4.E: Kazi za Kielelezo na Logarithmic (Mazoezi)

4.1: Kazi za kielelezo

Wakati watu wanapokua kwa kasi, mara nyingi tunasema kuwa ukuaji ni “kielelezo,” maana yake ni kwamba kitu kinakua kwa kasi sana. Kwa mtaalamu wa hisabati, hata hivyo, neno ukuaji wa kielelezo lina maana maalum sana. Katika sehemu hii, tutaangalia kazi za kielelezo, ambazo zinaonyesha aina hii ya ukuaji wa haraka.

Maneno

1) Eleza kwa nini maadili ya kazi inayoongezeka ya kielelezo hatimaye yatapata maadili ya kazi inayoongezeka ya mstari.

Jibu:

Kazi za mstari zina kiwango cha mabadiliko ya mara kwa mara. Kielelezo kazi kuongezeka kulingana na asilimia ya awali.

2) Kutokana na formula kwa ajili ya kazi kielelezo, inawezekana kuamua kama kazi inakua au kuoza exponentially tu kwa kuangalia formula? Eleza.

3) Kamusi ya Oxford inafafanua neno nominella kama thamani ambayo “imeelezwa au imeelezwa lakini sio sawa na thamani halisi.” Kuendeleza hoja nzuri kwa nini kiwango cha nominella mrefu hutumiwa kuelezea kiwango cha asilimia ya kila mwaka ya akaunti ya uwekezaji ambayo misombo riba.

Jibu:

Wakati riba imezungukwa, asilimia ya riba iliyopatikana kwa mkuu inaishia kuwa kubwa kuliko kiwango cha asilimia ya kila mwaka kwa akaunti ya uwekezaji. Hivyo, kiwango cha asilimia ya kila mwaka haimaanishi na maslahi halisi yaliyopatikana, ambayo ni ufafanuzi wa majina.

Kialjebra

Kwa mazoezi yafuatayo, tambua kama taarifa inawakilisha kazi ya kielelezo. Eleza.

4) wastani wa ongezeko la idadi ya watu wa pakiti ya mbwa mwitu ni\(25\).

5) Idadi ya bakteria hupungua kwa sababu ya\(\frac{1}{8}\) kila\(24\) masaa.

Jibu:

kielelezo; idadi ya watu hupungua kwa kiwango cha sawia.

6) Thamani ya ukusanyaji wa sarafu imeongezeka kwa\(3.25\%\) kila mwaka katika\(20\) miaka ya mwisho.

7) Kwa kila kikao cha mafunzo, mkufunzi binafsi anawadai wateja wake\(\$5\) chini ya kikao cha mafunzo ya awali.

Jibu:

si kielelezo; malipo hupungua kwa kiasi cha mara kwa mara kila ziara, hivyo taarifa inawakilisha kazi linear.

8) Urefu wa projectile kwa wakati\(t\) unawakilishwa na kazi\(h(t)= -4.9t^2 + 18t + 40\)

Kwa mazoezi yafuatayo, fikiria hali hii: Kwa kila mwaka \(t\), idadi ya misitu ya miti inawakilishwa na kazi \(A(t)=115(1.025)^t\). Katika msitu wa jirani, idadi ya watu wa aina hiyo ya mti inawakilishwa na kazi \(B(t)=82(1.029)^t\). (Round majibu kwa karibu idadi nzima.)

9) Ni idadi gani ya misitu inayoongezeka kwa kiwango cha kasi?

Jibu:

Msitu unaowakilishwa na kazi\(B(t)=82(1.029)^t\).

10) Ni msitu gani ulikuwa na idadi kubwa ya miti awali? Kwa wangapi?

11) Kutokana na mifano ya ukuaji wa idadi ya watu kuendelea kuwakilisha ukuaji wa misitu, ambayo msitu utakuwa na idadi kubwa ya miti baada ya\(20\) miaka? Kwa wangapi?

Jibu:

Baada ya\(t=20\) miaka, msitu A utakuwa na\(43\) miti zaidi kuliko msitu B.

12) Kutokana na mifano ya ukuaji wa idadi ya watu kuendelea kuwakilisha ukuaji wa misitu, ambayo msitu itakuwa na idadi kubwa ya miti baada ya\(100\) miaka? Kwa wangapi?

13) Jadili matokeo hapo juu kutoka kwa mazoezi manne yaliyopita. Kutokana na mifano ya ukuaji wa idadi ya watu kuendelea kuwakilisha ukuaji wa misitu, ambayo msitu itakuwa na idadi kubwa ya miti kwa muda mrefu? Kwa nini? Je, ni baadhi ya mambo ambayo yanaweza kuathiri uhalali wa muda mrefu wa mfano wa ukuaji wa kielelezo?

Jibu:

Majibu yatatofautiana. Mfano wa majibu: Kwa miaka kadhaa, idadi ya watu wa msitu A itazidi kuzidi msitu B, lakini kwa sababu msitu B kweli kukua kwa kiwango cha kasi, idadi ya watu hatimaye kuwa kubwa kuliko msitu A na kubaki kwa njia hiyo kwa muda mrefu kama mifano ya ukuaji wa idadi ya watu kushikilia. Baadhi ya mambo ambayo yanaweza kuathiri uhalali wa muda mrefu wa mfano wa ukuaji wa kielelezo ni ukame, janga ambalo linaua idadi ya watu, na mambo mengine ya mazingira na kibaiolojia.

Kwa mazoezi yafuatayo, onyesha kama equation inawakilisha ukuaji wa kielelezo, kuoza kielelezo, au wala. Eleza.

14)\(y=300(1−t)^5\)

15)\(y=220(1.06)^x\)

Jibu:

ukuaji kielelezo; sababu ya ukuaji,\(1.06\) ni kubwa kuliko\(1\). 

16)\(y=16.5(1.025)^{\frac{1}{x}}\)

17)\(y=11,701(0.97)^t\)

Jibu:

kuoza kielelezo; Sababu ya kuoza,\(0.97\),ni kati\(0\) na\(1\).

Kwa ajili ya mazoezi yafuatayo, kupata formula kwa ajili ya kazi kielelezo kwamba hupita kwa njia ya pointi mbili kutolewa.

18) (\(0,6)\)na\((3,750)\)

19)\((0,2000)\) na\((2,20)\)

Jibu:

\(f(x)=2000(0.1)^x\)

20)\(\left (−1,\frac{3}{2} \right )\) na\((3,24)\)

21)\((−2,6)\) na\((3,1)\)

Jibu:

\(f(x)=\left ( \frac{1}{6} \right )^{-\frac{3}{5}} \left ( \frac{1}{6} \right )^{\frac{x}{5}}\approx 2.93 (0.699)^x\)

22)\((3,1)\) na\((5,4)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, onyesha kama meza inaweza kuwakilisha kazi ambayo ni linear, kielelezo, au wala. Ikiwa inaonekana kuwa kielelezo, pata kazi inayopita kupitia pointi.

23)

\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	70	40	10	-20

Jibu:

Linear

24)

\(x\)	1	2	3	4
\(h(x)\)	70	49	34.3	24.01

25)

\(x\)	1	2	3	4
\(m(x)\)	80	61	42.9	25.61

Jibu:

Wala

26)

\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	10	20	40	80

27)

\(x\)	1	2	3	4
\(g(x)\)	-3.25	2	7.25	12.5

Jibu:

Linear

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia fomu ya riba ya kiwanja,\(A(t)=P\left (1+ \frac{r}{n} \right )^{nt}\)

28) Baada ya idadi fulani ya miaka, thamani ya akaunti ya uwekezaji inawakilishwa na equation\(10,250\left (1+ \frac{0.04}{12} \right )^{120}\). Thamani ya akaunti ni nini?

29) Je, amana ya awali ilitolewa kwa akaunti katika zoezi la awali?

Jibu:

\(\$10,250\)

30) Ni miaka ngapi ilikuwa na akaunti kutoka kwa zoezi la awali limekusanya riba?

31) Akaunti ni kufunguliwa kwa amana ya awali ya\(\$6,500\) na chuma\(3.6\%\) riba imezungukwa nusu kila mwaka. Akaunti itakuwa na thamani gani kwa\(20\) miaka?

Jibu:

\(\$13,268.58\)

32) Je! Akaunti katika zoezi la awali ingekuwa na thamani gani ikiwa riba ilikuwa imejumuisha kila wiki?

33) Tatua fomu ya riba ya kiwanja kwa mkuu,\(P\).

Jibu:

\(P=A(t)\cdot \left (1+ \frac{r}{n} \right )^{-nt}\)

34) Tumia fomu iliyopatikana katika zoezi la awali ili kuhesabu amana ya awali ya akaunti ambayo inafaa\(\$14,472.74\) baada ya kupata\(5.5\%\) maslahi imezungukwa kila mwezi kwa\(5\) miaka. (Round kwa dola ya karibu.)

35) Je! Akaunti katika mazoezi mawili yaliyopita ingekuwa na thamani gani ikiwa ingekuwa na riba kwa miaka\(5\) zaidi?

Jibu:

\(\$4,572.56\)

36) Matumizi mali ya exponents busara kutatua kiwanja maslahi formula kwa kiwango cha riba,\(r\).

37) Matumizi formula kupatikana katika zoezi uliopita kwa mahesabu ya kiwango cha riba kwa ajili ya akaunti hiyo ilikuwa imezungukwa nusu kila mwaka, alikuwa amana ya awali ya\(\$9,000\) na ilikuwa na thamani\(\$13,373.53\) baada ya\(10\) miaka.

Jibu:

\(4\%\)

38) Matumizi formula kupatikana katika zoezi uliopita kwa mahesabu ya kiwango cha riba kwa ajili ya akaunti hiyo ilikuwa imezungukwa kila mwezi, alikuwa amana ya awali ya\(\$5,500\), na ilikuwa na thamani\(\$38,455\) baada ya\(30\) miaka.

Kwa mazoezi yafuatayo, onyesha kama equation inawakilisha ukuaji wa kuendelea, kuoza kwa kuendelea, au wala. Eleza.

39)\(y=3742(e)^{0.75t}\)

Jibu:

ukuaji wa kuendelea; kiwango cha ukuaji ni kubwa kuliko\(0\).

40)\(y=150(e)^{\frac{3.25}{t}}\)

41)\(y=2.25(e)^{-2t}\)

Jibu:

kuoza kwa kuendelea; kiwango cha ukuaji ni chini ya\(0\).

42) Tuseme akaunti ya uwekezaji ni kufunguliwa na amana ya awali ya\(\$12,000\) kupata\(7.2\%\) maslahi imezungukwa kuendelea. Akaunti hiyo itakuwa na thamani gani baada ya\(30\) miaka?

43) Ni kiasi gani cha chini ambacho akaunti kutoka Zoezi 42 itakuwa na thamani baada ya\(30\) miaka ikiwa ingekuwa imezungukwa kila mwezi badala yake?

Jibu:

\(\$669.42\)

Numeric

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini kila kazi. Majibu ya pande zote kwa maeneo manne ya decimal, ikiwa ni lazima.

44)\(f(x)=2(5)^x\) kwa ajili ya\(f(-3)\)

45)\(f(x)=-4^{2x+3}\) kwa ajili ya\(f(-1)\)

Jibu:

\(f(-1)=-4\)

46)\(f(x)=e^x\), kwa\(f(3)\)

47)\(f(x)=-2e^{x-1}\), kwa\(f(-1)\)

Jibu:

\(f(-1)\approx -0.2707\)

48)\(f(x)=2.7(4)^{-x+1}+1.5\), kwa\(f(-2)\)

49)\(f(x)=1.2e^{2x}-0.3\), kwa\(f(3)\)

Jibu:

\(f(3)\approx 483.8146\)

50)\(f(x)=-\frac{3}{2}(3)^{-x}+\frac{3}{2}\), kwa\(f(2)\)

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia calculator ya graphing ili kupata equation ya kazi ya kielelezo kutokana na pointi kwenye pembe.

51)\((0,3)\) na\((3,375)\)

Jibu:

\(y=3\cdot 5^x\)

52)\((3,222.62)\) na\((10,77.456)\)

53)\((20,29.495)\) na\((150,730.89)\)

Jibu:

\(y\approx 18\cdot 1.025^x\)

54)\((5,2.909)\) na\((13,0.005)\)

55) (11,310.035)\) na\((25,356.3652)\)

Jibu:

\(y\approx 0.2\cdot 1.95^x\)

Upanuzi

56) Mavuno ya asilimia ya kila mwaka (APY) ya akaunti ya uwekezaji ni uwakilishi wa kiwango halisi cha riba kilichopatikana kwenye akaunti inayojumuisha. Inategemea kipindi cha kuchanganya cha mwaka mmoja. Onyesha kwamba APY ya akaunti inayochanganya kila mwezi inaweza kupatikana kwa formula\(APY=\left (1+\frac{r}{12} \right )^{12}-1\)

57) Kurudia zoezi la awali ili kupata formula ya APY ya akaunti inayochanganya kila siku. Tumia matokeo kutoka kwa hili na zoezi la awali ili kuendeleza kazi\(I(n)\) kwa APY ya akaunti yoyote ambayo misombo\(n\) mara kwa mwaka.

