Skip to main content
Global

7.0: مقدمة لنظرية الحد المركزي

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    198984

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    لماذا نحن مهتمون للغاية بالوسائل؟ هناك سببان هما: أنها توفر لنا أرضية وسطية للمقارنة، ويسهل حسابها. في هذا الفصل، سوف تدرس الوسائل ونظرية الحد المركزي.

    تعد نظرية الحد المركزي واحدة من أقوى الأفكار المفيدة في جميع الإحصاءات. نظرية الحد المركزي هي نظرية تعني أنها ليست نظرية أو مجرد فكرة شخص ما عن الطريقة التي تعمل بها الأشياء. وهي كنظرية تتوافق مع نظرية فيثاغورس، أو النظرية التي تخبرنا أن مجموع زوايا المثلث يجب أن يساوي 180. هذه حقائق عن طرق العالم التي تم إثباتها بدقة من خلال الدقة الرياضية والمنطق. كما سنرى، ستحدد هذه النظرية القوية ما يمكننا وما لا يمكننا قوله في الإحصاء الاستنتاجي. تهتم نظرية الحد المركزي برسم عينات محدودة من الحجم\(n\) من مجموعة ذات متوسط معروف,\(\mu\), وانحراف معياري معروف,\(\sigma\). والاستنتاج هو أننا إذا قمنا بجمع عينات\(n\) بحجم «كبير بما يكفي»\(n\)، وحساب متوسط كل عينة، وإنشاء رسم بياني (توزيع) لهذه الوسائل، فإن التوزيع الناتج سيميل إلى أن يكون له توزيع طبيعي تقريبي.

    والنتيجة المذهلة هي أنه لا يهم توزيع السكان الأصليين، أو ما إذا كنت بحاجة إلى معرفة ذلك. الحقيقة المهمة هي أن توزيع وسائل العينة يميل إلى اتباع التوزيع الطبيعي.

    هذه صورة لتغيير مجموعة من المفاتيح في كومة. يبدو أن هناك خمسة بنسات وثلاثة أرباع وأربعة ديمات واثنين من النيكل. يحتوي خاتم المفاتيح على حوت برونزي ويحمل أحد عشر مفتاحًا.
    الشكل:\(\PageIndex{1}\) إذا كنت ترغب في معرفة توزيع التغيير الذي يحمله الأشخاص في جيوبهم، باستخدام نظرية الحد المركزي وبافتراض أن العينة كبيرة بما يكفي، ستجد أن التوزيع هو دالة الكثافة الاحتمالية العادية. (تصوير: جون لودر)

    يعتمد حجم العينة المطلوب لكي تكون «كبيرة بما يكفي» على المجموعة الأصلية التي يتم سحب العينات منها (يجب أن يكون حجم العينة 30 على الأقل أو يجب أن تأتي البيانات من توزيع عادي).\(n\) إذا كان عدد السكان الأصليين بعيدًا عن المعدل الطبيعي، فستكون هناك حاجة إلى مزيد من الملاحظات لوسائل العينة. يتم أخذ العينات بشكل عشوائي ومع الاستبدال في النموذج النظري.