2.3: مقاييس مركز البيانات

يعد «مركز» مجموعة البيانات أيضًا طريقة لوصف الموقع. المقياسان الأكثر استخدامًا لـ «مركز» البيانات هما المتوسط (المتوسط) والوسيط. لحساب متوسط وزن 50 شخصًا، اجمع الأوزان الخمسين معًا واقسم على 50. من الناحية الفنية، هذا هو المتوسط الحسابي. سنناقش المتوسط الهندسي لاحقًا. للعثور على الوزن المتوسط لـ 50 شخصًا، رتب البيانات وابحث عن الرقم الذي يقسم البيانات إلى جزأين متساويين مما يعني عددًا متساويًا من الملاحظات على كل جانب. وزن 25 شخصًا أقل من هذا الوزن و 25 شخصًا أثقل من هذا الوزن. يعتبر الوسيط عمومًا مقياسًا أفضل للمركز عندما تكون هناك قيم متطرفة أو قيم متطرفة لأنه لا يتأثر بالقيم العددية الدقيقة للقيم المتطرفة. المتوسط هو المقياس الأكثر شيوعًا للمركز.

ملاحظة

غالبًا ما يتم استخدام الكلمتين «يعني» و «متوسط» بالتبادل. استبدال كلمة واحدة بالأخرى هو ممارسة شائعة. المصطلح الفني هو «المتوسط الحسابي» و «المتوسط» هو من الناحية الفنية موقع مركزي. رسميًا، يُطلق على المتوسط الحسابي اللحظة الأولى للتوزيع من قبل علماء الرياضيات. ومع ذلك، في الممارسة العملية بين غير الإحصائيين، يتم قبول «المتوسط» عمومًا لـ «المتوسط الحسابي».

عندما لا تكون كل قيمة في مجموعة البيانات فريدة، يمكن حساب المتوسط بضرب كل قيمة مميزة في ترددها ثم قسمة المجموع على العدد الإجمالي لقيم البيانات. الحرف المستخدم لتمثيل متوسط العينة هو x مع شريط فوقه (يُنطق «\(x\)شريط»):\(\overline x\).

يمثل الحرف اليوناني\(\mu\) (يُنطق «mew») متوسط عدد السكان. أحد متطلبات العينة التي تعني أن تكون تقديرًا جيدًا لمتوسط السكان هو أن تكون العينة المأخوذة عشوائية حقًا.

للتأكد من أن كلا الطريقتين لحساب المتوسط هي نفسها، ضع في اعتبارك العينة:
1؛ 1؛ 1؛ 2؛ 2؛ 3؛ 4؛ 4؛ 4؛ 4؛ 4

\[\overline{x}=\frac{1+1+1+2+2+3+4+4+4+4+4}{11}=2.7\nonumber\]

\[\overline{x}=\frac{3(1)+2(2)+1(3)+5(4)}{11}=2.7\nonumber\]

في الحساب الثاني، تكون الترددات 3 و 2 و 1 و 5.

يمكنك العثور بسرعة على موقع الوسيط باستخدام التعبير\(\frac{n+1}{2}\).

الحرف\(n\) هو العدد الإجمالي لقيم البيانات في العينة. إذا كان\(n\) رقمًا فرديًا، فإن الوسيط هو القيمة المتوسطة للبيانات المطلوبة (مرتبة من الأصغر إلى الأكبر). إذا كان\(n\) عددًا زوجيًا، فإن الوسيط يساوي القيمتين المتوسطتين اللتين تمت إضافتهما معًا وقسمهما على اثنين بعد ترتيب البيانات. على سبيل المثال، إذا كان العدد الإجمالي لقيم البيانات هو 97، إذن\(\frac{n+1}{2}=\frac{97+1}{2}=49\). الوسيط هو القيمة ⁴⁹ في البيانات المطلوبة. إذا كان العدد الإجمالي لقيم البيانات هو 100، إذن\(\frac{n+1}{2}=\frac{100+1}{2}=50.5\). ^{يحدث الوسيط في منتصف المسافة بين القيم 50 و 51.} موقع الوسيط وقيمة الوسيط ليسا نفس الشيء. غالبًا ما\(M\) يتم استخدام الحرف الكبير لتمثيل الوسيط. يوضح المثال التالي موقع الوسيط وقيمة الوسيط.

