Processing math: 100%
Skip to main content
Library homepage
 
Global

8.3: Hyperbola

Malengo ya kujifunza
  • Pata vertices ya hyperbola na foci.
  • Andika equations ya hyperbolas katika fomu ya kawaida.
  • Grafu hyperbolas katikati ya asili.
  • Grafu hyperbolas si katikati ya asili.
  • Tatua matatizo yaliyotumika yanayohusisha hyperbolas.

Je! Njia za comets, booms supersonic, nguzo za kale za Kigiriki, na minara ya baridi ya rasimu ya asili ina sawa? Wanaweza wote kutajwa na aina hiyo ya conic. Kwa mfano, wakati kitu kinachoendelea kwa kasi zaidi kuliko kasi ya sauti, wimbi la mshtuko katika fomu ya koni linaundwa. Sehemu ya conic hutengenezwa wakati wimbi linakabiliana na ardhi, na kusababisha boom ya sauti (Kielelezo8.3.1).

alt
Kielelezo8.3.1: Mshtuko wimbi intersecting ardhi aina sehemu ya conic na matokeo katika boom Sonic.

Watu wengi ni ukoo na boom Sonic iliyoundwa na ndege supersonic, lakini binadamu walikuwa kuvunja kizuizi sauti muda mrefu kabla ya ndege ya kwanza supersonic. Ufa wa mjeledi hutokea kwa sababu ncha inazidi kasi ya sauti. Risasi zilizopigwa kutoka kwa silaha nyingi pia huvunja kizuizi cha sauti, ingawa bangili ya bunduki kawaida huzidi sauti ya boom ya sauti.

Kuweka vipeo na Foci ya Hyperbola

Katika jiometri ya uchambuzi, hyperbola ni sehemu ya conic inayoundwa na kuingiliana koni ya mviringo ya mviringo na ndege kwa pembe kama vile nusu zote za koni zimeunganishwa. Mfululizo huu hutoa curves mbili zisizo na mipaka ambazo ni picha za kioo za kila mmoja (Kielelezo8.3.2).

alt
Kielelezo8.3.2: hyperbola

Kama duaradufu, hyperbola pia inaweza kuelezwa kama seti ya pointi katika ndege ya kuratibu. Hyperbola ni seti ya pointi zote(x,y) katika ndege kama kwamba tofauti ya umbali kati(x,y) na foci ni mara kwa mara chanya.

Angalia kwamba ufafanuzi wa hyperbola ni sawa na ule wa ellipse. Tofauti ni kwamba hyperbola inafafanuliwa kulingana na tofauti ya umbali mbili, wakati duaradufu hufafanuliwa kwa suala la jumla ya umbali mbili.

Kama ilivyo na ellipse, kila hyperbola ina shaba mbili za ulinganifu. Mhimili wa transverse ni sehemu ya mstari ambayo hupita katikati ya hyperbola na ina alama kama mwisho wake. The foci uongo juu ya mstari ambayo ina mhimili transverse. Mhimili wa conjugate ni perpendicular kwa mhimili transverse na ina ushirikiano vertices kama mwisho wake. Katikati ya hyperbola ni midpoint ya axes transverse na conjugate, ambapo wao intersect. Kila hyperbola pia ina asymptotes mbili zinazopita katikati yake. Kama hyperbola inapungua kutoka katikati, matawi yake yanakaribia asymptotes hizi. Mstatili wa kati wa hyperbola unazingatia asili na pande zinazopita kila vertex na vertex; ni chombo muhimu cha kuchora hyperbola na asymptotes yake. Ili kuchora asymptotes ya hyperbola, tu mchoro na kupanua diagonals ya mstatili kati (Kielelezo8.3.3).

alt
Kielelezo8.3.3: Vipengele muhimu vya hyperbola

Katika sehemu hii, tutapunguza majadiliano yetu kwa hyperbolas ambazo zimewekwa kwa wima au usawa katika ndege ya kuratibu; axes itakuwa ama kulala au kuwa sawa nax - nay -axes. Tutachunguza kesi mbili: wale ambao ni katikati ya asili, na wale ambao ni katikati katika hatua nyingine zaidi ya asili.

Kupata Equation ya Ellipse unaozingatia Mwanzo

Hebu(c,0) na(c,0) uwe foci ya hyperbola iliyozingatia asili. Hyperbola ni seti ya pointi zote(x,y) kama kwamba tofauti ya umbali kutoka(x,y) kwa foci ni mara kwa mara. Angalia Kielelezo8.3.4.

