2.5: المتوسط الهندسي

المتوسط (الحساب) والوسيط والوضع كلها مقاييس لـ «مركز» البيانات، «المتوسط». يحاولون جميعًا بطريقتهم الخاصة قياس النقطة «المشتركة» داخل البيانات، وهي «طبيعية». في حالة المتوسط الحسابي، يتم حل ذلك عن طريق إيجاد القيمة التي تكون جميع النقاط منها متساوية في المسافات الخطية. يمكننا أن نتخيل أن جميع قيم البيانات يتم دمجها من خلال الجمع ثم توزيعها مرة أخرى على كل نقطة بيانات بكميات متساوية. مجموع كل القيم هو ما يتم إعادة توزيعه بكميات متساوية بحيث يظل المجموع الإجمالي كما هو.

لا يعيد الوسط الهندسي توزيع مجموع القيم ولكن ناتج ضرب جميع القيم الفردية ثم إعادة توزيعها في أجزاء متساوية بحيث يظل المنتج الإجمالي كما هو. يمكن ملاحظة ذلك من صيغة المتوسط الهندسي،\(\tilde{x}\): (واضح\(x\) -tilde)

\[\tilde{x}=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\nonumber\]

أين\(\pi\) يوجد عامل رياضي آخر، يخبرنا بضرب جميع\(x_{i}\) الأرقام بنفس الطريقة التي تخبرنا بها سيغما اليونانية الكبيرة بجمع جميع\(x_{i}\) الأرقام. تذكر أن الأس الكسري يستدعي الجذر النوني للرقم وبالتالي فإن الأس 1/3 هو الجذر التكعيبي للرقم.

يجيب المتوسط الهندسي على السؤال التالي: «إذا كانت جميع الكميات لها نفس القيمة، فماذا يجب أن تكون هذه القيمة لتحقيق نفس المنتج؟» يستمد الوسط الهندسي اسمه من حقيقة أنه عند إعادة توزيعه بهذه الطريقة، تشكل الجوانب شكلًا هندسيًا يكون لجميع الجوانب نفس الطول. لرؤية ذلك، خذ مثال الأرقام 10 و 51.2 و 8. المتوسط الهندسي هو حاصل ضرب هذه الأرقام الثلاثة معًا (4,096) وأخذ الجذر التكعيبي نظرًا لوجود ثلاثة أرقام سيتم توزيع هذا المنتج بينها. وبالتالي فإن المتوسط الهندسي لهذه الأرقام الثلاثة هو 16. يصف هذا مكعبًا 16x16x16 ويبلغ حجمه 4096 وحدة.

المتوسط الهندسي مناسب في الاقتصاد والتمويل للتعامل مع النمو: نمو الأسواق والاستثمار والسكان والمتغيرات الأخرى والنمو الذي يوجد اهتمام به. تخيل أن صندوقنا المكون من 4096 وحدة (ربما بالدولار) هو قيمة الاستثمار بعد ثلاث سنوات وأن عوائد الاستثمار بالنسب المئوية كانت الأرقام الثلاثة في مثالنا. وسيزودنا المتوسط الهندسي بالإجابة على السؤال، ما هو متوسط معدل العائد: 16 في المائة. المتوسط الحسابي لهذه الأرقام الثلاثة هو 23.6 بالمائة. سبب هذا الاختلاف، 16 مقابل 23.6، هو أن المتوسط الحسابي مضاف وبالتالي لا يأخذ في الاعتبار الفائدة على الفائدة، والفائدة المركبة، المضمنة في عملية نمو الاستثمار. تنشأ نفس المشكلة عند السؤال عن متوسط معدل نمو السكان أو المبيعات أو اختراق السوق، وما إلى ذلك، مع معرفة معدلات النمو السنوية. صيغة المتوسط الهندسي لمعدل العائد، أو أي معدل نمو آخر، هي:

\[r_{s}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\nonumber\]

يمكن أن توفر معالجة صيغة المتوسط الهندسي أيضًا حسابًا لمتوسط معدل النمو بين فترتين مع العلم فقط بالقيمة الأولية a0a0 والقيمة النهائية anan وعدد الفترات، nn. توفر الصيغة التالية هذه المعلومات:

\[\left(\frac{a_{n}}{a_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}=\tilde{x}\nonumber\]

أخيرًا، نلاحظ أن صيغة المتوسط الهندسي تتطلب أن تكون جميع الأرقام موجبة، أكبر من الصفر. والسبب بالطبع هو أن جذر الرقم السالب غير محدد للاستخدام خارج النظرية الرياضية. ومع ذلك، هناك طرق لتجنب هذه المشكلة. في حالة معدلات العائد ومشاكل النمو البسيطة الأخرى، يمكننا تحويل القيم السلبية إلى قيم مكافئة إيجابية ذات معنى. تخيل أن العوائد السنوية للسنوات الثلاث الماضية هي +12٪، -8٪، و+2٪. يتيح لنا استخدام مكافئات المضاعف العشري 1.12 و0.92 و1.02 حساب المتوسط الهندسي 1.0167. بطرح 1 من هذه القيمة يعطي المتوسط الهندسي لـ +1.67% كمعدل صافي للنمو السكاني (أو العائد المالي). من هذا المثال يمكننا أن نرى أن المتوسط الهندسي يوفر لنا هذه الصيغة لحساب معدل العائد الهندسي (المتوسط) لسلسلة من معدلات العائد السنوية:

\[r_{s}=\tilde{x}-1\nonumber\]

أين\(r_{s}\) هو متوسط معدل العائد\(\tilde{x}\) وهو المتوسط الهندسي للعائدات خلال عدد من الفترات الزمنية. لاحظ أن طول كل فترة زمنية يجب أن يكون هو نفسه.

كقاعدة عامة، يجب تحويل قيم النسبة المئوية إلى المضاعف المكافئ العشري. من المهم أن ندرك أنه عند التعامل مع النسب المئوية، فإن المتوسط الهندسي لقيم النسبة المئوية لا يساوي المتوسط الهندسي لمعادلات المضاعف العشري وأن المتوسط الهندسي المكافئ للمضاعف العشري هو المناسب.