Jibu:

\(\begin{align*} APY &= \frac{A(t)-a}{a}\\ &= \frac{a\left ( 1+\frac{r}{365} \right )^{365(1)}-a}{a}\\ &= \frac{a\left [\left ( 1+\frac{r}{365} \right )^{365}-1 \right ]}{a}\\ &= \left ( 1+\frac{r}{365} \right )^{365}-1 \end{align*}\);\(I(n)=\left ( 1+\frac{r}{n} \right )^n - 1\)

58) Kumbuka kwamba kazi kielelezo ni equation yoyote iliyoandikwa katika fomu\(f(x)=a\cdot b^x\) hiyo\(a\) na\(b\) ni idadi chanya na\(b≠1\). Nambari yoyote nzuri\(b\) inaweza kuandikwa kama\(b=e^n\) kwa baadhi ya thamani ya\(n\). Tumia ukweli huu ili uandike upya formula kwa kazi ya kielelezo ambayo inatumia nambari\(e\) kama msingi.

59) Katika kazi ya kuoza kwa kielelezo, msingi wa kielelezo ni thamani kati\(0\) na\(1\). Hivyo, kwa idadi fulani\(b>1\), kazi ya kuoza ya kielelezo inaweza kuandikwa kama\(f(x)=a\cdot \left (\frac{1}{b} \right )^x\). Tumia formula hii, pamoja na ukweli kwamba\(b=e^n\),kuonyesha kwamba kielelezo kuoza kazi inachukua fomu\(f(x)=a\cdot (e)^{-nx}\) kwa baadhi ya idadi chanya\(n\).

Jibu:

Hebu\(f\) kuwa kielelezo kuoza kazi\(f(x)=a\cdot \left (\frac{1}{b} \right )^x\) kama hiyo\(b>1\). Kisha kwa idadi fulani\(n>0\),

\(\begin{align*} f(x) &= a\cdot \left (\frac{1}{b} \right )^x \\ &= a \left (b^{-1} \right )^x\\ &= a\left ( (e^n)^{-1} \right )^x\\ &= a\left ( e^{-n} \right )^x\\ &= a(e)^{-nx} \end{align*}\)

60) Fomu ya kiasi\(A\) katika akaunti ya uwekezaji na kiwango cha riba ya majina\(r\) wakati wowote\(t\) hutolewa na\(A(t)=a(e)^{rt}\), wapi\(a\) ni kiasi cha mkuu awali zilizoingia katika akaunti ambayo misombo kuendelea. Kuthibitisha kwamba asilimia ya riba chuma kwa mkuu wakati wowote\(t\) inaweza kuwa mahesabu kwa formula\(I(t)= e^{rt} - 1\)

Real-World Matumizi

61) Idadi ya mbweha katika eneo fulani ina kiwango cha ukuaji wa\(9\%\) kila mwaka kwa mwaka. Katika mwaka 2012, kulikuwa na\(23,900\) mbweha waliohesabiwa katika eneo hilo. Idadi ya mbweha inatabiriwa kuwa katika mwaka wa 2020?

Jibu:

\(47,622\)mbweha

62) Mwanasayansi huanza na\(100\) milligrams ya dutu ya mionzi ambayo huharibika kwa kiasi kikubwa. Baada ya\(35\) masaa,\(50\) mg ya dutu hii inabakia. Ni miligramu ngapi zitabaki baada ya\(54\) masaa?

63) Katika mwaka wa 1985, nyumba ilikuwa yenye thamani\(\$110,000\). Kwa mwaka 2005, thamani ilikuwa appreciated kwa\(\$145,000\). Kiwango cha ukuaji wa kila mwaka kati ya 1985 na 2005 kilikuwa nini? Kudhani kwamba thamani iliendelea kukua kwa asilimia sawa. Nini thamani ya nyumba katika mwaka 2010?

Jibu:

\(1.39\%\);\(\$155,368.09\)

64) Gari ilikuwa yenye thamani ya\(\$38,000\) mwaka 2007. By 2013, thamani ilikuwa imeshuka kwa\(\$11,000\) Kama thamani ya gari inaendelea kushuka kwa asilimia sawa, itakuwa na thamani gani kwa 2017?

65) Jamal anataka kuokoa\(\$54,000\) kwa malipo ya chini ya nyumba. Ni kiasi gani atahitaji kuwekeza katika akaunti na\(8.2\%\) Aprili, kuchanganya kila siku, ili kufikia lengo lake kwa\(5\) miaka?

Jibu:

\(\$35,838.76\)

66) Kyoko ina\(\$10,000\) kwamba anataka kuwekeza. Benki yake ina akaunti kadhaa za uwekezaji za kuchagua, zote zinazidi kila siku. Lengo lake ni kuwa\(\$15,000\) na wakati anapomaliza shule ya kuhitimu katika\(6\) miaka. Kwa asilimia mia moja ya asilimia, kiwango cha chini cha riba yake ya kila mwaka kinapaswa kuwa nini ili kufikia lengo lake? (Kidokezo: kutatua formula ya riba ya kiwanja kwa kiwango cha riba.)

67) Alyssa alifungua akaunti ya kustaafu na\(7.25\%\) Aprili mwaka 2000. Amana yake ya awali ilikuwa\(\$13,500\). Akaunti hiyo itakuwa na thamani gani mwaka 2025 ikiwa maslahi huchanganya kila mwezi? Kiasi gani zaidi angeweza kufanya kama maslahi imezungukwa kuendelea?

Jibu:

\(\$82,247.78\);\(\$449.75\)

68) akaunti ya uwekezaji na kiwango cha riba ya kila mwaka ya\(7\%\) ilifunguliwa na amana ya awali ya\(\$4,000\) Linganisha maadili ya akaunti baada ya\(9\) miaka wakati riba ni imezungukwa kila mwaka, robo mwaka, kila mwezi, na kuendelea.

4.2: Grafu ya Kazi za Kielelezo

Kama tulivyojadiliwa katika sehemu iliyotangulia, kazi za kielelezo zinatumika kwa maombi mengi ya ulimwengu halisi kama vile fedha, uchambuzi, sayansi ya kompyuta, na sayansi nyingi za maisha. Kufanya kazi na equation inayoelezea hali halisi ya ulimwengu inatupa njia ya kufanya utabiri. Wakati mwingi, hata hivyo, equation yenyewe haitoshi. Tunajifunza mengi kuhusu mambo kwa kuona uwakilishi wao wa picha, na kwamba ni kwa nini hasa graphing equations kielelezo ni chombo chenye nguvu.

Maneno

1) Je, ni jukumu gani la usawa la kazi ya kielelezo linacheza katika kutuambia kuhusu tabia ya mwisho ya grafu?

Jibu:

asymptote ni mstari kwamba grafu ya mbinu kazi, kama\(x\) ama kuongezeka au itapungua bila amefungwa. Asymptote ya usawa wa kazi ya kielelezo inatuambia kikomo cha maadili ya kazi kama kutofautiana kwa kujitegemea hupata ama kubwa sana au ndogo sana.

2) Ni faida gani ya kujua jinsi ya kutambua mabadiliko ya grafu ya kazi ya mzazi algebraically?

Kialjebra

3) grafu ya\(f(x) = 3^x\) ni yalijitokeza kuhusu\(y\) mhimili -na aliweka wima kwa sababu ya\(4\). Ni nini equation ya kazi mpya,\(g(x)\). Hali yake\(y\) -intercept, domain, na mbalimbali.

Jibu:

\(g(x)=4(3)^{-x}\); y-kukatiza:\((0,4)\); Domain: namba zote halisi; Range: namba zote halisi kubwa kuliko\(0\).

4) Grafu ya\(f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-x}\) ni yalijitokeza kuhusu\(y\) mhimili -na USITUMIE wima kwa sababu ya\(\left ( \frac{1}{5} \right )\). Je, ni equation ya kazi mpya,\(g(x)\)? Hali yake\(y\) -intercept, domain, na mbalimbali.

5) Grafu ya\(f(x)=10^x\) inaonekana juu ya\(x\) -axis na kubadilishwa\(7\) vitengo vya juu. Ni nini equation ya kazi mpya,\(g(x)\)? Hali yake\(y\) -intercept, domain, na mbalimbali.

Jibu:

\(g(x)=-10^x + 7\);\(y\) -intercept:\((0,6)\); Domain: namba zote halisi; Range: namba zote halisi chini ya\(7\).

6) Grafu ya\(f(x)=(1.68)^x\) ni kubadilishwa\(3\) vitengo haki, aliweka wima kwa sababu ya\(2\),yalijitokeza kuhusu\(x\) -axis, na kisha kubadilishwa\(3\) vitengo kushuka. Ni nini equation ya kazi mpya,\(g(x)\)? Hali yake\(y\) -intercept (kwa karibu elfu), uwanja, na mbalimbali.

7) Grafu ya\(f(x)=2\left ( \frac{1}{4} \right )^{x-20}\) ni kubadilishwa\(2\) vitengo kushoto, aliweka wima kwa sababu ya\(4\),yalijitokeza kuhusu\(x\) -axis, na kisha kubadilishwa\(4\) vitengo kushuka. Ni nini equation ya kazi mpya,\(g(x)\)? Hali yake y-intercept, domain, na mbalimbali.

Jibu:

\(g(x)=2\left ( \frac{1}{4} \right )^x\);\(y\) -kukatiza:\((0,2)\); Domain: namba zote halisi; Range: namba zote halisi kubwa kuliko\(0\).

Picha

Kwa mazoezi yafuatayo, graph kazi na kutafakari kwake juu ya\(y\) -axis kwenye shaba sawa, na kutoa\(y\) -intercept.

8)\(f(x)=3\left ( \frac{1}{2} \right )^x\)

9)\(g(x)=-2(0.25)^x\)

Jibu:

\(y\)-kukatiza:\((0,-2)\)

10)\(h(x)=6(1.75)^{-x}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, grafu kila seti ya kazi kwenye shaba sawa.

11)\(f(x)=3\left ( \frac{1}{4} \right )^x, g(x)=3(2)^x, h(x)=3(4)^x\)

Jibu:

12)\(f(x)=\frac{1}{4}(3)^x, g(x)=2(3)^x, h(x)=4(3)^x\)

Kwa mazoezi yafuatayo, mechi ya kila kazi na moja ya grafu katika Kielelezo hapa chini.

13)\(f(x)=2(0.69)^x\)

Jibu:

B

14)\(f(x)=2(1.28)^x\)

15)\(f(x)=2(0.81)^x\)

Jibu:

A

16)\(f(x)=4(1.28)^x\)

17)\(f(x)=2(1.59)^x\)

Jibu:

E

18)\(f(x)=4(0.69)^x\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia grafu zilizoonyeshwa kwenye Kielelezo hapa chini. Wote wana fomu\(f(x)=ab^x\).

19) Ni grafu ipi ina thamani kubwa zaidi\(b\)?

Jibu:

D

20) Ni grafu ipi ina thamani ndogo zaidi\(b\)?

21) Ni grafu ipi ina thamani kubwa zaidi\(a\)?

Jibu:

C

22) Ni grafu ipi ina thamani ndogo zaidi\(a\)?

Kwa mazoezi yafuatayo, graph kazi na kutafakari kwake kuhusu\(x\) -axis kwenye shaba sawa.

23)\(f(x)=\frac{1}{2}(4)^x\)

Jibu:

24)\(f(x)=3(0.75)^x-1\)

25)\(f(x)=-4(2)^x+2\)

Jibu:

Kwa mazoezi yafuatayo, graph mabadiliko ya\(f(x)=2^x\). Kutoa asymptote ya usawa, kikoa, na upeo.

26)\(f(x)=2^{-x}\)

27)\(h(x)=2^x+3\)

Jibu:

Asymptote ya usawa:\(h(x)=3\);Domain: namba zote halisi; Range: namba zote halisi madhubuti kubwa kuliko\(3\).

28)\(f(x)=2^{x-2}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, kuelezea tabia ya mwisho ya grafu ya kazi.

29)\(f(x)=-5(4)^x-1\)

Jibu:

Kama\(x\rightarrow \infty , f(x)\rightarrow -\infty\)

Kama\(x\rightarrow -\infty , f(x)\rightarrow -1\)

30)\(f(x)=3\left ( \frac{1}{2} \right )^x-2\)

31)\(f(x)=3(4)^{-x}+2\)

Jibu:

Kama\(x\rightarrow \infty , f(x)\rightarrow 2\)

Kama\(x\rightarrow -\infty , f(x)\rightarrow \infty\)

Kwa mazoezi yafuatayo, kuanza na grafu ya\(f(x)=4^x\). Kisha kuandika kazi inayotokana na mabadiliko yaliyotolewa.

32) Shift\(f(x)\)\(4\) vitengo juu

33) Shift\(f(x)\) \(3\) units chini

Jibu:

\(f(x)=4^x-3\)

34)\(f(x)\)\(2\) vitengo vya Shift kushoto

35) Shift\(f(x)\)\(5\) vitengo haki

Jibu:

\(f(x)=4^{x-5}\)

36) Fikiria\(f(x)\) kuhusu\(x\) -axis

37) Fikiria\(f(x)\) kuhusu\(y\) -axis

Jibu:

\(f(x)=4^{-x}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, kila grafu ni mabadiliko ya\(f(x)=2^x\). Andika equation kuelezea mabadiliko.