Hyperbola usawa katika mfumo wa kuratibu x y unaozingatia (0, 0) na vipeo katika (hasi a, 0) na (a, 0) na Foci katika (hasi c, 0) na (c, 0), na mistari ya urefu d1 na d2 kuunganisha uhakika kwenye tawi la haki la hyperbola kwa foci.
Kielelezo8.3.4

Ikiwa(a,0) ni vertex ya hyperbola, umbali kutoka(c,0) kwa(a,0) nia(c)=a+c. Umbali kutoka(c,0) kwa(a,0) nica. Jumla ya umbali kutoka foci hadi vertex ni

(a+c)(ca)=2a

Kama(x,y) ni hatua juu ya hyperbola, tunaweza kufafanua vigezo zifuatazo:

d2=umbali kutoka(c,0) kwa(x,y)

d1=umbali kutoka(c,0) kwa(x,y)

Kwa ufafanuzi wa hyperbola,d2d1 ni mara kwa mara kwa hatua yoyote(x,y) juu ya hyperbola. Tunajua kwamba tofauti ya umbali huu ni2a kwa vertex(a,0). Inafuata kwambad2d1=2a kwa hatua yoyote juu ya hyperbola. Kama ilivyo na kupatikana kwa equation ya ellipse, tutaanza kwa kutumia formula ya umbali. Wengine wa derivation ni algebraic. Linganisha derivation hii na moja kutoka sehemu ya awali ya ellipses.

d2d1=2a(x(c))2+(y0)2(xc)2+(y0)2=2aDistance Formula(x+c)2+y2(xc)2+y2=2aSimplify expressions.(x+c)2+y2=2a+(xc)2+y2Move radical to opposite side.(x+c)2+y2=(2a+(xc)2+y2)2Square both sides.x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(xc)2+y2+(xc)2+y2Expand the squares.x2+2cx+c2+y2=4a2+4a(xc)2+y2+x22cx+c2+y2Expand remaining square.2cx=4a2+4a(xc)2+y22cxCombine like terms.4cx4a2=4a(xc)2+y2Isolate the radical.cxa2=a(xc)2+y2Divide by 4.(cxa2)2=a2[(xc)2+y2]2Square both sides.c2x22a2cx+a4=a2(x22cx+c2+y2)Expand the squares.c2x22a2cx+a4=a2x22a2cx+a2c2+a2y2Distribute a2a4+c2x2=a2x2+a2c2+a2y2Combine like terms.c2x2a2x2a2y2=a2c2a4Rearrange terms.x2(c2a2)a2y2=a2(c2a2)Factor common terms.x2b2a2y2=a2b2Set b2=c2a2.x2b2a2b2a2y2a2b2=a2b2a2b2Divide both sides by a2b2x2a2y2b2=1

Equation hii inafafanua hyperbola unaozingatia asili na vipeo(±a,0) na vyeo vya ushirikiano(0,±b).

AINA YA KAWAIDA YA EQUATION YA HYPERBOLA NA KITUO(0,0)

Aina ya kawaida ya equation ya hyperbola na katikati(0,0) na mhimili transverse juu yax -axis ni

x2a2y2b2=1

wapi

  • urefu wa mhimili wa transverse ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(±a,0)
  • urefu wa mhimili wa conjugate ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(0,±b)
  • umbali kati ya foci ni2c, wapic2=a2+b2
  • kuratibu ya foci ni(±c,0)
  • equations ya asymptotes niy=±bax

Angalia Kielelezo8.3.5a.

Aina ya kawaida ya equation ya hyperbola na katikati(0,0) na mhimili transverse juu yay -axis ni

y2a2x2b2=1

wapi

  • urefu wa mhimili wa transverse ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(0,±a)
  • urefu wa mhimili wa conjugate ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(±b,0)
  • umbali kati ya foci ni2c, wapic2=a2+b2
  • kuratibu ya foci ni(0,±c)
  • equations ya asymptotes niy=±abx

Angalia Kielelezo8.3.5b.

Kumbuka kwamba vertices, co-vertices, na foci ni kuhusiana na equationc2=a2+b2. Tunapopewa equation ya hyperbola, tunaweza kutumia uhusiano huu kutambua vipeo na foci zake.

