11.2: اختبار التباين الفردي

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198813

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

حتى الآن كان اهتمامنا حصريًا بمعيار السكان\(μ\) أو نظيره في المعادلة ذات الحدين,\(p\). من المؤكد أن متوسط عدد السكان هو أهم جزء من المعلومات التي يجب الحصول عليها، ولكن في بعض الحالات نحن مهتمون بتنوع نتائج بعض التوزيع. في جميع عمليات الإنتاج تقريبًا، لا يتم قياس الجودة فقط من خلال مدى تطابق الماكينة مع الهدف، ولكن أيضًا من خلال تنوع العملية. إذا كان المرء يملأ الأكياس برقائق البطاطس، فلن يكون هناك اهتمام فقط بمتوسط وزن الكيس، ولكن أيضًا بمدى الاختلاف في الأوزان. لا أحد يريد أن يتأكد من أن متوسط الوزن دقيق عندما لا تحتوي حقيبته على رقائق. قد يلبي جهد الكهرباء بعض المستويات المتوسطة، ولكن التباين الكبير، والارتفاع، يمكن أن يتسبب في أضرار جسيمة للآلات الكهربائية، وخاصة أجهزة الكمبيوتر. لا أرغب فقط في الحصول على متوسط مرتفع في فصولي، ولكن أيضًا اختلاف منخفض حول هذا المتوسط. باختصار، الاختبارات الإحصائية المتعلقة بتباين التوزيع لها قيمة كبيرة والعديد من التطبيقات.

يفترض اختبار التباين الفردي أن التوزيع الأساسي طبيعي. تم ذكر الفرضيات الباطلة والبديلة من حيث التباين السكاني. إحصائية الاختبار هي:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber\]

حيث:

\(n\)= إجمالي عدد الملاحظات في بيانات العينة
\(s^2\)= تباين العينة
\(\sigma_{0}^{2}\)= القيمة المفترضة للتباين السكاني
\(H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}\)

قد تفكر في s كمتغير عشوائي في هذا الاختبار. عدد درجات الحرية هو\(df = n - 1\). قد يكون اختبار التباين الفردي ذو الذيل الأيمن أو الأيسر أو ذو الذيل المزدوج. \(\PageIndex{1}\)سيوضح لك المثال كيفية إعداد الفرضيات الفارغة والبديلة. تحتوي الفرضيات الصفرية والبديلة على بيانات حول التباين السكاني.

مثال\(\PageIndex{1}\)

لا يهتم مدرسو الرياضيات فقط بكيفية أداء طلابهم في الاختبارات، في المتوسط، ولكن أيضًا بكيفية اختلاف درجات الاختبار. بالنسبة للعديد من المعلمين، قد يكون التباين (أو الانحراف المعياري) أكثر أهمية من المتوسط.

لنفترض أن مدرب الرياضيات يعتقد أن الانحراف المعياري لامتحانه النهائي هو خمس نقاط. يعتقد أحد أفضل طلابه خلاف ذلك. يدعي الطالب أن الانحراف المعياري هو أكثر من خمس نقاط. إذا كان على الطالب إجراء اختبار الفرضيات، فما هي الفرضيات الباطلة والبديلة؟

إجابة

على الرغم من أننا حصلنا على الانحراف المعياري للسكان، يمكننا إعداد الاختبار باستخدام التباين السكاني على النحو التالي.

\(H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{1}\)

يريد مدرب SCUBA تسجيل الأعماق الجماعية لكل من طلابه أثناء الخروج. إنه مهتم بكيفية اختلاف الأعماق، على الرغم من أنه كان يجب أن يكون الجميع في نفس العمق. يعتقد أن الانحراف المعياري هو ثلاثة أقدام. يعتقد مساعده أن الانحراف المعياري أقل من ثلاثة أقدام. إذا كان على المعلم إجراء اختبار، فما هي الفرضيات الباطلة والبديلة؟

مثال\(\PageIndex{2}\)

مع وجود خطوط فردية في نوافذه المختلفة، يجد مكتب البريد أن الانحراف المعياري لأوقات الانتظار للعملاء بعد ظهر يوم الجمعة هو 7.2 دقيقة. يقوم مكتب البريد بتجربة خط انتظار رئيسي واحد ويجد أنه بالنسبة لعينة عشوائية من 25 عميلًا، فإن أوقات انتظار العملاء لها انحراف معياري قدره 3.5 دقيقة بعد ظهر يوم الجمعة.

مع مستوى الأهمية البالغ 5٪، اختبر الادعاء بأن الخط الواحد يسبب تباينًا أقل بين أوقات انتظار العملاء.

إجابة

نظرًا لأن الادعاء هو أن السطر الواحد يسبب تباينًا أقل، فهذا اختبار لتباين واحد. المعلمة هي التباين السكاني،\(\sigma^2\).

المتغير العشوائي: الانحراف المعياري للعينة\(s\)، هو المتغير العشوائي. Let\(s\) = الانحراف المعياري لأوقات الانتظار.

\(H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}\)

التوزيع للاختبار:\(\chi_{24}^{2}\)، حيث:

\(n\)= عدد العملاء الذين تم أخذ عينات منهم
\(df = n – 1 = 25 – 1 = 24\)

احسب إحصائية الاختبار:

\(\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67\)

أين\(n = 25\)\(s = 3.5\)، و\(\sigma = 7.2\).