38)

39)

Jibu:

\(y=-2^x+3\)

40)

Kwa mazoezi yafuatayo, pata equation ya kielelezo kwa grafu.

41)

Jibu:

\(y=-2(3)^x+7\)

42)

Numeric

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini kazi za kielelezo kwa thamani iliyoonyeshwa ya\(x\).

43)\(g(x)=\frac{1}{3}(7)^{x-2}\) kwa ajili ya\(g(6)\).

Jibu:

\(g(6)=800+\frac{1}{3}\approx 800.3333\)

44)\(f(x)=4(2)^{x-1}-2\) kwa ajili ya\(f(5)\).

45)\(h(x)=-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2} \right )^x+6\) kwa ajili ya\(h(-7)\).

Jibu:

\(h(-7)=-58\)

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia calculator ya graphing ili takriban ufumbuzi wa equation. Pande zote kwa elfu ya karibu.

46)\(-50=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-x}\)

47)\(116=\left ( \frac{1}{4} \right )\left ( \frac{1}{8} \right )^x\)

Jibu:

\(x\approx -2.953\)

48)\(12=2(3)^x+1\)

49)\(5=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}-2\)

Jibu:

\(x\approx -0.222\)

50)\(-30=-4(2)^{x+2}+2\)

Upanuzi

51) Kuchunguza na kujadili grafu ya\(F(x)=(b)^x\) na\(G(x)=\left ( \frac{1}{b} \right )^x\). Kisha fanya dhana kuhusu uhusiano kati ya grafu za kazi\(b^x\) na\(\left ( \frac{1}{b} \right )^x\) kwa idadi yoyote halisi\(b>0\).

Jibu:

Grafu ya\(G(x)=\left ( \frac{1}{b} \right )^x\) ni reflection kuhusu\(y\) -axis ya grafu ya\(F(x)=(b)^x\); Kwa idadi yoyote halisi\(b>0\) na kazi\(f(x)=(b)^x\),grafu ya\(\left ( \frac{1}{b} \right )^x\) ni kutafakari kuhusu\(y\) -axis,\(F(-x)\).

52) Thibitisha dhana iliyofanywa katika zoezi la awali.

53) Kuchunguza na kujadili grafu ya\(f(x) = 4^x\),\(g(x)=4^{x-2}\), na\(h(x)=\left ( \frac{1}{16} \right )4^x\). Kisha fanya dhana kuhusu uhusiano kati ya grafu za kazi\(b^x\) na\(\left ( \frac{1}{b^n} \right )b^x\) kwa idadi yoyote halisi\(n\) na namba halisi\(b>0\).

Jibu:

Grafu ya\(g(x)\) na\(h(x)\) ni sawa na ni mabadiliko ya usawa na haki ya grafu ya\(f(x)\); Kwa idadi yoyote halisi\(n\), idadi halisi\(b>0\), na kazi\(f(x)=b^x\),grafu ya\(\left ( \frac{1}{b^n} \right )b^x\) ni mabadiliko ya usawa\(f(x-n)\).

54) Thibitisha dhana iliyofanywa katika zoezi la awali.

4.3: Kazi za Logarithmic

Inverse ya kazi ya kielelezo ni kazi ya logarithmic, na inverse ya kazi ya logarithmic ni kazi ya kielelezo.

Maneno

1)\(b\) Logarithm ya msingi ni nini? Jadili maana kwa kutafsiri kila sehemu ya equations sawa\(b^y=x\) na\(\log _bx=y\) kwa\(b>0, b\neq 1\).

Jibu

Logarithm ni exponent. Hasa, ni kielelezo ambacho msingi\(b\) hufufuliwa ili kuzalisha thamani iliyotolewa. Katika maneno yaliyotolewa, msingi\(b\) una thamani sawa. Mtazamo,\(y\),katika maneno pia\(b^y\) inaweza kuandikwa kama logarithm,\(\log _bx=y\),na thamani ya\(x\) ni matokeo ya kuongeza\(b\) kwa nguvu ya\(y\).

2) Kazi ya logarithmic\(f(x)=\log _bx\) inahusianaje na kazi ya kielelezo\(g(x)=b^x\)? Je! Matokeo ya kutunga kazi hizi mbili ni nini?

3) Je, equation ya logarithmic\(\log _bx=y\) inaweza kutatuliwa kwa\(x\) kutumia mali ya exponents?

Jibu

Kwa kuwa equation ya logarithm ni sawa na equation ya kielelezo, logarithm inaweza kubadilishwa kuwa equation exponential\(b^y = x\),na kisha mali ya exponents inaweza kutumika kutatua kwa\(x\).

4) Jadili maana ya logarithm ya kawaida. Ni uhusiano gani na logarithm na msingi\(b\),na notation inatofautianaje?

5) Jadili maana ya logarithm ya asili. Ni uhusiano gani na logarithm na msingi\(b\),na notation inatofautianaje?

Jibu

Logarithm ya asili ni kesi maalum ya logarithm yenye msingi\(b\) kwa kuwa logi ya asili daima ina msingi\(e\). Badala ya notating logarithm asili kama\(\log_{e}(x)\),nukuu inayotumiwa ni\(\ln (x)\).

Kialjebra

Kwa mazoezi yafuatayo, andika upya kila equation katika fomu ya kielelezo.

6)\(\log_{4}(q)=m\)

7)\(\log_{a}(b)=c\)

Jibu

\(a^c=b\)

8)\(\log_{16}(y)=x\)

9)\(\log_{x}(64)=y\)

Jibu

\(x^y=64\)

10)\(\log_{y}(x)=-11\)

11)\(\log_{15}(a)=b\)

Jibu

\(15^b=a\)

12)\(\log_{y}(137)=x\)

13)\(\log_{13}(142)=a\)

Jibu

\(13^a=142\)

14)\(\log(v)=t\)

15)\(\ln(w)=n\)

Jibu

\(e^n=w\)

Kwa mazoezi yafuatayo, andika upya kila equation katika fomu ya logarithmic.

16)\(4^x=y\)

17)\(c^d=k\)

Jibu

\(\log_{c}(k)=d\)

18)\(m^{-7}=n\)

19)\(19^x=y\)

Jibu

\(\log_{19}(y)=x\)

20)\(x^{-\frac{10}{13}}=y\)

21)\(n^4 = 103\)

Jibu

\(\log_{n}(103)=4\)

22)\(\left ( \dfrac{7}{5} \right )^m=n\)

23)\(y^x=\dfrac{39}{100}\)

Jibu

\(\log_{y}\left ( \dfrac{39}{100} \right )=x\)

24)\(10^a=b\)

25)\(e^k=h\)

Jibu

\(\ln(w)=n\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tatua\(x\) kwa kugeuza equation ya logarithmic kwa fomu ya kielelezo.

26)\(\log_{3}(x)=2\)

27)\(\log_{2}(x)=-3\)

Jibu

\(x=2^{-3}=\dfrac{1}{8}\)

28)\(\log_{5}(x)=2\)

29)\(\log_{3}(x)=3\)

Jibu

\(x = 3^3 = 27\)

30)\(\log_{2}(x)=6\)

31)\(\log_{9}(x)=\dfrac{1}{2}\)

Jibu

\(x=9^{\frac{1}{2}}=3\)

32)\(\log_{18}(x)=2\)

33)\(\log_{6}(x)=-3\)

Jibu

\(x=6^{-3}=\dfrac{1}{216}\)

34)\(\log (x)=3\)

35)\(\ln(x)=2\)

Jibu

\(x=e^2\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia ufafanuzi wa logarithms ya kawaida na ya asili ili kurahisisha.

36)\(\log (100^8)\)

37)\(10^{\log (32)}\)

Jibu

\(32\)

38)\(2\log (.0001)\)

39)\(e^{\ln (1.06)}\)

Jibu

\(1.06\)

40)\(\ln (e^{-5.03})\)

41)\(e^{\ln (10.125)}+4\)

Jibu

\(14.125\)

Numeric

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini maneno ya msingi ya\(b\) logarithmic bila kutumia calculator.

42)\(\log _3\left ( \frac{1}{27} \right )\)

43)\(\log _6(\sqrt{6})\)

Jibu

\(\dfrac{1}{2} \)

44)\(\log _2\left ( \frac{1}{8} \right )+4\)

45)\(6\log _8(4)\)

Jibu

\(4\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini maneno ya kawaida ya logarithmic bila kutumia calculator.

46)\(\log (10,000)\)

47)\(\log (0.001)\)

Jibu

\(-3\)

48)\(\log (1)+7\)

49)\(2\log (100^{-3})\)

Jibu

\(-12\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini maneno ya asili ya logarithmic bila kutumia calculator.

50)\(\ln \left ( e^{\frac{1}{3}} \right )\)

51)\(\ln (1)\)

Jibu

\(0\)

52)\(\ln \left ( e^{-0.225} \right )-3\)

53)\(25\ln \left ( e^{\frac{2}{5}} \right )\)

Jibu

\(10\)

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, tathmini kila kujieleza kwa kutumia calculator. Pande zote kwa elfu ya karibu.

54)\(\log (0.04)\)

55)\(\ln (15)\)

Jibu

\(2.708\)

56)\(\ln \left ( {\frac{4}{5}} \right )\)

57)\(\log (\sqrt{2})\)

Jibu

\(0.151\)

58)\(\ln (\sqrt{2})\)

Upanuzi

59) Je, ni\(x=0\) katika uwanja wa kazi\(f(x)=\log x\)? Ikiwa ndivyo, ni thamani gani ya kazi wakati\(x=0\)? Thibitisha matokeo.

Jibu

Hapana, kazi haina thamani defined kwa\(x=0\). Ili kuthibitisha, tuseme\(x=0\) iko katika uwanja wa kazi\(f(x)=\log (x)\). Kisha kuna baadhi ya idadi\(n\) hiyo\(n=\log(0)\). Kuandika upya kama equation kielelezo inatoa:\(10^n=0\),ambayo haiwezekani kwa kuwa hakuna idadi hiyo halisi\(n\) ipo. Kwa hiyo,\(x=0\) si uwanja wa kazi\(f(x)=\log (x)\).

60) Je, ni\(f(x)=0\) katika kazi mbalimbali\(f(x)=\log (x)\)? Kama ni hivyo, kwa nini thamani ya\(x\)? Thibitisha matokeo.

61) Je, kuna idadi\(x\) kama hiyo\(\ln x = 2\)? Ikiwa ndivyo, nambari hiyo ni nini? Thibitisha matokeo.

Jibu

Ndiyo. Tuseme kuna idadi halisi\(x\) kama hiyo\(\ln x = 2\). Kuandika upya kama equation kielelezo inatoa\(x=e^2\),ambayo ni idadi halisi. Ili kuthibitisha, basi\(x=e^2\). Kisha, kwa ufafanuzi,\(\ln (x)=\ln \left ( e^2 \right ) = 2\).

62) Je, yafuatayo ni kweli:\(\frac{\log _3(27)}{\log _4\left ( \frac{1}{64} \right )}=-1\) log3(27)log4(164)=−1?  log3(27)log4(164)=−1? " role="presentation" style="background-color:transparent;border-bottom-color:rgb(85, 85, 85);border-bottom-style:none;border-bottom-width:0px;border-image-outset:0;border-image-repeat:stretch;border-image-slice:100%;border-image-source:none;border-image-width:1;border-left-color:rgb(85, 85, 85);border-left-style:none;border-left-width:0px;border-right-color:rgb(85, 85, 85);border-right-style:none;border-right-width:0px;border-top-color:rgb(85, 85, 85);border-top-style:none;border-top-width:0px;box-sizing:border-box;direction:ltr;display:inline;float:none;font-family:Helvetica Neue,Helvetica,Arial,sans-serif;font-size-adjust:none;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:400;letter-spacing:normal;line-height:normal;margin-bottom:0px;margin-left:0px;margin-right:0px;margin-top:0px;max-height:none;max-width:none;min-height:0px;min-width:0px;orphans:2;padding-bottom:0px;padding-left:0px;padding-right:0px;padding-top:0px;position:relative;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0px;text-transform:none;-webkit-text-stroke-width:0px;white-space:nowrap;word-spacing:0px;word-wrap:normal;" tabindex="0"> kigogo3(27)kigogo4(164)=-1?  kigogo3(27)kigogo4(164)=-1? Thibitisha matokeo.

63) Je, ni kweli yafuatayo:\(\frac{\ln (e^{1.725})}{\ln (1)}=1.725\) Thibitisha matokeo.

Jibu

Hapana;\(\ln (1) =0\), hivyo\(\frac{\ln (e^{1.725})}{\ln (1)}=1.725\) haijulikani.

