7.5: حل المعادلات الكسرية

Last updated
Save as PDF

Page ID: 201705

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

أهداف التعلم

حل المعادلات العقلانية
استخدم وظائف عقلانية
حل معادلة عقلانية لمتغير معين

قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

الحل:\(\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 2.2.9.
الحل:
حل الصيغة\(5x+2y=10\) لـ\(y\)
إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 2.4.10.

بعد تحديد مصطلحي «التعبير» و «المعادلة» سابقًا، استخدمناهما في جميع أنحاء هذا الكتاب. لقد قمنا بتبسيط العديد من أنواع التعبيرات وحل العديد من أنواع المعادلات. لقد قمنا بتبسيط العديد من التعبيرات العقلانية حتى الآن في هذا الفصل. الآن سنحل معادلة عقلانية.

معادلة عقلانية

المعادلة الكسرية هي معادلة تحتوي على تعبير نسبي.

يجب عليك التأكد من معرفة الفرق بين التعبيرات العقلانية والمعادلات العقلانية. تحتوي المعادلة على علامة المساواة.

\[\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber \]

\[\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber \]

\[\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber \]

\[\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber \]

حل المعادلات الكسرية

لقد قمنا بالفعل بحل المعادلات الخطية التي تحتوي على كسور. وجدنا شاشة LCD لجميع الكسور في المعادلة ثم ضربنا جانبي المعادلة في شاشة LCD «لمسح» الكسور.

سنستخدم نفس الإستراتيجية لحل المعادلات العقلانية. سنضرب كلا جانبي المعادلة في شاشة LCD. بعد ذلك، سيكون لدينا معادلة لا تحتوي على تعبيرات عقلانية وبالتالي يسهل علينا حلها. ولكن نظرًا لأن المعادلة الأصلية قد تحتوي على متغير في المقام، يجب أن نكون حذرين حتى لا ننتهي بحل يجعل القاسم يساوي صفرًا.

لذا قبل أن نبدأ في حل المعادلة النسبية، نفحصها أولاً لإيجاد القيم التي تجعل أي مقامات صفرًا. بهذه الطريقة، عندما نحل معادلة عقلانية، سنعرف ما إذا كانت هناك أي حلول جبرية يجب علينا تجاهلها.

الحل الجبري للمعادلة العقلانية التي من شأنها أن تتسبب في عدم تعريف أي من التعبيرات العقلانية يسمى الحل الخارجي للمعادلة العقلانية.

حل غريب للمعادلة الكسرية

الحل الخارجي للمعادلة العقلانية هو الحل الجبري الذي من شأنه أن يتسبب في عدم تعريف أي من التعبيرات في المعادلة الأصلية.

نلاحظ أي حلول خارجية محتملة\(c\)، من خلال الكتابة\(x\neq c\) بجانب المعادلة.

مثال\(\PageIndex{1}\): How to Solve a Rational Equation

حل:\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]

الحل

الخطوة 1. لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.

إذا كان\(x=0\)، ثم\(\dfrac{1}{x}\) غير محدد. لذلك سنكتب\(x \neq 0\) بجانب المعادلة.

\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber \]

الخطوة 2. أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة.

ابحث عن شاشة LCD\(\dfrac{1}{x}\) لـ\(\dfrac{1}{3}\), و\(\dfrac{5}{6}\)

شاشة ال سي دي هي\(6x\).

الخطوة 3. امسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD.

اضرب كلا جانبي المعادلة في شاشة LCD،\(6x\).

\[{\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]

استخدم خاصية التوزيع.

\[{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]

قم بالتبسيط - ولاحظ عدم وجود المزيد من الكسور!

\[6+2 x=5 x \nonumber \]

الخطوة 4. حل المعادلة الناتجة.

قم بالتبسيط.

\[\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber \]

الخطوة 5. تحقق.

إذا كانت أي قيم موجودة في الخطوة 1 عبارة عن حلول جبرية، فتجاهلها. تحقق من أي حلول متبقية في المعادلة الأصلية.

لم نحصل على 0 كحل جبري.

\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]

نحن نستبدل\(x=2\) المعادلة الأصلية.