alt
Kielelezo8.3.5: (a) Hyperbola ya usawa na kituo cha(0,0) (b) hyperbola ya wima na kituo cha(0,0)
Jinsi ya: Kutokana na equation ya hyperbola katika fomu ya kawaida, tafuta vipeo vyake na foci
  1. Kuamua kama mhimili wa transverse uongo juu yax - auy -axis. Angalia kwamba daimaa2 ni chini ya kutofautiana na mgawo mzuri. Kwa hivyo, ikiwa utaweka variable nyingine sawa na sifuri, unaweza kupata urahisi intercepts. Katika kesi ambapo hyperbola inazingatia asili, intercepts sanjari na vertices.
    • Ikiwa equation ina fomux2a2y2b2=1, basi mhimili unaozunguka uongo juu yax -axis. Vipande viko(±a,0), na foci ziko(±c,0).
    • Ikiwa equation ina fomuy2a2x2b2=1, basi mhimili unaozunguka uongo juu yay -axis. Vipande viko(0,±a), na foci ziko(0,±c).
  2. Tatua kwaa kutumia equationa=a2.
  3. Tatua kwac kutumia equationc=a2+b2.
Mfano8.3.1: Locating a Hyperbola’s Vertices and Foci

Tambua vertices na foci ya hyperbola na equationy249x232=1.

Suluhisho

Equation ina fomuy2a2x2b2=1, hivyo mhimili transverse uongo juu yay -axis. Hyperbola inazingatia asili, hivyo vertices hutumikia kama y -intercepts ya grafu. Ili kupata vertices, kuwekax=0, na kutatua kway.

1=y249x2321=y24902321=y249y2=49y=±49=±7

Foci iko katika(0,±c). Kutatua kwac,

c=a2+b2=49+32=81=9

Kwa hiyo, vipeo viko(0,±7), na foci ziko(0,9).

Zoezi8.3.1

Tambua vertices na foci ya hyperbola na equationx29y225=1.

Jibu

Vipeo:(±3,0); Foci:(±34,0)

Kuandika equations ya Hyperbolas katika Fomu ya Standard

Kama ilivyo kwa ellipses, kuandika equation kwa hyperbola katika fomu ya kawaida inatuwezesha kuhesabu vipengele muhimu: kituo chake, vipeo, co-vertices, foci, asymptots, na urefu na nafasi ya shoka transverse na conjugate. Kinyume chake, equation kwa hyperbola inaweza kupatikana kutokana na sifa zake muhimu. Tunaanza kwa kutafuta usawa wa kawaida wa hyperbolas unaozingatia asili. Kisha tutazingatia kutafuta usawa wa kawaida wa hyperbolas unaozingatia wakati fulani isipokuwa asili.

Hyperbolas Iliyozingatia Mwanzo

Kupitia fomu za kawaida zilizotolewa kwa hyperbolas unaozingatia(0,0), tunaona kwamba vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci vinahusiana na equationc2=a2+b2. Kumbuka kuwa equation hii pia inaweza kuandikwa upya kamab2=c2a2. Uhusiano huu hutumiwa kuandika equation kwa hyperbola wakati unapopewa kuratibu za foci na vipeo vyake.

Jinsi ya: Kutokana na vertices na foci ya hyperbola unaozingatia(0,0), write its equation in standard form
  1. Kuamua kama mhimili wa transverse uongo juu yax - auy -axis.
    • Ikiwa kuratibu zilizopewa za vertices na foci zina fomu(±a,0) na(±c,0), kwa mtiririko huo, basi mhimili wa transverse nix -axis. Tumia fomu ya kawaidax2a2y2b2=1.
    • Ikiwa kuratibu zilizopewa za vertices na foci zina fomu(0,±a) na(0,±c), kwa mtiririko huo, basi mhimili wa transverse niy -axis. Tumia fomu ya kawaiday2a2x2b2=1.
  2. Kupatab2 kutumia equationb2=c2a2.
  3. Badilisha maadili kwaa2 nab2 ndani ya fomu ya kiwango cha equation iliyowekwa katika Hatua ya 1.
Mfano8.3.2: Finding the Equation of a Hyperbola Centered at (0,0) Given its Foci and Vertices

Je, ni usawa wa fomu ya kawaida ya hyperbola ambayo ina vertices(±6,0) na foci(±210,0)?

Suluhisho

Vipande na foci ni juu yax -axis. Hivyo, equation kwa hyperbola itakuwa na fomux2a2y2b2=1.

Vipeo ni(±6,0), hivyoa=6 naa2=36.

Foci ni(±210,0), hivyoc=210 nac2=40.

Kutatua kwab2, tuna

b2=c2a2b2=4036Substitute for c2 and a2b2=4Subtract.

Hatimaye, sisi badalaa2=36 nab2=4 katika hali ya kiwango cha equation,x2a2y2b2=1. Equation ya hyperbola nix236y24=1, kama inavyoonekana katika Kielelezo8.3.6.

