9.4: Mifano kamili ya mtihani wa hypothes

Uchunguzi juu ya Njia

Mfano\(\PageIndex{8}\)

Jeffrey, kama umri wa miaka nane, alianzisha muda wa wastani wa sekunde 16.43 kwa kuogelea freestyle ya yadi 25, na kupotoka kwa kiwango cha sekunde 0.8. Baba yake, Frank, alidhani kwamba Jeffrey anaweza kuogelea freestyle 25 yadi kwa kasi kwa kutumia miwani. Frank alinunua Jeffrey jozi mpya ya usalama wa gharama kubwa na wakati muafaka Jeffrey kwa 15 25 yadi freestyle kuogelea Kwa kuogelea 15, muda wa maana wa Jeffrey ulikuwa sekunde 16. Frank alidhani ya kwamba magogo yalisaidia Jeffrey kuogelea kwa kasi zaidi kuliko sekunde Fanya mtihani wa hypothesis kwa kutumia preset\(\alpha = 0.05\).

Jibu

Weka mtihani wa Hypothesis:

Kwa kuwa tatizo ni kuhusu maana, hii ni mtihani wa idadi moja ya watu maana.

Weka hypothesis null na mbadala:

Katika kesi hii kuna changamoto au madai yaliyotajwa. Hii ni kwamba magogo yatapunguza muda wa kuogelea. Athari ya hii ni kuweka hypothesis kama mtihani mmoja tailed. Madai daima kuwa katika hypothesis mbadala kwa sababu mzigo wa ushahidi daima uongo na mbadala. Kumbuka kwamba hali kama ilivyo lazima kushindwa kwa kiwango cha juu cha kujiamini, katika kesi hii 95% kujiamini. Nadharia null na mbadala ni hivyo:

\(H_0: \mu \geq 16.43\)\(H_a: \mu < 16.43\)

Kwa Jeffrey kuogelea kwa kasi, muda wake utakuwa chini ya sekunde 16.43. “<” inakuambia hii ni kushoto-tailed.

Kuamua usambazaji unahitajika:

Random variable:\(\overline X\) = muda maana ya kuogelea 25 yadi freestyle.

Usambazaji kwa takwimu za mtihani:

Ukubwa wa sampuli ni chini ya 30 na hatujui kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu hivyo hii ni mtihani wa t. na formula sahihi ni:\(t_{c}=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\)

\(\mu_ 0 = 16.43\)linatokana\(H_0\) na si data. \(\overline X = 16\). \(s = 0.8\), na\(n = 15\).

Hatua yetu ya 2, kuweka kiwango cha umuhimu, tayari imedhamiriwa na tatizo, .05 kwa kiwango cha umuhimu wa 95. Ni muhimu kutafakari juu ya maana ya uchaguzi huu. Hitilafu ya Aina ya I ni kuhitimisha kwamba Jeffrey huogelea freestyle ya yadi 25, kwa wastani, katika sekunde chini ya 16.43 wakati, kwa kweli, anaogelea freestyle ya 25 yadi, kwa wastani, katika sekunde 16.43. (Kataa hypothesis null wakati hypothesis null ni kweli.) Kwa kesi hii wasiwasi tu na makosa Aina I inaweza kuonekana kuwa kwamba baba Jeffery inaweza kushindwa bet juu ya ushindi wa mtoto wake kwa sababu hana imani sahihi katika athari za usalama.

Ili kupata thamani muhimu tunahitaji kuchagua takwimu sahihi za mtihani. Tumehitimisha kuwa hii ni t-mtihani kwa misingi ya ukubwa sampuli na kwamba sisi ni nia ya idadi ya watu maana. Sasa tunaweza kuteka grafu ya usambazaji wa t na alama thamani muhimu. Kwa tatizo hili digrii za uhuru ni n-1, au 14. Kuangalia digrii 14 za uhuru kwenye safu ya 0.05 ya meza ya t-tunapata 1.761. Hii ni thamani muhimu na tunaweza kuweka hii kwenye grafu yetu.

