3.2: מנהל אי וודאות כללי
- Page ID
- 207254
אי וודאות ואי קומוטציה
כפי שדיברנו בהרצאת האלגברה הלינארית, אם שני משתנים פיזיקליים תואמים לאופרטורים הרמיטיים הנוסעים, ניתן לאלכסון אותם בו זמנית - כלומר, יש להם קבוצה משותפת של מצבים עצמיים. במצבים עצמיים אלה לשני המשתנים יש ערכים מדויקים בו זמנית, אין "עקרון אי וודאות" המחייב שכפי שאנו מכירים אחד מהם בצורה מדויקת יותר, אנו מאבדים יותר ויותר את האחר. לדוגמה, ניתן לציין את האנרגיה והמומנטום של חלקיק חופשי במדויק. דוגמאות מעניינות יותר יופיעו בקטעים על המומנטום הזוויתי והסיבוב.
אך אם שני מפעילים אינם נוסעים, באופן כללי לא ניתן לציין את שני הערכים במדויק. כמובן, למפעילים כאלה עדיין יכולים להיות כמה וקטורים עצמיים נפוצים, אך המקרה המעניין מתעורר בניסיון למדוד \(A\) \(B\) ובמקביל למצב \(|\psi \rangle\) שבו לקומוטטור \([A,B]\) יש ערך ציפייה שאינו אפס,. \(\langle\psi |[A,B]|\psi \rangle \neq 0\)
מדד כמותי של "אי וודאות"
המשימה שלנו כאן היא לתת ניתוח כמותי של האופן שבו ניתן למדוד במדויק משתנים שאינם נוסעים יחד. מצאנו קודם לכן באמצעות טיעון כמותי למחצה כי עבור חלקיק חופשי, \(\Delta p\cdot\Delta x\sim\hbar\) במקרה הטוב. כדי לשפר את התוצאה הזו, עלינו לדייק לגבי חוסר הוודאות \(\Delta A\) במדינה\(|\psi \rangle\).
אנו מגדירים \(\Delta A\) כשורש ממוצע סטיית הריבוע:
\[(\Delta A)^2= \langle\psi|(A-\langle A\rangle )^2|\psi \rangle\]
היכן
\[\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle.\label{3.2.1}\]
כדי להפוך את המשוואות לקומפקטיות יותר, אנו מגדירים \(\hat{a}\) על ידי
\[A=\langle A\rangle +\hat{a}. \label{3.2.2}\]
(נשים קרט (כובע) על ה- \(\hat{a}\) כדי להזכיר לעצמנו שזה מפעיל - וכמובן, זה מפעיל הרמיטי, כמו\(A\).) אנו גם מפילים את \(\psi\) החזייה והקט, מתוך הבנה שכל הטיעון הזה מיועד למדינה מסוימת. עכשיו
\[ (\Delta A)^2=\langle (A-\langle A\rangle )^2\rangle =\langle \hat{a}^2\rangle .\label{3.2.3}\]
הציגו מפעיל \(B\) בצורה דומה בדיוק,\(B=\langle B\rangle +\hat{b}\), בעל הנכס ש\(\langle\psi|[A,B]|\psi \rangle \neq 0\).
עקרון אי הוודאות הכללי
המדד הכמותי לאופן שבו "אי הוודאות" המשולבת של מדידת שני משתנים מתייחסת לחוסר הקומוטטיביות שלהם מוצגת בצורה הפשוטה ביותר
משפט
\[ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \ge \dfrac{1}{4}\langle i[A,B]\rangle^2. \label{3.2.4}\]
זכור שבשביל\(A\), \(B\) להיות הרמיטי, אז \([A,B]\) זה אנטי הרמיטי: כך הוא אמיתי! \(\langle i[A,B]\rangle\) כדי להבהיר זאת, קח adjoints: אם \(H\) הוא הרמיטי אז
\[(\langle \psi |H|\psi \rangle )^*=\langle \psi |H^{\dagger}|\psi \rangle =\langle \psi |H|\psi \rangle\]
כך \(\langle \psi |H|\psi \rangle\) הוא אמיתי.