Hyperbola usawa unaozingatia katika (0, 0) katika mfumo x y kuratibu na Vertices katika (hasi 6, 0) na (6, 0).
Kielelezo8.3.6
Zoezi8.3.2

Je, ni usawa wa fomu ya kawaida ya hyperbola ambayo ina vertices(0,±2) na foci(0,±25)?

Jibu

y24x216=1

Hyperbolas Sio katikati ya Mwanzo

Kama grafu kwa equations nyingine, grafu ya hyperbola inaweza kutafsiriwa. Ikiwa hyperbola hutafsiriwah vitengo kwa usawa nak vitengo kwa wima, katikati ya hyperbola itakuwa(h,k). Matokeo ya tafsiri hii katika hali ya kawaida ya equation tuliyoona hapo awali, nax kubadilishwa(xh) nay kubadilishwa na(yk).

AINA YA KAWAIDA YA EQUATION YA HYPERBOLA NA KITUO(H,K)

Fomu ya kawaida ya equation ya hyperbola na katikati(h,k) na mhimili unaozunguka sambamba nax -axis ni

(xh)2a2(yk)2b2=1

wapi

  • urefu wa mhimili wa transverse ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(h±a,k)
  • urefu wa mhimili wa conjugate ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h,k±b)
  • umbali kati ya foci ni2c, wapic2=a2+b2
  • kuratibu ya foci ni(h±c,k)

Asymptotes ya hyperbola sanjari na diagonals ya mstatili kati. Urefu wa mstatili ni2a na upana wake ni2b. Miteremko ya diagonals ni±ba, na kila diagonal hupita katikati(h,k). Kutumia formula ya mteremko wa uhakika, ni rahisi kuonyesha kwamba equations ya asymptotes niy=±ba(xh)+k. Angalia Kielelezo8.3.7a.

Fomu ya kawaida ya equation ya hyperbola na katikati(h,k) na mhimili unaozunguka sambamba nay -axis ni

(yk)2a2(xh)2b2=1

wapi

  • urefu wa mhimili wa transverse ni2a
  • kuratibu za vipeo ni(h,k±a)
  • urefu wa mhimili wa conjugate ni2b
  • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h±b,k)
  • umbali kati ya foci ni2c, wapic2=a2+b2
  • kuratibu ya foci ni(h,k±c)

Kutumia hoja hapo juu, usawa wa asymptotes niy=±ab(xh)+k. Angalia Kielelezo8.3.7b.

Hii ni parabola ya usawa kufungua kwa haki na Vertex (0, 0), Focus (6, 0), na Directrix x = hasi 6. Rectum ya Latus inavyoonyeshwa, mstari wa wima unaopita kupitia Focus na kukomesha kwenye parabola saa (6, 12) na (6, hasi 12).
Kielelezo8.3.7: (a) Hyperbola ya usawa na kituo cha(h,k) (b) hyperbola ya wima na kituo cha(h,k)

Kama hyperbolas unaozingatia asili, hyperbolas iliyozingatia kwa hatua(h,k) ina vipeo, vyeo vya ushirikiano, na foci zinazohusiana na equationc2=a2+b2. Tunaweza kutumia uhusiano huu pamoja na kanuni za midpoint na umbali ili kupata equation ya kawaida ya hyperbola wakati vipeo na foci vinapewa.

Jinsi ya: Kutokana na vertices na foci ya hyperbola unaozingatia(h,k),write its equation in standard form
  1. Kuamua kama mhimili wa transverse ni sawa nax - auy -axis.
    • Ikiway -kuratibu ya vertices iliyotolewa na foci ni sawa, basi mhimili wa transverse ni sawa nax -axis. Tumia fomu ya kawaida(xh)2a2(yk)2b2=1.
    • Ikiwax -kuratibu ya vertices iliyotolewa na foci ni sawa, basi mhimili wa transverse ni sawa nay -axis. Tumia fomu ya kawaida(yk)2a2(xh)2b2=1.
  2. Tambua katikati ya hyperbola(h,k), kwa kutumia formula ya midpoint na kuratibu zilizopewa kwa vipeo.
  3. Pataa2 kwa kutatua kwa urefu wa mhimili unaozunguka2a, ambayo ni umbali kati ya vipeo vilivyopewa.
  4. Patac2 kutumiah nak kupatikana katika Hatua ya 2 pamoja na kuratibu zilizopewa kwa foci.
  5. Tatua kwab2 kutumia equationb2=c2a2.
  6. Badilisha maadili kwah,ka2, nab2 katika fomu ya kawaida ya equation iliyowekwa katika Hatua ya 1.
Mfano8.3.3: Finding the Equation of a Hyperbola Centered at (h,k) Given its Foci and Vertices

Je, ni fomu ya kawaida ya usawa wa hyperbola ambayo ina vertices(0,2) na(6,2) na foci katika(2,2) na(8,2)?

