12.1: اختبار تباينين
يقدم هذا الفصل دالة الكثافة الاحتمالية الجديدة، وهيF التوزيع. يتم استخدام هذا التوزيع للعديد من التطبيقات بما في ذلك ANOVA ولاختبار المساواة عبر وسائل متعددة. نبدأF بالتوزيع واختبار فرضية الاختلافات في الفروق. غالبًا ما يكون من المستحسن مقارنة تباينين بدلاً من متوسطين. على سبيل المثال، يرغب مسؤولو الكلية في أن يكون لامتحاني تقدير اثنين من أساتذة الكلية نفس الاختلاف في درجاتهم. لكي يتناسب الغطاء مع الحاوية، يجب أن يكون الاختلاف في الغطاء والحاوية هو نفسه تقريبًا. قد يكون السوبر ماركت مهتمًا بتنوع أوقات تسجيل المغادرة لشخصين. في مجال التمويل، يعتبر التباين مقياسًا للمخاطر، وبالتالي فإن السؤال المثير للاهتمام هو اختبار الفرضية القائلة بأن محفظتين استثماريتين مختلفتين لهما نفس التباين، وهو التقلب.
من أجل إجراءF اختبار لنوعين مختلفين، من المهم أن يكون ما يلي صحيحًا:
- يتم توزيع المجموعات السكانية التي تم استخلاص العينتين منها بشكل طبيعي تقريبًا.
- السكان مستقلون عن بعضهم البعض.
على عكس معظم اختبارات الفرضيات الأخرى في هذا الكتاب، فإنF اختبار المساواة بين تباينين حساس جدًا للانحرافات عن الحالة الطبيعية. إذا كان التوزيعان غير طبيعيين أو قريبين، يمكن أن يعطي الاختبار نتيجة متحيزة لإحصائية الاختبار.
لنفترض أننا نأخذ عينات عشوائية من مجموعتين عاديتين مستقلتين. دعوناσ21σ22 نكون الفروق السكانية غير المعروفةs21s22 وكن عينة من الفروق. دع أحجام العينات تكونn1 وn2. نظرًا لأننا مهتمون بمقارنة تبايني العينة، فإننا نستخدمF النسبة:
F=[s21σ21][s22σ22]
Fلديه التوزيعF∼F(n1−1,n2−1)
أينn1–1 هي درجات حرية البسطn2–1 وهي درجات الحرية للقاسم.
إذا كانت الفرضية الصفرية هيσ21=σ22، تصبحF النسبة، إحصائية الاختبار،Fc=[s21σ21][s22σ22]=s21s22
الأشكال المختلفة للفرضيات التي تم اختبارها هي:
اختبار ذو ذيلين | اختبار ذو ذيل واحد | اختبار ذو ذيل واحد |
---|---|---|
H0:σ21=σ22 | H0:σ21≤σ22 | H0:σ21≥σ22 |
H1:σ21≠σ22 | H1:σ21>σ22 | H1:σ21<σ22 |
سيكون الشكل الأكثر عمومية للفرضية الصفرية والبديلة للاختبار ثنائي الذيل هو:
H0:σ21σ22=δ0
Ha:σ21σ22≠δ0
حيث إذاδ0=1 كان اختبارًا بسيطًا للفرضية القائلة بأن المتغيرين متساويان. يتمتع هذا الشكل من الفرضية بميزة السماح بإجراء اختبارات أكثر من الاختلافات البسيطة ويمكن أن تستوعب اختبارات الاختلافات المحددة كما فعلنا للاختلافات في الوسائل والاختلافات في النسب. يوضح هذا الشكل من الفرضية أيضًا العلاقة بينF التوزيع وχ2:F وهي نسبة توزيعين مربعين للتشي، وهو توزيع رأيناه في الفصل الأخير. هذا مفيد في تحديد درجات حريةF التوزيع الناتج.
إذا كانتs22 هناك تباينات متساوية بينs21 المجموعتين، فستكون القيمة قريبة وكانت إحصائية الاختبارFc=s21s22 قريبة من واحدة. ولكن إذا كان التباين السكاني مختلفين جدًا،s21s22 ويميلان إلى الاختلاف الشديد أيضًا. يؤدي اختيارs21 التباين الأكبر للعينةs21s22 إلى أن تكون النسبة أكبر من واحد. إذا كانتs21 المسافةs22 متباعدة،Fc=s21s22 فهذا رقم كبير.
لذلك، إذا كانتF قريبة من واحدة، فإن الأدلة تفضل الفرضية الصفرية (التباينان السكانيان متساويان). ولكنF إذا كانت أكبر بكثير من واحدة، فإن الدليل يتعارض مع الفرضية الصفرية. في الأساس، نسأل عما إذا كانت إحصائية F المحسوبة، إحصائية الاختبار، مختلفة بشكل كبير عن واحدة.