Real-World Matumizi

64) Ripoti ya mfiduo\(EI\) kwa kamera ya\(35\) millimeter ni kipimo cha kiasi cha mwanga kinachopiga filamu. Ni kuamua na equation\(EI=\log _2\left ( \frac{f^2}{t} \right )\),\(f\)wapi kuweka “f-stop” kwenye kamera, na\(t\) ni wakati wa kufungua kwa sekunde. Tuseme kuweka f-kuacha ni\(8\) na taka yatokanayo wakati ni\(2\) sekunde. Je, index ya yatokanayo na matokeo itakuwa nini?

65) Rejea zoezi la awali. Tuseme mita mwanga kwenye kamera inaonyesha\(EI\) ya\(-2\),na wakati unaotaka mfiduo ni\(16\) sekunde. Mpangilio wa f-stop unapaswa kuwa nini?

Jibu

\(2\)

66) Viwango vya\(I\) kiwango cha matetemeko mawili yaliyopimwa kwenye seismograph inaweza kulinganishwa na formula\(\log \left ( \frac{I_1}{I_2} \right )=M_1-M_2\) \(M\)wapi ukubwa uliotolewa na Scale Richter. Mwezi Agosti 2009, tetemeko la ardhi la ukubwa\(6.1\) lilipiga Honshu, Japan. Mwezi Machi 2011, mkoa huo uzoefu jingine, zaidi makubwa ya tetemeko la ardhi, wakati huu na ukubwa wa\(9.0\). Ni mara ngapi ukubwa wa tetemeko la ardhi la 2011? Pande zote kwa nambari nzima iliyo karibu.

4.4: Grafu ya Kazi za Logarithmic

Katika sehemu hii tutajadili maadili ambayo kazi ya logarithmic inafafanuliwa, na kisha tutazingatia kuzingatia familia ya kazi za logarithmic.

Maneno

1) Inverse ya kila kazi ya logarithmic ni kazi ya kielelezo na kinyume chake. Hii inatuambia nini kuhusu uhusiano kati ya kuratibu za pointi kwenye grafu za kila mmoja?

Jibu

Kwa kuwa kazi ni inverses, grafu zao ni picha za kioo kuhusu mstari\(y-x\). Kwa hiyo kwa kila hatua\((a,b)\) kwenye grafu ya kazi ya logarithmic, kuna hatua inayofanana\((b,a)\) kwenye grafu ya kazi yake ya kielelezo.

2) Ni aina gani ya tafsiri (s), ikiwa ipo, huathiri aina mbalimbali za kazi ya logarithmic?

3) Ni aina gani ya tafsiri (s), ikiwa ipo, huathiri uwanja wa kazi ya logarithmic?

Jibu

Kuhamisha kazi kulia au kushoto na kutafakari kazi kuhusu\(y\) -axis itaathiri uwanja wake.

4) Fikiria kazi ya jumla ya logarithmic\(f(x)=\log _b(x)\). Kwa nini hawezi\(x\) kuwa sifuri?

5) Je, grafu ya kazi ya jumla ya logarithmic ina asymptote ya usawa? Eleza.

Jibu

Hapana. Asymptote ya usawa ingeweza kupendekeza kikomo juu ya upeo, na upeo wa kazi yoyote ya logarithmic kwa fomu ya jumla ni namba zote halisi.

Kialjebra

Kwa mazoezi yafuatayo, sema kikoa na kazi mbalimbali.

6)\(f(x)=\log _3(x+4)\)

7)\(h(x)=\ln \left ( \dfrac{1}{2}-x \right )\)

Jibu

Domain:\(\left ( -\infty , \dfrac{1}{2} \right )\); Range:\((-\infty , \infty )\)

8)\(g(x)=\log _5(2x+9)-2\)

9)\(h(x)=\ln (4x+17)-5\)

Jibu

Domain:\(\left ( -\dfrac{17}{4}, \infty \right )\); Range:\((-\infty , \infty )\)

10)\(f(x)=\log _2 (12-3x)-3\)

Kwa mazoezi yafuatayo, sema kikoa na asymptote ya wima ya kazi.

11)\(f(x)=\log _b (x-5)\)

Jibu

Domain:\((5, \infty )\); Asymptote ya wima:\(x=5\)

12)\(g(x)=\ln (3-x)\)

13)\(f(x)=\log (3x+1)\)

Jibu

Domain:\(\left ( -\dfrac{1}{3}, \infty \right )\); Asymptote ya wima:\(x=-\dfrac{1}{3}\)

14)\(f(x)=3\log (-x)+2\)

15)\(g(x)=-\ln (3x+9)-7\)

Jibu

Domain:\((-3, \infty )\); Asymptote ya wima:\(x=-3\)

Kwa mazoezi yafuatayo, sema kikoa, asymptote ya wima, na tabia ya mwisho ya kazi.

16)\(f(x)=\ln (2-x)\)

17)\(f(x)=\log \left ( x-\dfrac{3}{7} \right )\)

Jibu

Domain:\(\left ( \dfrac{3}{7},\infty \right )\)

Asymptote ya wima:\(x=\dfrac{3}{7}\)

Mwisho tabia: kama\(x\rightarrow \left (\dfrac{3}{7} \right )^+\),\(f(x)\rightarrow -\infty\) na kama\(x\rightarrow \infty ,f(x)\rightarrow \infty\)

18)\(h(x)=-\log (3x-4)+3\)

19)\(g(x)=\ln (2x+6)-5\)

Jibu

Domain:\(\left ( -3,\infty \right )\)

Asymptote ya wima:\(x=-3\)

Mwisho tabia: kama\(x\rightarrow -3^+\),\(f(x)\rightarrow -\infty\) na kama\(x\rightarrow \infty ,f(x)\rightarrow \infty\)

20)\(f(x)=\log_3 (15-5x)+6\)

Kwa mazoezi yafuatayo, sema kikoa, upeo, na x- na y-intercepts, ikiwa zipo. Ikiwa haipo, weka DNE.

21)\(h(x)=\log_4 (x-1)+1\)

Jibu

Domain:\(\left (1,\infty \right )\)

Mipangilio:\(-\infty , \infty \)

Asymptote ya wima:\(x=1\)

\(x\)-kukatiza:\(\left ( \dfrac{5}{4},0\right )\)

\(y\)-kukatiza: DNE

22)\(f(x)=\log (5x+10)+3\)

23)\(g(x)=\ln (-x)-2\)

Jibu

Domain:\(\left (-\infty ,0 \right )\)

Mipangilio:\(-\infty , \infty \)

Asymptote ya wima:\(x=0\)

\(x\)-kukatiza:\(\left ( -e^2,0 \right )\)

\(y\)-kukatiza: DNE

24)\(f(x)=\log_2 (x+2)-5\)

25)\(h(x)=3\ln (x)-9\)

Jibu

Domain:\(\left (0,\infty \right )\)

Mipangilio:\(-\infty , \infty \)

Asymptote ya wima:\(x=0\)

\(x\)-kukatiza:\(\left ( e^3,0 \right )\)

\(y\)-kukatiza: DNE

Picha

Kwa mazoezi yafuatayo, mechi ya kila kazi katika Kielelezo hapa chini na barua inayohusiana na grafu yake.

26)\(d(x)=\log (x)\)

27)\(f(x)=\ln (x)\)

Jibu

\(B\)

28)\(g(x)=\log_2 (x)\)

29)\(h(x)=\log_5 (x)\)

Jibu

\(C\)

30)\(j(x)=\log_{25} (x)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, mechi ya kila kazi katika Kielelezo na barua inayohusiana na grafu yake.

31)\(f(x)=\log_{\frac{1}{3}} (x)\)

Jibu

\(B\)

32)\(g(x)=\log_2 (x)\)

33)\(h(x)=\log_{\frac{3}{4}} (x)\)

Jibu

\(C\)

Kwa mazoezi yafuatayo, mchoro michoro ya kila jozi ya kazi kwenye mhimili huo.

34)\(f(x)=\log (x)\) na\(g(x)=10^x\)

35)\(f(x)=e^x\) na\(g(x)=\ln (x)\)

Jibu

Kwa mazoezi yafuatayo, mechi ya kila kazi katika Kielelezo na barua inayohusiana na grafu yake.

36)\(f(x)=\log _4(-x+2)\)

37)\(g(x)=-\log _4(x+2)\)

Jibu

\(C\)

38)\(h(x)=\log _4(x+2)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, mchoro grafu ya kazi iliyoonyeshwa.

39)\(f(x)=\log _2(x+2)\)

Jibu

40)\(f(x)=2\log (x)\)

41)\(f(x)=\ln (-x)\)

Jibu

42)\(g(x)=\log (4x+16)+4\)

43)\(g(x)=\log (6-3x)+1\)

Jibu

44)\(h(x)=-\dfrac{1}{2}\log (x+1)-3\)

Kwa mazoezi yafuatayo, weka equation ya logarithmic sambamba na grafu iliyoonyeshwa.

45) Tumia\(y=\log _2(x)\) kama kazi mzazi.

Jibu

\(f(x)=\log _2(-(x-1))\)

46) Tumia\(f(x)=\log _3(x)\) kama kazi ya mzazi.

47) Tumia\(f(x)=\log _4(x)\) kama kazi ya mzazi.

Jibu

\(f(x)=3\log _4(x+2)\)

48) Tumia\(f(x)=\log _5(x)\) kama kazi ya mzazi.

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia calculator ya graphing ili kupata ufumbuzi wa takriban kwa kila equation.

49)\(\log (x-1)+2=\ln (x-1)+2\)

Jibu

\(x=2\)

50)\(\log (2x-3)+2=-\log (2x-3)+5\)

51)\(\ln (x-2)+2=-\ln (x+1)\)

Jibu

\(x\approx 2.303\)

52)\(2\ln (5x+1)=\dfrac{1}{2}\ln (-5x)+1\)

53)\(\dfrac{1}{3}\log (1-x)=\log (x+1)+\dfrac{1}{3}\)

Jibu

\(x\approx -0.472\)

Upanuzi

54) Hebu\(b\) kuwa yoyote chanya idadi halisi kama hiyo\(b\neq 1\). Nini lazima\(\log _b 1 \) iwe sawa na? Thibitisha matokeo.

55) Kuchunguza na kujadili grafu ya\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) na\(g(x)=-\log _2(x)\). Fanya dhana kulingana na matokeo.

Jibu

Grafu ya\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) na\(g(x)=-\log _2(x)\) kuonekana kuwa sawa;

Dhana: kwa msingi wowote chanya\(b\neq 1\),\(\log_{b}(x)=\log_{\frac{1}{b}}(x)\)

56) Thibitisha dhana iliyofanywa katika zoezi la awali.

57) Ni uwanja gani wa kazi\(f(x)=\ln \left (\frac{x+2}{x-4} \right )\)? Jadili matokeo.

Jibu

Kumbuka kwamba hoja ya kazi ya logarithmic lazima iwe chanya, kwa hiyo tunaamua wapi\(\frac{x+2}{x-4}> 0\). Kutoka kwenye grafu ya kazi\(f(x)=\frac{x+2}{x-4}\),kumbuka kuwa grafu iko juu ya\(x\) -axis kwenye muda\((-\infty ,-2)\) na tena kwa haki ya asymptote ya wima, yaani\((4,\infty )\). Kwa hiyo, uwanja ni\((-\infty ,-2)\cup (4,\infty )\).

58) Matumizi mali ya exponents kupata\(x\) -intercepts ya kazi\(f(x)=\log \left ( x^2+4x+4 \right )\) algebraically. Onyesha hatua za kutatua, na kisha uhakikishe matokeo kwa kuchora kazi.

4.5: Mali ya Logarithmic

Kumbuka kwamba kazi za logarithmic na za kielelezo “tengeneze” kila mmoja. Hii ina maana kwamba logarithms zina mali sawa na watazamaji. Baadhi ya mali muhimu ya logarithms hutolewa hapa.

Maneno

1) Utawala wa nguvu wa logarithms unasaidiaje wakati wa kutatua logarithms na fomu\(\log _b(\sqrt[n]{x})\)?

Jibu

Maneno yoyote ya mizizi yanaweza kuandikwa upya kama kujieleza na kielelezo cha busara ili utawala wa nguvu uweze kutumiwa, na kufanya logarithm iwe rahisi kuhesabu. Hivyo,\(\log _b \left ( x^{\frac{1}{n}} \right ) = \dfrac{1}{n}\log_{b}(x)\).

2) Fomu ya mabadiliko-msingi hufanya nini? Kwa nini ni muhimu wakati wa kutumia calculator?

Kialjebra

Kwa mazoezi yafuatayo, kupanua kila logarithm iwezekanavyo. Andika upya kila kujieleza kama jumla, tofauti, au bidhaa ya magogo.

3)\(\log _b (7x\cdot 2y)\)

Jibu

\(\log _b (2)+\log _b (7)+\log _b (x)+\log _b (y)\)

4)\(\ln (3ab\cdot 5c)\)

5)\(\log_b \left ( \dfrac{13}{17} \right )\)

Jibu

\(\log _b (13)-\log _b (17)\)

6)\(\log_4 \left ( \dfrac{\frac{x}{z}}{w} \right )\)

7)\(\ln \left ( \dfrac{1}{4^k} \right )\)

Jibu

\(-k\ln(4)\)

8)\(\log _2 (y^x)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, fungua kwa logarithm moja ikiwa inawezekana.