Suluhisho

yKuratibu -ya vertices na foci ni sawa, hivyo mhimili transverse ni sawa nax -axis. Hivyo, equation ya hyperbola itakuwa na fomu

(xh)2a2(yk)2b2=1

Kwanza, tunatambua kituo hicho,(h,k). Kituo hicho ni nusu kati ya vipeo(0,2) na(6,2). Kutumia formula ya midpoint, tuna

(h,k)=(0+62,2+(2)2)=(3,2)

Kisha, tunapataa2. Urefu wa mhimili wa transverse2a, umefungwa na vertices. Kwa hiyo, tunaweza kupataa2 kwa kutafuta umbali kati yax -kuratibu ya vipeo.

2a=|06|2a=6a=3a2=9

Sasa tunahitaji kupatac2. Kuratibu za foci ni(h±c,k). Hivyo(hc,k)=(2,2) na(h+c,k)=(8,2). Tunaweza kutumiax -kuratibu kutoka kwa mojawapo ya pointi hizi kutatua kwac. Kutumia uhakika(8,2), na kubadilishah=3,

h+c=83+c=8c=5c2=25

Kisha, tatua kwab2 kutumia equationb2=c2a2:

b2=c2a2=259=16

Hatimaye, badala ya maadili kupatikana kwahk,a2, nab2 katika hali ya kiwango cha equation.

(x3)29(y+2)216=1

Zoezi8.3.3

Je, ni fomu ya kawaida ya usawa wa hyperbola ambayo ina vertices(1,2)(1,8) na foci(1,10) na(1,16)?

Jibu

(y3)225+(x1)2144=1

Graphing Hyperbolas Centered katika Mwanzo

Tunapokuwa na equation katika hali ya kawaida kwa hyperbola unaozingatia katika asili, tunaweza kutafsiri sehemu zake kutambua sifa muhimu za grafu yake: kituo, vipeo, co-vertices, asymptotes, foci, na urefu na nafasi ya shoka transverse na conjugate. Kwa grafu hyperbolas iliyozingatia asili, tunatumia fomux2a2y2b2=1 ya kawaida ya hyperbolas ya usawa na fomuy2a2x2b2=1 ya kawaida ya hyperbolas wima.

jinsi ya: Kutokana kiwango fomu equation kwa hyperbola unaozingatia katika(0,0), sketch the graph
  1. Kuamua ni aina gani ya fomu za kawaida zinazotumika kwa equation iliyotolewa.
  2. Tumia fomu ya kawaida iliyotambuliwa katika Hatua ya 1 ili kuamua nafasi ya mhimili wa transverse; kuratibu kwa vertices, co-vertices, na foci; na equations kwa asymptotes.
    • Ikiwa equation iko katika fomux2a2y2b2=1, basi
      • mhimili wa transverse ni juu yax -axis
      • kuratibu za vipeo ni\ (\ pm a,0)\ 0
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(0,±b)
      • kuratibu ya foci ni(±c,0)
      • equations ya asymptotes niy=±bax
    • Ikiwa equation iko katika fomuy2a2x2b2=1, basi
      • mhimili wa transverse ni juu yay -axis
      • kuratibu za vipeo ni(0,±a)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(±b,0)
      • kuratibu ya foci ni(0,±c)
      • equations ya asymptotes niy=±abx
  3. Tatua kwa kuratibu za foci kwa kutumia equationc=±a2+b2.
  4. Panda vertices, co-vertices, foci, na asymptotes katika ndege ya kuratibu, na kuteka curve laini ili kuunda hyperbola.
Mfano8.3.4: Graphing a Hyperbola Centered at (0,0) Given an Equation in Standard Form

Grafu hyperbola iliyotolewa na equationy264x236=1. Tambua na uandike alama, vyeo vya ushirikiano, foci, na asymptotes.

Suluhisho

Fomu ya kawaida ambayo inatumika kwa equation iliyotolewa niy2a2x2b2=1. Hivyo, mhimili transverse ni juu yay -axis

Kuratibu za vipeo ni(0,±a)=(0,±64)=(0,±8)

Kuratibu za vyeo vya ushirikiano ni(±b,0)=(±36,0)=(±6,0)

Kuratibu za foci ni(0,±c) wapic=±a2+b2. Kutatua kwac, tuna

c=±a2+b2=±64+36=±100=±10

Kwa hiyo, kuratibu ya foci ni(0,±10)

Equations ya asymptotes niy=±abx=±86x=±43x

Panda na uandike alama na vyeo vya ushirikiano, na kisha mchoro mstatili wa kati. Pande za mstatili ni sawa na axes na hupita kupitia vertices na vyeo vya ushirikiano. Mchoro na kupanua diagonals ya mstatili wa kati ili kuonyesha asymptotes. Mstatili wa kati na asymptotes hutoa mfumo unaohitajika kuchora grafu sahihi ya hyperbola. Weka alama ya foci na asymptotes, na kuteka safu ya laini ili kuunda hyperbola, kama inavyoonekana kwenye Mchoro8.3.8.

