Skip to main content
Global

4.10: مراجعة الفصل

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199147

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    مقدمة

    فيما يلي خصائص التوزيع الاحتمالي أو دالة الكثافة (PDF):

    1. يتراوح كل احتمال بين صفر وواحد، بما في ذلك (بما في ذلك الوسائل لتضمين الصفر والواحد).
    2. مجموع الاحتمالات هو واحد.

    4.1 التوزيع الهندسي الفائق

    يمكن أن توفر الصيغة الاندماجية عدد المجموعات الفرعية الفريدة من الحجم\(x\) التي يمكن إنشاؤها من كائنات\(n\) فريدة لمساعدتنا في حساب الاحتمالات. الصيغة الاندماجية هي\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

    التجربة الهندسية الفائقة هي تجربة إحصائية بالخصائص التالية:

    1. يمكنك أخذ عينات من مجموعتين.
    2. أنت مهتم بمجموعة من الاهتمامات تسمى المجموعة الأولى.
    3. يمكنك أخذ عينات بدون استبدال من المجموعات المدمجة.
    4. كل اختيار ليس مستقلاً، لأن أخذ العينات بدون استبدال.

    تتناسب نتائج تجربة الهندسة الفائقة مع التوزيع الاحتمالي الفائق. المتغير العشوائي\(X =\) هو عدد العناصر من مجموعة الاهتمام. \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\).

    توزيع ذو حدين

    يمكن تصنيف التجربة الإحصائية كتجربة ذات حدين إذا تم استيفاء الشروط التالية:

    1. هناك عدد ثابت من التجارب،\(n\).
    2. هناك نتيجتان محتملتان فقط، تسمى «النجاح» و «الفشل» لكل تجربة. \(p\)تشير الرسالة إلى احتمال النجاح في تجربة واحدة\(q\) وتشير إلى احتمال الفشل في تجربة واحدة.
    3. \(n\)التجارب مستقلة ويتم تكرارها باستخدام شروط متطابقة.

    تتناسب نتائج التجربة ذات الحدين مع التوزيع الاحتمالي ذي الحدين. المتغير العشوائي\(X =\) هو عدد النجاحات التي تم الحصول عليها في التجارب\(n\) المستقلة. \(X\)يمكن حساب المتوسط باستخدام الصيغة\(\mu = np\)، ويتم إعطاء الانحراف المعياري بواسطة الصيغة\(\sigma=\sqrt{n p q}\).

    صيغة دالة الكثافة الاحتمالية ذات الحدين هي

    \[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

    توزيع هندسي

    هناك ثلاث خصائص للتجربة الهندسية:

    1. هناك تجربة واحدة أو أكثر من تجارب Bernoulli مع جميع حالات الفشل باستثناء التجربة الأخيرة، وهي تجربة ناجحة.
    2. من الناحية النظرية، يمكن أن يستمر عدد التجارب إلى الأبد. يجب أن تكون هناك تجربة واحدة على الأقل.
    3. إن\(p\) احتمال النجاح واحتمال الفشل هو نفسه بالنسبة لكل تجربة.\(q\)

    في تجربة هندسية، حدد المتغير العشوائي المنفصل على\(X\) أنه عدد التجارب المستقلة حتى النجاح الأول. نقول أن هذا\(X\) له توزيع هندسي ونكتب\(X \sim G(p)\) أين\(p\) هو احتمال النجاح في تجربة واحدة.

    متوسط التوزيع الهندسي\(X \sim G(p)\) هو\(\mu = 1/p\)\(x =\) عدد التجارب حتى النجاح الأول للصيغة التي\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\) يرتفع فيها عدد التجارب بما في ذلك النجاح الأول.

    تطرح الصيغة البديلة للتوزيع الهندسي السؤال التالي: ما هو احتمال الفشل x حتى النجاح الأول؟ في هذه الصيغة، لا يتم احتساب التجربة التي أدت إلى النجاح الأول. صيغة هذا العرض الهندسي هي:

    \[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

    القيمة المتوقعة في هذا الشكل من التوزيع الهندسي هي

    \[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

    أسهل طريقة للحفاظ على هذين الشكلين من التوزيع الهندسي مستقيمين\(p\) هي تذكر أن هذا\((1−p)\) هو احتمال النجاح وهو احتمال الفشل. في الصيغة، تحسب الأسس ببساطة عدد النجاحات وعدد حالات الفشل في النتيجة المرجوة من التجربة. بالطبع يجب إضافة مجموع هذين الرقمين إلى عدد التجارب في التجربة.

    توزيع بواسون

    يعطي التوزيع الاحتمالي لبواسون لمتغير عشوائي منفصل احتمال حدوث عدد من الأحداث في فترة زمنية محددة من الزمان أو المكان، إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل متوسط معروف وبشكل مستقل عن الوقت منذ الحدث الأخير. يمكن استخدام توزيع Poisson لتقريب المعادلة ذات الحدين، إذا كان احتمال النجاح «صغيرًا» (أقل من أو يساوي 0.01) وكان عدد التجارب «كبيرًا» (أكبر من أو يساوي 25). تم اقتراح قواعد عامة أخرى أيضًا من قبل مؤلفين مختلفين، لكن الجميع يدركون أن توزيع بواسون هو التوزيع المحدود للعدل ذي الحدين كلما\(n\) زاد\(p\) ويقترب من الصفر.

    صيغة حساب الاحتمالات المستمدة من عملية Poisson هي:

    \[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

    أين\(P(X)\) احتمال النجاح،\(\mu\) (يُنطق mu) هو عدد النجاحات المتوقعة،\(e\) هو اللوغاريتم الطبيعي يساوي تقريبًا\(2.718\)،\(X\) وهو عدد النجاحات لكل وحدة، عادةً لكل وحدة زمنية.