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber \]

الحل هو\(x=2\)

التمارين\(\PageIndex{1}\)

حل:\[\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber \]

إجابة: \(y=-\dfrac{15}{7}\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

حل:\[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber \]

إجابة: \(x=\dfrac{15}{3}\)

يتم عرض خطوات هذه الطريقة.

كيفية حل المعادلات باستخدام التعبيرات العقلانية.

الخطوة 1. لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.
الخطوة 2. أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة.
الخطوة 3. امسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD.
الخطوة 4. حل المعادلة الناتجة.
الخطوة 5. تحقق من:
- إذا كانت أي قيم موجودة في الخطوة 1 عبارة عن حلول جبرية، فتجاهلها.
- تحقق من أي حلول متبقية في المعادلة الأصلية.

نبدأ دائمًا بملاحظة القيم التي قد تتسبب في أن تكون أي مقامات صفرًا.

مثال\(\PageIndex{2}\): How to Solve a Rational Equation using the Zero Product Property

حل:\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]

الحل

لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.

\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber \]

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة. شاشة ال سي دي هي\(y^2\).

امسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD.

\[y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]

قم بالتوزيع.

\[y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]

اضرب.

\[y^{2}-5 y=-6 \nonumber \]

حل المعادلة الناتجة. اكتب أولاً المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

\[y^{2}-5 y+6=0 \nonumber \]

عامل.

\[(y-2)(y-3)=0 \nonumber \]

استخدم خاصية المنتج الصفري.

\[y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber \]

حل.

\[y=2 \text { or } y=3 \nonumber \]

تحقق. لم نحصل عليه\(0\) كحل جبري.

تحقق\(y=2\)\(y=3\) من المعادلة الأصلية.

\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]

\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber \]

\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]

\[\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]

\[-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]

\[-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber \]

الحل هو\(y=2,y=3\)

التمارين\(\PageIndex{3}\)

حل:\[1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber \]

إجابة: \(x=-3, x=5\)

التمارين\(\PageIndex{4}\)

حل:\[1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber \]

إجابة: \(y=-2, y=6\)

في المثال التالي، تكون القواسم الأخيرة هي اختلاف المربعات. تذكر أن تأخذها في الاعتبار أولاً للعثور على شاشة LCD.

مثال\(\PageIndex{3}\)

حل:\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber \]

الحل

لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.

\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber \]

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة. شاشة ال سي دي هي\((x+2)(x-2)\).

امسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD.

\[(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]

قم بالتوزيع.

\[(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]

قم بإزالة العوامل المشتركة.

\[\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber \]

قم بالتوزيع.

\[2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber \]

حل.

\[\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}\]

تحقق: لم نحصل على 2 أو −2 كحلول جبرية.

تحقق\(x=-1\) من المعادلة الأصلية.

\[\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber \]

الحل هو\(x=-1\).

التمارين\(\PageIndex{5}\)

حل:\[\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber \]

إجابة: \(x=\dfrac{2}{3}\)

التمارين\(\PageIndex{6}\)

حل:\[\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber \]

إجابة: \(y=2\)

في المثال التالي، المقام الأول هو ثلاثية الحدود. تذكر أن تأخذها في الاعتبار أولاً للعثور على شاشة LCD.

مثال\(\PageIndex{4}\)

حل:\[\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber \]

الحل

لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا. استخدم الصورة المحوسبة للمقام التربيعي.

\[\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber \]

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة. شاشة ال سي دي هي\((m-4)(m-1)\)

امسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD.

\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber \]

قم بالتوزيع.

\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber \]

قم بإزالة العوامل المشتركة.

\[\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber \]

حل المعادلة الناتجة.

\[\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber \]

تحقق. كان الحل الجبري الوحيد هو 4، لكننا قلنا أن 4 سيجعل المقام يساوي صفرًا. الحل الجبري هو حل خارجي.

لا يوجد حل لهذه المعادلة.

التمارين\(\PageIndex{7}\)

حل:\[\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber \]

إجابة: لا يوجد حل.

التمارين\(\PageIndex{8}\)

حل:\[\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber \]

إجابة: لا يوجد حل.