Hyperbola wima unaozingatia (0, 0) katika mfumo x y kuratibu na Vertices katika (0, 8) na (0, hasi 8) na Foci katika (0, hasi 10) na (0, 10). Pia inavyoonekana ni asymptots slant, y = (4/3) x na y = (hasi 4/3) x. pointi (hasi 6, 0) (6, 0) na (0, 0) ni kinachoitwa.
Kielelezo8.3.8
Zoezi8.3.4

Grafu hyperbola iliyotolewa na equationx2144y281=1. Tambua na uandike alama, vyeo vya ushirikiano, foci, na asymptotes.

Jibu

vertices:(±12,0); ushirikiano vertices:(0,±9); foci:(±15,0); asymptotes:y=±34x;

alt
Kielelezo8.3.9

Graphing Hyperbolas Si Centered katika Mwanzo

Graphing hyperbolas katikati katika hatua(h,k) nyingine zaidi ya asili ni sawa na graphing ellipses unaozingatia katika hatua nyingine zaidi ya asili. Tunatumia fomu za kawaida(xh)2a2(yk)2b2=1 kwa hyperbolas ya usawa, na(yk)2a2(xh)2b2=1 kwa hyperbolas wima. Kutoka kwa equations hizi za fomu za kawaida tunaweza kuhesabu kwa urahisi na kupanga vipengele muhimu vya grafu: kuratibu za kituo chake, vertices, co-vertices, na foci; equations ya asymptotes yake; na nafasi za axes transverse na conjugate.

Jinsi ya: Kutokana na fomu ya jumla ya hyperbola unaozingatia(h,k), sketch the graph
  1. Badilisha fomu ya jumla kwa fomu hiyo ya kawaida. Kuamua ni aina gani ya fomu za kawaida zinazotumika kwa equation iliyotolewa.
  2. Tumia fomu ya kawaida iliyotambuliwa katika Hatua ya 1 ili kuamua nafasi ya mhimili wa transverse; kuratibu kwa kituo, vertices, co-vertices, foci; na equations kwa asymptotes.
    1. Ikiwa equation iko katika fomu(xh)2a2(yk)2b2=1, basi
      • mhimili wa transverse ni sawa nax -axis
      • kituo hicho ni(h,k)
      • kuratibu za vipeo ni(h±a,k)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h,k±b)
      • kuratibu ya foci ni(h±c,k)
      • equations ya asymptotes niy=±ba(xh)+k
    2. Ikiwa equation iko katika fomu(yk)2a2(xh)2b2=1, basi
      • mhimili wa transverse ni sawa nay -axis
      • kituo hicho ni(h,k)
      • kuratibu za vipeo ni(h,k±a)
      • kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h±b,k)
      • kuratibu ya foci ni(h,k±c)
      • equations ya asymptotes niy=±ab(xh)+k
  3. Tatua kwa kuratibu za foci kwa kutumia equationc=±a2+b2.
  4. Panda katikati, vertices, co-vertices, foci, na asymptotes katika ndege ya kuratibu na kuteka curve laini ili kuunda hyperbola.
Mfano8.3.5: Graphing a Hyperbola Centered at (h,k) Given an Equation in General Form

Grafu hyperbola iliyotolewa na equation9x24y236x40y388=0. Tambua na uandike kituo, vipeo, vyeo vya ushirikiano, foci, na asymptotes.

Suluhisho

Anza kwa kuelezea equation katika fomu ya kawaida. Masharti ya kikundi ambayo yana variable sawa, na hoja ya mara kwa mara kwa upande wa pili wa equation.

(9x236x)(4y2+40y)=388

Fanya mgawo wa kuongoza wa kila kujieleza.

9(x24x)4(y2+10y)=388

Jaza mraba mara mbili. Kumbuka kusawazisha equation kwa kuongeza constants sawa kwa kila upande.

9(x24x+4)4(y2+10y+25)=388+36100

Andika upya kama mraba kamilifu.

9(x2)24(y+5)2=324

Gawanya pande zote mbili kwa muda wa mara kwa mara ili kuweka equation katika fomu ya kawaida.