هذا هو منحنى مربع كاي غير متماثل بقيم 0 و5.67 مُصنَّفة على المحور الأفقي. تقع النقطة 5.67 على يسار قمة المنحنى. يمتد الخط الرأسي الصاعد من 5.67 إلى المنحنى والمنطقة الموجودة على يسار هذا الخط مظللة. المنطقة المظللة تساوي قيمة p.

يُظهر الرسم البياني لمربع CHI التوزيع ويحدد القيمة الحرجة بـ 24 درجة من الحرية بمستوى 95٪ من الثقة\(\alpha = 0.05\)، 13.85. جاءت القيمة الحرجة لـ 13.85 من جدول Chi المربّع الذي يُقرأ كثيرًا مثل الطلاب على الطاولة. الفرق هو أن الطلاب في التوزيع متماثل وتوزيع Chi Squared ليس كذلك. في الجزء العلوي من جدول Chi squared، لا نرى فقط 0.05 و 0.10 المألوفة وما إلى ذلك ولكن أيضًا 0.95 و 0.975 وما إلى ذلك، وهذه هي الأعمدة المستخدمة للعثور على القيمة الحرجة لليد اليسرى. يشير الرسم البياني أيضًا إلى إحصائية\(\chi^2\) الاختبار المحسوبة لـ 5.67. وبمقارنة إحصائية الاختبار بالقيمة الحرجة، كما فعلنا مع جميع اختبارات الفرضيات الأخرى، نصل إلى النتيجة.

تخبرك كلمة «أقل» أن هذا اختبار ذو ذيل يساري.

اتخاذ قرار: نظرًا لأن إحصائية الاختبار المحسوبة موجودة في الذيل، فلا يمكننا قبولها\(H_0\). هذا يعني أنك ترفض\(\sigma^2 \geq 7.2^2\). بمعنى آخر، لا تعتقد أن الاختلاف في أوقات الانتظار هو 7.2 دقيقة أو أكثر؛ تعتقد أن الاختلاف في أوقات الانتظار أقل.

الخلاصة: عند مستوى الأهمية بنسبة 5٪، من البيانات، هناك أدلة كافية لاستنتاج أن الخط الواحد يسبب تباينًا أقل بين أوقات الانتظار أو مع سطر واحد، تختلف أوقات انتظار العملاء أقل من 7.2 دقيقة.

مثال\(\PageIndex{3}\)

يعاني البروفيسور هادلي من ضعف في تناول الكعك المحشو بالكريمة، لكنه يعتقد أن بعض المخابز لا تملأ الكعك بشكل صحيح. تكشف عينة مكونة من 24 قطعة دونات عن كمية متوسطة من الحشوة تساوي 0.04 كوب، والانحراف المعياري للعينة هو 0.11 كوب. البروفيسور هادلي لديه مصلحة في متوسط كمية الحشوة، بالطبع، لكنه يشعر بالأسى بشكل خاص إذا كانت إحدى الدونات مختلفة جذريًا عن الأخرى. البروفيسور هادلي لا يحب المفاجآت.

اختبر بنسبة 95٪ الفرضية الصفرية القائلة بأن التباين السكاني لحشو الكعك يختلف اختلافًا كبيرًا عن متوسط كمية التعبئة.

إجابة

من الواضح أن هذه مشكلة في التعامل مع الفروق. في هذه الحالة، نقوم باختبار عينة واحدة بدلاً من مقارنة عينتين من مجموعات سكانية مختلفة. وبالتالي فإن الفرضيات الباطلة والبديلة هي:

\[H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber\]

\[H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber\]

تم إعداد الاختبار كاختبار ذو ذيلين لأن البروفيسور هادلي أبدى قلقًا بشأن الاختلاف الكبير في التعبئة بالإضافة إلى القليل جدًا: عدم إعجابه بالمفاجأة هو أي مستوى من التعبئة خارج المتوسط المتوقع البالغ 0.04 كوب. يتم حساب إحصائية الاختبار لتكون:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber\]

إحصائية\(\chi^2\) الاختبار المحسوبة، 6.96، موجودة في الذيل، وبالتالي عند مستوى 0.05 من الأهمية، لا يمكننا قبول الفرضية الصفرية بأن التباين في حشوة الكعك يساوي 0.04 كوب. يبدو أن البروفيسور هادلي مقدر له أن يواجه خيبة الأمل مع كل جزء.

التمارين الرياضية\(\PageIndex{3}\)

تجري لجنة الاتصالات الفيدرالية (FCC) اختبارات سرعة النطاق العريض لقياس مقدار البيانات التي تمر في الثانية بين كمبيوتر المستهلك والإنترنت. اعتبارًا من أغسطس 2012، كان الانحراف المعياري لسرعات الإنترنت عبر مزودي خدمة الإنترنت (ISPs) 12.2 بالمائة. لنفترض أنه تم أخذ عينة من 15 مزود خدمة إنترنت، وأن الانحراف المعياري هو 13.2. يدعي أحد المحللين أن الانحراف المعياري للسرعات أكثر مما تم الإبلاغ عنه. اذكر الفرضيات الفارغة والبديلة، واحسب درجات الحرية، وإحصائية الاختبار، وارسم الرسم البياني للتوزيع وحدد المنطقة المرتبطة بمستوى الثقة، واستخلص النتيجة. اختبار على مستوى أهمية 1٪.