Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

12.1: اختبار تباينين

يقدم هذا الفصل دالة الكثافة الاحتمالية الجديدة، وهيF التوزيع. يتم استخدام هذا التوزيع للعديد من التطبيقات بما في ذلك ANOVA ولاختبار المساواة عبر وسائل متعددة. نبدأF بالتوزيع واختبار فرضية الاختلافات في الفروق. غالبًا ما يكون من المستحسن مقارنة تباينين بدلاً من متوسطين. على سبيل المثال، يرغب مسؤولو الكلية في أن يكون لامتحاني تقدير اثنين من أساتذة الكلية نفس الاختلاف في درجاتهم. لكي يتناسب الغطاء مع الحاوية، يجب أن يكون الاختلاف في الغطاء والحاوية هو نفسه تقريبًا. قد يكون السوبر ماركت مهتمًا بتنوع أوقات تسجيل المغادرة لشخصين. في مجال التمويل، يعتبر التباين مقياسًا للمخاطر، وبالتالي فإن السؤال المثير للاهتمام هو اختبار الفرضية القائلة بأن محفظتين استثماريتين مختلفتين لهما نفس التباين، وهو التقلب.

من أجل إجراءF اختبار لنوعين مختلفين، من المهم أن يكون ما يلي صحيحًا:

  1. يتم توزيع المجموعات السكانية التي تم استخلاص العينتين منها بشكل طبيعي تقريبًا.
  2. السكان مستقلون عن بعضهم البعض.

على عكس معظم اختبارات الفرضيات الأخرى في هذا الكتاب، فإنF اختبار المساواة بين تباينين حساس جدًا للانحرافات عن الحالة الطبيعية. إذا كان التوزيعان غير طبيعيين أو قريبين، يمكن أن يعطي الاختبار نتيجة متحيزة لإحصائية الاختبار.

لنفترض أننا نأخذ عينات عشوائية من مجموعتين عاديتين مستقلتين. دعونا\sigma_1^2\sigma_2^2 نكون الفروق السكانية غير المعروفةs_1^2s_2^2 وكن عينة من الفروق. دع أحجام العينات تكونn_1 وn_2. نظرًا لأننا مهتمون بمقارنة تبايني العينة، فإننا نستخدمF النسبة:

F=\frac{\left[\frac{s_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}\right]}{\left[\frac{s_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]}

Fلديه التوزيعF \sim F\left(n_{1}-1, n_{2}-1\right)

أينn_1 – 1 هي درجات حرية البسطn_2 – 1 وهي درجات الحرية للقاسم.

إذا كانت الفرضية الصفرية هي\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}، تصبحF النسبة، إحصائية الاختبار،F_{c}=\frac{\left[\frac{s_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}}\right]}{\left[\frac{s_{2}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]}=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}

الأشكال المختلفة للفرضيات التي تم اختبارها هي:

اختبار ذو ذيلين اختبار ذو ذيل واحد اختبار ذو ذيل واحد
\mathrm{H}_{0} : \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} \mathrm{H}_{0} : \sigma_{1}^{2} \leq \sigma_{2}^{2} \mathrm{H}_{0} : \sigma_{1}^{2} \geq \sigma_{2}^{2}
\mathrm{H}_{1} : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \mathrm{H}_{1} : \sigma_{1}^{2}>\sigma_{2}^{2} \mathrm{H}_{1} : \sigma_{1}^{2}<\sigma_{2}^{2}
الجدول 12-1

سيكون الشكل الأكثر عمومية للفرضية الصفرية والبديلة للاختبار ثنائي الذيل هو:

H_{0} : \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}=\delta_{0}\nonumber

H_{a} : \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} \neq \delta_{0}\nonumber

حيث إذا\delta_{0}=1 كان اختبارًا بسيطًا للفرضية القائلة بأن المتغيرين متساويان. يتمتع هذا الشكل من الفرضية بميزة السماح بإجراء اختبارات أكثر من الاختلافات البسيطة ويمكن أن تستوعب اختبارات الاختلافات المحددة كما فعلنا للاختلافات في الوسائل والاختلافات في النسب. يوضح هذا الشكل من الفرضية أيضًا العلاقة بينF التوزيع و\chi^2:F وهي نسبة توزيعين مربعين للتشي، وهو توزيع رأيناه في الفصل الأخير. هذا مفيد في تحديد درجات حريةF التوزيع الناتج.

إذا كانتs_2^2 هناك تباينات متساوية بينs_1^2 المجموعتين، فستكون القيمة قريبة وكانت إحصائية الاختبارF_{c}=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} قريبة من واحدة. ولكن إذا كان التباين السكاني مختلفين جدًا،s_1^2s_2^2 ويميلان إلى الاختلاف الشديد أيضًا. يؤدي اختيارs_1^2 التباين الأكبر للعينة\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} إلى أن تكون النسبة أكبر من واحد. إذا كانتs_1^2 المسافةs_2^2 متباعدة،F_{c}=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} فهذا رقم كبير.

لذلك، إذا كانتF قريبة من واحدة، فإن الأدلة تفضل الفرضية الصفرية (التباينان السكانيان متساويان). ولكنF إذا كانت أكبر بكثير من واحدة، فإن الدليل يتعارض مع الفرضية الصفرية. في الأساس، نسأل عما إذا كانت إحصائية F المحسوبة، إحصائية الاختبار، مختلفة بشكل كبير عن واحدة.