(x2)236(y+5)281=1

Fomu ya kawaida ambayo inatumika kwa equation iliyotolewa ni(xh)2a2(yk)2b2=1, wapia2=36 nab2=81, aua=6 nab=9. Hivyo, mhimili wa transverse ni sawa nax -axis. Inafuata kwamba:

katikati ya ellipse ni(h,k)=(2,5)

kuratibu ya vipeo ni(h±a,k)=(2±6,5), au(4,5) na(8,5)

kuratibu ya vyeo vya ushirikiano ni(h,k±b)=(2,5±9), au(2,14)(2,4)

kuratibu ya foci ni(h±c,k), wapic=±a2+b2. Kutatua kwac, tuna

c=±36+81=±117=±313

Kwa hiyo, kuratibu za foci ni(2313,5) na(2+313,5).

Ulinganisho wa asymptotes niy=±ba(xh)+k=±32(x2)5.

Ifuatayo, tunapanga na kuandika kituo hicho, vipeo, vyeo, foci, na asymptotes na kuteka curves laini ili kuunda hyperbola, kama inavyoonekana kwenye Mchoro8.3.10.

Hyperbola usawa unaozingatia katika (2, hasi 5) na Vertices katika (hasi 4, hasi 5) na (8, 5) na Foci katika (2 minus 3 mraba mizizi ya 13, hasi 5) na (2 + 3 mraba mizizi ya 13, hasi 5). Pia inavyoonekana ni asymptotes ya slant, y = (3/2) mara (x minus 2) minus 5 na y = (hasi 3/2) mara (x minus 2) chini ya 5. Pointi (2, hasi 14), (2, 4) na (0, 0) zimeandikwa.
Kielelezo8.3.10
Zoezi8.3.5

Grafu hyperbola iliyotolewa na fomu ya kawaida ya equation(y+4)2100(x3)264=1. Tambua na uandike kituo, vipeo, vyeo vya ushirikiano, foci, na asymptotes.

Jibu

kituo:(3,4); vertices:(3,14) na(3,6); ushirikiano vertices:(5,4); na(11,4); foci:(3,4241) na(3,4+241); asymptotes:y=±54(x3)4

alt
Kielelezo8.3.11

Kutatua Matatizo yaliyotumika Kuhusisha Hyperbolas

Kama tulivyojadiliwa mwanzoni mwa sehemu hii, hyperbolas zina maombi halisi ya ulimwengu katika nyanja nyingi, kama vile astronomia, fizikia, uhandisi, na usanifu. Ufanisi wa kubuni wa minara ya baridi ya hyperbolic ni ya kuvutia sana. Minara ya baridi hutumiwa kuhamisha joto la taka kwenye anga na mara nyingi hutajwa kwa uwezo wao wa kuzalisha nguvu kwa ufanisi. Kwa sababu ya fomu yao ya hyperbolic, miundo hii inaweza kuhimili upepo uliokithiri wakati inahitaji nyenzo ndogo kuliko aina nyingine yoyote ya ukubwa na nguvu zao (Kielelezo8.3.12). Kwa mfano, mnara wa500 mguu unaweza kufanywa kwa shell ya saruji iliyoimarishwa tu6 au8 inchi pana!

alt
Kielelezo8.3.12: Minara ya baridi kwenye kituo cha nguvu cha Drax huko Kaskazini Yorkshire, Uingereza (mikopo: Les Haines, Flickr)

Minara ya kwanza ya hyperbolic iliundwa mwaka wa 1914 na ilikuwa35 mita za juu. Leo, minara ndefu zaidi ya baridi iko nchini Ufaransa, imesimama170 mita za ajabu. Katika Mfano8.3.6 tutatumia mpangilio wa kubuni wa mnara wa baridi ili kupata equation ya hyperbolic ambayo inafanana na pande zake.

Mfano8.3.6: Solving Applied Problems Involving Hyperbolas

Mpangilio wa kubuni wa mnara wa baridi unaonyeshwa kwenye Mchoro8.3.13. Mnara unasimama179.6 mita mrefu. Kipenyo cha juu ni72 mita. Kwa karibu zaidi, pande za mnara ni60 mita mbali.

alt
Kielelezo8.3.13: Mradi wa kubuni kwa mnara wa baridi wa rasimu ya asili

Kupata equation ya hyperbola kwamba mifano ya pande ya mnara baridi. Kudhani kwamba katikati ya hyperbola-unahitajika kwa makutano ya mistari iliyopigwa perpendicular katika takwimu-ni asili ya ndege ya kuratibu. Maadili ya mwisho ya pande zote kwa maeneo manne ya decimal.

