2.6: الانحراف والوسط والوسيط والنمط
- Page ID
- 198828
ضع في اعتبارك مجموعة البيانات التالية.
4؛ 5؛ 6؛ 6؛ 6؛ 7؛ 7؛ 7؛ 7؛ 8؛ 8؛ 8؛ 8؛ 9؛ 10
يمكن تمثيل مجموعة البيانات هذه من خلال الرسم البياني التالي. كل فاصل زمني له عرض واحد، وتقع كل قيمة في منتصف الفاصل الزمني.
يعرض الرسم البياني توزيعًا متماثلًا للبيانات. يكون التوزيع متماثلًا إذا كان من الممكن رسم خط عمودي في مرحلة ما من الرسم البياني بحيث يكون الشكل الموجود على يسار ويمين الخط العمودي صورًا معكوسة لبعضهما البعض. المتوسط والوسيط والوضع كل سبعة لهذه البيانات. في التوزيع المتماثل تمامًا، يكون المتوسط والوسيط متماثلان. يحتوي هذا المثال على وضع واحد (أحادي النمط)، والوضع هو نفس المتوسط والوسيط. في التوزيع المتماثل الذي يحتوي على وضعين (ثنائي النمط)، سيكون الوضعان مختلفين عن المتوسط والمتوسط.
الرسم البياني للبيانات: 4؛ 5؛ 6؛ 6؛ 6؛ 7؛ 7؛ 7؛ 7؛ 7؛ 7؛ 8 غير متماثل. يبدو الجانب الأيمن «مقطوعًا» مقارنة بالجانب الأيسر. يُطلق على التوزيع من هذا النوع اسم الانحراف إلى اليسار لأنه يتم سحبه إلى اليسار. يمكننا قياس انحراف التوزيع رسميًا تمامًا كما يمكننا قياس الوزن المركزي للبيانات أو «سرعتها» العامة رياضيًا. الصيغة الرياضية للانحراف هي:
\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{t}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}.\nonumber\]
كلما زاد الانحراف عن الصفر يشير إلى درجة أكبر من الانحراف. إذا كان الانحراف سالبًا، فإن التوزيع يميل إلى اليسار كما في الشكل\(\PageIndex{13}\).
المتوسط هو 6.3، والمتوسط هو 6.5، والوضع هو سبعة. لاحظ أن المتوسط أقل من المتوسط، وكلاهما أقل من الوضع. يعكس كل من المتوسط والمتوسط الانحراف، لكن المتوسط يعكسه أكثر.
الرسم البياني للبيانات: 6؛ 7؛ 7؛ 7؛ 7؛ 8؛ 8؛ 8؛ 8؛ 9؛ 10، غير متماثل أيضًا. إنه منحرف إلى اليمين.
المتوسط هو 7.7، والمتوسط هو 7.5، والوضع هو سبعة. من بين الإحصائيات الثلاثة، يكون المتوسط هو الأكبر، في حين أن الوضع هو الأصغر. مرة أخرى، يعكس المتوسط الانحراف أكثر من غيره.
للتلخيص، بشكل عام، إذا كان توزيع البيانات منحرفًا إلى اليسار، يكون المتوسط أقل من المتوسط، والذي غالبًا ما يكون أقل من الوضع. إذا كان توزيع البيانات منحرفًا إلى اليمين، فغالبًا ما يكون الوضع أقل من المتوسط، وهو أقل من المتوسط.
كما هو الحال مع المتوسط والمتوسط والنمط، وكما سنرى قريبًا، التباين، هناك صيغ رياضية تعطينا مقاييس دقيقة لخصائص توزيع البيانات هذه. بالنظر مرة أخرى إلى صيغة الانحراف، نرى أن هذه علاقة بين متوسط البيانات والملاحظات الفردية المكعبة.
\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}\nonumber\]
حيث ss هو الانحراف المعياري للعينة للبيانات\(\mathrm{X}_{i}\)،\(\overline{x}\) وهو المتوسط الحسابي\(n\) وهو حجم العينة.
يُعرف المتوسط الحسابي رسميًا باللحظة الأولى للتوزيع. اللحظة الثانية التي سنراها هي التباين، والانحراف هو اللحظة الثالثة. يقيس التباين الاختلافات المربعة للبيانات عن المتوسط ويقيس الانحراف الاختلافات المكعبة للبيانات عن المتوسط. في حين أن التباين لا يمكن أن يكون أبدًا رقمًا سالبًا، يمكن قياس الانحراف وهذه هي الطريقة التي نحدد بها ما إذا كانت البيانات منحرفة إلى اليمين أو اليسار. الانحراف للتوزيع العادي هو صفر، ويجب أن تحتوي أي بيانات متماثلة على انحراف بالقرب من الصفر. تشير القيم السالبة للانحراف إلى البيانات المنحرفة إلى اليسار والقيم الإيجابية للانحراف تشير إلى البيانات المنحرفة إلى اليمين. نعني باليسار المائل أن الذيل الأيسر طويل بالنسبة للذيل الأيمن. وبالمثل، فإن الانحراف الأيمن يعني أن الذيل الأيمن طويل بالنسبة للذيل الأيسر. يميز الانحراف درجة عدم تناسق التوزيع حول متوسطه. في حين أن المتوسط والانحراف المعياري عبارة عن كميات ذات أبعاد (وهذا هو السبب في أننا سنأخذ الجذر التربيعي للتباين) أي أن لها نفس الوحدات مثل الكميات المقاسة\(\mathrm{X}_{i}\)، فإن الانحراف يتم تحديده تقليديًا بطريقة تجعله غير ذي أبعاد. إنه رقم نقي يميز شكل التوزيع فقط. تشير القيمة الموجبة للانحراف إلى توزيع ذو ذيل غير متماثل يمتد للخارج نحو المزيد من الإيجابية\(X\) وتشير القيمة السالبة إلى توزيع يمتد ذيله نحو المزيد من السالبة\(X\). سيشير المقياس الصفري للانحراف إلى توزيع متماثل.
يصبح الانحراف والتماثل مهمين عندما نناقش التوزيعات الاحتمالية في فصول لاحقة.