אם \(K\) הוא אנטי -הרמיטי,, אז \(K^{\dagger}=-K\)
\[(\langle \psi |K|\psi \rangle )^*=\langle \psi |K^{\dagger}|\psi \rangle =-\langle \psi |K|\psi \rangle\]
שממנו \(\langle \psi |K|\psi \rangle\) הוא דמיוני טהור.)
הוכחת משפט
הגדירו
\[ |\psi_a\rangle =\hat{a}|\psi \rangle , |\psi_b\rangle =\hat{b}|\psi \rangle \label{3.2.5}.\]
ואז
\[ (\Delta A)^2(\Delta B)^2=\langle \psi |\hat{a}^2|\psi\rangle \langle\psi|\hat{b}^2|\psi \rangle =\langle \psi_a|\psi_a\rangle \langle \psi_b|\psi_b\rangle \label{3.2.6}\]
שימוש באי-השוויון של שוורץ \[ \langle \psi_a|\psi_a\rangle \langle \psi_b|\psi_b\rangle \ge |\langle \psi_a|\psi_b\rangle |^2 \label{3.2.7}\]
נותן מיד \[ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \ge |\langle \psi_a|\psi_b\rangle |^2=|\langle \psi |\hat{a}\hat{b}|\psi \rangle|^2. \label{3.2.8}\]
המפעיל \(\hat{a}\hat{b}\) אינו הרמיטי ולא אנטי-הרמיטי. כדי להעריך את המוד בריבוע של ערך הציפייה שלו, אנו מפרקים את המשרעת לחלקים אמיתיים ודמיוניים:
\[ \langle \psi |\hat{a}\hat{b}|\psi \rangle =\langle \psi |\dfrac{1}{2}(\hat{a}\hat{b}+\hat{b}\hat{a})|\psi \rangle +\langle \psi |\dfrac{1}{2}[\hat{a},\hat{b}]|\psi\rangle . \label{3.2.9}\]
(המונח הראשון בצד ימין הוא ערך הציפייה של מטריצה הרמיטית, וכך גם אמיתי, המונח השני הוא ערך הציפייה של מטריצה אנטי-הרמיטית, כך גם דמיוני טהור.)
זה מיד יוצא כי
\[ |\langle \psi |\hat{a}\hat{b}|\psi \rangle |^2 \ge |\langle \psi|\dfrac{1}{2}[\hat{a},\hat{b}]|\psi\rangle|^2 . \label{3.2.10}\]
אבל\([A,B]=[\hat{a},\hat{b}]\), כך \[ (\Delta A)^2(\Delta B)^2\ge \dfrac{1}{4}\langle i[A,B]\rangle^2. \label{3.2.11}\]
\(\square\)
מזעור אי הוודאות
עבור חלקיק בממד אחד מציינים
\[\begin{align} A&=x \\[5pt] B&=p=-i\hbar\dfrac{d}{dx} \end{align}\]
לכן
\[[A,B]=-i\hbar \left(x\dfrac{d}{dx}-\dfrac{x}{dx}x\right)=i\hbar. \label{3.2.12}\]
(חשוב בשלב האחרון להבין שהמפעיל \(\dfrac{d}{dx}\) פועל על כל דבר לימינו, וכפי שאנו תמיד מוצאים אלמנטים מטריקס של מפעילים, יהיה נושא הבא שהוא פועל עליו, כך\(\dfrac{d}{dx}x=1+x\dfrac{d}{dx}\).)
אנו מסיקים כי
\[ (\Delta x)^2(\Delta p)^2 \ge\dfrac{1}{4}\hbar^2. \label{3.2.13}\]
דוגמא \(\PageIndex{1}\)
האם יש פונקציית גל שעבורה אי השוויון במשוואה\ ref {3.2.13} הופך לשוויון?
