11.3: Utaratibu wa kijiometri
- Pata uwiano wa kawaida kwa mlolongo wa kijiometri.
- Andika orodha ya mlolongo wa kijiometri.
- Tumia formula ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri.
- Tumia formula wazi kwa mlolongo wa kijiometri.
Kazi nyingi hutoa ongezeko la kila mwaka la gharama za maisha ili kuweka mishahara sambamba na mfumuko wa bei. Tuseme, kwa mfano, mhitimu wa chuo cha hivi karibuni hupata nafasi kama meneja wa mauzo kupata mshahara wa kila mwaka wa$26,000. Anaahidi2\% gharama za kuongezeka kwa maisha kila mwaka. Mshahara wake wa kila mwaka katika mwaka wowote unaweza kupatikana kwa kuzidisha mshahara wake kutoka mwaka uliopita na102\%. Mshahara wake utakuwa$26,520 baada ya mwaka mmoja;$27,050.40 baada ya miaka miwili,$27,591.41 baada ya miaka mitatu, na kadhalika. Wakati mshahara unaongezeka kwa kiwango cha mara kwa mara kila mwaka, mshahara unakua kwa sababu ya mara kwa mara. Katika sehemu hii, tutaangalia utaratibu unaokua kwa njia hii.
Kupata Uwiano wa kawaida
Maadili ya mshahara ya kila mwaka yaliyoelezwa huunda mlolongo wa kijiometri kwa sababu hubadilika kwa sababu ya mara kwa mara kila mwaka Kila neno la mlolongo wa kijiometri huongezeka au hupungua kwa sababu ya mara kwa mara inayoitwa uwiano wa kawaida. Mlolongo hapa chini ni mfano wa mlolongo wa kijiometri kwa sababu kila neno huongezeka kwa sababu ya mara kwa mara ya 6. Kuzidisha muda wowote wa mlolongo kwa uwiano wa kawaida 6 huzalisha muda unaofuata.
Mlolongo wa kijiometri ni moja ambayo neno lolote lililogawanywa na muda uliopita ni mara kwa mara. Mara kwa mara hii inaitwa uwiano wa kawaida wa mlolongo. Uwiano wa kawaida unaweza kupatikana kwa kugawa neno lolote katika mlolongo kwa muda uliopita. Ikiwaa_1 ni muda wa awali wa mlolongo wa kijiometri nar ni uwiano wa kawaida, mlolongo utakuwa
\{a_1, a_1r,a_1r^2,a_1r^3,...\} .
- Gawanya kila neno kwa muda uliopita.
- Linganisha quotients. Ikiwa ni sawa, uwiano wa kawaida upo na mlolongo ni kijiometri.
Je, mlolongo wa kijiometri? Ikiwa ndivyo, pata uwiano wa kawaida.
- 1,2,4,8,16,...
- 48,12,4,2,...
Suluhisho
Gawanya kila neno kwa muda uliopita ili uone kama uwiano wa kawaida upo.
- \dfrac{2}{1}=2\dfrac{4}{2}=2\dfrac{8}{4}=2\dfrac{16}{8}=2
Mlolongo ni kijiometri kwa sababu kuna uwiano wa kawaida. Uwiano wa kawaida ni2.
- \dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
Mlolongo sio kijiometri kwa sababu hakuna uwiano wa kawaida.
Uchambuzi
Grafu ya kila mlolongo inavyoonekana kwenye Kielelezo\PageIndex{1}. Inaonekana kutoka kwenye grafu ambazo zote (a) na (b) zinaonekana zina fomu ya grafu ya kazi ya kielelezo katika dirisha hili la kutazama. Hata hivyo, tunajua kwamba (a) ni kijiometri na hivyo tafsiri hii inashikilia, lakini (b) sio.
Kielelezo\PageIndex{1}
Ikiwa unaambiwa kuwa mlolongo ni kijiometri, unapaswa kugawanya kila neno kwa muda uliopita ili kupata uwiano wa kawaida?
Hapana. Ikiwa unajua kwamba mlolongo ni kijiometri, unaweza kuchagua neno lolote katika mlolongo na ugawanye kwa muda uliopita ili kupata uwiano wa kawaida.