المثال 2.24

بيانات الإيدز التي تشير إلى عدد الأشهر التي يعيش فيها المريض المصاب بالإيدز بعد تناول دواء جديد للأجسام المضادة هي كما يلي (من الأصغر إلى الأكبر):
3؛ 4؛ 8؛ 8؛ 10؛ 11؛ 12؛ 13؛ 14؛ 15؛ 15؛ 16؛ 17؛ 17؛ 18؛ 21؛ 22؛ 22؛ 24؛ 25؛ 26؛ 26؛ 27؛ 29؛ 29؛ 31؛ 32؛ 33؛ 33؛ 34؛ 34؛ 35؛ 37؛ 40؛ 44؛ 44؛ 47؛
احسب المتوسط والمتوسط.

إجابة

الحل 2.24

حساب المتوسط هو:

\(\overline{x}=\frac{[3+4+(8)(2)+10+11+12+13+14+(15)(2)+\ldots+35+37+40+(44)(2)+47]}{40}=23.6\)
للعثور على الوسيط\(M\)، استخدم أولاً صيغة الموقع. الموقع هو:
\(\frac{n+1}{2}=\frac{40+1}{2}=20.5\)
بدءًا من أصغر قيمة، يقع الوسيط بين القيم 20 ^و 21 (^{القيمتين} 24 ثانية):
\(3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47;\)

\(M=\frac{24+24}{2}=24\)

المثال 2.25

لنفترض أنه في بلدة صغيرة تضم 50 شخصًا، يكسب شخص واحد 5 ملايين دولار سنويًا بينما يكسب 49 الآخر 30،000 دولار. ما هو المقياس الأفضل لـ «المركز»: المتوسط أم الوسيط؟

إجابة

الحل 2.25

\(\overline{x}=\frac{5,000,000+49(30,000)}{50}=129,400\)

\(M = 30,000\)

(هناك 49 شخصًا يكسبون 30,000 دولار وشخص واحد يكسب 5,000,000 دولار.)

الوسيط هو مقياس أفضل لـ «المركز» من المتوسط لأن 49 من القيم هي 30،000 والقيمة الواحدة هي 5،000،000. مبلغ الـ 5,000,000 هو أمر غريب. يمنحنا 30000 فكرة أفضل عن منتصف البيانات.

مقياس آخر للمركز هو الوضع. الوضع هو القيمة الأكثر شيوعًا. يمكن أن يكون هناك أكثر من وضع واحد في مجموعة البيانات طالما أن هذه القيم لها نفس التردد وأن هذا التردد هو الأعلى. تسمى مجموعة البيانات ذات الوضعين ثنائية الوضع.

المثال 2.26

فيما يلي نتائج اختبارات الإحصاء لـ 20 طالبًا:

50؛ 53؛ 59؛ 59؛ 63؛ 63؛ 72؛ 72؛ 72؛ 72؛ 72؛ 76؛ 78؛ 81؛ 83؛ 84؛ 84؛ 84؛ 90؛ 93

ابحث عن الوضع.

إجابة

الحل 2.26

النتيجة الأكثر شيوعًا هي 72، والتي تحدث خمس مرات. الوضع = 72.

المثال 2.27

خمس درجات في امتحان العقارات هي 430، 430، 480، 480، 495. مجموعة البيانات ثنائية الشكل لأن الدرجات 430 و 480 تحدث مرتين.