لتحديد النقاط الحرجة التي يتعين علينا العثور عليهاF_{\alpha,df1,df2}. انظر الملحق أF للجدول. يحتوي هذاF الجدول على قيم لمستويات مختلفة من الأهمية من 0.1 إلى 0.001 المعينة كـ «p» في العمود الأول. للعثور على القيمة الحرجة، اختر مستوى الأهمية المطلوب وقم بالمتابعة والعبور للعثور على القيمة الحرجة عند تقاطع درجتي الحرية المختلفتين. يتمتعF التوزيع بدرجتين مختلفتين من الحرية، واحدة مرتبطة بالبسط_{df1}، والأخرى مرتبطة بالقاسم،_{df2} ولتعقيد الأمور، فإنF التوزيع ليس متماثلًا ويغير درجة الانحراف مع تغير درجات الحرية. درجات الحرية في البسط هيn_1-1، أينn_1 حجم العينة للمجموعة 1، ودرجات الحرية في المقام هيn_2-1، أينn_2 حجم العينة للمجموعة 2. F_{\alpha,df1,df2}سيعطي القيمة الحرجة في الطرف العلوي منF التوزيع.

للعثور على القيمة الحرجة للطرف الأدنى من التوزيع، قم بعكس درجات الحرية وتقسيمF القيمة -من الجدول إلى واحدة.

  • القيمة الحرجة للذيل العلوي:F_{\alpha,df1,df2}
  • القيمة الحرجة السفلية للذيل:1/F_{\alpha,df2,df1}

عندما تكون القيمة المحسوبة بين القيم الحرجة، وليس في الذيل، لا يمكننا رفض الفرضية الصفرية بأن المتغيرين جاءا من مجموعة بنفس التباين.F إذا كانت قيمة F المحسوبة في أي من الذيلين، فلا يمكننا قبول الفرضية الصفرية تمامًا كما فعلنا في جميع الاختبارات السابقة للفرضية.

طريقة بديلة للعثور على القيم الحرجةF للتوزيع تجعل استخدامF -table أسهل. نلاحظ فيF الجدول -أن جميعF القيم أكبر من واحدة، وبالتالي فإنF القيمة الحرجة للذيل الأيسر ستكون دائمًا أقل من واحدة لأنه للعثور على القيمة الحرجة على الذيل الأيسر، نقسمF القيمة إلى الرقم واحد كما هو موضح أعلاه. نلاحظ أيضًا أنه إذا كان تباين العينة في عداد إحصائية الاختبار أكبر من تباين العينة في المقام، فستكونF القيمة الناتجة أكبر من واحد. وبالتالي فإن طريقة الاختزال لهذا الاختبار هي التأكد من وضع أكبر تباينَي العينة في البسط لحساب إحصائية الاختبار. هذا يعني أنه يجب العثور على القيمة الحرجة للذيل الأيمن فقط فيF الجدول -table.

المثال 12.1

يهتم اثنان من معلمي الكلية بما إذا كان هناك أي اختلاف في طريقة تقييمهم لامتحانات الرياضيات أم لا. كل منهم يصنف نفس المجموعة المكونة من 10 اختبارات. تختلف درجات المعلم الأول بمقدار 52.3. تختلف درجات المعلم الثاني بنسبة 89.9. اختبر الادعاء بأن التباين الخاص بالمدرس الأول أصغر. (في معظم الكليات، من المستحسن أن تكون الاختلافات في درجات الاختبار هي نفسها تقريبًا بين المعلمين.) مستوى الأهمية هو 10٪.

إجابة

الحل 12.1

اجعل 1 و 2 هما النصين الفرعيين اللذين يشيران إلى المعلم الأول والثاني، على التوالي.

n_1 = n_2 = 10.

H_{0} : \sigma_{1}^{2} \geq \sigma_{2}^{2}وH_{a} : \sigma_{1}^{2}<\sigma_{2}^{2}

احسب إحصائية الاختبار: من خلال الفرضية الصفرية (\sigma_{1}^{2} \geq \sigma_{2}^{2})، تكونF الإحصائية:

F_{c}=\frac{s_{2}^{2}}{s_{1}^{2}}=\frac{89.9}{52.3}=1.719

القيمة الحرجة للاختبار:F_{9,9}=5.35 أينn_1 – 1 = 9 وn_2 – 1 = 9.

يوضح هذا الرسم البياني منحنى توزيع F غير متماثل. المنحنى منحرف قليلاً إلى اليمين، ولكنه طبيعي تقريبًا. يتم وضع علامة على القيمة 0.5818 على المحور الرأسي على يمين قمة المنحنى. يمتد الخط الرأسي الصاعد من 0.5818 إلى المنحنى ويتم تظليل المنطقة الموجودة على يسار هذا الخط لتمثيل القيمة p.
الشكل 12.2

اتخاذ قرار: نظرًا لأنF القيمة المحسوبة ليست في الذيل، فلا يمكننا رفضهاH_0.

الخلاصة: مع مستوى الأهمية بنسبة 10٪، من البيانات، لا توجد أدلة كافية لاستنتاج أن التباين في الدرجات للمدرب الأول أصغر.

التمرين 12.1

تقسم جمعية نيويورك الكورالية المطربين الذكور إلى أربع فئات من أعلى الأصوات إلى الأدنى: Tenor1 و Tenor2 و Bass1 و Bass2. في الجدول توجد ارتفاعات الرجال في مجموعتي Tenor1 و Bass2. يشك المرء في أن الرجال الأطول سيكون لديهم أصوات أقل، وأن تباين الارتفاع قد يرتفع مع الأصوات المنخفضة أيضًا. هل لدينا دليل جيد على اختلاف ارتفاعات المطربين في كل من هاتين المجموعتين (Tenor1 و Bass2)؟

المدة 1 باس 2 تينور 1 باس 2 تينور 1 باس 2
69 72 67 72 68 67
72 75 70 74 67 70
71 67 65 70 64 70
66 75 72 66 69
76 74 70 68 72
74 72 68 75 71
71 72 64 68 74
66 74 73 70 75
68 72 66 72
الجدول 12-2