9)\(\ln (7)+\ln (x)+\ln (y)\)

Jibu

\(\ln(7xy)\)

10)\(\log_3(2)+\log_3(a)+\log_3(11)+\log_3(b)\)

11)\(\log_b(28)-\log_b(7)\)

Jibu

\(\log_b(4)\)

12)\(\ln (a)-\ln (d)-\ln (c)\)

13)\(-\log_b\left ( \dfrac{1}{7} \right )\)

Jibu

\(\log_b(7)\)

14)\(\dfrac{1}{3}\ln(8)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia mali ya logarithms kupanua kila logarithm iwezekanavyo. Andika upya kila kujieleza kama jumla, tofauti, au bidhaa ya magogo.

15)\(\log \left ( \dfrac{x^{15}y^{13}}{z^{19}} \right )\)

Jibu

\(15\log (x)+13\log (y)-19\log (z)\)

16)\(\ln \left ( \frac{a^{-2}}{b^{-4}c^{5}} \right )\)

17)\(\log \left ( \sqrt{x^3y^{-4}} \right )\)

Jibu

\(\frac{3}{2}\log (x)-2\log (y)\)

18)\(\ln \left ( y\sqrt{\frac{y}{1-y}} \right )\)

19)\(\log \left ( x^2y^3 \sqrt[3]{x^2y^5} \right )\)

Jibu

\(\dfrac{8}{3}\log (x)+\dfrac{14}{3}\log (y)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, condense kila kujieleza kwa logarithm moja kwa kutumia mali ya logarithms.

20)\(\log \left ( 2x^4 \right )+\log \left (3x^5 \right )\)

21)\(\ln \left ( 6x^9 \right )-\ln \left (3x^2 \right )\)

Jibu

\(\ln \left ( 2x^7 \right )\)

22)\(2\log (x)+3\log (x+1)\)

23)\(\log (x)-\dfrac{1}{2}\log (y)+3\log (z)\)

Jibu

\(\log \left ( \dfrac{xz^3}{\sqrt{y}} \right )\)

24)\(4\log _7(c)+\dfrac{\log _7(a)}{3}+\dfrac{\log _7(b)}{3}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, andika upya kila kujieleza kama uwiano sawa wa magogo kwa kutumia msingi ulioonyeshwa.

25)\(\log _7(15)\) kwa msingi\(e\)

Jibu

\(\log _7(15)=\dfrac{\ln (15)}{\ln (7)}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tuseme\(\log _5(6)=a\) na\(\log _5(11)=b\). Tumia formula ya mabadiliko-ya msingi pamoja na mali ya logarithms kuandika upya kila kujieleza kwa suala la\(a\) na\(b\). Onyesha hatua za kutatua.

27)\(\log _{11} (5)\)

Jibu

\(\log _{11} (5)=\dfrac{\log_5 (5)}{\log_5 (11)}=\dfrac{1}{b}\)

28)\(\log _{6} (55)\)

29)\(\log _{11}\left (\dfrac{6}{11} \right )\)

Jibu

\(\log _{11}\left (\dfrac{6}{11} \right )=\dfrac{\log _{11}\left (\frac{6}{11} \right )}{\log _{5}(11)}=\dfrac{\log _{5}(6)-\log _{5}(11)}{\log _{5}(11)}=\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{a}{b}-1\)

Numeric

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia mali ya logarithms kutathmini bila kutumia calculator.

30)\(\log _3 \left ( \dfrac{1}{9} \right )-3\log _3 (3)\)

31)\(6\log _8 (2)+\dfrac{\log _8 (64)}{3\log _8 (4)}\)

Jibu

\(3\)

32)\(2\log _9 (3)-4\log _9 (3)+\log _9 \left (\dfrac{1}{729} \right )\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia fomu ya mabadiliko-ya msingi ili kutathmini kila kujieleza kama quotient ya magogo ya asili. Tumia calculator ili takriban kila sehemu tano za decimal.

33)\(\log _3 (22)\)

Jibu

\(2.81359\)

34)\(\log _8 (65)\)

35)\(\log _6 (5.38)\)

Jibu

\(0.93913\)

36)\(\log _4 \left (\dfrac{15}{2} \right )\)

37)\(\log _{\frac{1}{2}} (4.7)\)

Jibu

\(-2.23266\)

Upanuzi

38) Tumia utawala wa bidhaa kwa logarithms kupata\(x\) maadili yote kama vile\(\log _{12} (2x+6)+\log _{12} (x+2)=2\). Onyesha hatua za kutatua.

39) Tumia utawala wa quotient kwa logarithms kupata\(x\) maadili yote kama vile\(\log _{6} (x+2)-\log _{6} (x-3)=1\). Onyesha hatua za kutatua.

Jibu

Kuandika upya kama equation kielelezo na kutatua kwa\(x\):

\ (\ kuanza {align*}
6 ^ 1 &=\ frac {x+2} {x-3}\\
0 &=\ frac {x+2} {x-3} -6\\
0 &=\ frac {x+2} {x-3} -\ frac {6 (x-3)} {(x-3)}\\ 0 &=\ frac {x+2-6x+18} {(x-3)} {(x-3)}\\
0 &=\ frac {x+2-6x+18} 3}\\
0 &=\ frac {x-4} {x-3}\\
x &= 4
\ mwisho {align*}\)

Kuangalia, tunaona kwamba\(\log _6(4+2)-\log _6(4-3)=\log _6(6)-\log _6(1)\) ni defined, hivyo\(x=4\)

40) Je, mali ya nguvu ya logarithms inaweza kuwa inayotokana na mali ya nguvu ya exponents kutumia equation\(b^x=m\)? Kama siyo, kueleza kwa nini. Ikiwa ndivyo, onyesha derivation.

41) Thibitisha kwamba\(\log_b(n)=\frac{1}{\log_b(n)}\) kwa integers yoyote nzuri\(b>1\) na\(n>1\).

Jibu

Hebu\(b\) na\(n\) uwe na integers chanya zaidi kuliko\(1\). Kisha, kwa formula ya mabadiliko-msingi,\(\log_b(n)=\frac{\log_n(n)}{\log_n(b)}=\frac{1}{\log_n(b)}\)

42) Je\(\log_{81}(2401)=\log_3(7)\)? Thibitisha madai algebraically.

4.6: Ulinganisho wa Kielelezo na Logarithmic

Ukuaji wa idadi ya watu usio na udhibiti unaweza kuonyeshwa na kazi za kielelezo. Ulinganifu unaosababishwa na kazi hizo za kielelezo zinaweza kutatuliwa kuchambua na kufanya utabiri kuhusu ukuaji wa kielelezo. Katika sehemu hii, tutajifunza mbinu za kutatua kazi za kielelezo.

Maneno

1) Je, equation ya kielelezo inaweza kutatuliwa?

Jibu

Kuamua kwanza kama equation inaweza kuandikwa upya ili kila upande atumie msingi huo. Kama ni hivyo, exponents inaweza kuweka sawa na kila mmoja. Ikiwa equation haiwezi kuandikwa upya ili kila upande utumie msingi sawa, kisha tumia logarithm kwa kila upande na utumie mali ya logarithms kutatua.

2) Suluhisho la nje linatokea lini? Suluhisho la nje linaweza kutambuliwaje?

3) Je! Mali moja kwa moja ya logarithms inaweza kutumika wakati gani kutatua equation? Je! Haiwezi kutumika wakati gani?

Jibu

Mali moja kwa moja inaweza kutumika kama pande zote mbili za equation zinaweza kuandikwa upya kama logarithm moja yenye msingi sawa. Kama ni hivyo, hoja inaweza kuweka sawa na kila mmoja, na equation kusababisha inaweza kutatuliwa algebraically. Mali moja hadi moja haiwezi kutumika wakati kila upande wa equation hauwezi kuandikwa upya kama logarithm moja yenye msingi sawa.

Kialjebra

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia kama besi ili kutatua equation ya kielelezo.

4)\(4^{-3v-2}=4^{-v}\)

5)\(64\cdot 4^{3x}=16\)

Jibu

\(x=-\dfrac{1}{3}\)

6)\(3^{2x+1}\cdot 3^x=243\)

7)\(2^{-3n}\cdot \dfrac{1}{4}=2^{n+2}\)

Jibu

\(n=-1\)

8)\(625\cdot 5^{3x+3}=125\)

9)\(\frac{36^{3b}}{36^{2b}}=216^{2-b}\)

Jibu

\(b=\dfrac{6}{5}\)

10)\(\left (\dfrac{1}{64} \right )^{3n}\cdot 8=2^6\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia logarithms kutatua.

11)\(9^{x-10}=1\)

Jibu

\(x=10\)

12)\(2e^{6x}=13\)

13)\(e^{r+10}-10=-42\)

Jibu

Hakuna ufumbuzi

14)\(2\cdot 10^{9a}=29\)

15)\(-8\cdot 10^{p+7}-7=-24\)

Jibu

\(p=\log \left (\frac{17}{8} \right )-7\)

16)\(7e^{3n-5}+5=-89\)

17)\(e^{-3k}+6=44\)

Jibu

\(k=-\frac{\ln(38)}{3}\)

18)\(-5e^{9x-8}-8=-62\)

19)\(-6e^{9x+8}+2=-74\)

Jibu

\(x=\frac{\frac{\ln(38)}{3}-8}{9}\)

20)\(2^{x+1}=5^{2x-1}\)

21)\(e^{2x}-e^{x}-132=0\)

Jibu

\(x=\ln 12\)

22)\(7e^{8x+8}-5=-95\)

23)\(10e^{8x+3}+2=8\)

Jibu

\(x=\frac{\frac{\ln(3)}{5}-3}{8}\)

24)\(4e^{3x+3}-7=53\)

25)\(8e^{-5x-2}-4=-90\)

Jibu

Hakuna ufumbuzi

26)\(3^{2x+1}=7^{x-2}\)

27)\(e^{2x}-e^{x}-6=0\)

Jibu

\(x=\ln 3\)

28)\(3e^{3-3x}+6=-31\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia ufafanuzi wa logarithm ili uandike upya equation kama equation ya kielelezo.

29)\(\log \left ( \frac{1}{100} \right )=-2\)

Jibu

\(10^{-2}=\dfrac{1}{100}\)

30)\(\log _{324}(18)=\dfrac{1}{2}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia ufafanuzi wa logarithm kutatua equation.

31)\(5\log _{7}n=10\)

Jibu

\(n=49\)

32)\(-8\log _{9}x=16\)

33)\(4+\log _{2}(9k)=2\)

Jibu

\(k=\dfrac{1}{36}\)

34)\(2\log (8n+4)+6=10\)

35)\(10-4\ln (9-8x)=6\)

Jibu

\(x=\dfrac{9-e}{8}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia mali moja kwa moja ya logarithms kutatua.

36)\(\ln (10-3x)=\ln (-4x)\)

37)\(\log_{13} (5n-2)=\log_{13} (8-5n)\)

Jibu

\(n=1\)

38)\(\log (x+3)-\log (x)=\log (74)\)

39)\(\ln (-3x)=\ln (x^2-6x)\)

Jibu

Hakuna ufumbuzi

40)\(\log_4 (6-m)=\log_4 (3m)\)

41)\(\ln (x-2)-\ln (x)=\ln (54)\)

Jibu

Hakuna ufumbuzi

42)\(\log_9 (2n^2-14n)=\log_9 (-45+n^2)\)

43)\(\ln (x^2-10)+\ln (9)=\ln (10)\)

Jibu

\(x=\pm \frac{10}{3}\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tatua kila equation kwa\(x\).

44)\(\log (x+12)=\log (x)+\log (12)\)

45)\(\ln (x)+\ln (x-3)=\ln (7x)\)

Jibu

\(x=10\)

46)\(\log_2 (7x+6)=3\)

47)\(\ln (7)+\ln (2-4x^2)=\ln (14)\)

Jibu

\(x=0\)

48)\(\log_8 (x+6)-\log_8 (x)=\log_8 (58)\)

49)\(\ln (3)-\ln (3-3x)=\ln (4)\)

Jibu

\(x=\dfrac{3}{4}\)

50)\(\log_3 (3x)-\log_3 (6)=\log_3 (77)\)

Picha

Kwa mazoezi yafuatayo, tatua equation kwa\(x\),ikiwa kuna suluhisho. Kisha grafu pande zote mbili za equation, na uangalie hatua ya makutano (ikiwa ipo) ili kuthibitisha suluhisho.