لتحديد النقاط الحرجة التي يتعين علينا العثور عليهاFα,df1,df2. انظر الملحق أF للجدول. يحتوي هذاF الجدول على قيم لمستويات مختلفة من الأهمية من 0.1 إلى 0.001 المعينة كـ «p» في العمود الأول. للعثور على القيمة الحرجة، اختر مستوى الأهمية المطلوب وقم بالمتابعة والعبور للعثور على القيمة الحرجة عند تقاطع درجتي الحرية المختلفتين. يتمتعF التوزيع بدرجتين مختلفتين من الحرية، واحدة مرتبطة بالبسطdf1، والأخرى مرتبطة بالقاسم،df2 ولتعقيد الأمور، فإنF التوزيع ليس متماثلًا ويغير درجة الانحراف مع تغير درجات الحرية. درجات الحرية في البسط هيn1−1، أينn1 حجم العينة للمجموعة 1، ودرجات الحرية في المقام هيn2−1، أينn2 حجم العينة للمجموعة 2. Fα,df1,df2سيعطي القيمة الحرجة في الطرف العلوي منF التوزيع.
للعثور على القيمة الحرجة للطرف الأدنى من التوزيع، قم بعكس درجات الحرية وتقسيمF القيمة -من الجدول إلى واحدة.
- القيمة الحرجة للذيل العلوي:Fα,df1,df2
- القيمة الحرجة السفلية للذيل:1/Fα,df2,df1
عندما تكون القيمة المحسوبة بين القيم الحرجة، وليس في الذيل، لا يمكننا رفض الفرضية الصفرية بأن المتغيرين جاءا من مجموعة بنفس التباين.F إذا كانت قيمة F المحسوبة في أي من الذيلين، فلا يمكننا قبول الفرضية الصفرية تمامًا كما فعلنا في جميع الاختبارات السابقة للفرضية.
طريقة بديلة للعثور على القيم الحرجةF للتوزيع تجعل استخدامF -table أسهل. نلاحظ فيF الجدول -أن جميعF القيم أكبر من واحدة، وبالتالي فإنF القيمة الحرجة للذيل الأيسر ستكون دائمًا أقل من واحدة لأنه للعثور على القيمة الحرجة على الذيل الأيسر، نقسمF القيمة إلى الرقم واحد كما هو موضح أعلاه. نلاحظ أيضًا أنه إذا كان تباين العينة في عداد إحصائية الاختبار أكبر من تباين العينة في المقام، فستكونF القيمة الناتجة أكبر من واحد. وبالتالي فإن طريقة الاختزال لهذا الاختبار هي التأكد من وضع أكبر تباينَي العينة في البسط لحساب إحصائية الاختبار. هذا يعني أنه يجب العثور على القيمة الحرجة للذيل الأيمن فقط فيF الجدول -table.
المثال 12.1
يهتم اثنان من معلمي الكلية بما إذا كان هناك أي اختلاف في طريقة تقييمهم لامتحانات الرياضيات أم لا. كل منهم يصنف نفس المجموعة المكونة من 10 اختبارات. تختلف درجات المعلم الأول بمقدار 52.3. تختلف درجات المعلم الثاني بنسبة 89.9. اختبر الادعاء بأن التباين الخاص بالمدرس الأول أصغر. (في معظم الكليات، من المستحسن أن تكون الاختلافات في درجات الاختبار هي نفسها تقريبًا بين المعلمين.) مستوى الأهمية هو 10٪.
- إجابة
-
الحل 12.1
اجعل 1 و 2 هما النصين الفرعيين اللذين يشيران إلى المعلم الأول والثاني، على التوالي.
n1=n2=10.
H0:σ21≥σ22وHa:σ21<σ22
احسب إحصائية الاختبار: من خلال الفرضية الصفرية (σ21≥σ22)، تكونF الإحصائية:
Fc=s22s21=89.952.3=1.719
القيمة الحرجة للاختبار:F9,9=5.35 أينn1–1=9 وn2–1=9.
الشكل 12.2 اتخاذ قرار: نظرًا لأنF القيمة المحسوبة ليست في الذيل، فلا يمكننا رفضهاH0.
الخلاصة: مع مستوى الأهمية بنسبة 10٪، من البيانات، لا توجد أدلة كافية لاستنتاج أن التباين في الدرجات للمدرب الأول أصغر.
التمرين 12.1
تقسم جمعية نيويورك الكورالية المطربين الذكور إلى أربع فئات من أعلى الأصوات إلى الأدنى: Tenor1 و Tenor2 و Bass1 و Bass2. في الجدول توجد ارتفاعات الرجال في مجموعتي Tenor1 و Bass2. يشك المرء في أن الرجال الأطول سيكون لديهم أصوات أقل، وأن تباين الارتفاع قد يرتفع مع الأصوات المنخفضة أيضًا. هل لدينا دليل جيد على اختلاف ارتفاعات المطربين في كل من هاتين المجموعتين (Tenor1 و Bass2)؟
المدة 1 | باس 2 | تينور 1 | باس 2 | تينور 1 | باس 2 |
---|---|---|---|---|---|
69 | 72 | 67 | 72 | 68 | 67 |
72 | 75 | 70 | 74 | 67 | 70 |
71 | 67 | 65 | 70 | 64 | 70 |
66 | 75 | 72 | 66 | 69 | |
76 | 74 | 70 | 68 | 72 | |
74 | 72 | 68 | 75 | 71 | |
71 | 72 | 64 | 68 | 74 | |
66 | 74 | 73 | 70 | 75 | |
68 | 72 | 66 | 72 |