Hatua ya 3 ni hesabu ya takwimu za mtihani kwa kutumia formula tuliyochagua. Tunaona kwamba takwimu za mtihani wa mahesabu ni 2.08, maana yake ni kwamba sampuli inamaanisha ni 2.08 kupotoka kwa kiwango mbali na maana ya nadharia ya 16.43.

\[t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{16-16.43}{.8 / \sqrt{15}}=-2.08\nonumber\]

Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

Hatua ya 4 ina sisi kulinganisha mtihani takwimu na thamani muhimu na alama hizi kwenye grafu. Tunaona kwamba takwimu za mtihani ziko kwenye mkia na hivyo tunahamia hatua ya 4 na kufikia hitimisho. Uwezekano kwamba muda wa wastani wa dakika 16 unaweza kuja kutoka kwa usambazaji na maana ya idadi ya watu wa dakika 16.43 ni uwezekano mkubwa sana kwetu kukubali hypothesis ya null. Hatuwezi kukubali null.

Hatua ya 5 ina sisi kusema hitimisho yetu kwanza rasmi na kisha chini rasmi. Hitimisho rasmi litasemwa kama: “Kwa kiwango cha 95% cha umuhimu hatuwezi kukubali nadharia mbaya kwamba wakati wa kuogelea na magogo hutoka kwa usambazaji na idadi ya watu maana ya muda wa dakika 16.43.” Chini rasmi, “Kwa 95% umuhimu tunaamini kwamba usalama inaboresha kasi ya kuogelea”

Ikiwa tunataka kutumia mfumo wa\(p\) thamani ya kufikia hitimisho tutahesabu takwimu na kuchukua hatua ya ziada ili kupata uwezekano wa kuwa na upungufu wa kiwango cha 2.08 kutoka kwa maana kwenye usambazaji wa t. Thamani hii ni .0187. Kulinganisha hii kwa\ alpha ngazi ya .05 tunaona kwamba hatuwezi kukubali null. \(p\)Thamani ya -imewekwa kwenye grafu kama eneo la kivuli zaidi ya -2.08 na inaonyesha kuwa ni ndogo kuliko eneo lililopigwa ambalo ni kiwango cha alpha cha 0.05. Njia zote mbili kufikia hitimisho sawa kwamba hatuwezi kukubali hypothesis null.

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

maana kutupa umbali wa mpira wa miguu kwa Marco, shule ya sekondari freshman quarterback, ni 40 yadi, na kupotoka kiwango cha yadi mbili. Kocha wa timu anamwambia Marco arekebishe mtego wake ili kupata umbali zaidi. Kocha anarekodi umbali wa 20 hutupa. Kwa 20 throws, Marco maana umbali ilikuwa 45 yadi. Kocha alidhani mtego tofauti ulimsaidia Marco kutupa mbali zaidi ya yadi 40. Fanya mtihani wa hypothesis kwa kutumia preset\(\alpha = 0.05\). Fikiria umbali wa kutupa kwa footballs ni ya kawaida.

Kwanza, tambua aina gani ya mtihani huu, weka mtihani wa hypothesis, pata\(p\) -value, mchoro grafu, na ueleze hitimisho lako.

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Jane ameanza kazi yake mpya kama kwenye nguvu ya mauzo ya kampuni yenye ushindani sana. Katika sampuli ya wito wa mauzo 16 ilibainika kuwa alifunga mkataba kwa thamani ya wastani ya dola 108 na kupotoka kwa kiwango cha dola 12. Mtihani katika 5% umuhimu kwamba idadi ya watu maana ni angalau 100 dola dhidi mbadala kwamba ni chini ya 100 dola. Sera ya kampuni inahitaji wanachama wapya wa nguvu ya mauzo wanapaswa kuzidi wastani wa dola 100 kwa mkataba wakati wa kipindi cha ajira cha majaribio. Je, tunaweza kuhitimisha kwamba Jane amekutana na mahitaji haya kwa kiwango cha umuhimu wa 95%?

