانًا معينًا، مثل بلد أو مجموعة من الأشخاص. يمكن أيضًا تقسيم الأشرطة الموجودة على الرسم البياني الشريطي إلى مقاطع لعرض المجموعات الفرعية.
أي رسم بياني هو منظور مرئي واحد لموضوع ما. سيعتمد الانطباع الذي يتركه على العديد من الخيارات، مثل البيانات أو الإطار الزمني المتضمن، وكيفية تقسيم البيانات أو المجموعات، والحجم النسبي للمحاور الرأسية والأفقية، وما إذا كان المقياس المستخدم في الوضع الرأسي يبدأ من الصفر. وبالتالي، يجب النظر إلى أي رسم بياني بشكل متشكك إلى حد ما، مع تذكر أن العلاقة الأساسية يمكن أن تكون مفتوحة لتفسيرات مختلفة.
مراجعة الأسئلة
التمارين
قم بتسمية ثلاثة أنواع من الرسوم البيانية وحدد باختصار الوقت الأنسب لاستخدام كل نوع من أنواع الرسوم البيانية.
التمارين
ما المنحدر على الرسم البياني الخطي؟
التمارين
ماذا تمثل شرائح المخطط الدائري؟
التمارين
لماذا يعتبر المخطط الشريطي أفضل طريقة لتوضيح المقارنات؟
التمارين
كيف يختلف مظهر المنحدر الإيجابي عن المنحدر السالب والمنحدر الصفري؟