كانت المعادلة التي حللناها في المثال السابق تحتوي على حل جبري واحد فقط، ولكنها كانت حلًا غريبًا. لم يترك لنا ذلك أي حل للمعادلة. في المثال التالي نحصل على حلين جبرين. هنا يمكن أن يكون أحدهما أو كلاهما حلولًا غريبة.

مثال\(\PageIndex{5}\)

حل:\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber \]

الحل

ضع في اعتبارك جميع القواسم، حتى نتمكن من ملاحظة أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفرًا.

\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber \]

أوجد القاسم المشترك الأصغر. شاشة ال سي دي هي\((y-6)(y+6)\)

امسح الكسور.

\[(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber \]

حل المعادلة الناتجة.

\[\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber \]

تحقق.

\(y=-6\)هو حل خارجي. تحقق\(y=4\) من المعادلة الأصلية.

\[\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber \]

الحل هو\(y=4\).

التمارين\(\PageIndex{9}\)

حل:\[\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber \]

إجابة: \(x=3\)

التمارين\(\PageIndex{10}\)

حل:\[\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber \]

إجابة: \(y=7\)

في بعض الحالات، تكون جميع الحلول الجبرية غريبة.

مثال\(\PageIndex{6}\)

حل:\[\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber \]

الحل

سنبدأ بتحليل جميع القواسم، لتسهيل تحديد الحلول الخارجية وشاشات الكريستال السائل.

\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber \]

لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.

\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber \]

أوجد القاسم المشترك الأصغر. شاشة ال سي دي هي\(12(x-1)(x+1)\).

امسح الكسور.

\[12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]

حل المعادلة الناتجة.

\[\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber \]

تحقق.

\(x=1\)\(x=-1\)وهي حلول غريبة.

لا يوجد حل للمعادلة.

التمارين\(\PageIndex{11}\)

حل:\[\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber \]

إجابة: لا يوجد حل.

التمارين\(\PageIndex{12}\)

حل:\[\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber \]

إجابة: لا يوجد حل.

مثال\(\PageIndex{7}\)

حل:\[\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber \]

الحل

ضع في اعتبارك جميع القواسم، حتى نتمكن من ملاحظة أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفرًا.

\[\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber \]

أوجد القاسم المشترك الأصغر. شاشة ال سي دي هي\((3 x-1)(x+1)(x-3)\).

امسح الكسور.

\[(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber \]

توزيع.

\[4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[7 x-5=6 x-2 \nonumber \]

\[x=3 \nonumber \]

كان الحل الجبري الوحيد\(x=3\)لكننا قلنا أن هذا\(x=3\) سيجعل القاسم يساوي صفرًا. الحل الجبري هو حل خارجي.

لا يوجد حل لهذه المعادلة.

التمارين\(\PageIndex{13}\)

حل:\[\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber \]

إجابة: لا يوجد حل.

التمارين\(\PageIndex{14}\)

حل:\[\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber \]

إجابة: لا يوجد حل.

استخدم الدوال العقلانية

غالبًا ما يؤدي العمل مع الدوال التي تحددها التعبيرات العقلانية إلى معادلات عقلانية. مرة أخرى، نستخدم نفس التقنيات لحلها.

مثال\(\PageIndex{8}\)

للحصول على وظيفة عقلانية،\(f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}\):

ابحث عن مجال الدالة
حل\(f(x)=1\)
ابحث عن النقاط على الرسم البياني عند قيمة الدالة هذه.

الحل

مجال الدالة الكسرية هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء تلك التي تجعل التعبير العقلاني غير محدد. للعثور عليهم، سنضع المقام مساويًا للصفر ونحل.

\[\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber \]

النطاق هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء\(x \neq 3, x \neq 5\)

\[f(x)=1 \nonumber \]

استبدل التعبير العقلاني.

\[\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber \]

عامل المقام.

\[\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber \]

اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD،\((x-3)(x-5)\)

\[(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber \]

حل.

\[0=x^{2}-10 x+21 \nonumber \]

عامل.

\[0=(x-7)(x-3) \nonumber \]

استخدم خاصية المنتج الصفري.

\[x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber \]

حل.

\[x=7 \quad x=3 \nonumber \]

قيمة الدالة هي 1 عندما\(x=7, x=3\)إذن النقاط على الرسم البياني لهذه الدالة عندما\(f(x)=1\)سيكون\((7,1),(3,1)\).