Jibu

1. \(H_0: \mu \leq 100\)
   \(H_a: \mu > 100\)
   Null na mbadala hypothesis ni kwa parameter\(\mu\) kwa sababu idadi ya dola ya mikataba ni kuendelea random variable. Pia, hii ni moja tailed mtihani kwa sababu kampuni ina tu nia kama idadi ya dola kwa kuwasiliana ni chini ya idadi fulani si “juu sana” idadi. Hii inaweza kufikiriwa kama kufanya madai kwamba mahitaji ni kuwa alikutana na hivyo madai ni katika hypothesis mbadala.
2. Takwimu za mtihani:\(t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{108-100}{\left(\frac{12}{\sqrt{16}}\right)}=2.67\)
3. Thamani muhimu:\(t_a=1.753\) na\(n-1\) digrii za uhuru = 15

Takwimu za mtihani ni t ya Mwanafunzi kwa sababu ukubwa wa sampuli ni chini ya 30; kwa hiyo, hatuwezi kutumia usambazaji wa kawaida. Kulinganisha thamani ya mahesabu ya takwimu za mtihani na thamani muhimu ya tt (ta) (ta) kwa kiwango cha umuhimu wa 5%, tunaona kwamba thamani iliyohesabiwa iko kwenye mkia wa usambazaji. Hivyo, tunahitimisha kuwa dola 108 kwa kila mkataba ni kubwa zaidi kuliko thamani ya nadharia ya 100 na hivyo hatuwezi kukubali hypothesis ya null. Kuna ushahidi unaounga mkono utendaji wa Jane hukutana na viwango vya kampuni.

Kielelezo\(\PageIndex{8}\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Inaaminika kuwa bei ya hisa kwa kampuni fulani itakua kwa kiwango cha $5 kwa wiki na kupotoka kwa kiwango cha $1. mwekezaji anaamini hisa si kukua kwa haraka. mabadiliko katika bei ya hisa ni kumbukumbu kwa muda wa wiki kumi na ni kama ifuatavyo: $4, $3, $2, $3, $1, $7, $2, $1, $2. Fanya mtihani wa hypothesis kwa kutumia kiwango cha 5% cha umuhimu. Hali nadharia null na mbadala, hali hitimisho yako, na kutambua makosa Aina I.

Mfano\(\PageIndex{10}\)

Mtengenezaji wa mavazi ya saladi hutumia mashine ya kugawa viungo vya kioevu ndani ya chupa zinazohamia kwenye mstari wa kujaza. Mashine ambayo hutoa mavazi ya saladi inafanya kazi vizuri wakati ounces 8 zinatolewa. Tuseme kwamba kiasi cha wastani kilichopatikana katika sampuli fulani ya chupa 35 ni 7.91 ounces na ugomvi wa ounces 0.03 mraba,\(s^2\). Je, kuna ushahidi kwamba mashine inapaswa kusimamishwa na uzalishaji unasubiri matengenezo? Uzalishaji uliopotea kutoka kwa shutdown ni uwezekano mkubwa sana kwamba usimamizi unahisi kwamba kiwango cha umuhimu katika uchambuzi kinapaswa kuwa 99%.

Tena tutafuata hatua katika uchambuzi wetu wa tatizo hili.

Jibu

STEP 1: Kuweka Null na Mbadala Hypothesis. Variable random ni wingi wa maji kuwekwa katika chupa. Hii ni kuendelea random variable na parameter sisi ni nia ya ni maana. Kwa hiyo hypothesis yetu ni kuhusu maana. Katika kesi hii tuna wasiwasi kwamba mashine haijajaza vizuri. Kutoka kwa kile tunachoambiwa haijalishi ikiwa mashine inazidi kujaza au chini ya kujaza, wote wanaonekana kuwa kosa mbaya sawa. Hii inatuambia kwamba hii ni mtihani wa tailed mbili: ikiwa mashine haifanyi kazi itakuwa imefungwa bila kujali ikiwa ni kutoka kwa kujaza zaidi au chini ya kujaza. Nadharia null na mbadala ni hivyo:

\[H_0:\mu=8\nonumber\]

\[Ha:\mu \neq 8\nonumber\]

Hatua ya 2: Chagua kiwango cha umuhimu na kuteka grafu inayoonyesha thamani muhimu.