متى يكون الوضع هو أفضل مقياس لـ «المركز»؟ ضع في اعتبارك برنامجًا لفقدان الوزن يعلن عن فقدان وزن متوسط قدره ستة أرطال في الأسبوع الأول من البرنامج. قد يشير الوضع إلى أن معظم الأشخاص يفقدون رطلين في الأسبوع الأول، مما يجعل البرنامج أقل جاذبية.

ملاحظة

يمكن حساب الوضع للبيانات النوعية وكذلك للبيانات الكمية. على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة البيانات هي: الأحمر والأحمر والأحمر والأخضر والأخضر والأصفر والأرجواني والأسود والأزرق، يكون الوضع باللون الأحمر.

حساب المتوسط الحسابي للجداول التكرارية المجمعة

عندما تتوفر البيانات المجمعة فقط، فأنت لا تعرف قيم البيانات الفردية (نحن نعرف فقط الفواصل الزمنية والترددات الفاصلة)؛ لذلك، لا يمكنك حساب المتوسط الدقيق لمجموعة البيانات. ما يجب علينا فعله هو تقدير المتوسط الفعلي من خلال حساب متوسط جدول التردد. جدول التردد هو تمثيل البيانات الذي يتم فيه عرض البيانات المجمعة جنبًا إلى جنب مع الترددات المقابلة. لحساب المتوسط من جدول التردد المجمع، يمكننا تطبيق التعريف الأساسي للمتوسط: المتوسط =\(\frac{\text { data sum }}{\text { number of data values }}\) نحتاج ببساطة إلى تعديل التعريف ليتناسب مع قيود جدول التردد.

نظرًا لأننا لا نعرف قيم البيانات الفردية، يمكننا بدلاً من ذلك العثور على نقطة الوسط لكل فاصل زمني. نقطة الوسط هي\(\frac{\text { lower boundary+upper boundary}}{2}\). يمكننا الآن تعديل تعريف المتوسط ليكون\(\textbf{Mean of Frequency Table}=\frac{\sum f m}{\sum f}\) حيث f = تردد الفاصل الزمني و m = نقطة الوسط للفاصل الزمني.

المثال 2.28

يتم عرض جدول تردد يعرض الاختبار الإحصائي الأخير للأستاذ بلونت. ابحث عن أفضل تقدير لمتوسط الفصل.

الجدول 2.24

الفاصل الزمني للصف	عدد الطلاب
50—56.5	1
56.5—62.5	0
62.5-68.5	4
68.5-74.5	4
74.5—80.5	2
80.5—86.5	3
86.5—92.5	4
92.5-98.5	1

إجابة

الحل 2.28

ابحث عن نقاط الوسط لجميع الفواصل الزمنية

الجدول 2.25

الفاصل الزمني للصف	منتصف
50—56.5	53.25
56.5—62.5	59.5
62.5-68.5	65.5
68.5-74.5	71.5
74.5—80.5	77.5
80.5—86.5	83.5
86.5—92.5	89.5
92.5-98.5	95.5

• احسب مجموع حاصل ضرب كل تردد فاصل زمني ونقطة منتصف. \(\sum f m\)\(53.25(1)+59.5(0)+65.5(4)+71.5(4)+77.5(2)+83.5(3)+89.5(4)+95.5(1)=1460.25\)
• \(\mu=\frac{\sum f m}{\sum f}=\frac{1460.25}{19}=76.86\)

التمرين 2.28

أجرت ماريس دراسة حول تأثير لعب ألعاب الفيديو على تذكر الذاكرة. كجزء من دراستها، قامت بتجميع البيانات التالية:

الجدول 2.26

ساعات يقضيها المراهقون في ألعاب الفيديو	عدد المراهقين
0—3.5	3
3.5—7.5	7
7.5—11.5	12
11.5—15.5	7
15.5—19.5	9

ما أفضل تقدير لمتوسط عدد الساعات التي تقضيها في لعب ألعاب الفيديو؟