פתרון
זה ידרוש
\[|\langle \psi_a|\psi_b\rangle |^2=\langle \psi_a|\psi_a\rangle \langle \psi_b|\psi_b\rangle\]
מה שיכול להיות נכון רק אם שני הווקטורים מקבילים,
\[|\psi_b\rangle =\lambda |\psi_a\rangle\]
או, בכתב מפורש,
\[ \left(-i\hbar \dfrac{d}{dx}-\langle p\rangle \right)\psi (x)=\lambda(x-\langle x\rangle )\psi(x). \label{3.2.14}\]
למעשה, זה לא מספיק: אנחנו גם \(\langle \psi |\dfrac{1}{2}(\hat{a}\hat{b}+\hat{b}\hat{a})|\psi \rangle\) צריכים להיות אפס. (התבונן במשוואה לעיל שנותנת \(\langle \psi |\hat{a}\hat{b}|\psi \rangle\) מבחינת החלקים האמיתיים והדמיוניים שלה, וכיצד השתמשנו בה כדי לבסס את אי השוויון.)
כותב \(|\psi_b\rangle =\lambda |\psi_a\rangle\) כמו \(\hat{b}|\psi \rangle =\lambda \hat{a}|\psi \rangle\) \(\langle \psi |\hat{b}=\lambda ^*\langle \psi |\hat{a}\) ואנחנו מוצאים
\[ \langle \psi |\dfrac{1}{2}(\hat{a}\hat{b}+\hat{b}\hat{a})|\psi \rangle =(\lambda +\lambda ^*)\langle \psi |\hat{a}^2|\psi \rangle ,\label{3.2.15}\]
אז זה יהיה אפס אם ורק אם \(\lambda\) הוא דמיוני טהור.
בהתייחס למשוואה הדיפרנציאלית, אנו לוקחים תחילה את המקרה הפשוט ביותר שבו \(\langle x\rangle\) ושניהם \(\langle p\rangle\) אפסים. הדרישה הראשונה רק קובעת את המקור, אך השנייה קובעת שלפונקציית הגל שלנו אין מומנטום נטו.
במקרה פשוט זה, \(|\psi_b\rangle =\lambda |\psi_a\rangle\) הופך
\[ \begin{matrix} -i\hbar \dfrac{d\psi(x)}{dx}=\lambda x\psi(x)\\ \dfrac{d\psi}{\psi} =\dfrac{i\lambda}{\hbar}xdx\\ \psi =Ce^{i\lambda x^2/2\hbar} \end{matrix} \label{3.2.16}\]
ולהיזכר \(\lambda\) שזה דמיוני טהור, זו חבילת גלים גאוסית! זה פשוט לבדוק שהפתרון עם \(\langle x\rangle\) \(\langle p\rangle\) ולא אפס הוא
\[\psi (x)=Ce^{ix/\hbar} e^{-\alpha (x-<x>)^2/2\hbar} \label{3.2.17}\]
היכן \(\alpha =-i\lambda\) הוא אמיתי, \(C\) והוא קבוע הנורמליזציה הגאוסית הרגילה.
תרגיל \(\PageIndex{1}\)
אשר את המשוואה\ ref {3.2.17}.
המסקנה היא אם כן כי חבילת הגלים הגאוסית נותנת את המקרה האופטימלי למזעור אי הוודאות המשותפת במיקום ובמומנטום.
שים לב שהתנאי לא \(\hat{b}|\psi \rangle =\lambda \hat{a}|\psi \rangle\) אומר שזה מצב עצמי של אחד מהם \(\hat{a}\) או\(\hat{b}\), אבל \(|\psi \rangle\) הוא מצב עצמי של האופרטור הלא-הרמיטי, עם ערך עצמי אפס. \(\hat{b}-\lambda \hat{a}=\hat{b}+i\alpha \hat{a}\) בקרוב נראה כי המפעיל הלא-הרמיטי הזה והצמוד שלו ממלאים תפקידים חשובים במכניקת הקוונטים של המתנד ההרמוני הפשוט.