Tatizo hili tayari limeweka kiwango cha umuhimu kwa 99%. Uamuzi unaonekana kuwa sahihi na unaonyesha mchakato wa mawazo wakati wa kuweka kiwango cha umuhimu. Management anataka kuwa na uhakika sana, kama baadhi ya uwezekano itaruhusu, kwamba wao si kufunga mashine ambayo si katika haja ya kukarabati. Ili kuteka usambazaji na thamani muhimu, tunahitaji kujua ni usambazaji gani wa kutumia. Kwa sababu hii ni ya kuendelea random variable na sisi ni nia ya maana, na ukubwa wa sampuli ni kubwa kuliko 30, usambazaji sahihi ni usambazaji wa kawaida na muhimu thamani muhimu ni 2.575 kutoka meza ya kawaida au t-meza katika safu 0.005 na digrii usio wa uhuru. Tunapata grafu na alama alama hizi.

Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

Hatua ya 3: Tumia vigezo vya sampuli na takwimu za mtihani. Vigezo vya sampuli hutolewa, maana ya sampuli ni 7.91 na ugomvi wa sampuli ni .03 na ukubwa wa sampuli ni 35. Tunahitaji kutambua kwamba sampuli ugomvi ilitolewa si sampuli kiwango kupotoka, ambayo ni nini tunahitaji kwa formula. Kumbuka kwamba kiwango kupotoka ni tu mizizi ya mraba ya ugomvi, sisi kwa hiyo tunajua sampuli kiwango kupotoka, s, ni 0.173. Kwa habari hii tunahesabu takwimu za mtihani kama -3.07, na uiangalie kwenye grafu.

\[Z_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{7.91-8}{\cdot 173 / \sqrt{35}}=-3.07\nonumber\]

Hatua ya 4: Linganisha takwimu za mtihani na maadili muhimu Sasa tunalinganisha takwimu za mtihani na thamani muhimu kwa kuweka takwimu za mtihani kwenye grafu. Tunaona kwamba takwimu za mtihani ziko kwenye mkia, kwa hakika zaidi kuliko thamani muhimu ya 2.575. Tunaona kwamba hata tofauti ndogo sana kati ya thamani ya nadharia na thamani ya sampuli bado ni idadi kubwa ya upungufu wa kawaida. Maana ya sampuli ni 0.08 tu ounces tofauti na kiwango kinachohitajika cha ounces 8, lakini ni 3 pamoja na upungufu wa kawaida mbali na hivyo hatuwezi kukubali hypothesis null.

Hatua ya 5: Fikia Hitimisho

Ukosefu wa kiwango cha tatu wa takwimu za mtihani utahakikisha kwamba mtihani utashindwa. Uwezekano kwamba kitu chochote ni ndani ya upungufu wa kiwango cha tatu ni karibu sifuri. Kweli ni 0.0026 kwenye usambazaji wa kawaida, ambayo kwa hakika ni karibu sifuri kwa maana ya vitendo. Hitimisho letu rasmi litakuwa “Katika kiwango cha 99% cha umuhimu hatuwezi kukubali hypothesis kwamba maana ya sampuli ilitoka kwa usambazaji kwa maana ya ounces 8"Au chini rasmi, na kufikia hatua, “Katika kiwango cha 99% cha umuhimu tunahitimisha kuwa mashine iko chini ya kujaza chupa na iko haja ya kukarabati”.

Hypothesis mtihani kwa uwiano

Kama vile kulikuwa na vipindi vya kujiamini kwa uwiano, au zaidi rasmi, parameter\(p\) ya idadi ya watu ya usambazaji wa binomial, kuna uwezo wa kupima nadharia kuhusu\(p\).

Kipimo cha idadi ya watu kwa binomial ni\(p\). Thamani inakadiriwa (makadirio ya uhakika) kwa\(p\)\(x\) ni\(p^{\prime}\) wapi\(p^{\prime} = x/n\), ni idadi ya mafanikio katika sampuli na\(n\) ni ukubwa wa sampuli.