Suluhisho

Sisi ni kuchukua katikati ya mnara ni katika asili, hivyo tunaweza kutumia fomu ya kawaida ya hyperbola usawa unaozingatia katika asili:x2a2y2b2=1, ambapo matawi ya hyperbola fomu pande za mnara baridi. Lazima tupate maadili yaa2b2 na kukamilisha mfano.

Kwanza, tunapataa2. Kumbuka kwamba urefu wa mhimili transverse ya hyperbola ni2a. Urefu huu unawakilishwa na umbali ambapo pande ziko karibu, ambazo hutolewa kama65.3 mita. Hivyo,2a=60. Kwa hiyo,a=30 naa2=900.

Ili kutatuab2, tunahitaji kubadilishax nay katika equation yetu kwa kutumia hatua inayojulikana. Ili kufanya hivyo, tunaweza kutumia vipimo vya mnara ili kupata hatua fulani(x,y) ambayo iko kwenye hyperbola. Tutatumia kona ya juu ya kulia ya mnara ili kuwakilisha hatua hiyo. Kwa kuway -axis inakataza mnara,x thamani yetu inaweza kuwakilishwa na radius ya juu, au36 mita. Thamani y inawakilishwa na umbali kutoka asili hadi juu, ambayo hutolewa kama79.6 mita. Kwa hiyo,

x2a2y2b2=1Standard form of horizontal hyperbola.b2=y2x2a21Isolate b2=(79.6)2(36)29001Substitute for a2,x, and y14400.3636Round to four decimal places

Pande za mnara zinaweza kuonyeshwa na equation ya hyperbolic

x2900y214400.3636=1, aux2302y2120.00152=1

Zoezi8.3.6

Mpangilio wa mradi wa mnara wa baridi unaonyeshwa kwenye Kielelezo8.3.14. Kupata equation ya hyperbola kwamba mifano ya pande ya mnara baridi. Kudhani kwamba katikati ya hyperbola-unahitajika kwa makutano ya mistari iliyopigwa perpendicular katika takwimu-ni asili ya ndege ya kuratibu. Maadili ya mwisho ya pande zote kwa maeneo manne ya decimal.

Mradi wa kubuni kwa mnara wa baridi wa rasimu ya asili. Urefu wa jumla ni mita 167.082. Kipenyo cha juu ni mita 60, na kwa karibu zaidi, mita 79.6 kutoka juu, pande ni mita 60 mbali.
Kielelezo8.3.14
Jibu

Pande za mnara zinaweza kuonyeshwa na equation ya hyperbolic. x2400y23600=1aux2202y2602=1.

Media

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na hyperbolas.

  • Sehemu za Conic: Hyperbola Sehemu ya 1 ya 2
  • Sehemu za Conic: Hyperbola Sehemu ya 2 ya 2
  • Grafu Hyperbola na Kituo cha Mwanzo
  • Grafu Hyperbola na Kituo si katika Mwanzo

Mlinganyo muhimu

Hyperbola, katikati ya asili, mhimili wa mzunguko kwenye x -axis x2a2y2b2=1
Hyperbola, katikati ya asili, mhimili wa mzunguko juu ya y -axis y2a2x2b2=1
Hyperbola, katikati(h,k), mhimili unaozunguka sambamba na x -axis (xh)2a2(yk)2b2=1
Hyperbola, katikati(h,k), mhimili unaozunguka sambamba na y -axis (yk)2a2(xh)2b2=1

Dhana muhimu

  • Hyperbola ni seti ya pointi zote(x,y) katika ndege kama kwamba tofauti ya umbali kati(x,y) na foci ni mara kwa mara chanya.
  • Fomu ya kawaida ya hyperbola inaweza kutumika kupata alama zake na foci. Angalia Mfano8.3.1.
  • Tunapopewa kuratibu za foci na vipeo vya hyperbola, tunaweza kuandika equation ya hyperbola kwa fomu ya kawaida. Angalia Mfano8.3.2 na Mfano8.3.3.
  • Wakati kupewa equation kwa hyperbola, tunaweza kutambua vipeo yake, co-vertices, foci, asymptots, na urefu na nafasi ya shoka transverse na conjugate ili grafu hyperbola. Angalia Mfano8.3.4 na Mfano8.3.5.
  • Hali halisi ya ulimwengu inaweza kutajwa kwa kutumia equations ya kawaida ya hyperbolas. Kwa mfano, kutokana na vipimo vya mnara wa baridi wa rasimu ya asili, tunaweza kupata equation ya hyperbolic ambayo inafanana na pande zake. Angalia Mfano8.3.6.