51)\(\log_9 (x)-5=-4\)

Jibu

\(x=9\)

52)\(\log_3 (x)+3=2\)

53)\(\ln (3x)=2\)

Jibu

\(x=\dfrac{e^2}{3}\approx 2.5\)

54)\(\ln (x-5)=1\)

55)\(\log (4)+\log (-5x)=2\)

Jibu

\(x=-5\)

56)\(-7+\log_3 (4-x)=-6\)

57)\(\ln (4x-10)-6=-5\)

Jibu

\(x=\dfrac{e+10}{4}\approx 3.2\)

58)\(\log (4-2x)=\log (-4x)\)

59)\(\log_{11} (-2x^2 -7x)=\log_{11} (x-2)\)

Jibu

Hakuna ufumbuzi

60)\(\ln (2x+9)=\ln (-5x)\)

61)\(\log_9 (3-x)=\log_9 (4x-8)\)

Jibu

\(x=\dfrac{11}{5}\approx 2.2\)

62)\(\log (x^2+13)=\log (7x+3)\)

63)\(\dfrac{3}{\log _2(10)}-\log (x-9)=\log (44)\)

Jibu

\(x=\dfrac{101}{11}\approx 9.2\)

64)\(\ln (x)-\ln (x+3)=\ln (6)\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tatua kwa thamani iliyoonyeshwa, na graph hali inayoonyesha hatua ya suluhisho.

65) Akaunti na amana ya awali ya\(\$6,500\) chuma maslahi ya\(7.25\%\) kila mwaka, imezungukwa kuendelea. Akaunti hiyo itakuwa na thamani gani baada ya\(20\) miaka?

Jibu

kuhusu\(\$27,710.24\)

66) Fomu ya kupima kiwango cha sauti katika decibels\(D\) inaelezwa na equation\(D=10\log \left ( \frac{I}{I_0} \right )\), \(I\)wapi ukubwa wa sauti katika watts kwa kila mita ya mraba na\(I_0=10^{-12}\) ni kiwango cha chini kabisa cha sauti ambacho mtu wa kawaida anaweza kusikia. Ni decibels ngapi zinazotolewa kutoka ndege ya ndege na kiwango cha sauti cha\(8\cdot 3\cdot 10^2\) watts kwa mita ya mraba?

67) Idadi ya wakazi wa mji mdogo inatokana na equation\(P=1650e^{0.5t}\) ambapo\(t\) hupimwa kwa miaka. Katika takriban miaka ngapi wakazi wa mji watafikia\(20,000\)?

Jibu

kuhusu\(5\) miaka

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, tatua kila equation kwa kuandika tena kujieleza kwa kutumia logarithm iliyoonyeshwa. Kisha tumia calculator ili takriban kutofautiana kwa maeneo ya\(3\) decimal.

68)\(1000(1.03)^t=5000\) kutumia logi ya kawaida.

69)\(e^{5x}=17\) kutumia logi ya asili.

Jibu

\(\dfrac{\ln (17)}{5}\approx 0.567\)

70)\(3(1.04)^{3t}=8\) kutumia logi ya kawaida

71)\(3^{4x-5}=38\) kutumia logi ya kawaida

Jibu

\(x=\dfrac{\log (38+5\log (3))}{4\log(3)}\approx 2.078\)

72)\(50e^{-0.12t}=10\) kutumia logi ya asili

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia calculator kutatua equation. Isipokuwa imeonyeshwa vinginevyo, pande zote majibu kwa karibu kumi elfu.

73)\(7e^{3x-5}+7.9=47\)

Jibu

\(x\approx 2.2401\)

74)\(\ln (3)+\ln (4.4x+6.8)=2\)

75)\(\log(-0.7x-9)=1+5\log(5)\)

Jibu

\(x\approx -44655.7143\)

76) Shinikizo la anga\(P\) katika paundi kwa kila inchi ya mraba inawakilishwa na formula\(P=14.7e^{-0.21x}\),ambapo\(x\) ni idadi ya maili juu ya usawa wa bahari. Kwa mguu wa karibu, ni juu gani kilele cha mlima na shinikizo la anga la\(8.369\) paundi kwa inchi ya mraba? (Kidokezo: kuna\(5280\) miguu katika maili)

77) Ukubwa\(M\) wa tetemeko la ardhi linawakilishwa na equation\(M=\dfrac{2}{3}\log \left ( \dfrac{E}{E_0} \right )\) ambapo\(E\) ni kiasi cha nishati iliyotolewa na tetemeko la ardhi katika joules\(E_0=10^{4.4}\) na ni kipimo kidogo kilichotolewa na tetemeko la ardhi. Kwa karibu mia moja, ukubwa ungekuwa nini cha tetemeko la ardhi likitoa\(1.4\cdot 10^{13}\) joules ya nishati?

Jibu

kuhusu\(5.83\)

Upanuzi

78) Tumia ufafanuzi wa logarithm pamoja na mali moja kwa moja ya logarithms kuthibitisha hilo\(b^{\log_b x}=x\).

79) Kumbuka formula kwa maslahi daima compounding,\(y=Ae^{kt}\). Tumia ufafanuzi wa logarithm pamoja na mali ya logarithms kutatua formula kwa muda\(t\) kama hiyo\(t\) ni sawa na logarithm moja.

Jibu

\(t=\ln \left ( \left ( \dfrac{y}{A} \right )^{\frac{1}{k}} \right )\)

80) Kumbuka formula ya maslahi ya kiwanja\(A=a\left ( 1+\frac{r}{k} \right )^{kt}\). Tumia ufafanuzi wa logarithm pamoja na mali ya logarithms kutatua formula kwa muda\(t\).

81) Sheria ya Newton ya Baridi inasema kwamba joto\(T\) la kitu wakati wowote\(t\) linaweza kuelezewa na equation\(T=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}\),wapi\(T_s\) joto la mazingira ya jirani,\(T_0\) ni joto la awali la kitu, na\(k\) ni kiwango cha baridi. Tumia ufafanuzi wa logarithm pamoja na mali ya logarithms kutatua formula kwa muda\(t\) kama hiyo\(t\) ni sawa na logarithm moja.

Jibu

\(t=\ln \left ( \left ( \frac{T-T_s}{T_0-T_s} \right )^{-\frac{1}{k}} \right )\)

4.7: Mifano ya kielelezo na ya Logarithmic

Tayari tumechunguza baadhi ya matumizi ya msingi ya kazi za kielelezo na za logarithmic. Katika sehemu hii, tunachunguza baadhi ya maombi muhimu kwa kina zaidi, ikiwa ni pamoja na isotopu za mionzi na Sheria ya Newton ya Baridi.

Maneno

1) Kwa aina gani ya mfano wa kielelezo ingekuwa nusu ya maisha kuhusishwa? Je, nusu ya maisha ina jukumu gani katika mifano hii?

Jibu

Nusu ya maisha ni kipimo cha kuoza na hivyo kinahusishwa na mifano ya kuoza kielelezo. Maisha ya nusu ya dutu au wingi ni kiasi cha muda unachukua kwa nusu ya kiasi cha awali cha dutu au kiasi hicho kuoza.

2) Je, ni dating ya kaboni? Kwa nini inafanya kazi? Kutoa mfano ambao dating kaboni itakuwa muhimu.

3) Na aina gani ya mfano kielelezo bila mara mbili wakati kuhusishwa? Ni jukumu gani wakati wa mara mbili unacheza katika mifano hii?

Jibu

Mara mbili wakati ni kipimo cha ukuaji na hivyo ni kuhusishwa na mifano ya ukuaji kielelezo. Muda wa mara mbili wa dutu au wingi ni kiasi cha muda unachukua kwa kiasi cha awali cha dutu hiyo au kiasi cha mara mbili kwa ukubwa.

4) Kufafanua Sheria ya Newton ya Baridi. Kisha jina angalau tatu hali halisi ya dunia ambapo Sheria Newton ya Baridi itakuwa kutumika.

5) Utaratibu wa ukubwa ni nini? Kwa nini amri ya ukubwa ni muhimu? Kutoa mfano wa kuelezea.

Jibu

Utaratibu wa ukubwa ni nguvu ya karibu ya kumi ambayo kiasi kinakua kwa kiasi kikubwa. Pia ni nafasi ya takriban kwa kiwango cha logarithmic; Mfano wa majibu: Maagizo ya ukubwa ni muhimu wakati wa kufanya kulinganisha kati ya namba ambazo hutofautiana na kiasi kikubwa. Kwa mfano, wingi wa Saturn ni\(95\) mara kubwa zaidi kuliko wingi wa Dunia. Hii ni sawa na kusema kwamba wingi wa Saturn ni kuhusu\(10^2\) nyakati, au\(2\) amri ya ukubwa mkubwa, kuliko wingi wa Dunia.

Numeric

6) Joto la kitu katika digrii Fahrenheit baada ya\(t\) dakika inawakilishwa na equation\(T(t)=68e^{-0.0174t}+72\). Kwa kiwango cha karibu, ni joto gani la kitu baada ya masaa moja na nusu?

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia mfano wa ukuaji wa vifaa \(f(x)=\dfrac{150}{1+8e^{-2x}}\)

7) Pata na kutafsiri\(f(0)\). Pande zote hadi kumi ya karibu.

Jibu

\(f(0)\approx 16.7\); Kiasi awali sasa ni kuhusu\(16.7\) vitengo.

8) Pata na kutafsiri\(f(4)\). Pande zote hadi kumi ya karibu.

9) Pata uwezo wa kubeba.

Jibu

\(150\)

10) Graph mfano.

11) Kuamua kama data kutoka meza inaweza bora kuwakilishwa kama kazi ambayo ni linear, exponential, au logarithmic. Kisha kuandika formula kwa mfano unaowakilisha data.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">—2	\ (f (x)\) "> 0.694
\ (x\) ">-1	\ (f (x)\) "> 0.833
\ (x\) "> 0	\ (f (x)\) "> 1
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 1.2
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) ">1.44
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 1.728
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 2.074
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 2.488

Jibu

ya kielelezo;\(f(x)=1.2^x\)

12) Andika upya\(f(x)=1.68(0.65)^x\) kama equation ya kielelezo na msingi\(e\) kwa tarakimu tano muhimu.

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, ingiza data kutoka kila meza kwenye calculator ya graphing na graph viwanja vinavyotokana. Kuamua kama data kutoka meza inaweza kuwakilisha kazi ambayo ni linear, kielelezo, au logarithmic.

13)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 2
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 4.079
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 5.296
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 6.159
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 6.828
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 7.375
\ (x\) ">7	\ (f (x)\) "> 7.838
\ (x\) ">8	\ (f (x)\) "> 8.238
\ (x\) ">9	\ (f (x)\) "> 8.592
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) "> 8.908

Jibu

14)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 2.4
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 2.88
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 3.456
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) ">4.147
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 4.977
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 5.972
\ (x\) ">7	\ (f (x)\) "> 7.166
\ (x\) ">8	\ (f (x)\) "> 8.6
\ (x\) ">9	\ (f (x)\) "> 10.32
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) "> 12.383

15)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 9.429
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 9.972
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 10.415
\ (x\) ">7	\ (f (x)\) "> 10.79
\ (x\) ">8	\ (f (x)\) "> 11.115
\ (x\) ">9	\ (f (x)\) "> 11.401
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) "> 11.657
\ (x\) ">11	\ (f (x)\) "> 11.889
\ (x\) ">12	\ (f (x)\) "> 12.101
\ (x\) ">13	\ (f (x)\) "> 12.295

Jibu

16)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1.25	\ (f (x)\) "> 5.75
\ (x\) ">2.25	\ (f (x)\) "> 8.75
\ (x\) ">3.56	\ (f (x)\) "> 12.68
\ (x\) ">4.2	\ (f (x)\) "> 14.6
\ (x\) ">5.65	\ (f (x)\) "> 18.95
\ (x\) ">6.75	\ (f (x)\) "> 22.25
\ (x\) ">7.25	\ (f (x)\) "> 23.75
\ (x\) ">8.6	\ (f (x)\) "> 27.8
\ (x\) ">9.25	\ (f (x)\) "> 29.75
\ (x\) ">10.5	\ (f (x)\) "> 33.5

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia calculator ya graphing na hali hii: idadi ya watu wa shamba la samaki kwa\(t\) miaka inatokana na equation\(P(t)=\dfrac{1000}{1+9e^{-0.6t}}\)

17) Graph kazi.

Jibu

18) Idadi ya awali ya samaki ni nini?

19) Kwa kumi ya karibu, ni wakati gani wa mara mbili kwa idadi ya samaki?

Jibu

kuhusu\(1.4\) miaka

20) Kwa idadi nzima ya karibu, idadi ya samaki itakuwa nini baada ya\(2\) miaka?

21) Kwa kumi ya karibu, itachukua muda gani ili idadi ya watu kufikia\(900\)?

Jibu

kuhusu\(7.3\) miaka

22) Uwezo wa kubeba kwa idadi ya samaki ni nini? Kuhalalisha jibu lako kwa kutumia grafu ya\(P\).

Upanuzi

23) Dutu hii ina nusu ya maisha ya\(2.045\) dakika. Ikiwa kiasi cha awali cha dutu hii kilikuwa\(132.8\) gramu, ni nusu-maisha ngapi yatapita kabla ya dutu hii kuharibika kwa\(8.3\) gramu? Wakati wa jumla wa kuoza ni nini?

Jibu

\(4\)maisha ya nusu;\(8.18\) dakika

24) Fomu ya kuongezeka kwa idadi ya watu hutolewa na\(P(t)=P_0e^{rt}\) wapi\(P_0\) idadi ya awali na\(r>0\). Hutumia formula ya jumla kwa muda\(t\) inachukua kwa idadi ya watu kuongezeka kwa sababu ya\(M\).