Unapofanya mtihani wa hypothesis wa idadi ya watu\(p\), unachukua sampuli rahisi ya random kutoka kwa idadi ya watu. Masharti ya usambazaji wa binomial lazima yatimizwe, ambayo ni: kuna idadi fulani n ya majaribio ya kujitegemea yenye maana ya sampuli ya random, matokeo ya jaribio lolote ni binary, mafanikio au kushindwa, na kila jaribio lina uwezekano sawa wa mafanikio\(p\). Sura ya usambazaji wa binomial inahitaji kuwa sawa na sura ya usambazaji wa kawaida. Ili kuhakikisha hili, kiasi\(np^{\prime}\) na\(nq^{\prime}\) lazima iwe kubwa zaidi ya tano (\(np^{\prime} > 5\)na\(nq^{\prime} > 5\)). Katika kesi hii, usambazaji wa binomial wa uwiano wa sampuli (inakadiriwa) unaweza kuhesabiwa na usambazaji wa kawaida na\(\mu=np\) na\(\sigma=\sqrt{n p q}\). Kumbuka hilo\(q=1–p\). Hakuna usambazaji ambao unaweza kusahihisha kwa upendeleo huu mdogo wa sampuli na hivyo kama hali hizi hazipatikani hatuwezi kupima nadharia tete na data zinazopatikana wakati huo. Tulikutana na hali hii wakati sisi kwanza walikuwa kukadiria vipindi kujiamini kwa\(p\).

Tena, tunaanza na formula kusanifisha iliyopita kwa sababu hii ni usambazaji wa binomial.

\[Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{n}}}\nonumber\]

Kubadilisha\(p_0\), thamani nadharia ya\(p\), tuna:

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}\nonumber\]

Hii ni takwimu za mtihani kwa ajili ya kupima maadili yaliyofikiriwa ya p, ambapo nadharia za null na mbadala zinachukua moja ya fomu zifuatazo:

\ (\ UkurasaIndex {5}\) “>

Jedwali\(\PageIndex{5}\)

Mtihani wa tailed mbili	Mtihani mmoja	Mtihani mmoja
\(H_0: p = p_0\)	\(H_0: p \leq p_0\)	\(H_0: p \geq p_0\)
\(H_a: p \neq p_0\)	\(H_a: p > p_0\)	\(H_a: p < p_0\)

Utawala wa uamuzi uliotajwa hapo juu unatumika hapa pia: ikiwa thamani ya mahesabu ya\(Z_c\) inaonyesha kwamba uwiano wa sampuli ni “mno” ukiukaji wa kiwango kutoka kwa uwiano unaosababishwa, nadharia ya null haiwezi kukubaliwa. Uamuzi wa kile “wengi sana” ni kabla ya kuamua na mchambuzi kulingana na kiwango cha umuhimu kinachohitajika katika mtihani.

Mfano\(\PageIndex{11}\)

Idara ya mikopo ya benki kubwa inavutiwa na hali ya mikopo ya wakopaji wa mara ya kwanza. Taarifa hii itatumika kurekebisha mkakati wao wa masoko. Wanaamini kwamba 50% ya wakopaji wa mara ya kwanza kuchukua mikopo ndogo kuliko wakopaji wengine. Wanafanya mtihani wa hypothesis kuamua kama asilimia ni sawa au tofauti na 50%. Wao sampuli 100 wakopaji mara ya kwanza na kupata 53 ya mikopo hii ni ndogo kwamba wakopaji wengine. Kwa mtihani wa hypothesis, huchagua kiwango cha 5% cha umuhimu.

Jibu

STEP 1: Kuweka null na mbadala hypothesis.

\(H_0: p = 0.50\)\(H_a: p \neq 0.50\)

Maneno “ni sawa au tofauti na” kukuambia hii ni mtihani wa tailed mbili. Makosa ya Aina ya I na Aina ya II ni kama ifuatavyo: Hitilafu ya Aina ya I ni kuhitimisha kuwa idadi ya wakopaji ni tofauti na 50% wakati, kwa kweli, uwiano ni kweli 50%. (Kataa hypothesis null wakati hypothesis null ni kweli). Hitilafu ya Aina ya II ni hakuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa uwiano wa wakopaji wa mara ya kwanza hutofautiana na 50% wakati, kwa kweli, uwiano haukutofautiana na 50%. (Unashindwa kukataa hypothesis null wakati hypothesis null ni uongo.)