Je, mlolongo wa kijiometri? Ikiwa ndivyo, pata uwiano wa kawaida.
5,10,15,20,...
- Jibu
-
Mlolongo sio kijiometri kwa sababu\dfrac{10}{5}≠\dfrac{15}{10}
Je, mlolongo wa kijiometri? Ikiwa ndivyo, pata uwiano wa kawaida.
100,20,4,\dfrac{4}{5},...
- Jibu
-
Mlolongo ni kijiometri. Uwiano wa kawaida ni\dfrac{1}{5}
Kuandika Masharti ya Utaratibu wa Jiometri
Sasa kwa kuwa tunaweza kutambua mlolongo wa kijiometri, tutajifunza jinsi ya kupata maneno ya mlolongo wa kijiometri ikiwa tunapewa muda wa kwanza na uwiano wa kawaida. Masharti ya mlolongo wa kijiometri yanaweza kupatikana kwa kuanzia na muda wa kwanza na kuongezeka kwa uwiano wa kawaida mara kwa mara. Kwa mfano, kama muda wa kwanza wa mlolongo kijiometri nia_1=−2 na uwiano wa kawaida nir=4, tunaweza kupata masharti baadae kwa−2⋅4 kuzidisha kupata−8 kisha−8⋅4 kuzidisha matokeo ya kupata−32 na kadhalika.
\begin{align*} a_1 &= −2 \\ a_2 &= (−2⋅4)=−8 \\ a_3 &= (−8⋅4)=−32 \\ a_4 &= (−32⋅4)=128 \end{align*}
Masharti manne ya kwanza ni\{–2, –8, –32, –128\}.
- Kuzidisha muda wa awalia_1,, kwa uwiano wa kawaida ili kupata muda ujao,a_2.
- Kurudia mchakato, ukitumiaa_n=a_2 kupataa_3 na kisha utumiea_3 kupataa_4, mpaka maneno yote manne yametambuliwa.
- Andika maneno yaliyotengwa na commons ndani ya mabano.
Andika orodha nne za kwanza za mlolongo wa kijiometria_1=5 nar=–2.
Suluhisho
a_1−2Kuzidisha na kupataa_2. Kurudia mchakato, ukitumiaa_2 kupataa_3, na kadhalika.
\begin{align*} a_1 &= 5 \\ a_2 &= −2a_1=−10 \\ a_3 &= −2a_2=20 \\ a_4 &= −2a_3=−40 \end{align*}
Masharti manne ya kwanza ni\{5,–10,20,–40\}.
Andika orodha tano za kwanza za mlolongo wa kijiometria_1=18 nar=\dfrac{1}{3}.
- Jibu
-
\left \{18, 6, 2, \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{9} \right \}
Kutumia Fomu za Kurudia kwa Utaratibu wa kijiomet
Fomu ya kujirudia inatuwezesha kupata muda wowote wa mlolongo wa kijiometri kwa kutumia muda uliopita. Kila neno ni bidhaa ya uwiano wa kawaida na muda uliopita. Kwa mfano, tuseme uwiano wa kawaida ni9. Kisha kila neno ni mara tisa ya muda uliopita. Kama ilivyo kwa formula yoyote ya kujirudia, muda wa awali unapaswa kupewa.
formula kujirudia kwa mlolongo kijiometri na uwiano wa kawaida r na mudaa_1 wa kwanza ni
a_n=ra_{n−1},\;\;\; n≥2
- Hali ya muda wa awali.
- Pata uwiano wa kawaida kwa kugawa neno lolote kwa muda uliotangulia.
- Badilisha uwiano wa kawaida katika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri.
Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri wafuatayo.
\{6, 9, 13.5, 20.25, ...\} \nonumber
Suluhisho
Neno la kwanza linapewa kama6. Uwiano wa kawaida unaweza kupatikana kwa kugawa muda wa pili kwa muda wa kwanza.
r=\dfrac{9}{6}=1.5 \nonumber
Badilisha uwiano wa kawaida katika formula ya kujirudia kwa utaratibu wa kijiometri na ufafanuea_1.
\begin{align*} a_n &= ra_{n−1} \\ a_n &= 1.5a_{n−1} \text{ for }n≥2 \\ a_1 &= 6 \end{align*}
Uchambuzi
Mlolongo wa pointi za data hufuata mfano wa kielelezo. uwiano wa kawaida pia ni msingi wa kazi kielelezo kama inavyoonekana katika Kielelezo\PageIndex{2}.