25) Kumbuka formula kwa ajili ya kuhesabu ukubwa wa tetemeko la ardhi,\(M=\dfrac{2}{3}\log \left ( \dfrac{S}{S_0} \right )\).Onyesha kila hatua ya kutatua equation hii algebraically kwa wakati seismic\(S\).

Jibu

\(\begin{align*} M&= \dfrac{2}{3}\log \left ( \dfrac{S}{S_0} \right )\\ \log \left ( \dfrac{S}{S_0} \right )&= \dfrac{3}{2}M\\ \dfrac{S}{S_0}&= 10^{\frac{3M}{2}}\\ S&= S_0 10^{\frac{3M}{2}} \end{align*}\)

26) Ni nini\(y\) -intercept ya mfano wa ukuaji wa vifaa\(y=\dfrac{c}{1+ae^{-rx}}\)? Onyesha hatua za hesabu. Hatua hii inatuambia nini kuhusu idadi ya watu?

27) Thibitisha kwamba\(b^x=e^{x\ln (b)}\) kwa chanya\(b≠1\).

Jibu

Hebu\(y=b^x\) kwa baadhi ya nambari zisizo hasi halisi\(b\) kama kwamba\(b\neq1\). Kisha,

\(\begin{align*} \ln (y) &= \ln (b^x)\\ \ln (y) &= x\ln (b)\\ e^{\ln (y)} &= e^{x\ln (b)}\\ y&= e^{x\ln (b)} \end{align*}\)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: Daktari anaelezea\(125\) milligrams ya madawa ya kulevya ambayo yanaharibika kwa karibu\(30\%\) kila saa.

28) Kwa saa ya karibu, ni nusu ya maisha ya madawa ya kulevya?

29) Andika mfano wa kielelezo unaowakilisha kiasi cha madawa ya kulevya iliyobaki katika mfumo wa mgonjwa baada ya\(t\) masaa. Kisha utumie formula ili kupata kiasi cha madawa ya kulevya ambayo ingebaki katika mfumo wa mgonjwa baada ya\(3\) masaa. Pande zote kwa milligram ya karibu.

Jibu

\(A=125e^{(-0.3567t)}\);\(A\approx 43\) mg

30) Kutumia mfano uliopatikana katika zoezi la awali,\(f(10\) tafuta na kutafsiri matokeo. Pande zote hadi karibu na mia moja.

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: Tumor inakabiliwa na\(0.5\) gramu ya Iodini-125, ambayo ina kiwango cha kuoza\(1.15\%\) kwa siku.

31) Kwa siku ya karibu, itachukua muda gani kwa nusu ya Iodini-125 kuoza?

Jibu

kuhusu\(60\) siku

32) Andika mfano wa kielelezo unaowakilisha kiasi cha Iodini-125 iliyobaki katika tumor baada ya\(t\) siku. Kisha utumie formula ili kupata kiasi cha Iodini-125 ambacho kitabaki katika tumor baada ya\(60\) siku. Pande zote hadi kumi ya karibu ya gramu.

33) Mwanasayansi huanza na\(250\) gramu ya dutu ya mionzi. Baada ya\(250\) dakika, sampuli imeharibika kwa\(32\) gramu. Kuzunguka kwa tarakimu tano muhimu, kuandika equation kielelezo anayewakilisha hali hii. Kwa dakika ya karibu, nusu ya maisha ya dutu hii ni nini?

Jibu

\(f(t)=250e^{(-0.00914t)}\); nusu ya maisha: kuhusu\(76\) dakika

34) Nusu ya nusu ya Radium-226 ni\(1590\) miaka. Kiwango cha kuoza kila mwaka ni nini? Eleza matokeo ya decimal kwa tarakimu nne muhimu na asilimia kwa tarakimu mbili muhimu.

35) Nusu ya maisha ya Erbium-165 ni\(10.4\) masaa. Kiwango cha kuoza kwa saa ni nini? Eleza matokeo ya decimal kwa tarakimu nne muhimu na asilimia kwa tarakimu mbili muhimu.

Jibu

\(r\approx -0.0667\),Hivyo kiwango cha kuoza hourly ni kuhusu\(6.67\%\)

36) Artifact ya mbao kutoka kwa kuchimba archeological ina\(60\) asilimia ya kaboni-14 ambayo iko katika miti hai. Kwa mwaka wa karibu, kuhusu umri wa miaka ngapi ni artifact? (Nusu ya maisha ya kaboni-14 ni\(5730\) miaka.)

37) Mwanafunzi wa utafiti anafanya kazi na utamaduni wa bakteria ambayo mara mbili kwa ukubwa kila dakika ishirini. Hesabu ya awali ya idadi ya watu ilikuwa\(1350\) bakteria. Kuzunguka kwa tarakimu tano muhimu, kuandika equation kielelezo anayewakilisha hali hii. Kwa nambari nzima ya karibu, ukubwa wa idadi ya watu baada ya\(3\) masaa ni nini?

Jibu

\(f(t)=1350e^{(0.03466t)}\); baada ya\(3\) masaa:\(P(180)\approx 691,200\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: Mwanabiolojia aliandika hesabu ya\(360\) bakteria iliyopo katika utamaduni baada ya\(5\) dakika na\(1000\) bakteria iliyopo baada ya\(20\) dakika.

38) Kwa idadi nzima ya karibu, idadi ya awali ilikuwa nini katika utamaduni?

39) Kuzunguka kwa tarakimu sita muhimu, andika equation ya kielelezo inayowakilisha hali hii. Kwa dakika ya karibu, ilichukua muda gani idadi ya watu mara mbili?

Jibu

\(f(t)=256e^{(0.068110t)}\); mara mbili wakati: kuhusu\(10\) dakika

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: sufuria ya supu ya kuchemsha na joto la ndani la\(100^{\circ}\) Fahrenheit liliondolewa kwenye jiko ili baridi kwenye chumba cha\(69^{\circ}\) F. Baada ya dakika kumi na tano, joto la ndani la supu lilikuwa\(95^{\circ}\) F.

40) Tumia Sheria ya Newton ya Baridi kuandika formula inayoonyesha hali hii.

41) Kwa dakika ya karibu, itachukua muda gani supu ili kupendeza\(80^{\circ}\) F?

Jibu

kuhusu\(88\) dakika

42) Kwa kiwango cha karibu, joto litakuwa nini baada ya masaa\(2\) na nusu?

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: Uturuki hutolewa nje ya tanuri na joto la ndani la\(165^{\circ}\) F na inaruhusiwa kupendeza kwenye chumba cha\(75^{\circ}\) F. Baada ya nusu saa, joto la ndani la Uturuki ni\(145^{\circ}\) F.

43) Andika fomu inayoonyesha hali hii.

Jibu

\(T(t)=90e^{(-0.008377t)}+75\),\(t\) wapi dakika.

44) Kwa kiwango cha karibu, joto litakuwa nini baada ya\(50\) dakika?

45) Kwa dakika ya karibu, itachukua muda gani Uturuki ili kupendeza kwa\(110^{\circ}\) F?

Jibu

kuhusu\(113\) dakika

Kwa mazoezi yafuatayo, pata thamani ya nambari iliyoonyeshwa kwenye kila kiwango cha logarithmic. Pande zote majibu kwa elfu ya karibu.

Figure_04_07_207.jpg "src=”/@api /deki/files/13777/CNX_PreCalc_Figure_04_07_207.jpg "/>

Jibu

\(\log(x)=1.5; x\approx 31.623\)

48) Panda kila seti ya maadili ya takriban ya ukubwa wa sauti kwa kiwango cha logarithmic: Whisper:\(10^{-10}\dfrac{W}{m^2}\),Vacuum:\(10^{-4}\dfrac{W}{m^2}\),Jet:\(10^{2}\dfrac{W}{m^2}\)

49) Kumbuka formula kwa ajili ya kuhesabu ukubwa wa tetemeko la ardhi,\(M=\dfrac{2}{3}\log \left ( \dfrac{S}{S_0} \right )\). Tetemeko moja ina ukubwa\(3.9\) juu ya kiwango cha MMS. Ikiwa tetemeko la pili lina\(750\) nishati nyingi kama ya kwanza, pata ukubwa wa tetemeko la pili. Pande zote hadi karibu na mia moja.

Jibu

Ukubwa wa MMS:\(5.82\)

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii:\(N(t)=\dfrac{500}{1+49e^{-0.7t}}\) Mfano wa usawa wa idadi ya watu katika mji ambao wamesikia uvumi baada ya\(t\) siku.

50) Ni watu wangapi walianza uvumi?

51) Kwa idadi nzima ya karibu, ni watu wangapi watasikia uvumi baada ya\(3\) siku?

Jibu

\(N(3)\approx 71\)

52) Kama t  t kuongezeka bila amefungwa, ni thamani gani\(N(t)\) mbinu? Tafsiri jibu lako.

Kwa zoezi zifuatazo, chagua chaguo sahihi cha jibu.

53) Daktari na injects mgonjwa na\(13\) milligrams ya rangi ya mionzi ambayo huharibika kwa kiasi kikubwa. Baada ya\(12\) dakika, kuna\(4.75\) milligrams ya rangi iliyobaki katika mfumo wa mgonjwa. Ni mfano gani unaofaa wa hali hii?

1. \(f(t)=13(0.0805)^t\)
2. \(f(t)=13e^{0.9195t}\)
3. \(f(t)=13e^{(-0.0839t)}\)
4. \(f(t)=\frac{4.75}{1+13e^{-0.83925t}}\)

Jibu

c

4.8: Kufaa Mifano ya Kielelezo kwa Data

Tutazingatia aina tatu za mifano ya kurudi nyuma katika sehemu hii: kielelezo, logarithmic, na vifaa. Baada ya kufanya kazi na kila kazi hizi hutupa faida. Kujua ufafanuzi wao rasmi, tabia ya grafu zao, na baadhi ya maombi yao halisi ya dunia inatupa fursa ya kuimarisha uelewa wetu. Kama kila mfano wa kurudi nyuma unawasilishwa, vipengele muhimu na ufafanuzi wa kazi yake inayohusishwa ni pamoja na kwa ajili ya ukaguzi.

Maneno

1) Nini hali ni bora inatokana na equation vifaa? Kutoa mfano, na kusema kesi kwa nini mfano ni fit nzuri.

Jibu

Mifano ya vifaa hutumiwa vizuri kwa hali ambazo zina maadili madogo. Kwa mfano, watu hawawezi kukua kwa muda usiojulikana kwa kuwa rasilimali kama vile chakula, maji, na nafasi ni mdogo, hivyo mfano wa vifaa unaelezea zaidi idadi ya watu.

2) Uwezo wa kubeba ni nini? Ni aina gani ya mfano ina uwezo wa kubeba umejengwa katika formula yake? Kwa nini hii ina maana?

3) Uchambuzi wa kurudi nyuma ni nini? Eleza mchakato wa kufanya uchambuzi wa regression kwenye matumizi ya graphing.

Jibu

Uchunguzi wa regression ni mchakato wa kutafuta equation ambayo inafaa zaidi seti fulani ya pointi data. Ili kufanya uchambuzi wa regression kwenye matumizi ya graphing, kwanza orodha ya pointi zilizotolewa kwa kutumia STAT kisha EDIT menu. Next grafu kuwatawanya njama kwa kutumia STAT PLOT kipengele. Sura ya pointi za data kwenye grafu ya kuwatawanya inaweza kusaidia kuamua kipengele gani cha kurudi nyuma. Mara hii imedhamiriwa, chagua amri sahihi ya uchambuzi wa kurudi nyuma kutoka kwa STAT kisha orodha ya CALC.

4) Nini inaweza scatterplot ya pointi data kuangalia kama walikuwa bora ilivyoelezwa na mfano logarithmic?

5) Je, y-intercept kwenye grafu ya equation ya vifaa inalingana na idadi ya watu inayotokana na equation hiyo?

Jibu

\(y\)-Intercept kwenye grafu ya equation ya vifaa inalingana na idadi ya awali kwa mfano wa idadi ya watu.

Picha

Kwa mazoezi yafuatayo, mechi ya kazi iliyotolewa ya fit bora na scatterplot sahihi katika Kielelezo (a) kupitia Kielelezo (e). Jibu kwa kutumia barua chini ya grafu inayofanana.

Figure_04_08_203.jpg "src=”/@api /deki/files/13803/CNX_PreCalc_Figure_04_08_203.jpg "/>

6)\(y=10.209e^{-0.294x}\)

7)\(y=5.598-1.912\ln (x)\)

Jibu

c

8)\(y=2.104(1.479)^x\)

9)\(y=4.607+2.733\ln (x)\)

Jibu

b

10)\(y=\dfrac{14.005}{1+2.79e^{-0.812x}}\)

Numeric

11) Kwa idadi nzima ya karibu, ni thamani gani ya awali ya idadi ya watu inayotokana na equation ya vifaa\(P(t)=\dfrac{175}{1+6.995e^{-0.68t}}\)? Uwezo wa kubeba ni nini?