Hatua ya 2: Chagua kiwango cha umuhimu na kuteka grafu inayoonyesha thamani muhimu

Ngazi ya umuhimu imewekwa na tatizo katika ngazi ya 95%. Kwa sababu hii ni mbili-tailed mtihani nusu ya thamani alpha itakuwa katika mkia wa juu na nusu katika mkia chini kama inavyoonekana kwenye grafu. Thamani muhimu kwa usambazaji wa kawaida katika ngazi ya 95% ya kujiamini ni 1.96. Hii inaweza kupatikana kwa urahisi kwenye t-meza ya mwanafunzi chini sana katika digrii usio na kipimo cha uhuru kukumbuka kwamba kwa infinity usambazaji wa t ni usambazaji wa kawaida. Bila shaka thamani pia inaweza kupatikana kwenye meza ya kawaida lakini una kwenda kutafuta nusu moja ya 95 (0.475) ndani ya mwili wa meza na kisha kusoma nje kwa pande na juu kwa idadi ya kupotoka kiwango.

Kielelezo\(\PageIndex{10}\)

Hatua ya 3: Tumia vigezo vya sampuli na thamani muhimu ya takwimu za mtihani.

Takwimu za mtihani ni usambazaji wa kawaida,\(Z\), kwa kupima idadi na ni:

\[Z=\frac{p^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{.53-.50}{\sqrt{\frac{.5(.5)}{100}}}=0.60\nonumber\]

Kwa kesi hiyo, sampuli ya 100 kupatikana 53 wakopaji mara ya kwanza walikuwa tofauti na wakopaji wengine. Uwiano wa sampuli, swali\(p^{\prime} = 53/100= 0.53\) la mtihani, kwa hiyo, ni: “Je, 0.53 ni tofauti sana na .50?” Kuweka maadili haya katika formula kwa takwimu za mtihani tunaona kwamba 0.53 ni 0.60 tu upungufu wa kiwango mbali na .50. Hii ni vigumu mbali na maana ya usambazaji wa kawaida wa sifuri. Kuna karibu hakuna tofauti kutoka kwa uwiano wa sampuli na uwiano unaosababishwa kwa suala la upungufu wa kawaida.

Hatua ya 4: Linganisha takwimu za mtihani na thamani muhimu.

Thamani ya mahesabu ni vizuri ndani ya maadili muhimu ya kupotoka kwa\(\pm 1.96\) kiwango na hivyo hatuwezi kukataa hypothesis ya null. Kukataa hypothesis null tunahitaji dhahiri kubwa ya tofauti kati ya thamani nadharia na thamani ya sampuli. Katika kesi hii thamani sampuli ni karibu sana sawa na thamani nadharia kipimo katika suala la kupotoka kiwango.

Hatua ya 5: Fikia hitimisho

Hitimisho rasmi itakuwa “Katika kiwango cha 95% ya umuhimu hatuwezi kukataa nadharia mbaya kwamba 50% ya wakopaji wa mara ya kwanza wana mikopo ya ukubwa sawa na wakopaji wengine”. Chini rasmi tunaweza kusema kwamba “Hakuna ushahidi kwamba nusu moja ya wakopaji wa mara ya kwanza ni tofauti sana katika ukubwa wa mkopo kutoka kwa wakopaji wengine”. Angalia urefu ambao hitimisho linakwenda kuingiza masharti yote yaliyounganishwa na hitimisho. Wanatakwimu kwa upinzani wote wanaopokea, ni makini kuwa maalum sana hata wakati hii inaonekana isiyo na maana. Wanatakwimu hawawezi kusema zaidi kuliko wanavyojua na data inalazimisha hitimisho kuwa ndani ya mita na mipaka ya data.

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Mwalimu anaamini kwamba 85% ya wanafunzi katika darasa watataka kwenda safari ya shamba kwenye zoo ya ndani. Anafanya mtihani wa hypothesis kuamua kama asilimia ni sawa au tofauti na 85%. Mwalimu sampuli 50 wanafunzi na 39 kujibu kwamba wangependa kwenda zoo. Kwa mtihani wa hypothesis, tumia kiwango cha 1% cha umuhimu.

Mfano\(\PageIndex{12}\)

Tuseme kundi la watumiaji watuhumiwa kuwa idadi ya kaya zilizo na simu za mkononi tatu au zaidi ni 30%. Kampuni ya simu ya mkononi ina sababu ya kuamini kwamba uwiano si 30%. Kabla ya kuanza kampeni kubwa ya matangazo, hufanya mtihani wa hypothesis. Watu wao wa masoko huchunguza kaya 150 na matokeo ya kuwa 43 ya kaya zina simu za mkononi tatu au zaidi.