Kielelezo\PageIndex{2}
Je, tunapaswa kugawanya muda wa pili kwa muda wa kwanza ili kupata uwiano wa kawaida?
Hapana. Tunaweza kugawanya muda wowote katika mlolongo kwa muda uliopita. Hata hivyo, ni kawaida kugawanya muda wa pili kwa muda wa kwanza kwa sababu mara nyingi ni njia rahisi ya kupata uwiano wa kawaida.
Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri wafuatayo.
\{2, 43, 89, 1627, ...\}
- Jibu
-
\begin{align*}a_1 &= 2 \\ a_n &= \dfrac{2}{3}a_{n−1} \text{ for }n≥2 \end{align*}
Kutumia Fomu wazi kwa Utaratibu wa kijiometri
Kwa sababu mlolongo wa kijiometri ni kazi ya kielelezo ambao uwanja wake ni seti ya integers nzuri, na uwiano wa kawaida ni msingi wa kazi, tunaweza kuandika formula wazi ambayo inaruhusu sisi kupata maneno fulani.
a_n=a_1r^{n−1}
Hebu tuangalie mlolongo\{18, 36, 72, 144, 288, ...\}. Hii ni mlolongo wa kijiometri2 na uwiano wa kawaida wa na kazi kielelezo na msingi wa2. Fomu wazi kwa mlolongo huu ni
a_n=18·2^{n−1}
Grafu ya mlolongo imeonyeshwa kwenye Kielelezo\PageIndex{3}.
Kielelezo\PageIndex{3}
n^{th}Neno la mlolongo wa kijiometri hutolewa na formula wazi:
a_n=a_1r^{n−1}
Kutokana na mlolongo wa kijiometria_1=3 naa_4=24, tafutaa_2.
Suluhisho
Mlolongo unaweza kuandikwa kwa suala la muda wa awali na uwiano wa kawaidar.
3,3r,3r^2,3r^3,...
Pata uwiano wa kawaida kwa kutumia muda uliopewa nne.
\begin{align*} a_n&=a_1r^{n-1} \\ a_4&=3r^3 \qquad \text{Write the fourth term of sequence in terms of }\alpha_1 \text{ and } r \\ 24&=3r^3 \qquad \text{Substitute }24 \text{ for }a_4 \\ 8&=r^3 \qquad \text{Divide} \\ r&=2 \qquad \text{Solve for the common ratio} \end{align*}
Pata muda wa pili kwa kuzidisha muda wa kwanza kwa uwiano wa kawaida.
\begin{align*} a_2 &= 2 \\ a_1 &= 2(3) \\ & = 6 \end{align*}
Uchambuzi
Uwiano wa kawaida huongezeka kwa muda wa kwanza mara moja ili kupata muda wa pili, mara mbili kupata muda wa tatu, mara tatu kupata muda wa nne, na kadhalika. Neno la kumi linaweza kupatikana kwa kuzidisha muda wa kwanza kwa uwiano wa kawaida mara tisa au kwa kuzidisha kwa uwiano wa kawaida uliofufuliwa hadi nguvu ya tisa.
Kutokana na mlolongo wa kijiometria_2=4 na2a_3=32, tafutaa_6.
- Jibu
-
a_6=16,384
Andika formula wazi kwa muda wa nth wa mlolongo wa kijiometri wafuatayo.
\{2, 10, 50, 250, ...\}
Suluhisho
Muda wa kwanza ni2. Uwiano wa kawaida unaweza kupatikana kwa kugawa muda wa pili kwa muda wa kwanza.
\dfrac{10}{2}=5
Uwiano wa kawaida ni5. Weka uwiano wa kawaida na muda wa kwanza wa mlolongo katika formula.
\begin{align*}a_n &= a_1r^{(n−1)} \\ a_n &= 2⋅5^{n−1} \end{align*}
Grafu ya mlolongo huu katika Kielelezo\PageIndex{4} inaonyesha muundo wa kielelezo.
