Skip to main content
Global

7.2: استخدام نظرية الحد المركزي

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199008

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أمثلة على نظرية الحد المركزي

    قانون الأعداد الكبيرة

    ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه إذا أخذت عينات ذات حجم أكبر وأكبر من أي مجموعة سكانية، فإن متوسط توزيع العينات\(\mu_{\overline x}\) يميل إلى الاقتراب أكثر فأكثر من متوسط السكان الحقيقي،\(\mu\). من نظرية الحد المركزي، نعلم أنه\(n\) كلما زاد حجمه وكبر، فإن العينة تعني اتباع التوزيع الطبيعي. كلما زاد عدد n، كلما قل الانحراف المعياري لتوزيع العينات. (تذكر أن الانحراف المعياري لتوزيع العينات\(\overline X\) هو\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).) هذا يعني أن متوسط العينة\(\overline x\) يجب أن يكون أقرب إلى متوسط عدد السكان\(\mu\) مع\(n\) الزيادة. يمكننا القول أن هذه\(\mu\) هي القيمة التي تعني العينة النهج مع زيادة n. توضح نظرية الحد المركزي قانون الأعداد الكبيرة.

    هذا المفهوم مهم جدًا ويلعب دورًا حاسمًا في ما يلي ويستحق المزيد من التطوير. في الواقع، هناك مسألتان مهمتان تنبعان من نظرية الحد المركزي وتطبيق قانون الأعداد الكبيرة عليها. هذه هي

    1. عادة ما يتم توزيع دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع العينات للوسائل بغض النظر عن التوزيع الأساسي لملاحظات السكان و
    2. يتناقص الانحراف المعياري لتوزيع العينات مع زيادة حجم العينات التي استخدمت لحساب وسائل توزيع العينات.

    أخذ هذه بالترتيب. قد يبدو من غير المنطقي أن يكون لدى السكان أي توزيع وأن توزيع الوسائل القادمة منه سيتم توزيعه بشكل طبيعي. باستخدام أجهزة الكمبيوتر، يمكن محاكاة التجارب التي توضح العملية التي يتغير بها توزيع العينات مع زيادة حجم العينة. تُظهر عمليات المحاكاة هذه بصريًا نتائج البرهان الرياضي لنظرية الحد المركزي.

    فيما يلي ثلاثة أمثلة لتوزيعات سكانية مختلفة جدًا وتطور توزيع العينات إلى توزيع طبيعي مع زيادة حجم العينة. تمثل اللوحة العلوية في هذه الحالات الرسم البياني للبيانات الأصلية. تُظهر اللوحات الثلاث الرسوم البيانية لـ 1,000 عينة مرسومة عشوائيًا لأحجام عينات مختلفة:\(n=10\)\(n= 25\) و\(n=50\). مع زيادة حجم العينة، وبقاء عدد العينات المأخوذة ثابتًا، يصبح توزيع 1000 عينة أقرب إلى الخط الأملس الذي يمثل التوزيع الطبيعي.

    الشكل\(\PageIndex{3}\) مخصص للتوزيع الطبيعي للملاحظات الفردية ونتوقع أن يتقارب توزيع العينات مع الوضع الطبيعي بسرعة. تظهر النتائج ذلك وتظهر أنه حتى في حجم العينة الصغير جدًا، يكون التوزيع قريبًا من التوزيع الطبيعي.

    الشكل\(\PageIndex{3}\)

    الشكل\(\PageIndex{4}\) عبارة عن توزيع موحد، وبشكل مذهل بعض الشيء، اقترب بسرعة من التوزيع الطبيعي حتى مع وجود عينة من 10 فقط.

    الشكل\(\PageIndex{4}\)

    الشكل\(\PageIndex{5}\) عبارة عن توزيع منحرف. يمكن أن يكون هذا الأخير عبارة عن معادلة أسية أو هندسية أو ذات حدين مع احتمال ضئيل للنجاح في إحداث الانحراف في التوزيع. بالنسبة للتوزيعات المنحرفة، قد يقول حدسنا أن هذا سيستغرق أحجام عينات أكبر للانتقال إلى التوزيع الطبيعي وهذا بالفعل ما نلاحظه من المحاكاة. ومع ذلك، عند حجم عينة يبلغ 50، لا تعتبر عينة كبيرة جدًا، اكتسب توزيع وسائل العينة بالتأكيد شكل التوزيع الطبيعي.