Jibu

Hapa ni toleo la kifupi la mfumo wa kutatua vipimo vya hypothesis kutumika kwa mtihani juu ya uwiano.

\[H_0 : p = 0.3 \nonumber\]

\[H_a : p \neq 0.3 \nonumber\]

\[n = 150\nonumber\]

\[\mathrm{p}^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{43}{150}=0.287\nonumber\]

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{0.287-0.3}{\sqrt{\frac{3(7)}{150}}}=0.347\nonumber\]

Kielelezo\(\PageIndex{11}\)

Mfano\(\PageIndex{13}\)

Taasisi ya Taifa ya Viwango na Teknolojia hutoa data halisi juu ya mali conductivity ya vifaa. Kufuatia ni vipimo vya conductivity kwa vipande 11 vilivyochaguliwa kwa nasibu ya aina fulani ya kioo.

1.11; 1.07; 1.11; 1.07; 1.12; 1.08; .98; .98 1.02; .95; .95 Je,
kuna ushahidi wa kushawishi kwamba conductivity wastani wa aina hii ya kioo ni kubwa kuliko moja? Tumia kiwango cha umuhimu wa 0.05.

Jibu

Hebu tufuate mchakato wa hatua nne ili kujibu swali hili la takwimu.

Sema Swali: Tunahitaji kuamua kama, kwa kiwango cha umuhimu wa 0.05, conductivity wastani wa glasi iliyochaguliwa ni kubwa kuliko moja. Nadharia zetu zitakuwa

1. \(H_0: \mu \leq 1\)
2. \(H_a: \mu > 1\)

Mpango: Sisi ni kupima sampuli maana bila inayojulikana idadi ya watu kiwango kupotoka na chini ya 30 uchunguzi. Kwa hiyo, tunahitaji kutumia usambazaji wa wanafunzi-t. Kudhani idadi ya watu ya msingi ni ya kawaida. Kufanya mahesabu na kuteka grafu. Hali Hitimisho: Hatuwezi kukubali hypothesis null. Ni busara kusema kwamba data inasaidia kudai kwamba kiwango cha wastani cha conductivity ni kubwa kuliko moja.

Mfano\(\PageIndex{14}\)

Katika utafiti wa watumiaji wa simu za mkononi 420,019, 172 ya masomo yalikuwa na saratani ya ubongo. Mtihani madai kwamba watumiaji wa simu za mkononi walitengeneza saratani ya ubongo kwa kiwango kikubwa zaidi kuliko ile kwa watumiaji wasio na simu za mkononi (kiwango cha saratani ya ubongo kwa watumiaji wasio na simu za mkononi ni 0.0340%). Kwa kuwa hii ni suala muhimu, tumia kiwango cha umuhimu wa 0.005. Eleza kwa nini kiwango cha umuhimu kinapaswa kuwa chini sana kulingana na hitilafu ya Aina ya I.

Jibu

1. Tunahitaji kufanya mtihani wa hypothesis juu ya kiwango cha kansa kilichodai. Nadharia zetu zitakuwa
   1. \(H_0: p \leq 0.00034\)
   2. \(H_a: p > 0.00034\)

   Kama sisi kufanya aina mimi makosa, sisi ni kimsingi kukubali madai ya uongo. Kwa kuwa madai yanaelezea mazingira yanayosababisha kansa, tunataka kupunguza uwezekano wa kutambua visababishi vya kansa vibaya.

2. Sisi kuwa kupima sampuli uwiano na\(x = 172\) na\(n = 420,019\). Sampuli ni kubwa ya kutosha kwa sababu tuna\(np^{\prime} = 420,019(0.00034) = 142.8\)\(n q^{\prime}=420,019(0.99966)=419,876.2\), matokeo mawili ya kujitegemea, na uwezekano wa kudumu wa mafanikio\(p^{\prime} = 0.00034\). Hivyo tutaweza kuzalisha matokeo yetu kwa idadi ya watu.