Kielelezo\PageIndex{4}
Andika formula wazi kwa mlolongo wa kijiometri wafuatayo.
\{–1, 3, –9, 27, ...\}
- Jibu
-
a_n=−{(−3)}^{n−1}
Kutatua Matatizo ya Maombi na Utaratibu wa Kiji
Katika matukio halisi ya ulimwengu yanayohusisha utaratibu wa hesabu, tunaweza kuhitaji kutumia neno la awali laa_0 badala yaa_1. Katika matatizo haya, tunaweza kubadilisha formula wazi kidogo kwa kutumia formula ifuatayo:
a_n=a_0r^n
Mwaka 2013, idadi ya wanafunzi katika shule ndogo ni284. Inakadiriwa kuwa idadi ya wanafunzi itaongezeka kwa4\% kila mwaka.
- Andika formula kwa idadi ya wanafunzi.
- Tathmini idadi ya wanafunzi mwaka 2020.
Suluhisho
- Hali inaweza kuelekezwa na mlolongo wa kijiometri na muda wa awali wa284. Idadi ya wanafunzi itakuwa104\% ya mwaka kabla, hivyo uwiano wa kawaida ni1.04.
HebuP kuwa idadi ya wanafunzi nan kuwa idadi ya miaka baada ya 2013. Kutumia formula wazi kwa mlolongo wa kijiometri tunayopata
P_n =284⋅{1.04}^n
- Tunaweza kupata idadi ya miaka tangu 2013 kwa kutoa.
2020−2013=7
Tunatafuta idadi ya watu baada ya7 miaka. Tunaweza mbadala7 kwa ajili yan kukadiria idadi ya watu katika 2020.
P_7=284⋅{1.04}^7≈374
Idadi ya wanafunzi itakuwa karibu374 mwaka 2020.
Biashara inaanza tovuti mpya. Awali idadi ya hits ni293 kutokana na sababu ya udadisi. Makadirio ya biashara ya idadi ya hits itaongezeka2.6% kwa wiki.
- Andika formula kwa idadi ya hits.
- Tathmini idadi ya hits katika5 wiki.
- Jibu
-
P_n = 293⋅1.026a^n
- Jibu b
-
Idadi ya hits itakuwa karibu333.
Fikia rasilimali hizi mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na utaratibu wa kijiometri.
Mlinganyo muhimu
formula ya kujirudia kwa muda wa nth wa mlolongo wa kijiometri | a_n=ra_{n−1},n≥2 |
formula wazi kwa muda wa nth wa mlolongo wa kijiometri | a_n=a_1r^{n−1} |
Dhana muhimu
- Mlolongo wa kijiometri ni mlolongo ambao uwiano kati ya maneno yoyote mawili mfululizo ni mara kwa mara.
- Uwiano wa mara kwa mara kati ya maneno mawili mfululizo huitwa uwiano wa kawaida.
- Uwiano wa kawaida unaweza kupatikana kwa kugawa neno lolote katika mlolongo kwa muda uliopita. Angalia Mfano\PageIndex{1}.
- Masharti ya mlolongo wa kijiometri yanaweza kupatikana kwa kuanzia na muda wa kwanza na kuongezeka kwa uwiano wa kawaida mara kwa mara. Angalia Mfano\PageIndex{2} na Mfano\PageIndex{4}.
- Fomu ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri na uwiano wa kawaidar hutolewa naa_n=ra_{n–1} kwan≥2.
- Kama ilivyo kwa formula yoyote ya kujirudia, muda wa awali wa mlolongo lazima upewe. Angalia Mfano\PageIndex{3}.
- Fomu ya wazi ya mlolongo wa kijiometri na uwiano wa kawaidar hutolewa naa_n=a_1r^{n–1}. Angalia Mfano\PageIndex{5}.
- Katika matatizo ya maombi, sisi wakati mwingine kubadilisha formula wazi kidogo kwaa_n=a_0r^n. Angalia Mfano\PageIndex{6}.