    الشكل\(\PageIndex{5}\)

    توفر نظرية الحد المركزي أكثر من دليل على أن توزيع عينات الوسائل يتم توزيعه بشكل طبيعي. كما أنه يوفر لنا المتوسط والانحراف المعياري لهذا التوزيع. علاوة على ذلك، كما تمت مناقشته أعلاه\(\mu_{\overline{x}}\)، فإن القيمة المتوقعة للمتوسط تساوي متوسط عدد سكان البيانات الأصلية وهو ما يهمنا تقديره من العينة التي أخذناها. لقد أدخلنا بالفعل هذا الاستنتاج لنظرية الحد المركزي في الصيغة التي نستخدمها للتوحيد القياسي من توزيع العينات إلى التوزيع الطبيعي القياسي. وأخيرًا، قدمت نظرية الحد المركزي أيضًا الانحراف المعياري لتوزيع العينات\(\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)، وهذا أمر بالغ الأهمية لحساب احتمالات قيم المتغير العشوائي الجديد\(\overline x\).

    \(\PageIndex{6}\)يوضح الشكل توزيع العينات. تم تحديد المتوسط على المحور الأفقي\(\overline X\) لـ s وتم كتابة الانحراف المعياري على اليمين فوق التوزيع. لاحظ أن الانحراف المعياري لتوزيع العينات هو الانحراف المعياري الأصلي للسكان، مقسومًا على حجم العينة. لقد رأينا بالفعل أنه مع زيادة حجم العينة يصبح توزيع العينات أقرب وأقرب إلى التوزيع الطبيعي. وعند حدوث ذلك، يتغير الانحراف المعياري لتوزيع العينات بطريقة أخرى؛ وينخفض الانحراف المعياري كلما\(n\) زاد. على نطاق واسع جدًا\(n\)، يصبح الانحراف المعياري لتوزيع العينات صغيرًا جدًا وعند اللانهاية ينهار فوق المتوسط السكاني. هذا ما يعنيه أن القيمة المتوقعة\(\mu_{\overline{x}}\) هي متوسط عدد السكان,\(\mu\).

    ..

    الشكل\(\PageIndex{6}\)

    في القيم غير المتطرفة لـ\(n\)، تلعب هذه العلاقة بين الانحراف المعياري لتوزيع العينات وحجم العينة دورًا مهمًا جدًا في قدرتنا على تقدير المعلمات التي نهتم بها.

    \(\PageIndex{7}\)يوضح الشكل ثلاثة توزيعات لأخذ العينات. التغيير الوحيد الذي تم إجراؤه هو حجم العينة الذي تم استخدامه للحصول على وسائل العينة لكل توزيع. مع زيادة حجم العينة،\(n\) من 10 إلى 30 إلى 50، تنخفض الانحرافات المعيارية لتوزيعات العينات ذات الصلة لأن حجم العينة يقع في مقام الانحرافات المعيارية لتوزيعات العينات.

    ..

    الشكل\(\PageIndex{7}\)

    الآثار المترتبة على ذلك مهمة للغاية. \(\PageIndex{8}\)يوضح الشكل تأثير حجم العينة على الثقة التي سنحصل عليها في تقديراتنا. هذان توزيعان لأخذ العينات من نفس المجموعة السكانية. تم إنشاء توزيع واحد لأخذ العينات بعينات من الحجم 10 والآخر مع عينات من الحجم 50. كل الأشياء الأخرى ثابتة، فإن توزيع العينات بحجم العينة 50 له انحراف معياري أصغر يجعل الرسم البياني أعلى وأضيق. التأثير المهم لهذا هو أنه بالنسبة لنفس احتمال انحراف معياري واحد عن المتوسط، فإن هذا التوزيع يغطي نطاقًا أقل بكثير من القيم المحتملة مقارنة بالتوزيع الآخر. يتم وضع علامة انحراف معياري واحد على\(\overline X\) المحور لكل توزيع. يظهر ذلك من خلال السهمين اللذين يزيد أو ينقصهما انحراف معياري واحد لكل توزيع. إذا كان احتمال أن المتوسط الحقيقي هو انحراف معياري واحد بعيدًا عن المتوسط، فعند توزيع العينات بحجم العينة الأصغر، يكون النطاق المحتمل للقيم أكبر بكثير. السؤال البسيط هو، هل تفضل الحصول على عينة متوسطة من التوزيع الضيق أو الضيق أو التوزيع المسطح الواسع كما يعني تقدير عدد السكان؟ تخبرنا إجابتك لماذا يختار الأشخاص بشكل بديهي دائمًا البيانات من عينة كبيرة بدلاً من عينة صغيرة. العينة تعني أنهم يحصلون عليها تأتي من توزيع أكثر إحكاما. سيكون هذا المفهوم الأساس لما سيطلق عليه مستوى الثقة في الوحدة التالية.

    ..

    الشكل\(\PageIndex{8}\)