التمارين\(\PageIndex{15}\)

للحصول على وظيفة عقلانية،\(f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}\)

ابحث عن مجال الدالة.
حل\(f(x)=3\).
ابحث عن النقاط على الرسم البياني عند قيمة الدالة هذه.

إجابة

النطاق عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية باستثناء\(x \neq 3\) و\(x \neq 4\)
\(x=2, x=\dfrac{14}{3}\)
\((2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)\)

التمارين\(\PageIndex{16}\)

للحصول على وظيفة عقلانية،\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}\)

حل\(f(x)=4\).
ابحث عن النقاط على الرسم البياني عند قيمة الدالة هذه.

إجابة

النطاق عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية باستثناء\(x \neq 1\) و\(x \neq 5\)
\(x=\dfrac{21}{4}\)
\(\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)\)

حل معادلة نسبية لمتغير معين

عندما قمنا بحل المعادلات الخطية، تعلمنا كيفية حل صيغة لمتغير معين. تستخدم العديد من الصيغ المستخدمة في الأعمال والعلوم والاقتصاد والمجالات الأخرى المعادلات العقلانية لنمذجة العلاقة بين متغيرين أو أكثر. سنرى الآن كيفية حل معادلة عقلانية لمتغير معين.

عندما قمنا بتطوير صيغة النقطة والمنحدرة من صيغة المنحدر الخاصة بنا، قمنا بمسح الكسور بالضرب في شاشة LCD.

\[\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber \]

في المثال التالي، سنستخدم نفس الأسلوب مع صيغة المنحدر التي استخدمناها للحصول على شكل نقطة المنحدر لمعادلة خط يمر عبر النقطة\((2,3)\). سنضيف خطوة أخرى لحلها\(y\).

مثال\(\PageIndex{9}\)

حل:\(m=\dfrac{y-2}{x-3}\) من أجل\(y\).

الحل

\[m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber \]

لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.

\[m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber \]

امسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD،\(x-3\).

\[(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[x m-3 m=y-2 \nonumber \]

اعزل المصطلح بـ\(y\).

\[x m-3 m+2=y \nonumber \]

التمارين\(\PageIndex{17}\)

حل:\(m=\dfrac{y-5}{x-4}\) من أجل\(y\).

إجابة: \(y=m x-4 m+5\)

التمارين\(\PageIndex{18}\)

حل:\(m=\dfrac{y-1}{x+5}\) من أجل\(y\).

إجابة: \(y=m x+5 m+1\)

تذكر ضرب كلا الجانبين بواسطة شاشة LCD في المثال التالي.

مثال\(\PageIndex{10}\)

حل:\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1\) من أجل\(c\)

الحل

\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber \]

لاحظ أي قيمة للمتغير من شأنها أن تجعل أي قاسم صفرًا.

\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber \]

امسح الكسور بضرب كلا جانبي المعادلات في شاشة LCD،\(cm\).

\[cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber \]

توزيع.

\[cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber \]

قم بالتبسيط.

\[m+c=cm \nonumber \]

اجمع الشروط الموجودة\(c\) على اليمين.

\[m=cm-c \nonumber \]

ضع في اعتبارك التعبير الموجود على اليمين.

\[m=c(m-1) \nonumber \]

للعزل\(c\)، قسّم كلا الجانبين على\(m-1\).

\[\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber \]

قم بالتبسيط من خلال إزالة العوامل المشتركة.

\[\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber \]

لاحظ أنه على الرغم\(m=0\) من أننا استبعدنا\(c=0\) ومن المعادلة الأصلية، يجب علينا الآن أيضًا ذكر ذلك\(m \neq 1\).

التمارين\(\PageIndex{19}\)

حل:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c\) من أجل\(a\).

إجابة: \(a=\dfrac{b}{c b-1}\)

التمارين\(\PageIndex{20}\)

حل:\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}\) من أجل\(y\)

إجابة: \(y=\dfrac{3 x}{x+6}\)

الوصول إلى الوسائط: موارد إضافية عبر الإنترنت

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات إضافية وممارسة المعادلات ذات التعبيرات العقلانية.

المعادلات ذات التعبيرات النسبية