Jibu

\(P(0)=22\);\(175\)

12) Andika upya mfano wa kielelezo\(A(t)=1550(1.085)^x\) kama mfano sawa na msingi\(e\). Express exponent kwa tarakimu nne muhimu.

13) Mfano wa logarithmic hutolewa na equation\(h(p)=67.682-5.792\ln (p)\). Kwa karibu mia moja, kwa thamani\(p\) gani ya kufanya\(h(p)=62\)?

Jibu

\(p\approx 2.67\)

14) Mfano wa vifaa hutolewa na equation\(P(t)=\dfrac{90}{1+5e^{-0.42t}}\). Kwa karibu mia moja, kwa thamani\(t\) gani ya kufanya\(P(t)=45\)?

15) Ni nini\(y\) -intercept kwenye grafu ya mfano wa vifaa uliotolewa katika zoezi la awali?

Jibu

\(y\)-kukatiza:\((0,15)\)

Teknolojia

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: Idadi\(P\) ya bwawa la koi zaidi ya\(x\) miezi inatokana na kazi\(P(x)=\dfrac{68}{1+16e^{-0.28x}}\).

16) Grafu mfano wa idadi ya watu ili kuonyesha idadi ya watu zaidi ya muda wa\(3\) miaka.

17) Idadi ya awali ya koi ilikuwa nini?

Jibu

\ (4)\ koi

18) Ni koi ngapi itakuwa na bwawa baada ya miaka moja na nusu?

19) Itachukua miezi ngapi kabla ya kuwa na\(20\) koi katika bwawa?

Jibu

kuhusu\(6.8\) miezi

20) Tumia kipengele cha intersect ili takriban idadi ya miezi itachukua kabla ya wakazi wa bwawa kufikia nusu uwezo wake wa kubeba.

Jibu

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia hali hii: Idadi ya watu\(P\) wa mazingira ya aina ya hatari kwa mbwa mwitu huelekezwa na kazi\(P(x)=\dfrac{558}{1+54.8e^{-0.462x}}\),ambapo\(x\) ni kutolewa katika miaka.

21) Grafu mfano wa idadi ya watu ili kuonyesha idadi ya watu zaidi ya muda wa\(10\) miaka.

22) Idadi ya awali ya mbwa mwitu ilikuwa kusafirishwa kwa makazi?

Jibu

\ (10)\ mbwa mwitu

23) Ni mbwa mwitu ngapi ambao makazi yatakuwa nayo baada ya\(3\) miaka?

24) Itachukua miaka ngapi kabla ya kuwa na\(100\) mbwa mwitu katika makazi?

Jibu

kuhusu\(5.4\) miaka

25) Tumia kipengele cha intersect ili takriban idadi ya miaka itachukua kabla ya wakazi wa makazi kufikia nusu uwezo wake wa kubeba.

Kwa mazoezi yafuatayo, rejea Jedwali hapa chini.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 1125
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 1495
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 2310
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) ">3294
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 4650
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 6361

26) Tumia calculator ya graphing ili kuunda mchoro wa kutawanya wa data.

Jibu

27) Tumia kipengele cha kurudi nyuma ili kupata kazi ya kielelezo inayofaa zaidi data katika meza.

28) Andika kazi ya kielelezo kama equation ya kielelezo na msingi\(e\).

Jibu

\(f(x)=776.682e^{0.3549x}\)

29) Grafu equation kielelezo juu ya mchoro kutawanya.

30) Tumia kipengele cha intersect ili kupata thamani\(x\) ya ambayo\(f(x)=4000\).

Jibu

Wakati\(f(x)=4000\),\(x\approx 4.6\)

Kwa mazoezi yafuatayo, rejea Jedwali hapa chini.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 555
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 383
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 307
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 210
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 158
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) ">122

31) Tumia calculator ya graphing ili kuunda mchoro wa kutawanya wa data.

32) Tumia kipengele cha kurudi nyuma ili kupata kazi ya kielelezo inayofaa zaidi data katika meza.

Jibu

\(f(x)=731.92(0.738)^x\)

33) Andika kazi ya kielelezo kama equation ya kielelezo na msingi\(e\).

34) Graph equation kielelezo juu ya mchoro kuwatawanya.

Jibu

35) Tumia kipengele cha intersect ili kupata thamani\(x\) ya\(f(x)=250\).

Kwa mazoezi yafuatayo, rejea Jedwali hapa chini.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 5.1
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 6.3
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 7.3
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 7.7
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 8.1
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 8.6

36) Tumia calculator ya graphing ili kuunda mchoro wa kutawanya wa data.

Jibu

37) Tumia chaguo la Logarithm la kipengele cha regression ili kupata kazi ya logarithmic ya fomu\(y=a+b\ln (x)\) inayofaa zaidi data katika meza.

38) Tumia kazi ya logarithmic ili kupata thamani ya kazi wakati\(x=10\).

Jibu

\(f(10)\approx 9.5\)

39) Graph equation logarithmic kwenye mchoro kuwatawanya.

40) Tumia kipengele cha intersect ili kupata thamani\(x\) ya\(f(x)=7\).

Jibu

Wakati\(f(x)=7\),\(x\approx 2.7\)

Kwa mazoezi yafuatayo, rejea Jedwali hapa chini.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 7.5
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 6
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 5.2
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 4.3
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 3.9
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 3.4
\ (x\) ">7	\ (f (x)\) "> 3.1
\ (x\) ">8	\ (f (x)\) "> 2.9

41) Tumia calculator ya graphing ili kuunda mchoro wa kutawanya wa data.

42) Tumia chaguo la Logarithm la kipengele cha regression ili kupata kazi ya logarithmic ya fomu\(y=a+b\ln (x)\) inayofaa zaidi data katika meza.

Jibu

\(f(x)=7.544-2.268\ln (x)\)

43) Tumia kazi ya logarithmic ili kupata thamani ya kazi wakati\(x=10\).

44) Graph equation logarithmic kwenye mchoro kuwatawanya.

Jibu

45) Tumia kipengele cha intersect ili kupata thamani\(x\) ya\(f(x)=8\).

Kwa mazoezi yafuatayo, rejea Jedwali hapa chini.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">1	\ (f (x)\) "> 8.7
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 12.3
\ (x\) ">3	\ (f (x)\) "> 15.4
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 18.5
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 20.7
\ (x\) ">6	\ (f (x)\) "> 22.5
\ (x\) ">7	\ (f (x)\) "> 23.3
\ (x\) ">8	\ (f (x)\) "> 24
\ (x\) ">9	\ (f (x)\) "> 24.6
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) "> 24.8

46) Tumia calculator ya graphing ili kuunda mchoro wa kutawanya wa data.

Jibu

47) Tumia chaguo la kurudi nyuma ya LOGISTIC ili kupata mfano wa ukuaji wa vifaa wa fomu\(y=\dfrac{c}{1+ae^{-bx}}\) inayofaa zaidi data katika meza.

48) Graph vifaa equation juu ya mchoro kutawanya.

Jibu

49) Kwa nambari nzima ya karibu, ni uwezo gani wa kubeba utabiri wa mfano?

50) Tumia kipengele cha intersect ili kupata thamani ambayo\(x\) mfano hufikia nusu uwezo wake wa kubeba.

Jibu

Wakati\(f(x)=12.5\),\(x\approx 2.1\)

Kwa mazoezi yafuatayo, rejea Jedwali hapa chini.

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) "> 0	\ (f (x)\) "> 12
\ (x\) "> 2	\ (f (x)\) "> 28.6
\ (x\) ">4	\ (f (x)\) "> 52.8
\ (x\) "> 5	\ (f (x)\) "> 70.3
\ (x\) ">7	\ (f (x)\) "> 99.9
\ (x\) ">8	\ (f (x)\) "> 112.5
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) "> 125.8
\ (x\) ">11	\ (f (x)\) "> 127.9
\ (x\) ">15	\ (f (x)\) "> 135.1
\ (x\) ">17	\ (f (x)\) "> 135.9

51) Tumia calculator ya graphing ili kuunda mchoro wa kutawanya wa data.

52) Tumia chaguo la kurudi nyuma ya LOGISTIC ili kupata mfano wa ukuaji wa vifaa wa fomu\(y=\dfrac{c}{1+ae^{-bx}}\) inayofaa zaidi data katika meza.

Jibu

\(y=\dfrac{136.068}{1+10.324e^{-0.480x}}\)

53) Graph vifaa equation juu ya mchoro kuwatawanya.

54) Kwa nambari nzima ya karibu, ni uwezo gani wa kubeba utabiri wa mfano?

Jibu

kuhusu\(136\)

55) Tumia kipengele cha intersect ili kupata thamani ambayo\(x\) mfano hufikia nusu uwezo wake wa kubeba.

Upanuzi

56) Kumbuka kwamba aina ya jumla ya equation vifaa kwa ajili ya idadi ya watu ni kutolewa na\(P(t)=\dfrac{c}{1+ae^{-bt}}\),vile kwamba idadi ya awali kwa wakati\(t=0\) ni\(P(0)=P_0\). Onyesha algebraically kwamba\(\dfrac{c-P(t)}{P(t)}=\dfrac{c-P_0}{P_0}e^{-bt}\).

Jibu

Kufanya kazi na upande wa kushoto wa equation, tunaona kwamba inaweza kuandikwa upya kama\(ae^{-bt}\):

\ (\ kuanza {align*}
\ dfrac {c-p (t)} {P (t)} &=\ dfrac {c-\ frac {c} {1+ae^ {-bt}} {\ frac {c} {1+ae^ {-bt}}}\\
&=\ frac {c\ kushoto (1+ae^ {-bt}}\ kulia) -c} {1+ae^ {-bt}}} {\ frac {c} {1+ae^ {-bt}}}\\
&=\ dfrac {\ frac {c\ kushoto (1+ae^ {-bt} -1\ haki)} {1+ae^ {-bt}}} {\ frac {c} {1+ae^ {-bt}}}\\
&= 1+ae^ {-bt} -1\\
&= ae^ {-bt}
\ mwisho {align*}\)

\(\begin{align*} P_0 &= \dfrac{c}{1+ae^{-b(0)}}\\ &= \dfrac{c}{1+a} \end{align*}\)

Kwa hiyo,

\ (\ kuanza {align*}
\ dfrac {C-p_0} {P_0} e^ {-bt} &=\ dfrac {c-\ frac {c} {1+a}} {\ frac {c} {1+a} {1+a}} e^ {-bt}\\
&=\ dfrac {c (1+a) -c} {1+a) {1+a) {1+a) {1+a) {1+a) {1+a) a} {\ frac {c} {1+a}} e^ {-bt}\\
&=\ dfrac {\ frac {c (1+a -1)} {1+a}} {\ frac {1+a}} {1+a}} e^ {-bt}\\
&= (1+a -1) e^ {-bt}\\
&= ae^ {-bt}
\ mwisho {align*}\)

Hivyo,

\(\dfrac{c-P(t)}{P(t)}=\dfrac{c-P_0}{P_0}e^{-bt}\)

57) Tumia matumizi ya graphing ili kupata formula ya regression ya kielelezo\(f(x)\) na formula ya regression ya logarithmic\(g(x)\) kwa pointi\((1.5,1.5)\) na\((8.5,8.5\). Pindisha namba zote kwa maeneo ya\(6\) decimal. Grafu pointi na fomu zote mbili pamoja na mstari\(y=x\) kwenye mhimili huo. Fanya dhana kuhusu uhusiano wa kanuni za kurudi nyuma.

58) Thibitisha dhana iliyofanywa katika zoezi la awali. Pande zote namba zote kwa maeneo sita decimal wakati muhimu.

Jibu

Kwanza kuandika upya kielelezo na msingi e:\(f(x)=1.034341e^{0.247800x}\). Kisha mtihani ili uhakikishe kwamba\(f(g(x))=x\),kuchukua makosa ya mzunguko katika kuzingatia:

\(\begin{align*} g(f(x)) &= 4.035510\ln\left (1.034341e^{0.247800x}\right )-0.136259\\ &= 4.03551(\ln \left(1.034341)+\ln\left (e^{0.2478x} \right)\right)-0.136259\\ &= 4.03551(\ln(1.034341)+0.2478x)-0.136259\\ &= 0.136257+0.999999x-0.136259\\ &= -0.000002+0.999999x\\ &\approx 0+x \\ &= x \end{align*}\)

59) Pata kazi ya inverse\(f^{-1}(x)\) kwa kazi ya vifaa\(f(x)=\dfrac{c}{1+ae^{-bx}}\). Onyesha hatua zote.

60) Tumia matokeo kutoka kwa zoezi la awali ili graph mfano wa vifaa\(P(t)=\dfrac{20}{1+4e^{-0.5t}}\) pamoja na inverse yake juu ya mhimili huo. Je, ni intercepts na asymptotes ya kila kazi?

Jibu

Grafu ya\(P(t)\) ina\(y\) -intercept katika\((0, 4)\) na asymptotes usawa katika\(y = 0\) na\(y = 20\). Grafu ya\(P^{-1}(t)\) ina\(x\) - intercept at\((4, 0)\) na asymptotes wima katika\(x = 0\) na\(x = 20\).

Wachangiaji na Majina

• Template:OpenStaxPreCalc